Блох больших кусают блошки,
Блоиек тех – малютки-крошки, Нет конца тем паразитам, Как говорят, ad infinitum.
Дж. Свият
Стихотворения, II, 651 (1733)

Мы говорим, что некоторый объект, например, геометрическая фигура, инвариантен при преобразовании подобия, или, для краткости, $c a$ моподобен, если его можно воспроизвести путем увеличения какой-то его части.

Самоподобие встречается во многих различных видах и формах. Одни из разновидностей самоподобия непрерывны, другие – дискретны. Одни сохраняют точное подобие при увеличении в $10^{n}$ раз с очень большим $n$, другие не выдерживают увеличение более чем в 10 раз. Примеры самоподобия могут встречаться на каждом шагу, а могут быть глубоко скрыты в поведении физических или биологических систем. В одних случаях самоподобие полностью детерминистично, в других носит лишь вероятностный характер. В некоторых случаях самоподобие математически точно, однако чаще всего оно встречается в реальном мире асимптотически или почти асимптотически. Двумя хорошо известными представителями от математики на нашем форуме выступают канторовы множества и функции Вейерштрасса (см. с. 142-146 и гл. 7). Броуновское движение представляет одновременно и естественные науки, и вероятностное самоподобие. А темперированный двенадцатитоновый строй Баха свидетельствует о важности самоподобия в музыке.

Хорошо известны такие примеры дискретного, пусть и ограниченного самоподобия, как китайские коробочки или русские деревянные (как правило) матрешки: внутри большой матрешки благоразум-

Самоподобие – дискретное, непрерывное, строгое и всякое другое 125 очередь – матрешка еще меньших размеров и т. д. на протяжении еще двух, трех или более «поколений». Если бы последовательность матрешек была двукратно бесконечной, т.е. бесконечной как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения размера, причем отношение размеров матрешек двух смежных «поколений» было бы постоянным, то такой набор матрешек обладал бы точным дискретным самоподобием. Разумеется, подобный набор может существовать только в нашем воображении: реальные матрешки имеют конечные размеры: они, безусловно, должны быть больше отдельных атомов и меньше всей Вселенной. (Если вы хотите увидеть зарождение самоподобия по Чарльзу Аддамсу, взгляните на рисунок из посмертно изданного альбома его работ, рис. 1).

Рис. 1. Самоподобие á la Аддамс. (Рисунок Чарльза Аддамса, (с)1987 The New Yorker Magazine, Inc.)
${ }^{1}$ В оригинале игра слов, основанная на одинаковом звучании английских слов discrete «дискретный» и discreet «благоразумный, осторожный». – Прим. перев.

Рис. 2. Длинный ряд свечей. Самоподобие, порождаемое двумя параллельными зеркалами.

Другой пример дискретного, хотя и сильно ограниченного самоподобия можно видеть на этикетках некоторых продуктов. Возьмите бутылку пива, на этикетке которой изображена эта же бутылка пива со своей собственной этикеткой, на которой изображена все та же бутылка пива.

Или взгляните на обложку «Наивной теории множеств» Пола Халмоша [95], на которой изображена обложка «Наивной теории множеств», на которой, в свою очередь, также изображена обложка «Наивной теории множеств» с изображением обложки «Наивной теории множеств», на которой уже нет очередного изображения обложки все той же книги. Разумеется, расходы на печать (не говоря уже о других ограничениях) очень быстро ставят предел такой последовательности уменьшающихся изображений, обрывая ее на первых же членах. Существует более дешевый способ получения длинной цепочки уменьшающихся изображений – встаньте между двумя почти параллельными зеркалами, вроде тех, что можно видеть в магазинах готового платья (рис. 2). Разумеется, отображения высокого порядка искажаются и становятся нечеткими, так как ни одно реальное зеркало не является абсолютно плоским (и не отражает $100 \%$ падающего на него света).

Результатом одной из ранних поныт воспроизвести самонодобие в архитектуре по праву можно считать замок Кастель-дель-Монте (рис. 3), построенный по собственному проекту императором Священной Римской империи, а также королем Сицилии, Германии и Иерусалима Фридрихом II (1194-1250), бопьшим любителем соколиной охоты, обладателем редких (по крайней мере, среди средневековых императоров) математических способностей и, наконец, безудержным строителем замков. Замок представляет собой в плане правильный восьмиугольник, в вершинах которого возведено восемь мощных башен, каждая из которых также имеет в плане форму правильного восьмиугольника. (Такие башни позволяли Фридриху II легко запускать и приманивать охотничьих соколов.)

