Jetzt Mengenlehre ( А теперь – теория множеств).
Курт ГёДЕЛь, в 1937 г., когда, после завершения доказательства неразрешимости в теории чисел, он решил обратить острейший скальпель своего разума к теории множеств.
Многомерные самоподобные или самоаффинные множества являются моделями странных аттракторов и их областей притяжения, а также пористых материалов, древовидного роста кристаллов и квазикристаллов, горных ландшафтов, броуновского движения и связанных с ним стохастических процессов, которые описывают широкий ассортимент катастроф (плюс некоторое количество более счастливых происшествий). Некоторые из этих «практических фракталов» мы навестим в гл. 10. А здесь обсудим некоторые из базовых понятий и разработаем проект цифровых солнечных часов на основе канторова множества.

Декартовы произведения канторовых множеств
Исходное одномерное канторово множество может быть обобщено для случая пылевидных множеств в двух и более измерениях несколькими различными способами. Рассмотрим множество всех точек единичного квадрата, для которых как абцисса $x$, так и ордината $y$ принадлежат канторову множеству $C$. Получившееся в результате декартово произведение канторова множества на себя, которое обычно записывают в виде $C \times C$, представляет собой канторову пыль, вложенную в двумерное пространство (рис. 1).

Какова размерность Хаусдорфа $D$ для такой пыли? Множество $C \times C$ может, очевидно, быть покрыто $N(r)=4^{n}$ квадратами с длиной стороны $r=1 / 3^{n}$. Следовательно,
\[
D(C \times C)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln 4^{n}}{\ln 3^{n}}=\frac{\ln 4}{\ln 3} \approx 1,26 \ldots,
\]

Рис. 1. К двумерной канторовой пыли: декартово произведение оригинального канторова множества на себя. Первый (А) и второй (Б) шаги в построении канторовой пыли, фрактальная размерность которой составляет $1,26 \ldots$
т. е. вдвое больше размерности исходного одномерного канторова множества. Нетрудно догадаться (и лишь немногим труднее доказать), что для трехмерного декартова произведения $C \times C \times C$ размерность Хаусдорфа равна
\[
D(C \times C \times C)=\frac{\ln 8}{\ln 3}=3 \frac{\ln 2}{\ln 3} \approx 1,89 \ldots
\]

и т. д. При построении декартова произведения $k$ канторовых множеств мы умножаем размерность Хаусдорфа для одномерного канторова множества на $k$, т.е. поступаем так же, как с обычными евклидовыми размерностями. (Заметьте, что канторова пыль $C \times C \times C$, взвешенная в трехмерном пространстве, настолько разрежена, что ее размерность Хаусдорфа не достигает даже значения 2.)

Дырявый ковер, мягкие губки и швейцарские сыры
Рассмотрим другое декартово произведение – дополнения $C^{\prime}$ канторова множества $C$ на себя: $C^{\prime} \times C^{\prime}$. Дополнение к $C^{\prime} \times C^{\prime}$, т. е. $\left(C^{\prime} \times C^{\prime}\right)^{\prime}$, может быть построено рекурсивно следующим образом. В качестве инициатора возьмем единичный квадрат, а генератором будет единичный квадрат, из которого вынут центральный квадрат со стороной $1 / 3$. На следующей стадии построения из каждого из 8 оставшихся квадратов со стороной $1 / 3$ удаляются центральные квадраты со стороной $1 / 9$ (рис. 2Б). После бесконечного числє итераций получаем канторов ковер, приблизительное изображение которого вы можете видеть на рис. $2(\Gamma)$.

Рис. 2. Первые три шага в построении канторова ковра и приблизительный окончательный результат (фрактальная размерность $1,89 \ldots$. .

Какова же размерность Хаусдорфа для такого ковра? Если судить по рис. 2, размерность множества $\left(C^{\prime} \times C^{\prime}\right)^{\prime}$ должна быть больше размерности $C \times C$. Так как канторов ковер строго самоподобен, нам необходимо рассмотреть только генератор. Для того чтобы полностью покрыть генератор, мы должны взять 8 квадратов со стороной $1 / 3$. Тогда
\[
D\left(\left(C^{\prime} \times C^{\prime}\right)^{\prime}\right)=\frac{\ln 8}{\ln 3} \approx 1,89 \ldots ;
\]

такое же значение мы получили ранее для трехмерной канторовой пыли $C \times C \times C$.

А что вы скажете о множестве $\left(C^{\prime} \times C^{\prime} \times C^{\prime}\right)^{\prime}$, прозванном канторовым сыром? Его генератор можно заполнить $27-1=26$ кубиками с длиной ребра $1 / 3$. Соответственно, получаем
\[
D=\frac{\ln 26}{\ln 3} \approx 2,97
\]

это значение близко к 3 , потому что канторов сыр представляет собой достаточно сплошную конструкцию с изолированными пустотами.

