Великой истиной может называться лишь та истина, чья противоположность – также великая истина.
Нильс Бор
Из предыдущей главы мы узнали, что помимо кристаллов с идеально периодическими решетками существуют квазикристаллы с квазипериодической пространственной структурой. В одномерных моделях такую квазипериодичность можно описать с помощью двух несоизмеримых частот, связанных с золотым сечением или с другими квадратичными иррациональными числами, разложения которых в непрерывные дроби имеют короткие периоды ${ }^{1}$. Чтс же касается аморфных веществ, не обладающих сколько-нибудь различимой периодической структурой, то о них мы, безусловно, знали и раньше.

В 1984 г. (время их открытия) квазикристаллы были восприняты как полная неожиданность: лишь очень немногие ученые предвидели возможность существования пространственной структуры (отличной от жидких кристаллов), которая занимала бы промежуточное положение между аморфными стеклами и правильными кристаллами. Но на квазикристаллах неожиданности не закончились ${ }^{2}$. Между квазипериодичностью и аморфным беспорядком проглядывает еще одна пространственная структура: пространственный хаос.
${ }^{1}$ Периодические непрерывные дроби с длинными периодами и большими целыми числами в качестве числителей порождали бы нереальные квазикристаллы с неправдоподобно сложными молекулярными взаимодействиями.
${ }_{2}^{2}$ Рано заканчивать, вон та толстуха еще не пела», как заметил Ф. У. Андерсон в День св. Патрика в 1987 г. в Нью-Йорке на этаком «Вудстокском фестивале» Американского физического общества по поводу новых высокотемпературных сверхпроводников («комнатная температура на Аляске»).

Существование пространственного хаоса не должно вызывать удивления ни у кого, кто знаком с временнь́м хаосом, ведь пространство и время – всего лишь составляющие единой физической сущности, именуемой «пространство-время». Все, что может произойти во времени, может произойти и в пространстве (и наоборот). Во владениях времени мы уже давно познакомились с периодическими, квазипериодическими и случайными явлениями:
– Колебания маятника периодичны;
– Фазы Луны, например, каждое воскресенье в полночь, квазипериодичны, поскольку в основе их лежат две несоизмеримые (пока несоизмеримые) частоты: частота обращения Луны вокруг Земли и частота обращения Земли по эллиптической орбите вокруг Солнца;
– Шипение воздуха, вырывающегося из проколотой велосипедной шины, можно считать случайным шумом. Другим примером случайного процесса может служить тепловое движение ${ }^{1}$.
Сравнительно недавно физики созрели для того, чтобы по достоинству оценить четвертый тип временно́го поведения – детерминированный хаос, который апериодичен, как и случайный шум, но отличается от него тем, что является следствием детерминированных уравнений. В динамических системах детерминированный хаос часто характеризуется малыми фрактальными размерностями, поскольку хаотический процесс в фазовом пространстве обычно заполняет лишь небольшую часть всего энергетически доступғого пространства.

По аналогии с временны́м хаосом следует ожидать, что хаос может посягнуть и на пространственные владения. Более того, сейчас мы уже рассматриваем турбулентность как разновидность пространственного хаоса, хотя и весьма сложного. В этой главе мы сначала сосредоточим внимание на более простом случае пространственной квазипериодичности и хаоса, который имеет некоторые немаловажные аналогии с хаосом во временнь́х владениях – на одномерной спиновой модели магнетизма Изинга.
${ }^{1}$ Если бы наш слух был чуть острее и если бы не было отвлекающих звуков, то мы могли бы слышать тепловое движение молекул воздуха: постоянное шипение, восприятие которого не дало бы ни лично нам, ни виду в целом никаких дополнительных преимуществ в борьбе за выживание. Более того, такое «суперухо» стало бы помехой на пути эволюции, учитывая дополнительные усилия, которые должен был бы затратить биологический вид на его развитие, защиту и подержание в рабочем состоянии.

Периодичность и квазипериодичность
в пространстве
Рассмотрим одномерную систему электронных спинов $s_{i}=+1$ или $s_{i}=-1$, расположенных через равные промежутки вдоль одного пространственного измерения, как это сделано в статье [14]. При наличии внешнего магнитного поля $H$ энергия $E$ системы определяется выражением
\[
E=-\sum_{i} H s_{i}+\sum_{i
eq j} J_{i j} s_{i} s_{j}
\]

где $J_{i j}$ – антиферромагнитное взаимодействие ( $J_{i j}>0$ ) между спинами $s_{i}$ и $s_{j}$, убывающее с увеличением пространственного расстояния $|i-j|$ по степенному закону
\[
J_{i j}=|i-j|^{-\alpha}
\]

с показателем, например, $\alpha=2$.
Тот факт, что величина $J_{i j}$ положительна, означает, что соседние спины с большей вероятностью направлены в противоположные стороны (минимизируя, тем самым, энергию $E^{\prime}$ ). Именно поэтому взаимодействие типа (2) принято называть антиферромагнитным. (В «ферромагнетике» соседние спины предпочитают иметь одинаковое направление, создавая сильное внешнее магнитное поле – как в случае подковообразных магнитов, например.)

Если соседние спины имеют противоположные направления, то спины, расположенные через одного, направлены, конечно же, в одну сторону, что дает положительный, хотя и небольшой, вклад в энергию $E$ (при $\alpha>0$ ). Таким образом, в отсутствие внешнего поля $H$ минимум энергии достигается, когда число спинов, направленных вверх, составляет $w=1 / 2$ от общего числа спинов. Выбирая в качестве начального условия $s_{0}=+1$, получаем
\[
s_{2 k}=+1 \quad \text { и } \quad s_{2 k+1}=-1,
\]
т.е. идеально периодическое антиферромагнитное расположение спинов.

Чертова лестница для спинов Изинга
При ненулевых значениях внешнего магнитного поля $H$ доля $w=1 / 2$ направленных вверх спинов уже не дает минимума энергии $E$.

Рис. 1. Доля направленных вверх спинов как функция от напряженности магнитного поля для спинового стекла Изинга [14].

Более того, при $H \rightarrow \infty$ все спины будут обращены вверх, так что $w$ устремится к 1. Вопрос: по какому пути?

При малых изменениях внешнего поля $H$ (и нулевой температуре) ни один спин не сменит ориентации; конфигурация спинов как бы заморожена. Более того, для каждой рациональной доли $w=p / q$ cyществует определенный диапазон значений $H(\Delta H(p, q))$, в пределах которого величина $w$ остается неизменной. Вследствие этого график зависимости $w$ от $H$ имеет вид чертовой лестницы (рис. 1) $[14,29]$. Это и в самом деле «полная» чертова лестница (примерно с такой же мы еще встретимся в этой главе в связи с синхронизацией двух осцилляторов). Термин «полная» означает, что рациональные плато на рис. 1 в сумме составляют весь интервал значений $H$. Иррациональные значения $w$ приходятся на значения $H$, образующие тонкое канторово множество, фрактальная размерность $D$ которого для степенных взаимодействий вида $J_{i j}=|i-j|^{-\alpha}$ может быть определена аналитически:
\[
D=\frac{2}{1+\alpha} .
\]

Плато при $w=1 / 2$ (рис. 1) имеет относительную длину 0,44 , а два интервала при $w
eq 1 / 2$ равны: $r_{1}=r_{2}=0,28$. Если чертова лестница для одномерного «антиферромагнетика» Изинга обладала бы точным самоподобием, то ее размерность Хаусдорфа была бы равна
\[
D=\frac{\ln N}{\ln (1 / r)}=\frac{\ln 2}{\ln (1 / 0,28)}=0,54 .
\]

Поскольку соотношение (1) дает $D=0,(6)$ при $\alpha=2$, чертова лестница не может быть в точности самоподобной. Но плато при $w=1 / 3$ (и еще одно – при $w=2 / 3$ ) с $r_{1}=0,47$ и $r_{2}=0,23$ предполагает фрактальную размерность $D=0,59$, которую получаем из соотношения для неравных остатков $\left(r_{1}
eq r_{2}\right.$ )
\[
r_{1}^{D}+r_{2}^{D}=1 .
\]

Поэтому представляется вполне разумным ожидать, что чертова лестница на рис. 1 будет асимптотически самоподобной или самоаффинной. Это заключение подтверждается и увеличенным в 10 раз фрагментом лестницы, показанным на вставке на рис. 1. Наибольшее плато на вставке соответствует $w=3 / 7$.

Квазипериодические пространственные распределения

Не обладая точным самоподобием, чертова лестница для спинов Изинга, в лучшем случае, асимптотически самоподобна. Как же проверить самоподобие такой лестницы? Из графика на рис. 1 можно предположить, что чем больше знаменатель $q$ в отношении $w=p / q$, тем короче «замороженное» плато.