По иронии судьбы, сам Фридрих родился в палатке, наскоро сооруженной на рыночной площади небольшого городка Иези в Итальянской Марке близ Анконы на побережье Адриатического моря. ${ }^{1}$ Фридрих, ко-
${ }^{1}$ То, что Фридрих родился в палатке на рыночной площади, было, скорее всего, устроено преднамеренно, так как его мать, нормандская королева Констанция, слишком долго не могла понести столь желанного для дома Гогенштауфенов будущего монарха. И поэтому, дабы пресечь малейшее подозрение в подмене августейшего младенца, роды должны были происходить в самом многолюдном месте и вокруг ложа не должно было быть ни двойных стен, ни двойного пола, где могла бы спря-

Рис. 3. Кастель-дель-Монте – ранняя попытка императора Фридриха II в создании самоподобия.

торый написал и собственноручно проиллюстрировал книгу о соколиной охоте [73], обладал одним из наиболее колоссальных умов своего времени (отсюда и его латинское прозвище stupor mundi ${ }^{1}$ ). Он вырос в Палермо и Апулии и говорил, и читал главным образом по-арабски, по-гречески и на латыни. Позднее он ввел в употребление (через поэзию) разговорный итальянский, volgate, на котором говорили люди при императорском дворе. Этим шагом Фридрих укрепил свои языковые связи с Италией и придал народному языку официальный статус. Фридрих также был другом Фибоначчи (Леонардо Пизанского) и исправно снабжал того алгебраическими задачами, решения которых стали неотъемлемой частью истории математики.

Музыка также изобилует примерами самоподобия. Отношение частот соседних нот хорошо темперированного строя постоянно (и равно $2^{1 / 12}$ для октавы, разделенной на 12 полутонов). Отсюда же, благодаря обратной пропорциональности между резонансной частотой и длиной трубы, происходит самоподобие групп органных труб. Менее притаться «подменная» мать. В зрелые годы Фридрих вновь посетил Иези, который он называл своим «Вифлеемом» (Фридрих родиля во время рождественских праздников).

${ }^{1}$ В вольном переводе с латинского – «повергающий мир в изумление». – Прим. перев.

Самоподобие – дискретное, непрерывное, строгое и всякое другое 129

ятна для глаз (и более опасна), но тем не менее самоподобна перспектива сближающихся железнодорожных рельсов и шпал, учащающихся по мере движения к отдаленной точке схода (см. рис. 10 на с. 139, самоподобие аналогичного типа используется для доказательства формулы суммы бесконечной геометрической последовательности).
Рис. 4. Самоподобная телевизионная антенна.
Другим примером дискретного самоподобия могут служить «логопериодические» антенны (рис. 4), покрывающие широкий спектр длин волн за большое число дискретных шагов. Заметьте, что и длины соседних диполей, и промежутки между ними изменяются с одним и тем же коэффициентом подобия. Таким образом, если не принимать во внимание концевые эффекты, логопериодические антенны принимают широкий диапазон длин волн почти с одинаковой чувствительностью и пространственным разрешением. Телевизионные антенны, украшающие наши крыши, – всего лишь бедные родственницы антенны, изображенной на рис. 4, но и они позволяют ловить множество различных каналов с одинаковым коэффициентом усиления и четкостью ${ }^{1}$.

Еще один пример широкополосных «антенн», правда, на этот раз для звуковых волн, – это основная перепонка, частотный анализатор, расположенный в нашем внутреннем ухе. Различные частоты возбуждают различные участки основной перепонки. Тем самым эта резонирующая мембрана осуществляет отображение частоты в координату точки. Чтобы охватить весь огромный диапазон частот, воспринимаемых человеческим слухом, – от 20 Гц до 20000 Гц – и избежать излишней тесноты на участках, «отведенных» под жизненно важные низкие и средние частоты, ухо должно осуществлять отображение частот в логарифмическом масштабе. И действительно, начиная примерно с 600 Гц постоянным по величине сдвигам вдоль основной перепонки соответствуют постоянные отношения частот. В диапазоне частот от 600 Гц до 20000 Гц изменения отношенин частот и сдвиги вдоль перепонки (соответствующие местам расположения резонансов) происходят с сохранением почти идеального подобия; причем коэффициент подобия составляет 5 мм сдвига на октаву.