Обобщение канторова сыра на $k$ евклидовых измерений – множество $\left(C^{\prime} \times C^{\prime} \times \ldots \times C^{\prime}\right)^{\prime}$ – имеет размерность Хаусдорфа $D=$ $=\ln \left(3^{k}-1\right) / \ln 3 \approx k-1 /\left(3^{k} \ln 3\right)$. Это значение, как правило, чуть меньше размерности вложения $k$.

В трехмерном пространстве существует еще одно симметричное фрактальное множество, основанное на канторовом множестве $C$ (на месте $C$ может быть любое другое одномерное фрактальное множество). Оно называется губкой Менгера в честь его создателя Карла Менгера и изображено на рис. 3 [179]. Двумерных аналогов губка Менгера не имеет. Пустоты в губке Менгера представляют собой открытые каналы, пронизывающие единичный куб насквозь. Применяя принцип включения-исключения, нетрудно понять, что в генераторе остается $27-9+3-1=20$ кубов с длиной ребра $1 / 3$. Следовательно, размерность Хаусдорфа для губки Менгера равна $D=\ln 20 / \ln 3 \approx 2,73 \ldots$, благодаря чему губка Менгера занимает промежуточное положение между канторовой пылью и канторовым сыром – оказываясь, как и следовало ожидать, ближе к последнему. Мандельброт, независимо от других исследователей, предложиг губку Менгера в качестве модели турбулентной перемежаемости [159].
Рис. 3. Губка Менгера (фрактальная размерность 2,73 …).
Можно построить хорошее теоретико-множественное описание, позволяющее выявить симметрию губки Менгера по трем декартовым координатам $x, y$ и $z$. Обозначим канторово множество $C$ по оси $x$ символом $X$, а канторовы множества по двум другим осям – соответственно $Y$ и $Z$. Тогда, если рассматривать только генераторы, запись $X^{\prime} \cap Y^{\prime}$ соответствует центральной квадратной «дыре» в плоскости $x y$ (рис. 2), а выражение
\[
\left(X^{\prime} \cap Y^{\prime}\right) \cup\left(Y^{\prime} \cap Z^{\prime}\right) \cup\left(Z^{\prime} \cap X^{\prime}\right)
\]

опишет множество всех пустот генератора. Дополнение этого множества представляет собой генератор губки Менгера. Согласно правилу Де Моргана [95], его можно записать в следующем виде:
\[
(X \cup Y) \cap(Y \cup Z) \cap(Z \cup X) .
\]

Будет ли также фрактальным множество, генератор которого есть дополнение генератора губки Менгера, и будет ли его размерность Хаусдорфа $D$ заключена между 0 и 3? (Дополнение самой губки, разумеется, имеет конечную меру Лебега и $D=3$ ). Генератор-дополнение содержит $27-20=7$ кубов с длиной ребра $1 / 3$ : центральный куб и 6 кубов вокруг него. Следовательно, $D=\ln 7 / \ln 3=1,77 \ldots$ Весьма «тощее» множество, надо сказать.

Итак, исходное канторово множество, обобщенное на более высокие размерности вложения, равно кан и аналогичные ему множества, порождают непрестанно разрастающийся «зоопарк» разнообразных пылевидных множеств.

Солнечные часы на основе канторова множества
Применяя канторово построение к двумерному случаю, мы получаем канторову «пыль», рассеянную на плоскости. Для этого достаточно взять единичный квадрат и изъять центральные трети сторон по осям $x$ и $y$, а затем повторять эту операцию до бесконечности (рис. 1). Получающееся при этом множество математики называют также прямым произведением канторова множества $C$ на себя и обозначают $C \times C$. Как мы уже знаем, его размерность Хаусдорфа $D$ вычисляется непосредственно по генератору, который состоит из 4 оставшихся от 9 квадратов. Так как множество $C \times C$ можно покрыть $4^{n}$ (но не меньше) квадратами с длиной стороны $3^{-n}$, его размерность Хаусдорфа равна
\[
D=\frac{\ln 4}{\ln 3}=\frac{2 \ln 2}{\ln 3}=1,26 \ldots,
\]

что вдвое больше размерности Хаусдорфа для канторова множества $C$. В общем случае размерность Хаусдорфа для декартова произведения множеств равна сумме размерностей отдельных множествсомножителей. Так, например, канторова пыль $C \times C \times C$, взвешенная в трехмерном пространстве, имеет размерность Хаусдорфа $D=$ $=3 \ln 2 / \ln 3=1,89 \ldots$.

