Является ли использование лишь перенормируемых взаимодействий попыткой природы что-то нам сообщить?
ХАЙНЦ ПАГЕЛЬС
Понятия перенормировки и самоподобия тесно взаимосвязаны. Более того, перенормировка по праву может считаться одним из наиболее плодотворных применений самоподобия. В физике теории ренорм-групп позволили пролить свет на нелинейную динамику и загадки фазовых переходов в самых различных областях — от низкотемпературных процессов до ферромагнетизма, спиновых стекол и самоорганизации [93].

Откуда берутся загадочные дробные показатели, описывающие поведение процессов вблизи критических точек, и почему эти показатели так часто совпадают в ситуациях, казалось бы, весьма далеких друг от друга? И что же кроется за малыми целыми числами, в которых они так нуждаются? На многие из подобных вопросов за последние два десятилетия были найдены отьеты благодаря работам Лео Каданова, Майкла Фишера и, в особенности, Кеннета Уилсона, удостоенного за свои исследования Нобелевской премии по физике. Среди наиболее впечатляющих фазовых переходов, получивших исчерпывающее объяснение, можно назвать критическую опалесценцию, при которой прозрачная среда в критической точке становится оптически непрозрачной из-за так называемой «мягкой моды», рассеивающей свет наподобие густого дыма в накуренном помещении.

Мы лишь бегло коснемся упомянутой темы, не теряя, однако, надежды на то, что разбросанные ниже редкие капли окажутся в состоянии передать божественный букет.

Марковский процесс первого порядка
Марковским процессом называется стохастический процесс, в котором настоящее зависит от прошлого только на протяжении конечного числа поколений. В марковском процессе первого порядка часть прошлого, влияющая на настоящее, ограничена одним предыдущим поколением: настоящее полностью определяется непосредственно предшествующим ему прошлым.

Такие процессы часто представляют с помощью диаграмм состояний (рис. 1) с различными вероятностями перехода. Рассмотрим, например, простой марковский источник первого порядка, изображенный на рис. 1. Если последним символом, порожденным источником, был +1 , то мы находимся в левом состоянии (помеченном знаком + ), а $p$ есть вероятность порождения еще одного знака + . Этому событию соответствует искривленная стрелка, начинающаяся и заканчивающаяся в левом состоянии.

Рис. 1. Марковский процесс первого порядка с двумя состояниями (+ и -) и четырьмя вероятностями перехода.

Источник может с вероятностью $1-p$ породить символ -1 и тем самым скачкообразно перейти в прявое состояние, помеченное знаком -. В этом состоянии источник с вероятностью $q$ порождает еще один знак -1 и, следовательно, остается в правом состоянии, или же с вероятностью $1-q$ порождает символ +1 и скачком возвращается в левое состояние.
При $p=q$ энтропия $H_{M}$ такого марковского источника имеет вид $H_{M}=-p \log _{2} p-(1-p) \log _{2}(1-p) \quad$ (бит на выходной символ).

Как выясняется, она совпадает с энтропией $H(p)$ двоичного источника без памяти с вероятностями $p$ и $1-p$ для двух возможных символов на выходе. В этом совпадении легко убедиться, моделируя марковский источник первого порядка с $p=q$ в виде источника нулевого порядка (т.е. источника без памяти), который изменяет полярность выходного сигнала (т.е. заменяет + на — или — на + ) с вероятностью $1-p$ и не изменяет полярность с вероятностью $p$. Выходные символы от обоих источников могут быть обратимо преобразованы друг в друга (не считая общего изменения знака) и поэтому должны обладать одинаковой энтропией.

Самоподобные и несамоподобные марковские процессы

При $p=q$ изображенный на рис. 1 марковский источник порождает символы +1 или -1 с равной вероятностью. При $p=1 / 2$ последовательные символы на выходе независимы: наш автомат превращается в «беспамятного» бросателя «честной» монеты ${ }^{1}$. Выходная последовательность символов может служить примером статистически самоподобного процесса: вычеркните каждый второй символ, и вы получите усеченную последовательность, статистически неотличимую от исходной, потому что она снова состоит из независимых символов +1 и -1 , каждый из которых встречается с вероятностью $1 / 2$.