Существует и другая, не менее основательная причина для такого логарифмического отображения частот. Суть ее заключается в том, что относительное изменение управляющих резонансом параметров (плотность, масса, жесткость) при изменении выбора точки на основной перепонке постоянно вдоль всей перепонки. Следовательно, основная перепонка ведет себя, как экспоненциальный акустический рупор, такой как, например, рупор низкочастотного громкоговорителя, минимизируя таким образом отражение акустической энергии при заданной полной длине и диапазоне частот. Должно быть, это было важным аргументом при выборе надлежащей конструкции нашего уха в ходе его эволюции и превращения в высокочувствительный акустический детектор. (Здоровое ухо почти способно детектировать броуновское движение молекул воздуха.)
${ }^{1} \mathbf{K}$ сожалению, вышеупомянутые концевзе эффекты, ограничивающие точное самоподобие, часто проявляются за счет общественных телевизионных каналов, которые занимают менее чувствительный край диапазона (таких, например, как американский канал 13 в УКВ-диапазоне).

Для физика относительно малая скорость изменения механических параметров при движении вдоль основной перепонки (и в самом деле, настолько малая, насколько это вообще возможно при данной полной длине и диапазоне частот) означаег, что он может анализировать волновое движение на основной перепонке в рамках известного приближения Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна [286]. Этот полезный метод был создан Жозефом Лиувиллем (1809-1882) и заново открыт тремя вышеназванными авторами, которые применили его в квантовой механике.

В диапазоне ниже 600 Гц отображение между местоположением на основной перепонке и собственно частотой (а не отношением частот) линейно. В противном случае пять октав диапазона ниже 600 Гц занимали бы на ней столько же места, сколько пять октав диапазона выше 600 Гц. Поскольку плотность слуховых нейронов вдоль основной перепонки приблизительно постоянна, нейронное представление высоких частот было бы существенно более бедным, чем представление низких частот.

Отклик основной перепонки обнаруживает еще одно интересное подобие, выполняющееся для всего диапазона частот: локальная скорость волн пропорциональна локальной резонансной частоте. Постоянным коэффициентом пропццинальности служит характеристическан длина, равная примерно 1 мм. Вследствие этого запаздывания акустических сигналов вдоль основной перепонки обратно пропорциональны координате точки детектирования. Благодаря такому подобию можно построить простую интегрируемую математическую модель основной перепонки [227].

Самоподобие часто присуще лерархическим структурам, таким как филогенетические деревья. Примером могут служить математические деревья Кәли (называемые в физике решетками Бете). Деревом Кэли называется граф без петель, имеющий в каждом узле одно и то же число ветвей (на рис. 5 это число равно 2). Самоподобие таких графов необязательно проявляется в их геометрическом представлении, но легко усматривается в их связности или топологии. Решетки Бете, несмотря на то, что они в высшей степени нефизичны, нередко представляют собой единственно возможные точно разрешимые модели в таких сложных ситуациях, как локализация Андерсона и перколяция (немаловажные концепции в современной физике; см. гл. 16).

Другой пример самоподобного дерева – дерево двоичного кода изображен на рис. 6. Интересно отметить, что если мы определим расстояние между двумя «листьями» (концевыми узлами) как число поколений, которое необходимо пройти вспять, чтобы вернуться к общему

Рис. 5. Художественное дерево Кэли с коэффициентом ветвления $1: 2$ [161].
предку, то порождаемое в результате пространство окажется ультраметрическим. Для филогенетических деревьев это означает, что из трех расстояний между любыми тремя существующими узлами либо равны все три расстояния, либо равны два расстояния, а третье – меньше. Иначе говоря, все треугольники в построенном пространстве либо равносторонние, либо равнобедренные с коротким основанием, что приводит к интересным следствиям для кодов Гензеля и безошибочных вычислений [230].

Если для некоторой проблемы удєется указать ультраметрическое пространство, то за ним обычно маячит иерархическая структура, которая дает ключ к лучшему ее пониманию. Такие структуры встречаются в самых различных задачах от таксономии до статистической физики и теории оптимизации. Превосходный обзор ультраметричности, написанный для математиков-любителей, можно найти в работе [209].