Физическое осмысление задачи ведет к такому же заключению: знаменатель $q$, в конце концов, есть не что иное, как длина периода спиновой конфигурации, а интуиция подсказывает, что чем длиннее период, тем неустойчивее конфигурация и, следовательно, короче плато.

Как расположены спины при $w
eq 1 / 2$ ? Ответ на этот вопрос дает самая, наверное, простая из всех возможных формул, удовлетворяющих основным симметриям. Пусть $w=p / q$, где $p$ и $q$ – взаимно простые числа (т.е. их наибольший общий делитель равен 1$)^{1}$. Тогда $p$ из каждых $q$ спинов должны быть направлены вверх. Точнее, $p$ из каждых $q$
${ }^{1} \mathrm{~B}$ теории чисел это довольно распространенное условие принято записывать как $(p, q)=1$. В общем случае равенство $(p, q)=m$ означает, что $m$ – наибольший общий делитель чисел $p$ и $q$.

последовательных спинов должны быть направлены вверх. Таким образом, конфигурация спинов должна быть периодической, причем длина периода равна $q$. В пределах каждого периода ровно $p$ спинов направлены вверх, а $q-p$ спинов – вниз, но какие спины направлены вверх и какие вниз? Ясно, что, например, при $w=3 / 7$, конфигурация, в которой три спина подряд направлены вверх, а следующие четыре – вниз, не дает минимума энергии. Чтобы уменьшить энергию, спины, направленные вверх и вниз, должны быть лучше перемешаны. Но как именно? Как показывает подробный теоретический анализ, при начальном условии $s_{0}=+1$ местоположения $u_{k}$ направленных вверх спинов определяются простой формулой
\[
u_{k}=\left\lfloor\frac{k}{w}\right\rfloor, \quad k=\ldots,-2,-1,0,1,2,3,4,5, \ldots,
\]

где $\lfloor a\rfloor$ означает наибольшее целое число, не превосходящее $a$.
При $w=1 / 2$ из формулы (1) видно, что $k$-й направленный вверх спин, в полном соответствии с формулой (3), находится на $2 k$-м месте.

Соответствующие местоположения $d_{k}$ спинов, направленных вниз, определяются множеством целых чисел, дополнительным к множеству $u_{k}$ :
\[
d_{k}=\left\lceil\frac{k}{1-\omega}\right\rceil-1,
\]

где $\lceil a\rceil$ – наименьшее целое число, большее $a$.
Например, при $w=p / q=3 / 7$, согласно формуле (1), направленные вверх спины находятся в местах
\[
u_{k}=\ldots,-5,-3 ; 0,2,4 ; 7,9,11 ; \ldots,
\]

в то время как спины, направленные вниз, могут быть обнаружены, согласно формуле (2), в местах
\[
d_{k}=\ldots,-4,-2 ;-1,1,3,5 ; 6,8,10,12 ; \ldots .
\]

Как нетрудно убедиться, оба множества $u_{k}$ и $d_{k}$ – периодичны (длина периода $q=7$ ) в том смысле, что если $u_{k}=n$ при некоторых $k$, то при каких-то других $k^{\prime}\left(k^{\prime}=k+3\right.$ ) мы получаем $u_{k^{\prime}}=u_{k}+7$. Аналогично при $k^{\prime}=k+4$ справедлива формула $d_{k^{\prime}}=d_{k}+7$. Узлы $u_{k}$ и $d_{k}$ вместе покрывают все целые числа, причем каждое число – ровно один раз. (Простое доказательство для иррационального $w$ приведено в моей книге по теории чисел [230].)

Формулы (1) и (2) распределяют спины, направленные вверх и вниз, по возможности однородно при данных ограничениях – о чемто подобном мы уже догадались, когда рассматривали антиферромагнетик с минимальной энергией. Действительно, из последовательности (3) видно, что при $w=3 / 7$ три промежутка на один период между направленными вверх спинами равны 2,2 и 3 . Расстояния между четырьмя направленными вниз спинами на один период при $w=3 / 7$, как видно из последовательности (4), равны $2,2,2$ и 1 . В общем случае можно показать, что поскольку расстояния между спинами должны быть целочисленными и сумма расстояний между спинами, направленными вверх, и спинами, направленными вниз, должна быть равна периоду $q$, то расстояния, порождаемые формулами (1) и (2), в действительности обладают наименьшим разбросом.

Между описанными выше устойчивыми конфигурациями спинов и движением в фазовом пространстве простых консервативных динамических систем с двумя степенями евободы (например, двух связанных осцилляторов) существует тесная связь. В зависимости от интенсивности (или просто силы) нелинейной связи движение может быть периодическим, квазипериодическим или хаотическим. Если частоты двух осциллнторов соизмеримы, т.е. если осцилляторы синхронизируются с некоторым рациональным отношением частот $p / q$, то фазовая траектория такой системы на поверхности тора («бублика») будет периодической с периодом $q$. Совершив $p$ оборотов по другому измерению (по «меридиану») тора, траектория замкнется. Следовательно, плоское сечение (называемое сечением Пуанкаре), нормальное к первому измерению («параллели») тора, окажется проколотым траекторией в $q$ различных точках под углами $\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{q}$.

Чтобы еще больше упростить описание, углы $\theta_{k}$ можно заменить их знаками: например, плюсом, если $0 \leqslant \theta_{i}<\pi$, и минусом, если $\pi \leqslant \theta_{k}<2 \pi$. Полагая $\theta_{0}=0$, мы получаем последовательные пять углов (по модулю $2 \pi$ ): $\theta_{k} / 2 \pi=0,3 / 5,1 / 5,4 / 5,2 / 5$. Соответствующая последовательность знаков, называемая также символической динамикой, имеет вид +-+-+ и в точности совпадает с конфигурацией спинов в нашей антиферромагнитной системе спинов Изинга для случая, когда доля направленных вверх спинов составляет $w=3 / 5$. Действительно, обращаясь к формуле (1), мы видим, что направленные вверх спины находнтся на местах с номерами $k=1,2,3$, т. е. при $u_{k}=1,2,3$. Таким образом, конфигурация спинов имеет вид +-+-+ .

Учитывая тесную аналогию между траекториями, наматывающимися на поверхность тора в фазовом пространстве, и (квази)периодическими или хаотическими пространственными конфигурациями (например, спиновыми конфигурациями или квазикристаллами), специалисты часто называют отношение частот $w=p / q$ числом вращения.

При иррациональном числе вращения $w$ конфигурация спинов не периодична, а квазипериодична. Например, при $w=(\sqrt{5}-1) / 2$ (золотое сечение) направленные вверх спины, как показывает формула (1), располагаются в узлах одномерной решетки
\[
u_{k}=1,3,4,6,8, \ldots, \quad k=1,2,3, \ldots,
\]

а спины, направленные вниз, как показывает формула (2), – в узлах
\[
d_{k}=2,5,7,10,13, \ldots .
\]

Заслуживает внимания следующее соотношение: $d_{k}-u_{k}=k$. Каждые два числа $\left(u_{k}, d_{k}\right.$ ) образуют так называемую пару Битти – выигрышную комбинацию при игре в фибоначчиев ним (см. с. 89).

Спиновая последовательность Битти
Если энергетически предпочтительная доля направленных вверх спинов равна $w$ (в общем случае $w
eq 1 / 2$ ), то местоположения $u_{k}$ отдельных спинов определяются последовательностью Битти (формулой (1)). Что же касается местоположений спинов, направленных вниз, то они задаются дополнительной последовательностью Битти (формулой (2)).

Вместо последовательностей Битти для местоположений спинов, направленных вверх и вниз, мы можем указать простую формулу для значений самого спина. При иррациональном $w$ справедлива формула
\[
s_{m}=\operatorname{sgn} w-\langle(m+1) w\rangle_{1},
\]

где $\operatorname{sgn}(x)$ – функция знака числа $x,\langle x\rangle_{1}$ – дробная часть числа $x$.
При $w=(\sqrt{5}-1) / 2$ (золотое сечение) последовательность знаков (направлений) спинов имеет вид,,,,,,,,,,+-++-+-++-+ , ,,$+- \ldots$, и может быть получена из итерированного «кроличьего» отображения (см. гл. 13):
\[
\begin{array}{l}
-\rightarrow+ \\
+\rightarrow+-
\end{array}
\]

Если начать с одного знака минус, то получается следующая последовательность поколений и их длин $L_{i}$ :
\[
\begin{array}{ll}
– & L_{1}=1 \\
+ & L_{2}=1 \\
+- & L_{3}=2 \\
+-+ & L_{4}=3 \\
+-++- & L_{5}=5
\end{array}
\]

и т.д. Эквивалентное правило, позволяющее получать непосредственно $n$-е поколение, состоит в приписывании ( $n-2$ )-го поколения к ( $n-1$ )-му поколению. Заметим, как следствие, что длина $L_{n} n$-го поколения удовлетворяет рекуррентному соотношению $L_{n}=L_{n-1}+$ $+L_{n-2}$. При $L_{1}=L_{2}=1$ это приводит к числам Фибоначчи $L_{n}=$ $=1,1,2,3,5,8,13, \ldots$.