Однако при $p
eq 1 / 2$ самоподобие нарушается. Соседние выборки коррелированы, и когда мы вычеркиваем часть символов, корреляция между остальными символами ослабевает.

Более того, взглянув еще раз на рис. 1 , мы обнаружим, что при $p=$ $=q>1 / 2$ вероятность появления после любого данного символа такого же символа выше, чем вероятность появления противоположного. При $p=q<1 / 2$ возникает обратная ситуация: символы предпочитают чередоваться.

При $p=q$ корреляция $C_{m}$ между двумя символами $s_{n}$ и $s_{n+m}$, порождаемыми изображенным на рис. 1 источником, определяется выражением
\[
C_{m}=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} s_{n} s_{n+m}
\]

Так как наш марковский источник является стационарным и эргодическим при $0
eq p
eq 1$, усреднение по «времени» в соотношении (1) можно заменить средним ожиданием по ансамблю, которое мы обозначим угловыми скобками:
\[
C_{m}=\left\langle s_{n} s_{n+m}\right\rangle .
\]
${ }^{1} \mathrm{He}$ путать с забывчивым, но честным бросателем монеты (не обязательно «честной»).

Для $C_{1}$, усредняя по четырем раз.ичным возможностям $(++,+-$, -+, —), получаем:
\[
C_{1}=\frac{1}{2}[p-(1-p)-(1-p)+p]=2 p-1 .
\]

При $p=1 / 2$, как и следовало ожидать, $C_{1}=0$. Заметим, что $C_{1}<0$ при $p<1 / 2$.

Запишем типичную «случайную: последовательность, порожденную вашим покорным слугой, выступающим в роли закоренелого стохастического генератора (не используя никаких механических или электронных устройств):
\[
++-+—+-+—+-++++-.
\]

По случайному совпадению эта последовательность содержит равное число знаков + и — . Выборочная корреляция равна $-3 / 19$, что позволяет дать оценку параметра вероятности $p=8 / 19 \approx 0,42$. Так как я намеревался построить последовательность с $p=1 / 2$, можно заключить, что я «не дотянул» до намеченной цели около $16 \%$ — типичная человеческая ошибка. Пытаясь генерировать независимые двоичные события, большинство людей-генераторов случайных чисел ведут себя как марковские источники с $p<1 / 2$. Людям очень трудно быть истинно случайными — они слишком часто изменяют знаки (еще один типичный недостаток; Клод Шеннон весьма остроумно использовал его в своей «угадывающей машине» [237], которая описана на с. 205-206 нашей книги).

Скейлинг символов, порожденных марковским источником

Поскольку в марковском процессе первого порядка настоящее полностью определяется непосредственнс предшествующим прошлым, коэффициенты корреляции можно получить из соотношения
\[
C_{m}=C_{1}^{m}=(2 p-1)^{m}
\]

или, если ввести новый параметр $\beta$, определяемый как
\[
e^{-\beta}=2 p-1 \quad \text { при } \quad p \geqslant \frac{1}{2},
\]

из соотношения
\[
C_{m}=e^{-\beta m} .
\]

Вычеркнем каждый второй символ из последовательности, порожденной нашим марковским источником. Полученную в результате последовательность можно интерпретировать как порожденную другим марковским источником с другим параметром $p$ (при $p
eq 1 / 2$ ). Коэффициент корреляции $C_{m}^{(2)}$ усеченного процесса равен квадрату коэффициента корреляции исходного процесса:
\[
C_{m}^{(2)}=C_{2 m}=C_{m}^{2}=e^{-2 \beta m} .
\]

Мы видим, что наш параметр $\beta$ удвоился. Это означает (см. (1)), что вероятность нового перехода изменилась с $p$ на $p^{(2)}$, где $p^{(2)}$ определяется из соотношения $2 p^{(2)}-1=(2 p-1)^{2}$, или
\[
p^{(2)}=2 p^{2}-2 p+1 .
\]