Логарифмическая спираль, режущие инструменты и широкополосные антенны

Замечательно простым примером самоподобного объекта, имеющего к тому же множество практических приложений, может слу-

Рис. 6. Дерево двоичного кода: самоподобная иерархическая структура.

жить логарифмическая спираль, хорошо известная из школьного курса математики. В полярных координатах $(r, \varphi)$ ее уравнение имеет вид $r(\varphi)=r_{0} \exp (k \varphi)$, где $r_{0}>0$ и $k$ – постоянные. Применяя к радиус-вектору $r$, т.е. к размеру спирали, преобразование подобия с коэффициентом $s$, получаем исходную спираль, повернутую на постоянный угол $(\ln s) / k$. Поскольку угол $\varphi$ определен только по модулю $2 \pi$, при коэффициентах подобия, равных $s=\exp (2 \pi m k)$, где $m$ – целое число, бесконечная спираль остается инвариантной, т.е. логарифмическая спираль самоподобна, причем коэффициент подобия равен $s=$ $=\exp (2 \pi|k|)$. Если пренебречь вращениями, то логарифмическая спираль оказывается самоподобной при любом вещественном коэффициенте подобия.

Из самоподобия логарифмической спирали вытекают несколько интересных следствий и полезных приложений. Например, направление касательной к спирали зависит только от угла $\varphi$ и не зависит от того, какую ветвь спирали мы рассматриваем (рис. 7). Это следует непосредственно из масштабной инвариантности логарифмической спирали, но может быть, конечно же, проверено и более окольными вычислениями. Кроме того, поскольку повернутая логарифмическая спираль подобна себе, угол $\beta$ между радиусом-вектором и касательной в любой точке должен быть одним и тем же для всей спирали. Небольшое размышление (или столь же небольшой чертеж) показывает, что $\operatorname{ctg} \beta$ должен быть равен $(d r / d \varphi) / r=d(\ln r) / d \varphi=k$. Вот в чем заключается геометрический смысл величины $k$ – это не что иное, как котангенс постоянного угла между радиус-вектором и касательной в произвольной точке логарифмической спирали. (При $k=0$ угол $\beta$ становится равным $\pi / 2$, и спираль вырождается в окружность.)
Рис. 7. Логарифмическая спираль: гладкая самоподобная кривая.
Это свойство логарифмической спирали находит одно интересное применение. Представьте себе, что вам нужно спроектировать режущий инструмент с вращающимся ножом в виде диска. Какую форму следует придать режущей кромке, чтобы угол резания был постоянным, независимым от угла вращения ножа? Правильно, форму логарифмической спирали! Поскольку периметр режущей кромки неизбежно должен быть однозначной функцией от угла вращения, при каком-то значении этого угла должен, разумеется, происходить «скачок назад» на величину $r_{0} \exp (2 \pi|k|)$.

Однако самое интересное только начинается! Как мы уже знаем, логарифмическая спираль самоподобна, причем, если пренебречь вращением, коэффициент подобия может быть произвольным. Это значит, что пока мы игнорируем вращение, логарифмическая спираль не имеem подобия по длине, вопреки впечатлению, создаваемому математической формулой спирали, $r(\varphi)=r_{0} \exp (k \varphi)$, множитель $r_{0}$ которой, по всей видимости, подразумевает наличие подобия по длине. Коэффициент $r_{0}$, однако, может при вращении просто исчезнуть, в чем нетрудно убедиться, если записать формулу в виде $r(\varphi)=\exp \left\{k\left[\varphi+\left(\ln r_{0}\right) / k\right]\right\}$, где $\left(\ln r_{0}\right) / k$ – это просто некоторый постоянный угол.

Раз уж мы обнаружили нечто не зависящее от масштаба, ему должно найтись великое множество полезных применений. Людей всегда сбивают с толку проблемы, возникающие в связи с изменением масштабов или размеров ${ }^{1}$. А вдруг нам удастся придумать обувь, независимую от масштаба – ботинки на любой размер. Какое благодеяние для человечества! (Ну хорошо, не для всего.) С чулками, пожалуй, в определенных пределах, безразмерности мы достигли: эластичные чулки подходят всем, независимо от размера ноги (или надо сказать, что не подходнт никому?).