Доля спинов, направленных вверх, в $n$-м поколении равна $L_{n-1} / L_{n}$. Как и следовало ожидать, эта величина стремится к золотому сечению $(\sqrt{5}-1) / 2=0,618 \ldots$

Последовательность Битти при числе вращения $w=(\sqrt{5}-1) / 2$ приводит к одномерному аналогу квазикристалла с осью симметрии пнтого порядка (см. гл. 13). Такая симметрия запрещена для периодических кристаллов, однако наблюдалась экспериментально в 1984 г., когда были открыты квазикристаллы.

Отображение (2) тесно связано с разложением золотого сечения в непрерывную дробь: $(\sqrt{5}-1) / 2=[1,1,1, \ldots]=[(1)]$. Для другой простой непрерывной дроби с периодом 1 , а именно, $w=\sqrt{2}-1=[(2)]$, соответствующее отображение, порождающее последовательность спинов по формуле (1) (т.е. последовательность -+-+–+-+ $–+\ldots)$, имеет вид
\[
\begin{array}{l}
-\rightarrow-+ \\
+\rightarrow-+-
\end{array}
\]

Начиная с одного знака минус, отображение (3) дает следующие последовательные поколения:
\[
\begin{array}{ll}
– & L_{1}=1 \\
-+ & L_{2}=2 \\
-+-+- & L_{3}=5 \\
-+-+–+-+–+ & L_{4}=12
\end{array}
\]

и т.д. Альтернативное правило для получения $n$-го поколения заключается в двукратном повторении ( $n-1$ )-го поколения и приписывании к полученной последовательности ( $n-2$ )-го поколения. Начав с и – + и воспользовавшись этим правилом, получим только что показанные поколения, длина $L_{n}$ которых возрастает по рекуррентному закону $L_{n+1}=2 L_{n}+L_{n-1}$. При $L_{1}=1$ и $L_{2}=2$ получим последовательность длин $1,2,5,12,29,70,169$. Заметим, что отношение $L_{n-1} / L_{n}$ стремится к величине $w=\sqrt{2}-1$. Относительное число направленных вверх спинов также приближается к $w=\sqrt{2}-1$, как и должно быть. Вообще, из $L_{n}$ спинов $n$-го поколения ровно $L_{n-1}$ спинов направлены вверх и $L_{n}-L_{n-1}=L_{n-1}+L_{n-2}$ – вниз. Отношение $L_{n-1} / L_{n}$ стремится к $w$ так быстро, как только возможно (при данных ограничениях на знаменатели). Согласно полученным значениям длин отношение, например, $70 /(29+70)=70 / 99=0,70707 \ldots$ должно быть хорошим приближением к $1 / \sqrt{2}=0,70710 \ldots$ (и так оно и есть).

Подстановка $w=\sqrt{2}-1$ в формулу (1) порождает ту же последовательность, что и отображение (3). Формулы (1) и (2) при $w=\sqrt{2}-1$ позволяют определить соответствующие места расположения направленных вверх и вниз спинов.

В квазикристаллическом контексте квадратичное иррациональное число $\sqrt{2}-1=[(2)]$ лежит в основе одномерной модели квазикристалла с «запрещенной» симметрией восьмого порндка, описанной в статье [271].

Аналогично последовательность спинов при $w=[(3)]=(\sqrt{13}-3) / 2$ в формуле (1)
\[
–+–+–+-\ldots
\]

может быть также порождена итерированным отображением
\[
\begin{array}{l}
-\rightarrow–+ \\
+\rightarrow–+-.
\end{array}
\]

Эквивалентный подход: исходя из двух начальных поколений и – – + , можно получить поколение с номером $n>2$ трехкратным повторением ( $n-1$ )-го поколения и приписыванием к полученной последовательности ( $n-2$ )-го поколения. Это непосредственно следует из того, что длина $L_{n} n$-го поколения подчиняется рекуррентному соотношению $L_{n}=3 L_{n-1}+L_{n-2}=1,3,10,33,109,360 \ldots$, а отношение $L_{n-1} / L_{n}$ стремится к $w=[(3)]$.

Следует ли из отображения (4), что число направленных вверх спинов в поколении $n\left(m_{n}^{+}\right)$, деленное на общее число спинов $\left(L_{n}=m_{n}^{+}+m_{n}^{-}\right)$, стремится к желаемой величине $w=[(3)]$ ? Вне всякого сомнения. Прежде всего заметим, что при отображении (4) каждый спин
в $(n-1)$-м поколении (независимо от того, направлен он вверх или вниз) порождает ровно один направленный вверх спин в $n$-м поколении. Следовательно, $m_{n}^{+}=L_{n-1}$. Значит, относительное число направленных вверх спинов равно величине $L_{n-1} / L_{n}$, которая, как мы уже видели, стремится к
\[
[(3)]=\frac{\sqrt{13}-3}{2}=0,3027756 \ldots
\]

Причем стремится довольно быстро. Например,
\[
\frac{L_{5}}{L_{6}}=\frac{109}{360}=0,3027777 \ldots
\]

В общем случае конфигурация спинов при $w$, равном периодической непрерывной дроби с периодом $1(\omega=[(n)])$, определяется отображением
\[
\begin{array}{l}
-\rightarrow(-)^{n-1}+ \\
+\rightarrow(-)^{n-1}+-,
\end{array}
\]

где (-) ${ }^{n-1}$ означает последовательность из $n-1$ знаков минус.
Для $w=[(n)]$ справедливо соотношение
\[
\frac{1}{w}=n+w
\]

Положительное решение этого квадратного уравнения
\[
\tau_{n}^{+}=\frac{\sqrt{n^{2}+4}-n}{2}
\]

называется серебряным сечением, так как, подобно золотому сечению, оно представимо в виде периодической непрерывной дроби с длиной периода 1. В особом случае $n=1$ серебро превращается в золото, и мы получаем золотое сечение $w=\tau_{1}^{+}=\gamma=(\sqrt{5}-1) / 2$.

Если не настаивать на условии, требующем, чтобы члены непрерывной дроби были положительными, то мы получим второе семейство серебряных сечений
\[
\frac{1}{\tau_{n}^{-}}=n-\tau_{n}^{-}, \quad n=2,3, \ldots
\]

с единственным корнем в интервале $[0,1]$
\[
\tau_{n}^{-}=\frac{n-\sqrt{n^{2}-4}}{2}
\]

и разложением в непрерывную дрсбь
\[
\tau_{n}^{-}=[n-, n-, n-, \ldots] .
\]

Конфигурации спинов для этих серебряных сечений также порождаются простыми итерированными отображениями. Например, при $n=4$ получаем $\tau_{4}^{-}=2-\sqrt{3}=0,268 \ldots$ Подставляя $\tau_{4}^{-}$в формулу (1), находим, что направленные вверх спины расположены в узлах $u_{k}=$ $=3,7,11,14,18, \ldots$ Таким образом, конфигурация спинов для $\tau_{4}^{-}$ имеет вид
\[
-, \quad–+-, \quad–+—+–+-, \quad–+—+\ldots
\]

Чтобы определить закон отображения спинов, необходимо вычислить подходящие приближения непрерывной дроби: $1 / 4,1 /(4-1 / 4)=$ $=4 / 15,16 / 56$ и т. д., где знаменателлми $(4,15,56, \ldots)$ лвляотся длины периода. Длина $n$-го поколения $L_{n}(n>1)$ определяется рекуррентным соотношением $L_{n}=4 L_{n-1}-L_{n-2}$ при том, что $L_{0}=0$ и $L_{1}=1$. Отделяя подпоследовательности с такими длинами периодов запятыми (см. конфигурацию спинов (6)), попучаем отображение
\[
\begin{array}{l}
-\rightarrow–+- \\
+\rightarrow–+,
\end{array}
\]

которое, начиная с одного знака минус, порождает последовательные поколения
\[
\begin{array}{ll}
– & L_{1}=1 \\
–+- & L_{2}=4 \\
–+—+—++-++-L_{3}=15
\end{array}
\]

и т. д. в поразительном согласии с конфигурацией спинов (6).
Серебряное сечение $\tau_{4}^{-}=2-\sqrt{3}$ лежит в основе квазикристаллов с запрещенной симметрией двенадцатого порядка, открытых в 1988 г. [33].