Арифметически такие $n$-мерные канторовы множества можно описать как совокупности наборов, состоящих из $n$ канторовых чисел $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$, где каждое $x_{k}$ есть канторово число, т.е. троичная дробь, в записи которой содержатсн только нули и двойки и нет ни одной единицы (см. гл. 7, с. 221- 223).

Интересно отметить, что проецирование фрактальных множеств, вложенных в многомерные евклидовы пространства, на евклидовы пространства меньших размерностей дает фрактальные множества, чьи размерности Хаусдорфа зависят от направления проецирования. Рассмотрим, например, одномерное мғожество канторовского типа $C_{4}$, которое получается при удалении из единичного интервала центральных четвертей. Пыль в трехмерном пространстве, построенная из двукратного декартова произведения такого множества на себя, имеет размерность Хаусдорфа $D=3 \ln 2 / \ln (8 / 3)=2,12 \ldots$, что больше 2. Проецирование этого множества ( $C_{4} \times C_{4} \times C_{4}$ ) вдоль одной из трех координатных осей дает множество $C_{4} \times C_{4}$ с размерностью Хаусдорфа $2 \ln 2 / \ln (8 / 3)=1,41 \ldots$, что меньше 2 . Однако проекции этого же множества в других направлениях могут представлять собой двумерные множества, содержащие связные элементы. Иначе говоря, пыль канторовского типа $C_{4} \times C_{4} \times C_{4}$ отбрасывает «бесплотные» тени в одних направлениях и вполне зримые – в других.

Основываясь на этих соображениях, К. Дж. Фалконер [62] предложил наиболее парадоксальное, пожалуй, множество из всех, что когдалибо были придуманы: цифровые солнечные часы (рис. 4). В зависимости от положения солнца на небе это множество отбрасывает тень, которая ежеминутно изменяет свои очертания в соответствии с местным временем. При желании множество можно «расширить», чтобы оно заодно показывало правильную текущую дату между зимним и летним солнцестояниями. Перед нами идеальный часовой механизм, работающий на солнечной энергии.

Разумеется, такое отбрасывающее тень множество должно быть весьма сложным, и изобретатель по понятным соображениям воздерживается от публикации подробных инструкций по построению часов (предположительно, на тот срок, гока рассматривается патент и продолжаются попытки обойти дифракционнные ограничения). Однако никто не мешает нам намекнуть, каким образом можно было бы приступить к построению множеств, отбрасывающих тени различной величины и формы (см. рис. 5).

Рис. 4. Цифровые солнечные часы на канторовом множестве [62].
Толстые фракталы
«Часовой» фрактал, о котором шла речь в предыдущем разделе, представляет собой пример фрактального множества, проекции которого по некоторым направлениям имеют ненулевую меру. Следует заметить, что существуют многочисленные «серьезные» области, в которых фрактальные множества ненулевой меры находят достаточно широкое применение. В особенности это верно для нелинейных динамических систем и их областей притяжения. Например, такое фрактальное мно-

Рис. 5. Идея, лежащая в основе цифровых солнечных часов: набор стержней, отбрасывающий весьма различные тени в зависимости от направления проекции.

жество образуют значения параметра, при которых логистическая парабола – прототип нелинейных динамических систем (см. гл. 12) демонстрирует апериодическое поведение [116].

Каждой периодической орбите соответствует некий конечный интервал значений параметра, который называется окном периодичности. Объединение окон периодичности не исчерпывает всех значений параметра. Таким образом, значения параметра для апериодических орбит имеют ненулевую меру Лебега. С другой стороны, распределение таких значений параметра имеет фрактальную структуру: пустоты (окна периодичности) в нем существуют во всех масштабах. Такие фрактальные множества (ненулевой меры) получили название толстых фракталов [61]. Приведем еще один пример толстого фрактала: множество значений параметра, при которых подкритические отображения окружности демонстрируют апериодическое поведение (т.е. множество значений параметра, не ведущих к синхронизации).

Очевидно, не имеет смысла хєрактеризовать такие множества их размерностью Хаусдорфа – она просто равна евклидовой размерности пространства, в которую вложен толстый фрактал, и потому не несет в себе никакой дополнительной информации. Толстые фракталы удобнее описывать с помощью показателей скейлинга.