Еще одна область, в которой весьма желательна независимость от масштаба – это проектирование приемно-передающих антенн для коммуникационных систем, которым приходится охватывать широкий диапазон длин волн; примером такой антенны может служить изображеннан на рис. 4 логоперическан антенна, самоподобнан на некотором дискретном множестве длин волн. Если бы такие антенны были столь же эффективны и в непрерьвном диапазоне длин волн! Предположим теперь, что мы используем кругополяризованные волны. Тогда поворот антенны на любой угол никак не отразится на коэффициентах усиления и направленного действия антенны. А если мы придадим антенне форму логарифмической спирали (в идеале из тонкой сверхпроводящей проволоки), то она одинаково хорошо будет работать на всех длинах волн в любом заданном диапазоне [39]. Антенны, основанные на использовании этого столь соблазнительного принципа, существуют в действительности (и похожи на конусообразные диванные пружины).

Природа также использует самоподобие логарифмической спирали. У многокамерного моллюска наути.ус (рис. 8) каждая камера представляет собой увеличенную копию предшествующей, причем для любых двух смежных камер коэффициент подобия остается постоянным. Как следствие, наутилус растет вдоль логарифмической спирали. Не только природа, но и художники вдохновляются спиралями. На цветной
${ }^{1}$ Говорят, что вечно погруженный в размышления сэр Исаак (Ньютон) приказал прорезать во входной двери два отверстия для двух своих любимцев – кошки и собаки, имевших различные размеры.

вклейке 4 показано бесконечное множество бесконечно переплетенных логарифмических спиралей всех цветов радуги.

Рис. 8. Самоподобная раковина многокамерного моллюска Nautilus имеет форму логарифмической спирали. (Фото Эдварда Уэстона, (C)Center for Creative Photography, Arizona Board of Regents.)

Логарифмическая спираль с особенным коэффициентом подобия встречается в следующей геометрической задаче. Возьмем прямоугольник со сторонами $a>b$ и отрежем от него квадрат со стороной $b$ (рис. 9). От оставшегося прямоугольника отрежем квадрат со стороной $a-b$, как показано на рис. 9. Для того чтобы построение «работало», разность $a-b$ должна быть меньше $b$, т. е. сторона $a$ должна быть меньше $2 b$. На втором этапе построения неравенство выглядит как $2 a>3 b$, а на $2 n$-м этапе условие того, что при отрезании квадрата получится прямоугольник, длинная сторона которого будет совпадать с короткой стороной предыдущего прямоугольника, принимает вид неравенства $F_{2 n-1} a>F_{2 n} b$, где $F_{k}$ – числа Фибоначчи. Аналогично должно выполняться неравенство $F_{2 n} a<F_{2 n+1} b$. Для того чтобы построение было осуществимо при произвольно больших $n$, отношение сторон $b / a$ исходного прямоугольника должно быть равно пределу отношения $F_{2 n-1} / F_{n}$ при $n \rightarrow \infty$, т. е. золотому сечению $\gamma=(\sqrt{5}-1) / 2$.

Рис. 9. Самоподобная последовательность прямоугольников, отношение сторон которых равно золотому сечению.

Результатом такого построения будет бесконечная спираль из все более мелких квадратов с коэффициентом подобия, равным золотому сечению. На рис. 9 изображена такая логарифмическая спираль с $k=-(\pi / 2) \ln \gamma$, проходящая через последовательные точки отрезания. Точка схода квадратов и начало спирали определяется общей точкой пересечения диагоналей прямоугольников.

Существует весьма очаровате.тьная связь между описанной выше «ампутацией» квадратов от прямоугольников и непрерывными дробями. Заметим, что золотое сечение можно записать в виде непрерывной дроби $1 /\left(a_{1}+1 /\left(a_{2}+\ldots\right)\right)$ или, сокращенно, $\left[a_{1}, a_{2}, \ldots\right]$, где $a_{1}=$ $=a_{2}=\ldots=1$. Отсюда, $\gamma=[1,1, \ldots]$. Предположим, что мы хотим на каждом этапе отрезать от прямоугольника по два квадрата с таким расчетом, чтобы длинная сторона оставшегося прямоугольника была равна короткой стороне предыдущего прямоугольника. Каким должно быть при этом отношение длин сторон $b / a$ начального прямоугольника (равно как и всех последующих)? Немного поэкспериментировав, вы обнаружите, что отношение $b / a$ должно быть равно числу $\sqrt{2}-1$, разложение которого в непрерывную дробь имеет вид $[2,2,2, \ldots]$. В общем случае $n$-й член $a_{n}$ в записи непрерывной дроби $b / a$ говорит нам о том, сколько квадратов необходимо отрезать на $n$-й стадии построения. Таким образом, самоподобные каскады и логарифмические спирали возникают в тех случаях, когда отношение сторон начального прямоугольника $b / a$ равно периодической непрерывной дроби с длиной периода 1 . Получающиеся при этом иррациональные числа $[n, n, \ldots](n>1)$, которые я называю серебряными сечениями, играют также определенную роль в построении квазипериодических решеток (см. гл. 14) и моделировании квазикристаллов (см. гл. 13).