Все серебряные сечения $\tau_{N}^{+}\left(\tau_{N}^{-}\right)$, где $N$ – число Люка с четным (нечетным) индексом, принадлежат полю иррациональных чисел $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ и являются основой для квазикристаллов с осями симметрии пятого порядка. Числа Люка ( $L_{n}=2,1,3,4,7,11,18, \ldots$ ) определяются тем же рекуррентным соотношением, что и числа Фибоначчи ( $L_{n}=$ $=L_{n-1}+L_{n-2}$ ), но с другим начальным условием ( $L_{0}=2, L_{1}=1$ ). При $n>1$ число Люка $L_{n}$ может быть получено округлением $\gamma^{-n}$ до ближайшего целого числа.

Разумно предположить, что в общем случае отображение при $\tau_{n}^{-}$ имеет вид
\[
\begin{array}{l}
-\rightarrow(-)^{n-2}+- \\
+\rightarrow(-)^{n-2}+
\end{array}
\]

где (-) $)^{n-2}$ означает последовательность, состоящую из $n-2$ минусов. Возможно, читатель пожелает испробовать свои силы и самостоятельно доказать следующий эквивалентный закон: при первых двух поколениях – и $(-)^{n-2}+-, k$-е поколение получается в результате ( $n-1$ )-кратного повторения предыдущего ( $k-1$ ) поколения и приписывания к полученной последовательности ( $k-1$ )-го поколения, из начала которого исключено ( $k-2$ )-е поколение.

Законы подобия для квазипериодических спинов
Формула (1) позволяет вычислять знак любого спина непосредственно, без обращения к рекурсии. Например, при $w=(\sqrt{13}-3) / 2$ $1000-$ й спин имеет знак + . С другой стороны, самый факт того, что при $w$, представимом в виде периодической непрерывной дроби $[(n)]$, антиферромагнитные спины Изинга могут быть вычислены рекурсивно с помощью итераций некоторого отображения, свидетельствует о существовании у таких спиновых конфигураций определенной масштабной инвариантности. Так и есть; более того, они демонстрируют многочисленные самоподобия.

Рассмотрим подробнее конфигурацию спинов при числе вращения $w$, равном золотому сечению. Выраженная в двоичных обозначениях $\{0,1\}$, она представляет собой кроличью последовательность:
\[
\underline{10} 1 \underline{1010110110 \ldots .}
\]

Бесконечная кроличья последовательность воспроизводит себя, если каждый раз (начиная слева), встречая единицу, мы будем перепрыгивать через два знака и вычеркивать тјетий, а встречая нуль, перепрыгивать только через один знак и вычеркивать второй. Знаки, оставшиеся от исходной последовательности после такой сумасшедшей скачки и вычеркивания, в последовательности (1) подчеркнуты, причем усеченная последовательность в самом деле воспроизводит исходную кроличью последовательность. Конфигурация, образуемая длинными и короткими линиями подчеркивания также дает кроличью последовательность, хотя бы по построению. Поразительнее всего то, что и выброшенные (неподчеркнутые) знаки тоже образуют исходную кроличью последовательность. Можете ли Вы, читатель, объяснить почему?

Как видно из последовательности (1), все эти «прыжки» через двоичные знаки в действительности представляют собой отображение $101 \rightarrow 10$ и $10 \rightarrow 1$. Такое «переименование блоков» (с которым мы, кстати, уже встречались раньше) обратно отображению $1 \rightarrow 10 \rightarrow 101$ (т.е. следующей итерации исходного отображения $0 \rightarrow 1 \rightarrow 10$ ).

Переименование блоков $101 \rightarrow 10$ и $10 \rightarrow 1$ соответствует простому преобразованию подобия индекса $k$ с коэффициентом $w$. Точнее, индекс $k$ в формуле для направленных вверх спинов (1) заменяется на $k^{\prime}=k / w$, и спины сдвигаются в сторону на одну единицу:
\[
u_{k^{\prime}}=u_{k / w}-1=\left\lfloor\frac{k}{w^{2}}\right\rfloor-1 .
\]

Но, по формуле (2), значения $\left\lfloor k / w^{2}\right\rfloor=\lfloor k /(1-w)\rfloor=\lceil k /(1-w)\rceil-1$ определяют места $d_{k}$, в которых первоначально располагались спины, направленные вниз. Таким образом, в конфигурации спинов после преобразования подобия, произведенного посредством переименования блоков, оставшиеся направленные вверх спины расположены на одно место левее исходных направленных вниз спинов. В самом деле, как следует из формулы (1), оставшиеся направленные вверх спины – это как раз те, что имеют соседом справа нуль. Все остальные направленные вверх спины «не пережили» процесса построения новой последовательности.

Предоставляем читателю самостоятельно доказать, что оставшиеся направленные вниз спины располагаются на одно место левее исходных направленных вверх спиновых дублетов 11 (плотность которых $w^{3}=\sqrt{5}-2=0,236 \ldots$, как и плотность сохранившихся направленных вниз спинов).

Самоподобные числа вращения
Скейлинговый закон для антиферромагнитных спинов Изинга можно также вывести из формулы (1), которая описывает последовательность спинов в обозначениях $\pm 1$ :
\[
s_{m}=\operatorname{sgn}\left[w-\langle(m+1) w\rangle_{1}\right] .
\]

Ясно, что число $s_{m}$ никак не изменится от прибавления к стоящему в угловых скобках \langle\rangle$_{1}$ выражению любого целого числа, например, $n(m+1)$ :
\[
s_{m}=\operatorname{sgn}\left[w-\langle(m-1)(w+n)\rangle_{1}\right] .
\]

Если число $w$ равно золотому сечению, то $w+1=1 / w$. Следовательно, при $n=1$
\[
s_{m}=\operatorname{sgn}\left[w-\left\langle(m+1) \frac{1}{w}\right\rangle_{1}\right],
\]

откуда следует, что если подвергнуть индекс $m+1$ преобразованию подобия с коэффициентом $1 / \omega^{2}$, то конфигурация спинов останется неизменной.

Какие еще числа вращения обнаруживают такого рода самоподобие? Соотношение (1) показывает, что индекс $m+1$ можно преобразовывать с коэффициентом подобия $1 / w^{2}$ при любом $w$, для которого верно равенство $w+n=1 / w$, где $\boldsymbol{n}$ – положительное или отрицателье целое число. (Заметьте, что $\langle\alpha\rangle_{1}=\alpha-\lfloor\alpha\rfloor$ принадлежит интервалу $[0,1$ ), так что если $\alpha$, например, равно $-4,7$, то $\langle\alpha\rangle_{1}=\langle-4,7\rangle_{1}=0,3$.) При положительных $n$ эти числа вращения в точности совпадают с теми числами, которые представимы в виде периодических непрерывных дробей с периодом 1:
\[
w=\tau_{n}^{+}=[(n)], \quad n>0 .
\]

Это уравнение можно записать как
\[
w=\frac{1}{n+w}
\]

именно в таком виде оно необходимо нам для масштабной инвариантности соотношения (1).

При положительных $n$, как уже было установлено, квадратное уравнение (2) имеет следующее решение:
\[
w=\tau_{n}^{+}=\frac{\sqrt{n^{2}+4}-n}{2}, \quad n>0 .
\]

При отрицательных $n$ два корня уравнения лежат вне «законного» интервала $(0,1)$ для $w$. Но мы можем все-таки получить самоподобное решение, а именно,
\[
w=\tau_{n}^{-}=[(n-)], \quad n<-1 .
\]

Решение, которое попадает в интервал $(0,1)$, имеет вид
\[
w=\tau_{n}^{-}=-\frac{\sqrt{n^{2}-4}+n}{2}, \quad n<-2 .
\]

Числа $\tau_{n}^{+}$и $\tau_{n}^{-}$представляют собой серебряные сечения (еще одно обобщение золотого сечения, с которым нам уже доводилось встречаться прежде).

Как перевести скейлинговый закон для формулы, определяющей расположение спинов (1), в скейлинговый закон для спинов, направленных вверх? Иначе говоря, как нужно изменить формулу (1), чтобы она позволяла определять, где находятся направленные вверх спины, уцелевшие после процесса усечения блоков при $n>1$ ?

Отображения окружности и языки Арнольда
Наряду с квадратичным отображением, рассмотренным в гл. 12, весьма важную роль при моделировании великого множества природных явлений играет другой нелинейный закон – знаменитое отображение окружности:
\[
\theta_{n+1}=\theta_{n}+\Omega-\frac{K}{2 \pi} \sin \left(2 \pi \theta_{n}\right) .
\]

Здесь $K$ – константа связи, регулирующая степень нелинейности; при $K=0$ уравнение (1) становится линейным. Переменная $\theta_{n}$ представляет собой угол (обычно в фазовом пространстве динамической системы). Среднее приращение (инкремент) угла $\theta_{n}$ за одну итерацию называется реальным числом вращения и определяется как
\[
w=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\theta_{n}-\theta_{0}}{n} .
\]

Параметр $\Omega$ в уравнении (1) называется формальным числом вращения. Столь необычная терминология связана с тем, что интересующее нас фазовое пространство часто имеет вид тора, на который накручивается траектория (совершая некоторое число оборотов, или врацений, вдоль меридианов и параллелей тора). В типичном случае формальное число вращения представляет собой отношение частот (например, отношение резонансной частоты осциллятора – скажем, маятника – и частоты периодической силы, воздействующей на этот осциллятор). Реальное число вращения $w$ – это также отношение частот (как правило, рациональное число, $w=P(Q)$, при котором некое нелинейное взаимодействие «синхронизировало» систему. Разумеется, при $K=0$ реальное число вращения $w$ совпадает с формальным числом вращения $\Omega$, и никакой синхронизации мод при рациональном числе вращения $w$ не происходит. Однако при $K=1$ (так называемое критическое отображение окружности) области синхронизации покрывают весь интервал значений $\Omega$ (см. рис. 7 в гл. 7), оставляя несинхронизированным только канторово множество значений $\Omega$. Эти области синхронизации получили название языков Арнольда в честь открывшего их российского математика В. И. Арнольда.