Упомянутое выше значение $p=8 / 19 \approx 0,42$ изменяется в этом случае на $p^{(2)} \approx 0,51$. Если мы снова удалим каждый второй символ (т.е. каждый четвертый символ исходной последовательности), то получим $C_{m}^{(4)}=C_{4 m}=C_{m}^{4}$ и $p^{(4)}=0,5003$ (при $p=0,42$ ). По мере того, как мы будем вычеркивать все больше и больше промежуточных символов, $p^{\left(2^{n}\right)}$ при $n \rightarrow \infty$ устремится к $1 / 2$ сверху (значение $1 / 2$, как нам известно, описывает независимые символы).

Таким образом, несмотря на то, что порожденная нашим марковским источником последовательность не самоподобна (за исключением случая с $p=0,5$ или 1 при неотрицательном $C_{1}$ ), умножение индекса выходной последовательности $s_{k}$ на $r$ порождает усеченную последовательность $s_{r k}$, что эквивалентно переходу к выходной последовательности другого марковского источника с перенормированным параметром $\beta^{(r)}$, где $\beta^{(r)}=r \beta$. Следовательно, параметр $\beta$ изменяется по тому же закону, что и индекс.

Параметр $1 / \beta^{(r)}$ имеет физический смысл корреляционной длины, которая стремится к нулю при $r \rightarrow \infty$. Это еще раз подтверждает тот факт, что «вычеркивание» членов последовательности ослабляет корреляцию. В других ситуациях (как мы вскоре увидим) параметр $\beta$ может быть также идентифицирован с температурой.

Вместе с периодическими симметриями, проявляющимися в пространственных вращениях и других периодических явлениях, симметрия относительно преобразования подобия, с которой мы только что познакомились, принадлежит в настоящее время к числу наиболее важных симметрий в физике и других областях человеческой деятельности. Изобретательный голландский художник Мориц Эшер (1898-1972) в некоторых своих графических работах удачно соединил обе эти фундаментальные симметрии.

В физике перенормировка привела к ставшим ныне поистине вездесущими теориям ренорм-групп. В качестве типичного примера применения этих теорий можно привести такой: попытаемся вывести, исходя из фундаментальных принципов, критический показатель $\alpha$ удельной теплоемкости $c(T)$, скажем, вблизи критической температуры $T_{c}$. Как показывают измерения, здесь выполняется простой степенной закон типа
\[
c(T)-c\left(T_{c}\right) \approx T-\left.T_{c}\right|^{-\alpha} .
\]

Рассматривая подобные проблемы, мы всякий раз убеждаемся, что показатель $\alpha$ не зависит от конкретной ситуации, а может быть одинаковым для самых различных физических систем: воды, гелия, ксенона или любой другой жидкости вблизи критической точки жидкость-газ ${ }^{1}$. В таких случаях принято говорить, что соответствующие системы попадают в один и тот же класс универсальности, который, как правило, зависит лишь от двух безразмерных величин: размерности пространства, в котором происходит процесс, и числа степеней свободы параметра порндка.

Разумеется, большинство физических систем настолько сложны, что приходится полагаться лишь на достаточно простые модели реальности — такие, например, как одна из простых моделей спиновых систем, названная в честь известного физика Изинга, родившегося в Германии. В модели Изинга спины принимают лишь два возможных значения («вверх» и «вниз»), и обычно предполагается, что взаимодействуют между собой только соседние спины («связь между ближайшими соседями»).