Заметим кстати, что, подобно бесконечной прямой, логарифмическая спираль может служить образцом гладкого самоподобного объекта, что резко отличает ее от обычно ассоциируемых с самоподобием фрактальных объектов, таких, например, как очертания скалистых берегов, траектории броуновского движения и другие недифференцируемые функции.

Некоторые простые случаи самоподобия
Одним из простейших самоподобных объектов можно считать бесконечную в обе стороны геометрическую прогрессию, например,
\[
s_{n}=\ldots, \frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1,2,4,8, \ldots
\]

Умножив каждый член этой прогрессии на 2, получим последовательность
\[
2 s_{n}=\ldots, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1,2,4,8,16, \ldots,
\]

которая, без сомнения, является той же самой прогрессией. Множитель 2 называется коэффициентом подобия, или скейлинга. Очевидно, что вместе с числом 2 все целые степени 2 , в том числе $\frac{1}{4}, 8$ и $\frac{1}{128}$, также являются коэффициентами подобия вышеприведенной прогрессии. Условимся называть наименьший из всех этих коэффициентов подобия, превышающий 1 , примитивным коэффициентом подобия. В нашем примере 2 – это примитивный коэффициент, а 4 – нет. (Коэффициент $\frac{1}{2}$, хотя он также может порождать все остальные коэффициенты подобия, мы исключаем из числа примитивных по определению, так как он меньше 1.)

Во многих практических приложениях самоподобные последовательности односторонни, например,
\[
1, r, r^{2}, r^{3}, \ldots
\]

Геометрическое представление этой самоподобной последовательности приведено на рис. 10 , где она используется в предложенном Бенджамином Клейном и Эрлом Бивенсом [131] изящном, из разряда «посмотри и убедись», доказательстве справегливости формулы суммы геометрической прогрессии
\[
1+r+r^{2}+r^{3}+\ldots=\frac{1}{r-1} . \quad(|r|<1) .
\]

Обратите внимание на то, что два прямоугольных треугольника $A B C$ и $E D A$ подобны, так как угол $\alpha$ равен углу $\beta$. Следовательно, отношения их соответственных сторон должны быть равны. В частности, отношение сторон $D E / D A=1+r+r^{2}+r^{3}+\ldots$ должно быть равно отношению сторон $B A / B C=1 /(1-r)$. (А какую фигуру прикажете начертить для $r<0$ ?)
Рис. 10. Доказательство с помощью самоподобия [131].
Другое геометрическое доказательство соотношения (1), также основанное на использовании самоподобия и предложенное Уорреном Пейджем, представлено на рис. 11 [188]. Начав с единичного квадрата, мы отрезаем от него прямсугольник со стороной $0<q<1$. От оставшегося прямоугольника отрезаем поочередно последовательность прямоугольников, площадь каждого из которых в $1-q$ раз меньше площади предыдущего прямоугольника. Так как все эти прямоугольники вместе покрывают исходный единичный квадрат, получаем: $q+q(1-q)+q(1-q)^{2}+\ldots=1$. Полагая $1-q=r$, приходим к формуле $(1)$.
Рис. 11. Другое доказательство с помощью самоподобия [188].
Уверен, большинство читателей уже успели познакомиться с лампами с тремя режимами накаливания и вовсю пользуются тремя удобными уровнями освещения – слабым, средним и ярким. Не секрет, что в большинстве коммерческих ламп три уровня освещения реализуются с помощью всего лишь двух спиралей, потребляющих, соответственно, $x$ Вт и $y$ Вт в одиночных режимах и $(x+y)$ Вт при совместном включении. Обычно $x=50$ Вт, а $y=100$ Вт; к сожалению, при ярком режиме ( $150 \mathrm{~B}$ ) освещение оказывается не намного ярче, чем при среднем ( 100 Вт). Более оптимальным был бы вариант, при котором три мощности образовывали бы самоподобную геометрическую прогрессию, т.е. при $y>x$ отношение $(x+y) / y$ было бы равно отношению $y / x$. Решение приводит нас к золотому сечению $\gamma=(\sqrt{5}-1) / 2=0,618$. Действите.ьно, если $x / y=\gamma$, то $y /(x+y)$ также равно $\gamma$.