Критическое отображение окружности имеет при $\theta_{n}=0$ кубическую точку перегиба и может быть аппроксимировано отображением
\[
\theta_{n+1}=\Omega+\frac{2 \pi^{2}}{3} \theta_{n}^{3},
\]

где $\left|\theta_{n}\right| \leqslant 1$. Большинство результатов, полученных для критического отображения окружности, можно назвать универсальными, так как они относятся ко всем отображениям, содержащим кубическую нелинейность с горизонтальной касательной. Похожую универсальность мы наблюдали в случае унимодальных отображений с квадратичным максимумом. Взятые вместе, квадратичное и кубическое отображения моделируют многие нелинейные явления, характеризуемые либо симметричной (четной), либо несимметричной (нечетной) нелинейностью.

При $K>1$ отображение окружности немонотонно, и языки Арнольда перекрывают друг друга, порождая хаотическое движение. Подобно тому, как переход к хаосу в квадратичном отображении можно проследить по бифуркациям удвоения периода, путь к хаосу в критическом отображении окружности может быть проанализирован по орбитам с возрастающей длиной периода. Только в последнем случае предпочтительные длины периода совпадают с числами Фибоначчи $F_{n}$, а реальные числа вращения $w$ (или $1-w$ ) – с отношениями соседних чисел Фибоначчи. При $n \rightarrow \infty$ эти числа вращения стремятся к золотому сечению.

Далее будет показано, что даже важнейшие символические динамики этих двух прототипических нелинейностей подобны.

На рис. 6 (гл. 7) показано реальное число вращения $w=P / Q$ как функция от формального числа вращения $\Omega$ для критического отображения окружности. График имеет вид чертовой лестницы с горизонтальными плато при всех рациональных значениях параметра $w$ (в отличие от чертовой лестницы на оснэве исходного канторова множества, имеющей плато только при $w=P / Q$, где $Q=2^{m}$ ). Хотя строгой самоаффинности, как в случае канторовой чертовой лестницы, здесь не наблюдается, чертова лестница синхронизации, как видно на вставке, обладает приближенной самоаффинностью.

Ширина плато имеет явную тенденцию к убыванию при увеличении значения $Q$ – периода синхронизированного по частоте движения. Это представляется интуитивно понятным, так как синхронизация мод происходит преимущественно при отношениях частот, представимых в виде отношения небольших целых чисел (например, отношение частоты обращения Меркурия вокруг Солнца к частоте его обращения вокруг собственной оси равно $2 / 3$ ).

На рис. 2 представлена зависимость ширины плато $\Delta \Omega$ от отношения $P / Q[120]$, в немалой степени самоподобная, судя по вставкам. Как обнаружили авторы статьи, $\Delta \Omega$ изменяется как $Q$ в степени $\ln (\Delta \Omega) / \ln Q \approx-2,292$.

Фрактал, образуемый теми значениями $\Omega$, при которых не происходит синхронизации мод, является, в действительности, мультифракталом с размерностями $D_{q}$, лежащими в интервале от $D_{-\infty} \approx 0,924$ до $D_{\infty}=0,5$. В гл. 9 мы уже упоминали о том, что размерность $D_{-\infty}$ соответствует наиболее разреженной области фрактала, расположенной в данном случае в окрестности формального числа вращения $\Omega$, равного золотому сечению – наиболее трудному для синхронизации отношению частот. Как показал Шенкер, длины $r_{d}$ изменяются асимптотически по закону $F_{n}^{-\delta} \sim \gamma^{n \delta}$, где $\delta=2,1644 \ldots$, при $\Omega=F_{n-1} / F_{n}, n \rightarrow \infty$ (путь к хаосу через золотое сечение) [240]. Если вероятности заданы как $p_{n} \sim \gamma^{2 n}$ и $r_{n} \sim \gamma^{n \delta}$, то
\[
D_{-\infty}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln p_{n}}{\ln r_{n}}=\frac{2}{\delta} \approx 0,924 .
\]

Наиболее плотная область фрактала синхронизации расположена сразу справа от интервала, синхронизированного при отношении частот, равном нулю (вблизи от $\Omega=1 / 2 \pi$ ), т.е. там, где отношения частот $1 / Q$ приближаются к нулевому значению при $Q \rightarrow \infty$. Это приближающееся к нулю отношение представляет собой так называемый

(a)

Рис. 2. Зависимость синхронизированных по частоте интервалов от отношения частот. Обратите внимание на самоподобие, показанное с помощью последовательного увеличения отдельных участков построения [120].

гармонический ряд, при котором синхронизация мод происходит сравнительно легко. Для гармонического ряда изменения реальных чисел вращения асимптотически пропорциональны квадратному корню из изменений формального числа вращения, т.е. $p_{n} \sim r_{n}^{1 / 2}$. Отсюда строгое равенство $D_{\infty}=0,5$.

Весь мультифрактальный спектр $f(\alpha)$ был вычислен по 1024 синхронизированным интервалам в статье [41]. Максимум функции $f(\alpha)$ приближенно равен 0,868 и соответствует размерности Хаусдорфа $D_{0}$ для мультифрактала, лежащего в основе чертовой лестницы синхронизации.

Медианты, последовательности Фарея и дерево Фарея

Для вычисления размерностей $D_{q}$ фрактала синхронизации и его мультифрактального спектра $f(\alpha)$ необходимо навести какой-никакой порядок в рациональных числах $P / Q$, представляющих различные отношения частот. Одно из возможных упорядочений используется в стандартном доказательстве того, что рациональные числа (в противоположность иррациональным) образуют счетное множество. Однако сейчас нам необходимо другое упорядочение, которое бы лучше отражало физику синхронизации мод.

Предположим, что параметр $\Omega$ в уравнении (1) (формальное число вращения) таков, что реальное число вращения попадает в интервал между $1 / 2$ и $2 / 3$, не синхронизируясь ни с одним из этих отношений. Каково наиболее вероятное синхронизирующее отношение частот для силы нелинейной связи чуть ниже той, которая вызвала бы синхронизацию при отношении частот $1 / 2$ или $2 / 3$ ? Разумно предположить, что таким отношением должно быть отношение частот $P / Q$ с наименьшим возможным $Q$ в интервале $(1 / 2,2 / 3)$.

Именно это и происходит в динамических системах, моделируемых отображением окружности. Выберем постоянную нелинейной связи $K$ и формальное число вращения $\Omega$ так, чтобы соответствующая им точка располагалась чуть ниже пересечения двух языков Арнольда, символизирующих синхронизацию при отношениях частот $1 / 2$ и $2 / 3$. Реальное число вращения $w$ для данной точки на плоскости $\Omega-K$ должно быть рациональным, так как $K>1$. На самом же деле рациональное значение $P / Q$, принимаемое числом вращения $w$, удовлетворнет неравенству $1 / 2<P / Q<2 / 3$ с наименьшим из всех возможных знаменателем $Q$.

В связи с этим возникает интересный математический вопрос, ответ на который прост, но необычен: какое отношение из интервала от $1 / 2$ до $2 / 3$ имеет наименьший знаменатель? Если вы попросите дошкольника сложить $1 / 2$ и $2 / 3$, то он вполне может сложить отдельно числители, отдельно – знаменатели и написать равенство
\[
\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{3}{5}
\]

Самое удивительное, что, поступая таким образом, он действительно найдет искомое отношение частот с наименьшим знаменателем ${ }^{1}$.
${ }^{1}$ Нечто подобное произошло, когда знаменитый индийский физик Ш.Н.Бозе (1894-1974) при выводе статистики фотонов «забыл» учесть различимость фотонов (в природе не существующую). Когда журнал «Nature» отверг его работу, Бозе направил ее Эйнштейну, который узрел свет во тьме, признав в «ошибке» коллеги долгожданное решение проблем статистической физики света. С тех пор имя Бозе увековечено в таких понятиях, как статистика (или распределение) Бозе-Эйнштейна, бозоны (частицы с целочисленным спином – фотоны, например) и конденсация Бозе, которой мы обязаны сверхпроводимостью и другими макроскопическими чудесами микроскопического квантового мира.