Марковский источник первого порядка, рассматриваемый нами в этой главе, соответствует одномерной модели Изинга. В этой модели Изинга существуют две «критические температуры»: $T_{c}=0$, при которой все спины направлены в одну сторону (что соответствует полностью коррелированному случаю в марковской модели, $\beta=0$ ), и $T_{c}=\infty$, при которой все спины ориентированы совершенно беспорядочно (что соответствует случаю $\beta=\infty$ ).
${ }^{1}$ При тщательно контролируемых условиях можно довести жидкость и до состонний за критической точкой, получив в результате надкритическую жидкость. Такие жидкости находят многочисленные полезные применения. Например, надкритическая вода может быть использована для экстракции кофеина из зерен кофе, не изменяя его вкуса (в отличие от химических растворителей).

компьютерное моделирование трехмерной модели Изинга дает следующее соотношение для среднего спонтанного намагничивания:
\[
\bar{M} \sim\left(T_{c}-T\right)^{\beta} \text { при } T<T_{c},
\]

где $\beta=0,325$. Такой же показатель получается для всех трехмерных систем с только одной степенью свободы параметра порядка (одно из двух возможных направлений спина в модели Изинга).

Перенормировка и иерархические решетки
Для того, чтобы можно было применить перенормировку к атомной решетке, эта решетка должна быть подобна себе в том смысле, в каком самоподобны снежинки фон Коха и другие фракталы. Чтобы построить решетки, обладающие таким свойством, необходимо начать с инициатора — например, с двух спиновых узлов ( $k=1$ ) — и генератора $(k=2)$ (рис. 2A). Следующая итерация порождает уже «решетку» ( $k=3$ на рисунке). Такие самоподобные решетки в данном контексте называются иерархическими $[48,194,195]$.

В случае антиферромагнитной решетки спины на концах инициатора должны быть различными (светлая и черная точки на рис. 2Б). Генератор для антиферромагнитной иерархической решетки (шестиугольник) неизбежно оказывается более сложным, чем генератор для ферромагнитной решетки (ромб).

Отсутствие таких иерархических решеток в природе не мешает физикам играть в бесконечные компьютерные игры с ними — до того это забавно! Причем, не прерывая игр, все с нетерпением ждут появления еще более быстродействующих суперкомпьютеров и параллельных процессоров, которые позволят исследовать более реалистичные модели. (В свободное от работы время эти числодробители разлагают на множители гигантские числа — такие, например, как то 100 -значное чудовище, которое попало на первую страницу «New York Times» от 12 октября 1988 года и которое удалось разложить в произведение двух простых множителей, 41-значного и 60 -значного.)

Так как иерархические решетки определены рекуррентно и обладают самоподобием, неудивительно, что их можно охарактеризовать фрактальной размерностью. Однако надежды на универсальность в данном случае не сбылись: оказалось, что можно построить иерархические решетки с одинаковыми связностями и фрактальными размерностями, но с различными критическими показателями фазовых переходов [109].

Рис. 2. (А) Инициатор, генератор и следующее поколение иерархической решетки в случае ферромагнитного взаимодействия спинов. (Б) Инициатор, генератор и следующее поколение иерархической решетки для случая антиферромагнитного взаимодействия [194].

В 1952 году, в ходе одной из наиболее дерзких атак на фазовые переходы, Янг и Ли ввели комплексные числа для представления таких физических параметров, как температура и напряженность магнитного поля [282]. Позднее было установлено, что множества Жюлиа перенормировочного преобразования иерархических моделей совпадает с множествами комплексных нулей, с которыми работали Янг и Ли [192]. Аналогичные множества Жюлиа были получены для нулей функции распределения моделей Изинга на самоподобных фрактальных решетках [266]. Эти фрактальные множества Жюлиа, подобно аналогичным множествам квадратичного отображения (гл. 12), демонстрируют приятные для глаза самоподобия, вытекающие из рекуррентной процедуры построения иерархических решеток, что было по достоинству оценено в книге Пайтгена и Рихтера «Красота фракталов» [194].

