Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Размерность Хаусдорфа при неравных остатках Пусть $N(r)$ и $N_{k}(r)$ – наименьшие числа интервалов радиуса $r$, покрывающих, соответственно, $F$ и $F_{k}$. Кроме того, пусть $L$ – длина наименьшего зазора между $I_{k}$. При $2 r<L$ имеем: или Так как $F_{k}$ – множество, подобное множеству $F$ с коэффициентом подобия $s_{k}$, справедливо соотношение $N_{k}\left(s_{k} r\right)=N(r)$, или Следовательно, поскольку размерность Хаусдорфа $D$ является в то же время размерностью подобия (т.е. $N(r) \sim r^{-D}$ ), при $r \rightarrow 0$ выполняется соотношение Подставляя его в соотношение (3), получаем обобщенный результат для размерности Хаусдорфа $D$ канторова множества, генератор которого состоит из интервалов произвольной длины $s_{k}$. Благородные и почти благородные числа Благородными по определению называются иррациональные числа $ u=\left[a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n},(1)\right], где единица в скобках означает бесконечную последовательность единиц. благородные числа могут быть представлены в виде «эквивалентных чисел» [97]: u=\frac{A_{n}+\gamma A_{n-1}}{B_{n}+\gamma B_{n-1}} где $A_{k}$ и $B_{k}$ – соответственно, числитель и знаменатель дроби, представляющей собой $k$-е приближение («сходящееся») дроби $\left[a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right]$. Например, простое благородное число, удовлетворяющее определению (7), при $n=2$ с $a_{1}=1$ и $a_{2}=2$ есть число $ u=\frac{2+\gamma}{3+\gamma} . В общем случае, поскольку $\gamma=(\sqrt{5}-1) / 2$, благородные числа образуют подмножество поля $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$. Почти благородные числа я определил как все вещественные $\widetilde{ где скобки означают периодическое повторение заключенных внутри чисел. Примером простого почти благородного числа может служить число $[(1,2)]=\sqrt{3}-1$. Чтобы узнать, какие числа $\widetilde{ где последнее число $1 / \widetilde{ Это квадратное уравнение относительно $\widetilde{ допускающее решение Для частного случая $n=2$ находим: Применив рекуррентные соотношения $F_{P}+F_{P-1}=F_{P+1}, F_{P-1}+$ $+F_{P-2}=F_{P}$ и $F_{P}+F_{P+1}=F_{P+2}$, получим следующий окончательный результат: Например, при $P=3$ из формулы (17) находим число $\widetilde{ Асимптотически при $P \rightarrow \infty$ и любом фиксированном $n$ наши почти благородные числа стремнтся к золотому сечению $\gamma=$ $=(\sqrt{5}-1) \approx 0,61803$. Например, при $n=2$ и $P=10$ получаем почти благородное число $\widetilde{ Возможная последовательность для кубических иррациональных чисел имеет вид где $k=3$ (при $k>3$ получим иррациональные числа четвертой и более высоких степеней).
|
1 |
Оглавление
|