Что бы мог означать столь странный способ образования промежуточных дробей? Физически отношение частот двух осцилляторов, равное $1 / 2$, можно представить комбинацией импульса (1) и последующего «отсутствия импульса» (0) более быстрого осциллятора в течение каждого периода более медленного осциллятора. То есть отношение частот $1 / 2$ может быть представлено последовательностью $101010 \ldots$, или просто (10). Аналогично отношение частот $2 / 3$ представляется двумя единицами, повторяющимися с периодом 3 , или (110).

Чтобы образовать промежуточнсе отношение частот, мы просто чередуем отношения частот $1 / 2$ (т.е. (10)) и $2 / 3$ (т.е. (110)) и получаем последовательность (10110), представляющую отношение частот $3 / 5$ (три импульса за каждые пять единиц времени). Таким образом, при усреднении отношений частот взятие иедиант (так называется эта операция) вовсе не выглядит таким уж странным делом.

В общем случае, если имеются две дроби $P / Q$ и $P^{\prime} / Q^{\prime}$ с взаимно простыми числителями и знаменателями, то промежуточная дробь определяется соотношением
\[
\frac{P^{\prime \prime}}{Q^{\prime \prime}}=\frac{P+P^{\prime}}{Q+Q^{\prime}} .
\]

Специалисты по теории чисел называют такую дробь медиантой. Анализируя диофантовы уравнения, Джон Хортон Конуэй с присущей ему проницательностью показал, что числители и знаменатели можно интерпретировать как компоненты двумерного вектора, а промежуточную дробь с наименьшим знаменателєм можно получить покомпонентным сложением векторов [не опубликовано; из личной беседы (1989)]. Так, например, медианта дробей $5 / 13$ и $2 / 5$ равен $7 / 18$ (отношение частот, которое Юпитер и Паллада выбрали для своих гравитационно связанных орбит вокруг Солнца). (Вообще говоря, между $5 / 13$ и $2 / 5$ просто нет ни одной дроби со знаменателем, меньше 18.) Чтобы это правило работало, две исходные дроби должны быть достаточно близки. Точнее, они должны быть унимодулярными. Модулярность двух дробей с взаимно простыми числителями и знаменателями $P / Q$ и $P^{\prime} / Q^{\prime}$, служащая мерой их близости (для нашего случая), измеряется как абсолютная величина разности $\left|Q P^{\prime}-P Q^{\prime}\right|$. Унимодулярными называются дроби, для которых $\left|Q P^{\prime}-P Q^{\prime}\right|=1$.

Медианта двух дробей имеет такую же модулярность, какую исходные дроби имеют между собой: модулярность передается по наследству. Вообще, наследование является одним из центральных свойств самоподобия, и самоподобия, которые обнаруживаются в синхронизации мод, не являются исключением.

Медианты естественным образом возникают в последовательностях Фарея. Последовательностью Фарея называется последовательность дробей из интервала от 0 до 1 с заданным наибольшим знаменателем (называемым порядком последовательности). Например, дроби Фарея порядка 5 образуют следующую последовательность (в порядке возрастания):
\[
\begin{array}{lllllllllll}
\frac{0}{1} & \frac{1}{5} & \frac{1}{4} & \frac{1}{3} & \frac{2}{5} & \frac{1}{2} & \frac{3}{5} & \frac{2}{3} & \frac{3}{4} & \frac{4}{5} & \frac{1}{1} .
\end{array}
\]

Заметим, что каждая дробь является медиантой двух соседних дробей. Модулярность любых двух соседних дробей равна 1 , но расположены дроби неравномерно. Однако знаменитая гипотеза Римана о нулях дзета-функции гарантирует, что расстояния между соседними дробями относительно равномерны [230].

Хотя последовательности Фарея имеют множество полезных приложений и занятных свойств (например, они позволяют классифицировать рациональные числа по величине их знаменателей. Да что там есть целье книги, не содержащие ничего, кроме дробей Фарея), они обладают одним существенным недостатком: число дополнительных дробей при переходе от последовательности Фарея порядка $n-1$ к последовательности порядка $n$ задается сильно флуктуирующей функцией Эйлера $\phi(n)$, определяемой как копичество положительных целых чисел, меньших $n$ и взаимно простых с $n$. Например, $\phi(5)=4, \phi(6)=2$, а $\phi(7)=6$. Более регулярный характер рациональным числам придают деревья Фарея, в которых количество дробей, добавляемых каждым поколением, равно соответствующей степени двух.

Начав с двух дробей, мы можем построить дерево Фарея, вычисляя медианты всех численно близких («соседних») дробей. В интервале $[0,1]$ можно начать с $0 / 1$ и $1 / 1$ в качестве начальных дробей, или «затравок». Первые пять поколений дерева Фарея выглядят следующим образом:

В бесконечном дереве Фарея каждое рациональное число, заключенное между 0 и 1 , встречается ровно один раз. Структура дерева в точности соответствует интерполяции с помощью медиант, синхронизированных по частоте интервалов в отображении окружности. Таким образом, дерево Фарея является своего рода математическим скелетом языков Арнольда.

Положение каждой дроби на дереве Фарея может быть определено двоичным адресом, в котором 0 соответствует сдвигу влево при переходе с $n$-го уровня на $(n+1)$-й, а 1 – сдвигу вправо. Например, если начать с $1 / 2$, то рациональное число $3 / 7$ имеет двоичный адрес 011 . Дополнение дроби $3 / 7$ до единицы (т.е. дробь $4 / 7$ ) имеет двоичный адрес 100 (дополнительный к адресу дроби 3/7). Такой двоичный код рациональных чисел полезен при описании связанных осцилляторов.

Заметим, что любые две численно соседних дроби дерева Фарея унимодулярны. Таковы, например, дроби $4 / 7$ и $1 / 2$, так как $2 \cdot 4$ $-1 \cdot 7=1$.

Некоторые свойства дерева Фарея становятся более понятными, если воспользоваться непрерывными дробями, которые для чисел $w$ из интервала $[0,1]$ имеют следующий вид:
\[
w=\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{a_{3} \cdots}}} .
\]

Непрерывные дроби удобнее записывать в строку $w=\left[a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\right]$, где $a_{k}$ – положительные целые числа. Непрерывные дроби, выражающие иррациональные числа $w$, бесконєчны. В случае квадратичных иррациональных $w$ числа $a_{k}$ (начиная с какого-то места) повторяются периодически. Например, $1 / \sqrt{3}=[1,1,2,1,2,1, \ldots]=[1,(1,2)]$ – предпериодическая непрерывная дробь с длиной периода 2 ; дробь $1 / \sqrt{17}=$ $=[(8)]$ имеет период 1, a $1 / \sqrt{61}$ – период 11. (Очень действует на нервы то, что до сих пор неизвестно никакого простого правила, которое позволяло бы предсказывать длину периода непрерывной дроби в общем случае.)

Интересно, что для любой дроби на $n$-м уровне дерева Фарея сумма всех чисел $a_{k}$ равна $n$ :
\[
\sum_{k} a_{k}=n, \quad n=2,3,4, \ldots
\]

Предоставляем читателю самостоятельно доказать справедливость этого равенства (например, с помощью простого комбинаторного рассуждения).

Для каждой дроби на ( $n-1$ )-м уровне можно непосредственно вычислить две соседние дроби, или, иными словами, «прямых потомков» на $n$-м уровне. Сначала нужно записать исходную дробь в виде непрерывной дроби двумя способами, что всегда возможно: для этого достаточно «отщепить» от последнего $a_{k}$ единицу. Например, $2 / 5=[2,2]=$ $=[2,1,1]$. Затем необходимо прибавить к последнему члену каждой из двух полученных непрерывных дробей единицу. Это дает две дроби $[2,3]=3 / 7$ и $[2,1,2]=3 / 8$, которые действительно являются «прямыми потомками» числа $2 / 5$.

И наоборот, непосредственного предшественника любой дроби (того, что находится на предыдущем уровне) можно найти, вычитая единицу из последнего члена ее разложения в непрерывную дробь (в той форме, в которой последний член больше единицы, так как $a_{k}$ в непрерывной дроби не может быть равен 0). Другой (отдаленный) предшественник данной рациональной дроби может быть найден простым выбрасыванием последнего члена. Например, у дроби $3 / 7=[2,3]$ имеются два предшественника: прнмой $[2,2]=2 / 5$ и отдаленный $[2]=1 / 2$. (Какой из предшественников, в общем случае, больше – ближайший или отдаленный? И как вычислять медианты, используя только непрерывные дроби?)

