Размерность Хаусдорфа при неравных остатках
Приводимое ниже доказательство было предложено Х. В. Штрубе.
Пусть $I_{k} \subset[0,1]$ — интервалы генератора канторова множества $F$, а $s_{k}$ — их длины. (В исходном «троичном» канторовом множестве $I_{1}=[0,1 / 3], I_{2}=[2 / 3,1]$ и $s_{1}=s_{2}=1 / 3$.) Обозначим через $F_{k}$ части множества $F$, лежащие в $I_{k}$ :
\[
F_{k}=F \cap I_{k} .
\]

Пусть $N(r)$ и $N_{k}(r)$ — наименьшие числа интервалов радиуса $r$, покрывающих, соответственно, $F$ и $F_{k}$. Кроме того, пусть $L$ — длина наименьшего зазора между $I_{k}$. При $2 r<L$ имеем:
\[
N(r)=\sum_{k} N_{k}(r)
\]

или
\[
\sum_{k} \frac{N_{k}(r)}{N(r)}=1 .
\]

Так как $F_{k}$ — множество, подобное множеству $F$ с коэффициентом подобия $s_{k}$, справедливо соотношение $N_{k}\left(s_{k} r\right)=N(r)$, или
\[
N_{k}(r)=N\left(\frac{r}{s_{k}}\right) .
\]

Следовательно, поскольку размерность Хаусдорфа $D$ является в то же время размерностью подобия (т.е. $N(r) \sim r^{-D}$ ), при $r \rightarrow 0$ выполняется соотношение
\[
\frac{N_{k}(r)}{N(r)} \rightarrow s_{k}^{D}
\]

Подставляя его в соотношение (3), получаем обобщенный результат
\[
\sum_{k} s_{k}^{D}=1
\]

для размерности Хаусдорфа $D$ канторова множества, генератор которого состоит из интервалов произвольной длины $s_{k}$.

Благородные и почти благородные числа

Благородными по определению называются иррациональные числа $
u$, разложения которых в непрерывные дроби завершаются только единицами. При $0<
u<1$ имеем:
\[

u=\left[a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n},(1)\right],
\]

где единица в скобках означает бесконечную последовательность единиц.
С помощью золотого сечения
\[
\gamma=[(1)]=0,618 \ldots
\]

благородные числа могут быть представлены в виде «эквивалентных чисел» [97]:
\[

u=\frac{A_{n}+\gamma A_{n-1}}{B_{n}+\gamma B_{n-1}}
\]

где $A_{k}$ и $B_{k}$ — соответственно, числитель и знаменатель дроби, представляющей собой $k$-е приближение («сходящееся») дроби $\left[a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right]$.

Например, простое благородное число, удовлетворяющее определению (7), при $n=2$ с $a_{1}=1$ и $a_{2}=2$ есть число $
u=[1,2, \overline{1}]=0,7236 \ldots$ Так как аппроксимирующие дроби его непериодического начала $[1,2]$ равны $A_{1} / B_{1}=1 / 1$ и $A_{2} / B_{2}=2 / 3$, число $
u$, согласно формуле (9), можно также представить в виде
\[

u=\frac{2+\gamma}{3+\gamma} .
\]

В общем случае, поскольку $\gamma=(\sqrt{5}-1) / 2$, благородные числа образуют подмножество поля $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$.

Почти благородные числа я определил как все вещественные $\widetilde{
u}(0<\widetilde{
u}<1)$, разложение которых в непрерывную дробь периодично с длиной периода $P$, причем период состоит из ( $P-1$ ) единиц, за которыми следует число $n>1$ :
\[
\widetilde{
u}=[(1,1, \ldots, 1, n)], \text { длина периода равна } P,
\]

где скобки означают периодическое повторение заключенных внутри чисел. Примером простого почти благородного числа может служить число $[(1,2)]=\sqrt{3}-1$.

Чтобы узнать, какие числа $\widetilde{
u}$ имеют разложения в непрерывную дробь вида (11), запишем $\widetilde{
u}$ следующим образом:
\[
\widetilde{
u}=\left[1,1, \ldots, 1, n, \frac{1}{\widetilde{
u}}\right]
\]

где последнее число $1 / \widetilde{
u}$ следует рассматривать как обычный член разложения в непрерывную дробь, хотя оно и не является целым. Например,
\[
\widetilde{
u}=[(1,2)]=\left[1,2, \frac{1}{\widetilde{
u}}\right]=\frac{1}{1+1(1 / 2+\widetilde{
u})} .
\]

Это квадратное уравнение относительно $\widetilde{
u}$ имеет положительное решение $\widetilde{
u}=\sqrt{3}-1$.
Вычисляя значение $\widetilde{
u}$ по формуле (12), получаем
\[
111 \ldots 1
\]
\[
n
\]
\[
1 / \widetilde{
u}
\]
$10112 \ldots F_{P-2} F_{P-1} \quad n F_{P-1}+F_{P-2} \quad\left(n F_{P-1}+F_{P-2}\right) \widetilde{
u}^{-1} F_{P-1}$
$01 \quad 123 \ldots F_{P-1} F_{P} \quad n F_{P}+F_{P-1} \quad\left(n F_{P}+F_{P-1}\right) \widetilde{
u}^{-1} F_{P}$
где $F_{n}$ — числа Фибоначчи [230]. Это позволяет нам записать следующее квадратное уравнение для $\widetilde{
u}$ :
\[
\widetilde{
u}=\frac{n F_{P-1}+F_{P-2}+\widetilde{
u} F_{P-1}}{n F_{P}+F_{P-1}+\widetilde{
u} F_{P}},
\]

допускающее решение
\[
\widetilde{
u}=\frac{n}{2}\left(\sqrt{1+4 \frac{n F_{P-1}+F_{P-2}}{n^{2} F_{P}}}-1\right) .
\]

Для частного случая $n=2$ находим:
\[
\widetilde{
u}=\sqrt{\frac{F_{P}+2 F_{P-1}+F_{P-2}}{F_{P}}}-1 .
\]

Применив рекуррентные соотношения $F_{P}+F_{P-1}=F_{P+1}, F_{P-1}+$ $+F_{P-2}=F_{P}$ и $F_{P}+F_{P+1}=F_{P+2}$, получим следующий окончательный результат:
\[
\widetilde{
u}=\sqrt{\frac{F_{P+2}}{F_{P}}}-1 .
\]

Например, при $P=3$ из формулы (17) находим число $\widetilde{
u}=\sqrt{5 / 2}-1$, которое и в самом деле допускает разложение в непрерывную дробь с длиной периода 3 , причем период завершается числом $2: \sqrt{5 / 2}-1=$ $=[(1,1,2)]$.

Асимптотически при $P \rightarrow \infty$ и любом фиксированном $n$ наши почти благородные числа стремнтся к золотому сечению $\gamma=$ $=(\sqrt{5}-1) \approx 0,61803$. Например, при $n=2$ и $P=10$ получаем почти благородное число $\widetilde{
u} \approx 0,61808$. Согласно формуле (16) или (17), последовательные значения $\widetilde{
u}$ при $P=1,2,3, \ldots$ составляют по существу приближение к золотому сечению через иррациональные (квадратичные) числа.

Возможная последовательность для кубических иррациональных чисел имеет вид
\[
x_{n}=\left(\frac{F_{n}}{F_{n+k}}\right)^{1 / k},
\]

где $k=3$ (при $k>3$ получим иррациональные числа четвертой и более высоких степеней).