Порог перколяции решетки Бете
Еще один тип иерархической решетки представляет собой решетка Бете (рис. 3), известная в теории графов как дерево Кэли. Каждый узел дерева Кэли имеет одинаковое число $z$ ветвей, или связей. Таким образом, размер окрестности растет с увеличением «диаметра» экспоненциально — в отличие от степенного роста окрестности для физических решеток, фрактальных или нет. Поэтому неудивительно, что решетка Бете в некоторых отношениях ведет себя так, будто ее размерность бесконечна. Однако, будучи иерархичєской конструкцией, бесконечная решетка Бете позволяет вычислить и порог перколяции, и вероятность $P$ того, что данный узел решетки связан с бесконечностью, причем сделать это путем замечательно простых рассуждений, основанных на соображениях подобия.

Рис. 3. Дерево Кэли (решетка Бете для физиков); каждый узел здесь имеет ровно три связи [249].

Выберем в качестве исходного произвольный узел решетки и перейдем из него в один из $z$ соседних узлов. Там мы обнаружим $z-1$ исходящих из него новых связей, или ветвей (ребер графа) (рис. 4). Каждая из этих $z-1$ ветвей ведет, в свою очередь, в какой-либо из соседних узлов, который занят с вероятностью $p$. Значит, существует в среднем $(z-1) p$ новых занятых соседних узлов, к которым можно проложить наш путь. Если это число меньше единицы, то вероятность найти связный путь некоторой заданной длины убывает экспоненциально по мере увеличения этой длины. С другой стороны, если величина $(z-1) p$ больше единицы, то существует положительная вероятность того, что мы сможем двигаться по решетке бесконечно. Следовательно, порог перколяции $p_{c}$ (для узлов или для связей) определяется соотношением
\[
p_{c}=\frac{1}{z-1}
\]

и при $z=3$ равен $1 / 2$, как в случае перколяции по узлам на треугольной решетке или перколяции по связям на квадратной решетке [249].

Рис. 4. Иерархические окрестности: ветви и подветви в решетке Бете [249].
Однако вероятность $P$ того, что некоторый заданный узел решетки связан с бесконечностью, не равна единице: существует, в конце концов, ненулевая вероятность $(1-p)^{z}$ того, что $z$ соседей данного узла не заняты. А какова вероятность $P$ того, что данный узел решетки принадлежит бесконечному кластеру при $p>p_{c}$ ? (При $p<p_{c}$ вероятность $P$, очевидно, равна нулю.)

Пусть $Q$ — вероятность того, что данный узел не связан с бесконечностью через какую-то одну исходящую из него фиксированную связь. Вероятность того, что все $z-1$ связей, исходящих из соседнего узла, не связаны с бесконечностью, равна $Q^{z-1}$. (Так как вероятности занятости узлов статистически независимы, вероятности $Q$ просто перемножаются.) Значит, $p Q^{z-1}$ — вероятность того, что соседний узел занят, но не связан с бесконечностью. С вероятностью $1-p$ соседний узел может быть вообще не занят; через такой узел с бесконечностью не свяжешься, даже если все его ветви ведут туда. В результате приходим к фундаментальному уравнению
\[
Q=1-p+p Q^{z-1},
\]

которое при $z=3$ имеет два решения:
\[
Q=1 \quad \text { и } \quad Q=\frac{1-p}{p} .
\]

Вероятность $p-P$ того, что данный узел занят, но не связан с бесконечностью, равна $p Q^{z}$. Следовательно,
\[
P=p\left(1-Q^{z}\right)
\]

или, при $z=3$,
\[
P=p\left(1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^{3}\right) .
\]

На пороге перколяции $p=p_{c}=1 / 2$ последнее соотношение дает $P=0$. Это означает, что хотя бесконечный кластер и существует, он столь же бесконечно разрежен.

На рис. 5 сплошной линией показана зависимость отношения $P / p$ от $p$ (штриховая линия — та же зависимость для треугольной решетки). Обратите внимание на резкое возрастание отношения $P / p$ для треугольной решетки. Например, при $p=0,6$ вероятность $P$ того, что данный узел решетки Бете принадлежит бесконечному кластеру, равна 0,422 , тогда как для треугольной решетки вероятность $P$ того, что занятый узел принадлежит бесконечному кластеру, практически равна единице.