Аналогично в лампе с тремя спиралями можно было бы реализовать пять различных режимов, мощности которых образовали бы самоподобную последовательность при условии, что третья спираль потребляла бы мощность $z=y / \gamma^{2}$. Например, при $y=100$ Вт самоподобные значения мощностей (округленные до ближайшего целого числа Вт) составили бы последовательность $x=62 \mathrm{BT}, y=100 \mathrm{BT}, x+y=162 \mathrm{~B}$, $z=262$ Вт и $y+z=424$ Вт.

Разумеется, тому, кто читает при свете многоспиральной лампы, вряд ли есть дело до того, что мощности режимов образуют самоподобную последовательность; потребителя интересует субъективная $я р$ кость. К счастью, яркость $B$ как оункция от мощности $W$ в довольно широком диапазоне подчиняется простому степенному закону $B \sim W^{\alpha}$. Поскольку степенные законы сами самоподобны (см. гл. 4), наш выбор спиралей остается-таки верным, даже если нам требуются равные отношения яркостей.

Любопытный акустический парадокс, основанный на конечной самоподобной последовательности музыкальных нот, был придуман Роджером Шепардом [242]. Парадоксальный звук возникает при суперпозиции 12 нот, каждая из которых на октаву выше, чем ее нижняя соседка. Если за исходную принять ноту с частотой 10 Гц, то остальными 11 частотами в составном звуке будут $20,40,80,160,320,640,1280,2560$, 5120,10240 и 20480 Гц. Увеличив все 12 частот на полтона (примерно на $6 \%$ ), мы получим звук с частотными компонентами 10,$6 ; 21,2 ; \ldots$; 10489 и 21698 Гц, чуть более высокий, поскольку все частоты увеличены на полтона (он и получился на полтона выше).

Снова увеличив частоты на полтона, получим еще более высокий звук. Повторяя этот процесс, мы каждый раз будем получать все более высокий звук. Однако звук, полученный после двенадцатого увеличения частот оказывается неотличим от исходного! (Самая низкая составляющая (10 Гц) исходного звука и самая высокая составляющая (40960 Гц) конечного звука неслышимы.)

Добавляя достаточное количество неслышимых низкочастотных составляющих, Шепард смог создать последовательность звуков, высота которых возрастала неограниченно! Сейчас, имея персональный компьютер, подключенный к цифроанялоговому преобразователю, каждый

Рис. 12. Парадоксальный самоподобный сигнал. При удвоении частоты высота звука не изменяется.

может легко получить такую последовательность звуков, и я настоятельно рекомендую тем, кого это заинтересовало, испытать на себе этот таинственный парадокс нашего восприятия. На рис. 12 приведена временная диаграмма самоподобного сигнала, высота которого остается неизменной при удвоении всех частот.

Функции Вейерштрасса и музыкальный парадокс
Вечно восходящие звуки Шепарда тесно связаны с недифференцируемыми функциями, продемонстрированными Карлом Вейерштрассом (1815-1897) в качестве примеров непрерывных, но нигде не дифференцируемых функций. На первый взгляд, такие функции противоречат здравому смыслу, и в XIX веке они вызвали бурные споры. Функция Вейерштрасса определяется рядом
\[
\begin{array}{c}
w(t)=\sum_{k=1}^{\infty} \alpha^{k} \cos \left(\beta^{k} t\right), \quad \text { где } \\
\alpha-\text { вещественно }, \\
\beta-\text { нечетно. }
\end{array}
\]

Вейерштрасс показал, что при $\alpha \beta>1+3 \pi / 2$ функция $w(t)$ непрерывна, но нигде не дифференцируема, как фрактальная снежинка фон Коха или заполняющая все пространство кривая Гильберта, с которыми мы уже встречались в гл. 1. Подобно кағторовым множествам, недифференцируемые функции служат неисчерпаемым источником парадоксов, таких как последовательность вечно восходящих звуков Шепарда.