Простой пример толстого фрактала можно получить, взяв единичный интервал и удалив из него на первом этапе среднюю часть длиной $1 / 3$; на втором этапе из каждой из двух оставшихся третей удаляются средние части длиной $1 / 9$; на третьем – из каждого из четырех оставшихся отрезков удаляются средние части длиной $1 / 81$ и т.д. На каждом этапе мы удаляем центральные части, относительная длина которых равна $1 /\left(3^{2^{k}}\right.$ ) (рис. 6). После $n$ итераций получаем $2^{n}$ отрезков, общая длина которых равна
\[
\mu_{n}=\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-3^{-2^{k}}\right) .
\]

При $n \rightarrow \infty$ величина $\mu_{n}$ стремится к ненулевому значению: $\mu_{\infty}=$ $=0,5851874 \ldots$.

Рис. 6. Построение толстого фрактала. В нем имеется бесконечное множество пустот, однако остаток все же умудряется сохранять общую длину отличной от нуля.

Несколько более тощий толстый фрактал мы получим, если будем изымать при каждой итерации центральные части относительной длины $3^{-k}$. В этом случае полная длина остающихся отрезков составит
\[
\mu_{\infty}=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-3^{-k}\right)=0,560 \ldots
\]

Для хараютеристики толстых фрєкталов используется, как правило, один из нескольких показателей скейлинга. Самый полезный показатель скейлинга определяется следующим образом: заполним все пустоты, длина которых не превышает $\varepsilon$, и аппроксимируем меру $\mu(\varepsilon)$ получившегося в результате множества степенным законом, $\varepsilon \rightarrow 0$,
\[
\mu(\varepsilon)=\mu(0)+c \varepsilon^{\beta}
\]

где $c$ – постоянная, а $\beta$ – показатель скейлинга; причем $0 \leqslant \beta \leqslant \infty$. Положим в нашем примере (с удалением средних частей длиной $3^{-k}$ ) $\varepsilon=3^{-n}$; тогда
\[
\mu(\varepsilon)=\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-3^{-k}\right)=\frac{\mu(0)}{\prod_{k=n}^{\infty}\left(1-3^{-k}\right)}
\]

или
\[
\mu(\varepsilon)=\mu(0)\left(1+3^{-n}+3^{-n-1}+\ldots\right) .
\]

Отсюда, при $n \rightarrow \infty$,
\[
\mu(\varepsilon)-\mu(0)=\mu(0)\left(3^{-n}\right)=\mu(0) \varepsilon .
\]

Таким образом, показатель скейлинга $\beta$ для толстого фрактала, определяемого соотношением (2), равен 1.

Обозначив меру пустот, меньших $\varepsilon$, через $F(\varepsilon)$, мы можем записать показатель скейлинга также в следующем виде:
\[
\beta=\lim _{\varepsilon \rightarrow \infty} \frac{\ln F(\varepsilon)}{\ln \varepsilon} .
\]

Показатель $\beta$ определяется скоростью обращения в нуль меры малых пустот.

Дж. Дойн Фармер определил численное значение $\mu(0)$ для квадратичного отображения: $0,89795 \pm 0,00005$. Он же обнаружил, что как для квадратичного, так и для тригонометрического отображения с квадратичным максимумом $\left(x_{n+1}=\gamma \sin \left(\pi x_{n}\right)\right.$ ) показатель скейлинга $\beta$ составляет $0,45 \pm 0,04$. Это указывает на то, что показатель $\beta$ может оказаться универсальным, т.е. одним и тем же для всех отображений с квадратичным максимумом [65].

Чтобы получить другой показатель скейлинга $\alpha$, следует уменьшить все пустоты на величину $\varepsilon$. Это не только позволит заполнить все малые пустоты, но и уменьшит размеры больших. Если обозначить изменение меры через $G(\varepsilon)$, то показатель $\alpha$ определится соотношением
\[
\alpha=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\ln |F(\varepsilon)+G(\varepsilon)|}{\ln \varepsilon} .
\]

Можно показать, что $\alpha \leqslant \beta$. Если $\alpha<\beta$, то величину $\alpha$ определяют большие пустоты. Поскольку в большинстве практических ситуаций мелкая структура фрактала имеет более важное значение, чем крупная, показатель $\beta$ часто оказывается более полезным. Однако показатель $\alpha$ может все же содержать важную информацию в случае толстых фракталов, описывающих, например, значения параметра, при которых нелинейная система демонстрирует хаотическое движение. При $\alpha=\beta$ такие системы проявляют чувствительную зависимость от параметра, иными словами, сколь угодно близко к некоторому значению параметpa, приводящему к хаотическому движению, существуют другие значения, при которых движение является периодическим. Когда $\alpha<\beta$, подобной чувствительности не возникает. Таким образом, равенство $\alpha=\beta$ указывает на важное свойство нелинейных динамических систем, которое получило название чувствительность к параметру.