Решение $Q=1$ уравнения (2) (при $Q=1$ соотношение (3) дает $P=0$ ), очевидно, соответствуег $p<p_{c}$. В самом деле, при $z=2$ (т. е. при $p_{c}=1$, согласно уравнению (1)) единственным решением уравнения ( 2 ) для $p<1$ является $Q=1$, т. е. $P=0$.

При $p$, чуть большем $p_{c}=1 / 2$, зависимость величины $P$ от $p$ выражается соотношением
\[
P=6\left(p-p_{c}\right), \quad p>p_{c} .
\]

Следовательно, критический показатель $\beta$ вероятности $P$ равен единице.

Рис. 5. Мощность $P$ бесконечной цепи как функция от концентрации $p$ в решетке Бете (сплошная линия) и в треугольной решетке (штриховая линия) [249].

Ниже порога перколяции средний размер кластера $S$ вычисляется аналогичным образом и оказывается равен [249]
\[
S=p \frac{1+p}{1-2 p}
\]

или, при $p$, чуть меньшем $p_{c}=1 / 2$,
\[
S=\frac{3}{8}\left(p_{c}-p\right)^{-1}, \quad p<p_{c} .
\]

То есть критический показатель для размера кластера равен -1 .
Уравнения (4) и (5) описывают поведение двух важных «параметров порядка» $P$ и $S$ вблизи критической точки — порога перколяции $p=p_{c}$ (для решеток Бете, $z=3$ ). Это поведение характеризуется двумя простыми степенными законами с показателями, равными, соответственно, 1 и -1. Подобное поведение часто называют алгебраическим (в отличие от логарифмического, экспоненциального или другого трансцендентного поведения).

Еще одним примером, в котором решетка Бете приводит к точно разрешимой модели, может служить локализация Андерсона — весьма важный феномен, наблюдаемый в неупорядоченных системах [10]. За свое открытие Филипп Андерсон был удостоен в 1977 г. Нобелевской премии по физике. В настоящее время неупорядоченные системы являются центральной темой и предметом интенсивных исследований в различных областях физики (среди примеров таких систем — спиновые стекла и нейронные сети).

Существуют и другие решетки, для которых показатели могут оказаться иными, однако поведение параметров порядка останется попрежнему алгебраическим. Например, вероятность $P$ для квадратной решетки изменяется как $\left(p-p_{c}\right)^{\beta}$, где $\beta$ — критический показатель, равный 5/36. Само значение этого показателя указывает на то, что его теоретический вывод отнюдь не тривиален.

Рис. 6. Случайная резистивная цепь с одной токопроводящей дорожкой (помечена стрелками) между двумя медыыми стержнями [249].

Важное приложение теория перколяции $[249,128,88]$ нашла в решении задачи о проводимости $\Sigma$ случайных резистивных цепей (рис. 6). Очевидно, что при $p<p_{c}$ проводимость равна нулю. Но и при $p>p_{c}$ она растет с увеличением $p$ весьма медленно по сравнению с ростом вероятности $P$ (т.е. вероятности того, что данный узел принадлежит бесконечному кластеру). Причина заключается в том, что большинство узлов в бесконечном кластере вблизи порога перколяции принадлежат не «магистральной линии», а болтающимся свободным концам, отнюдь не способствующим увеличению пооводимости.

Простая перенормировка
Для того чтобы перенормировка действовала, должно выполняться фундаментальное условие — самоподобие. Поскольку многие критические явления в физике обнаруживают самоподобное поведение вблизи критической точки (например, порога перколяции или температуры Кюри), такие явления допускают анализ с точки зрения ренормгруппового подхода, позволяющего определять критические показатели для корреляционной длины $\xi$ и других важных параметров.

