7.5. Другие солитонные системы

На протяжении некоторого времени считалось, что метод ОПР, развитый Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой, применим только к уравнению КдФ. Но в течение нескольких лет было найдено, что большое число других физически важных нелинейных эволюционных уравнений имеет солитонные решения и укладываются в рамки метода ОПР. В случае таких систем квантовая задача, как правило, уже не включает не зависящее от времени уравнение Шрёдингера, и приходится решать другую, хотя и аналогичную задачу на собственные значения. В этом разделе мы приведем лишь небольшое число уравнений и некоторые из их простых решений, а также кратко опишем основную процедуру ОПР. Более полное изложение можно найти в цитируемой литературе.

7.5.а. Модифицированное уравнение КдФ

Выше мы уже упоминали эволюционное уравнение мКдФ

Первый шаг состоит в том, что решения этого уравнения ищется в виде бегущей волны,

где Непосредственная подстановка в (7.5.1) и два последующих интегрирования дают квадратуру

где первые две постоянные интегрирования. Общее решение в этом случае может быть найдено в терминах эллиптических функций Якоби, но если выбрать граничные условия таким образом, чтобы при квадратура сводится к

Это выражение легко интегрируется и обращается; в результате получаем решение в виде уединенной волны:

Отметим, что решение содержит функцию в отличие от в случае аналогичного решения (7.2.15) для уравнения КдФ.

Другое простое решение можно получить с помощью преобразования подобия. Следуя рассуждениям, приведенным в разделе 7.2, нетрудно показать, что уравнение (7.5.1) инвариантно по отношению к преобразованиям Это подсказывает замену переменных

приводящую к уравнению

которое можно однократно проинтегрировать:

В результате получаем обыкновенное дифференциальное уравнение специального вида, известное как уравнение Пенлеве второго типа.