Заметим, что если спускаться зигзагообразно по дереву Фарея из правого верхнего «угла» $(1 / 1 \rightarrow 1 / 2 \rightarrow 2 / 3 \rightarrow 3 / 5 \rightarrow 5 / 8$ и т. д.), то мы будем каждый раз попадать на дроби, числители и знаменатели которых равны числам Фибоначчи $F_{n}$, определяемые соотношением $F_{n}=$ $=F_{n-1}+F_{n-2} ; F_{0}=0, F_{1}=1$. Точнее говоря, начав с $1 / 1$ и пройдя $n$-й поворот зигзага, мы достигнем дроби $F_{n+1} / F_{n+2}$. При $n \rightarrow \infty$ такая дробь стремится к золотому сечению $\gamma=(\sqrt{5}-1) / 2=0,618 \ldots[230]$. (Начав с $0 / 1$, мы будем проходить через дроби $F_{n} / F_{n+2}$, которые стремятся к $\gamma^{2}=1-\gamma$.) Золотое сечение $\gamma$ имеет на дереве Фарея двоичный адрес $101010 \ldots$

Разложение отношений $F_{n} / F_{n+1}$ в непрерывные дроби выглядит весьма просто. Например,
\[
\frac{F_{3}}{F_{4}}=\frac{2}{3}=[1,1,1]
\]

а в общем случае
\[
\frac{F_{n}}{F_{n+1}}=[1,1, \ldots, 1], \quad n \text { единиц в квадратных скобках. }
\]

Очевидно, что при малых $a_{k}$ непрерывные дроби сходятся относительно медленно, причем медленнее всего сходятся те дроби, у которых все $a_{k}$ равны единицам. Так как
\[
\gamma=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n}}{F_{n+1}}=[1,1,1, \ldots]=[(1)],
\]

где круглые скобки означают бесконесное повторение единицы, золотое сечение $\gamma$ обладает самым медленно сходящимся из всех иррациональных чисел разложением в непрерывную дробь. Поэтому физики и им подобные люди иногда называют золотое сечение «самым иррациональным из иррациональных чисел». Это свойство $\gamma$ имеет исключительно важные последствия в самых разнообразных проблемах нелинейной физики – от двойного маятника до проблемы трех тел.

Ситуация приблизительно такова: если отношение частот двух связанных осцилляторов есть рациональное число $P / Q$, то связь между вынуждающей силой и «порабощенным» осциллятором проявляется особенно эффективно из-за своего рода резонанса: через каждые $Q$ циклов внешнего воздействия возникает одна и та же физическая ситуация, так что эффекты перекачки энергии нарастают резонансоподобным образом. Этот резонансный эффект весьма силен, особенно если $Q$ – малое целое число. Именно это произошло с Луной: резонансная передача энергии между Луной и Землей, осуществляемая посредством приливных сил, замедлила вращение Луны вокруг собственной оси до такой степени, что период ее вращения синхронизировался с 28 -суточным циклом обращения Луны вокруг Земли. В результате Луна всегда обращена к нам одной своей стороной, котсрая, кстати, слегка покачивается из стороны в сторону (так называемая либрация).

Аналогично частота обращения Меркурия вокруг собственной оси и частота его обращения вокруг Солнца синхронизировались при рациональном отношении $3 / 2$. В результате день на Меркурии длится два меркурианских года. (Когда-нибудь – надеюсь, не скоро – нечто подобное может приключиться и с матушкой-Землей.)

Еще одно следствие этого резонансного механизма – кольца Сатурна, или, вернее, щели между ними. Периоды обращения вокруг Сатурна любых материальных тел (глыб льда или камня), попавших в щели между кольцами, находятся в рациональном резонансе с некоторой периодической силой (например, с силой притяжения со стороны одной из лун Сатурна – «пастухов» колец). В результате воздействие даже слабых сил, постепенно накапливаясь на протяжении длительных временнь́х промежутков, выметает весь мусор из этих самых щелей.

При рациональных отношениях частот с большими знаменателями $Q$ резонансный эффект относительно слаб, а при иррациональных отношениях резонанс еще слабее или вообще отсутствует.

Если связь между осцилляторами достаточно сильна, то даже иррациональные отношения частот могут дать неплохой резонанс. Однако одно иррациональное отношение частот всегда будет менее всех других подвержено возмущениям – это золотое сечение. Дело в том, что рациональная аппроксимация золотого сечения с некоторой определенной точностью требует наибольших знаменателей $Q$. Это свойство золотого сечения находит отражение и в дереве Фарея: на каждом уровне $n$ двумя дробями с наибольшими знаменателями являются $F_{n-1} / F_{n+1}$ и $F_{n} / F_{n+1}$, которые при $n \rightarrow \infty$ стремятся, соответственно, к $\gamma^{2}=$ $=0,382 \ldots$ и $\gamma=0,618 \ldots$ (И наоборот, дроби с наименьшими знаменателями $Q$ на некотором данном уровне дерева Фарея принадлежат гармоническим рядам $1 / Q$ и $1-1 / Q$.)

Еще один способ продемонстрировать уникальное положение золотого сечения среди иррациональных чисел основан на теории рациональной аппроксимации, составляющей важную часть теории чисел. Чтобы получить хорошую рациональную аппроксимацию, иррациональное число $w$ необходимо разложить в непрерывную дробь и оборвать разложение на $n$-м члене, что приводит к рациональному числу $\left[a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right]=p_{n} / q_{n}$. Вообще говоря, такого рода рациональная аппроксимация иррационального числа $w$ будет наилучшей при данном максимальном знаменателе $q_{n}$. Например, для $w=1 / \pi=$ $=[3,7,15,1,293, \ldots]$ и $n=2$ мы получаем $p_{n} / q_{n}=7 / 22$, и как бы вы ни старались, вы не найдете лучшего приближения к $1 / \pi$ со знаменателем, меньшим 22 .

Даже при той оптимальной аппроксимации, которую дают непрерывные дроби, погрешности
\[
\left|\gamma-\frac{p_{n}}{q_{n}}\right|
\]

для золотого сечения $\gamma$ превышают $c / q_{n}^{2}$ (где $c$ – постоянная, меньшая $1 / \sqrt{5}$, но бесконечно близкая к нему) при всех значениях $n$, больших некоторого $n_{0}$. Сказанное везно только для золотого сечения $\gamma$ и «благородных чисел» (определяемых как иррациональные числа, разложения которых в непрерывные дроби заканчиваются только единицами). Таким образом, согласно этому точному определению, золотое сечение (равно как и благородные числа) отстоит от рациональных чисел дальше, чем любое другое иррациональное число. Поэтому не вызывает
особого удивления тот факт, что золотое сечение играет исключительно важную роль в проблемах синхронизации.

Рис. 3. Визуальная интерпретация золотого угла. (Печатается по [212] с любезного разрешения Т. Грамсса.)

Взглянув на рис. 3, мы сможем составить визуальное представление о золотом сечении. Перед вами построенное с помощью компьютера изображение «подсолнечника», использующее в качестве углового приращения при размещении ( $r_{n}, \phi_{n}$ ) семян, где
\[
\left(r_{n}, \phi_{n}\right)=\left(c r_{n-1}, \phi_{n-1}+\Delta \phi\right),
\]

шаг, равный золотому углу $\Delta \phi=360^{\circ} \gamma \approx 225,5^{\circ}$. При таком построении получается довольно реалистичная картина расположения семян подсолнечника (левая часть рис. 3) [212]. Но если выбрать в качестве приращения угол $\Delta \phi=222,4^{\circ}$, который всего лишь на $0,04 \%$ отличается от золотого угла, то человеческий глаз отчетливо различит отдельные спирали (правая часть рис. 3) – феномен психовизуальной синхронизации!

Путь к хаосу через золотое сечение
Для критического отображения окружности
\[
\theta_{n+1}=\theta_{n}+\Omega-\frac{1}{2 \pi} \sin \left(2 \pi \theta_{n}\right)
\]

последовательность синхронизирующих отношений частот $P / Q$, совпадающая с последовательностью отношений соседних чисел Фибоначчи $F_{n-1} / F_{n}=[1,1, \ldots, 1]$, представляет собой во многих смыслах наиболее интересный путь к апериодическому поведению переменной $\theta_{n}$ и детерминированному хаосу. Прл переходе к хаотическому движению эти отношения частот (и эквивалентные им, например, $F_{n-2} / F_{n}=$ $=[2,1,1, \ldots, 1]$ ) обычно оказываются последними, не затронутыми возрастающей степенью нелинейной связи. Под хаотическим здесь, как и всегда, подразумевается то, что первоначально близкие значения $\theta$ в процессе эволюции системы во времени экспоненциально расходятся, утрачивая какую бы то ни было предсказуемость.