Следуя Штауфферу [249], мы продемонстрируем метод ренормгрупп в действии, выбрав в качестве объекта треугольную решетку

(рис. 7) — структуру, критические показатели которой нам известны. Для этой решетки порог перколяции по связям $p_{c}$ в точности равен $1 / 2$, а показатель корреляционной длины $
u$ предполагается равным $4 / 3$. Теперь давайте посмотрим, удастся ли нам вывести значения $p_{c}$ и $
u$ с помощью пространственной перенормировки решетки.

Рис. 7. Пространственная перенормировка треугольной решетки. Каждый «сверхузел» (светлая крупная точка) заменяет собой три соседних узла исходной решетки, причем решетка, составленная из таких «сверхузлов», также является треугольной [249].

Для этого заменим каждые три соседних узла в треугольной решетке одним «сверхузлом» (светлые «горошины» на рис. 7). Предположим, что вероятность заполнения узлов исходной решетки равна $p$. Чему же равна соответствующая вероятность $\left(p^{\prime}\right)$ для сверхузлов? Условимся считать сверхузел занятым, если входящие в него узлы исходной решетки образуют «несущий кластер», т. е. если по крайней мере два из трех узлов заняты. Вероятность того, что заняты все три узла равна $p^{3}$, а вероятность того, что заняты ровно два узла из трех, равна $(3 / 2) p^{2}(1-p)$. Следовательно,
\[
p^{\prime}=p^{3}+3 p^{2}(1-p) .
\]

В критической точке $p=p_{c}$ должно выполняться равенство $p^{\prime}=p$. Таким образом, из уравнения (1) находим три критические точки $p_{c}=$ $=0,1 / 2$ и 1 , из которых нетривиальна только точка $p_{c}=1 / 2$. Этот результат, полученный с помощью перенормировки, в точности соответствует известному порогу перколяции по узлам $p_{c}$ для треугольной решетки. Похоже, перенормировка работает! Однако повезет ли нам так же и с показателем корреляционной длины $
u$ ?

Корреляционная длина $\xi$ вблизи критической точки определяется выражением
\[
\xi=c\left|p-p_{c}\right|^{-
u},
\]

где $c$ — константа. В перенормированной решетке
\[
\xi^{\prime}=b c\left|p^{\prime}-p_{c}\right|^{-
u},
\]

где $b$ — коэффициент подобия между исходной решеткой и сверхрешеткой. Если положить $\xi=\xi^{\prime}$, то из соотношений (2) и (3) следует, что
\[

u=\frac{\ln b}{\ln \left[\left(p^{\prime}-p_{c}\right) /\left(p-p_{c}\right)\right]} .
\]

Разлагая равенство (1) в окрестности неподвижной точки $p=p_{c}=1 / 2$, получаем
\[
p^{\prime}=p+\frac{3}{2}\left(p-p_{c}\right)+\ldots
\]

или
\[
\frac{p^{\prime}-p_{c}}{p-p_{c}}=\frac{3}{2} .
\]

При $b=3^{1 / 2}$ (см. рис. 7) из соотношения (4) находим, удерживая члены первого порядка по $\left(p-p_{c}\right)$ :
\[

u=\frac{\ln 3^{1 / 2}}{\ln (3 / 2)}=1,355,
\]

что замечательно близко к точному значению $
u=4 / 3$.
Еще один, весьма мощный способ перенормировки известен под названием конформное отображение [32]. Как и при самоподобном преобразовании, при конформном отображении сохраняются углы. Практическая полезность конформного отображения проистекает из конформной инвариантности — реальной или предполагаемой — исследуемой системы. Хорошо известный пример конформного отображения зеркальное отражение данного пространства в неподвижной сфере. На плоскости любая аналитическая функция определяет локальное конформное отображение в тех точках, где ее производная не обращается в нуль. В качестве примера конформной инвариантности в физике можно упомянуть знаменитые уравнения Максвелла; их конформная инвариантность была установлена только в 1909 году — через несколько десятилетий после того, как Максвелг. их вывел.

Неохотно завершаем мы знакомстзо с теориями ренорм-групп и фазовыми переходами и переходим к самоподобиям, порождаемым клеточными автоматами.