Отношения $F_{n-1} / F_{n}$ и $F_{n-2} / F_{n}$ лежат на зигзагообразной линии в структуре дерева Фарея (см. предыдущий раздел), стремясь к золотому сечению $\gamma$ или его квадрату $1-\gamma=\gamma^{2}$, соответственно. Каждая из дробей является медиантой двух предшествующих. Например, последовательность дробей $F_{n-2} / F_{n}$, начинающаяся с рациональных чисел $0 / 1$ и $1 / 2$, имеет вид $1 / 3,2 / 5,3 / 8,5 / 13,8 / 21, \ldots$ В записи соответствующих непрерывных дробей, начиная с $1 / 2$, с каждым новым членом добавляется единица: $[2],[2,1],[2,1,1],[2,1,1,1],[2,1,1,1,1]$ и т. д., внлоть до $[2,(1)]=\gamma^{2}$.

Значение параметра $\Omega$, который задает реальное число вращения, равное отношению частот $F_{n-2} / F_{n}$, должно быть определено численно. Простая программа для калькулятора, позволяющая подогнать $\Omega$ с таким расчетом, чтобы при $\theta_{0}=0$ выполнялось равенство $\theta_{F_{n}}=F_{n-2}$, дает следующие приближенные значения параметра $\Omega$ :
\[
\begin{array}{l}
\Omega\left(\frac{1}{2}\right)=0,5 \\
\Omega\left(\frac{1}{3}\right)=0,3516697 \\
\Omega\left(\frac{2}{5}\right)=0,4074762 \\
\Omega\left(\frac{3}{8}\right)=0,3882635 \\
\Omega\left(\frac{5}{13}\right)=0,3951174 \\
\Omega\left(\frac{8}{21}\right)=0,3927092 \\
\Omega\left(\frac{13}{34}\right)=0,3935608
\end{array}
\]

и т.д., которые сходятся к $\Omega_{\infty} \approx 0,3933377$.

Представленные выше значения приводят к сверхустойчивым орбитам, так как итерации $\theta_{n}$ включают в себя нулевое значение, при котором производная критического отображения окружности обращается в нуль. Следовательно, эти значения $\Omega$ соответствуют сверхустойчивым значениям $R_{n}$ квадратичного отображения, а $\Omega_{\infty}$ соответствует $R_{\infty}$.

Существует ли здесь универсальная постоянная, аналогичная постоянной Фейгенбаума, которая характеризовала бы скорость сходимости значения параметра $\Omega_{n}=\Omega\left(F_{n} / F_{n-1}\right)$ к $\Omega_{\infty}$ при $n \rightarrow \infty$ ? Peзультаты расчетов позволяют надеяться, что существует, и что значения разности между последовательными значениями $\Omega_{n}$ уменьшаются асимптотически с коэффициентом $\delta$ :
\[
\frac{\Omega_{n-1}-\Omega_{n}}{\Omega_{n}-\Omega_{n+1}} \rightarrow \delta,
\]

где $\delta=-2,8336 \ldots$ (эта величина, таким образом, соответствует постоянной Фейгенбаума $4,6692 \ldots$ ). Отрицательное значение $\delta$ означает, что знаки последовательных разностей чередуются.

Итерации переменной $\theta_{n}$ демонстрируют и другие проявления самоподобного скейлинга. Например, при $\Omega=\Omega\left(F_{n-2} / F_{n}\right)$ значения разности $\theta_{F_{n-1}}-F_{n-3}$ сходятся к нулю в асимптотически геометрической прогрессии:
\[
\theta_{F_{n-1}}-F_{n-3} \approx \alpha^{n},
\]

где $\alpha=-1,288575 \ldots$, что соответствует коэффициенту подобия $-2,5029 \ldots$ для итерируемой переменной квадратичного отображения.

Обе постоянные $\alpha$ и $\delta$ универсальны для отображений, содержащих кубическую точку перегиба с горизонтальной касательной. Это следует из теории ренорм-групп для перехода таких отображений к хаосу через золотое сечение. Функциональное уравнение функции неподвижных точек для перенормированного кубического отображения имеет вид
\[
f(x)=\alpha f\left(\alpha \tilde{J}\left(x / \alpha^{2}\right)\right) .
\]
(Соответствующее функциональное уравнение для перехода квадратичного отображения к хаосу через удвоение периода выглядит очень похоже: $g(x)=\alpha g(g(x / \alpha))$, см. с. 355 . $)$

Оба этих прототипических перехода к хаосу сходны еще в одном в их символической динамике. При $\Omega=\Omega\left(F_{n-2} / F_{n}\right)$ и $K=0$
\[
\theta_{n}=\theta_{0}+n \frac{F_{n-2}}{F_{n}} .
\]

Рассмотрим $\theta_{n} \bmod 1$ в интервале $(-0,5 ; 0,5]$ и будем записывать символ $L$ при $\theta_{n}<0, C$ при $\theta_{n}=0$ и $R$ при $\theta_{n}>0$. Тогда, положив $\theta_{0}=0$, мы получим при $n \rightarrow \infty$ следующую символическую динамику:
CRLRRLRLRRLRRL…

Если не считать начального $C$, эта последовательность представляет собой не что иное, как хорошо знакомую нам кроличью последовательность, в которой единица заменена символом $R$, а нуль – символом $L$. При $K=1$ истинные значения итераций отличаются от значений при $K=0$, но символические динамики задаются той же самой последовательностью.

Как нам стало известно из обеуждения квазикристаллов в гл. 13, эта последовательность может быть построена с помощью отображения $0 \rightarrow 1,1 \rightarrow 10$, или, в наших теперешних обозначениях, $L \rightarrow R$, $R \rightarrow R L$. И снова мы можем наблюдать значительное сходство с переходом к хаосу через удвоение периода, символические динамики для которого порождаются отображением $L \rightarrow R R, R \rightarrow L R$. Более того, оба перехода к хаосу – и через золотое сечение, и через удвоение периода – рассматриваются в рамках единой теории ренорм-групп [202].

При конечных $n$ символическая динамика может быть получена из формулы для положений спинов Изинга (см. с. 412-414). Например, для реального числа вращения $P / Q=3 / 8$ положения символа $L$ определяются формулой (2) для направленных вниз спинов с $1-w=3 / 8$, а именно $2,5,7$. Значит, символическая динамика сверхустойчивой орбиты с отношением частот $3 / 8$ имеет вид $C R L R R L R L-$ начальный восьмичленный отрезок бесконечной последовательности.

При числе вращения $P / Q=2 / 5$ символическая динамика, вычисленная по вышеприведенному алгоритму, имеет вид $C R L R L$, причем ее последний символ отличается от соответствующего символа бесконечной последовательности. Вообще, при $Q=F_{2 k+1}$ на последнем месте стоит $L$, а не $R$, как на соответствующем месте бесконечной последовательности. Однако эта небольшая неувязка вызвана не внешними, а внутренними причинами. От нее нетрудно избавиться, если рассматривать $\theta_{n} \bmod 1$ не в интервале $(-0,5 ; 0,5)$, а в интервале, слегка сдвинутом, т.е. $(-x, 1-x)$, где $x \approx 0,4461583$ – решение трансцендентного уравнения $x=\Omega_{\infty}+(\sin 2 \pi x) / 2 \pi$.

Апериодические итерации $\theta_{n}$ критического отображения окружности при реальном числе вращения, равном золотому сечению $\gamma$, образуют мультифрактал со спектром сингулярностей $f(\alpha)$, представ-

Рис. 4. Мультифрактальный спектр критического отображения окружности при числе вращения, равном золотому сечению [121].

ленном на рис. 4. Такой же спектр получается при всех эквивалентных золотому сечению числах, т.е. при тех иррациональных числах, представления которых в виде непрерывных дробей завершаются только единицами, – так называемых благородных числах (см. Приложение Б). Этот спектр был вычислен д.я периодической орбиты с длиной периода $Q=2584=F_{18}$. Расстояния $r_{k}=\theta_{k+F_{17}}-\theta_{k} \bmod 1$ были взяты за масштаб длины мультифрактала, а параметр $p_{k}$ был выбран равным $1 / 2854$. Размерность $D_{-\infty}$ для наиболее разреженной области мультифрактала была вычислена ранее Шенкером по упоминавшемуся выше показателю скейлинга $\alpha=-1,288575 \ldots$ и оказалась равной
\[
D_{-\infty}=\frac{\ln \gamma}{\ln (-1 / \alpha)} \approx 1,898 .
\]

Наиболее плотная область мультифрактала характеризуется показателем $\alpha^{3}$, что дает наименьшую размерность $D_{\infty}=D_{-\infty} / 3 \approx 0,6327[240]$.

Некоторые из приложений, связанных с пространственной и временной синхронизацией и хаосом, частично освещены в следующих работах: акустика – [141], динамика солнечной системы – $[138,278,11]$, физическая химия – [265], астрофизика – [100], твердотельная электроника – $[166,26,92,38]$, кардиология – [34], турбулентность $[121,69]$ и нелинейные механические осцилляторы – $[3,181]$.