Приведем еще один пример музыкального аккорда, который построен по образцу функции Вейерштрасса и обладает следующим сверхъестественным свойством. Если записать такой аккорд на магнитофонную ленту и воспроизвести на скорости, вдвое превышающей скорость записи, то высота звука не возрастет на октаву, как можно ожидать от всякой добропорядочной записи, а станет на полтона ниже $[213,214,228]$. Как такое возможно? Построим конечную частичную сумму, аппроксимирующую функцию Вейерштрасса (множители $\alpha^{k}$, необходимые для сходимости бесконечного ряда, можно здесь опустить):
\[
w_{K}(t)=\sum_{k=1}^{K} \cos \left(\beta^{k} t\right) .
\]

Применив к временно́му измерению $t$ преобразование подобия с коэффициентом $\beta$, получим
\[
w_{K}(\beta t)=\sum_{k=1}^{K} \cos \left(\beta^{k+1} t\right)=\sum_{k=2}^{K+1} \cos \left(\beta^{k} t\right) .
\]

Иначе говоря, функция $w_{K}(\beta t)$ с точностью до концевых эффектов совпадает с функцией $w_{K}(t)$, не подвергшейся преобразованию подобия. Следовательно, функция $w_{K}(t)$ приближенно самоподобна (см. рис. 12, где $K=7$, а $\beta=2$ ). ${ }^{1}$ Очевидно, что в пределе, при $k \rightarrow \infty$, такая функция нигде не может иметь конечную ненулевую производную, поскольку под действием преобразования подобия производные изменяются.
Выберем $\beta=2^{13 / 12}$ и получим
\[
w_{K}(t)=\sum_{k} \cos \left(2^{k(13 / 12)} t\right)
\]

функция $w_{K}(t)$, таким образом, станет слышимой как звук. Частоты $2^{k(13 / 12)} / 2 \pi$ должны теперь охватывать только диапазон аудиочастот (от 10 Гц до 20000 Гц). Записав сигнал $w_{K}(t)$ на магнитную ленту
${ }^{1}$ Интересно отметить, что концепция самоподобия вошла в математику в двух независимых точках – через канторовы множества и функции Вейерштрасса примерно в одно и то же время и по схожим причинам: дабы пролить свет на опорные столпы математики, числа и функции. Хотя еще раньше Јейбниц использовал понятие самоподобия («миры внутри миров») в своем трактате «Монадология» [143] и в определении прямой.

и воспроизведя ее с вдвое большей скоростью, получим
\[
\begin{aligned}
w_{K}(2 t) & =\sum_{k} \cos \left(2^{k(13 / 12)+1} t\right)= \\
& =\sum_{k^{\prime}} \cos \left(2^{k^{\prime}(13 / 12)} \cdot 2^{-1 / 12} t\right)
\end{aligned}
\]

где $k^{\prime}=k+1$. Поскольку эти суммы покрывают весь аудиодиапазон, то для человеческого уха верно следующее равенство:
\[
w_{K}(2 t)=w_{K}\left(2^{-1 / 12} t\right)
\]

Следовательно, при удвоении скорости воспроизведения высота звука уменьшается в $2^{1 / 12}$ раза. Пользуясь музыкальной терминологией, можно сказать, что аккорд будет звучать не на октаву выше, а на полтона ниже. Вот такие парадоксы порождаются фракталами!

Нетрудно составить программу для персонального компьютера, которая будет генерировать сигнал $w_{k}(t)$ с 11 компонентами, охватывающими диапазон частот от 10,0 Гц до 18245,6 Гц. При удвоении скорости воспроизведения частота, скажем, шестой составляющей изменится с 427,15 Гц на 854,3 Гц. Однано сравиивал два агіорда, слуховал систсма человека отождествляет удвоенную шестую компоненту ( 854,3 Гц) с ближайшей к ней компонентой первоначального аккорда, т.е. с седьмой его компонентой ( 905,1 Гц). Поскольку частота 854,3 Гц как раз на полтона ниже, чем частота 905,1 Гц, и поскольку эти рассуждения применимы ко всем компонентам с удвоєнной частотой, результирующий аккорд будет звучать на полтона ниже.

Удвоение скорости прослушивания при отношении частот $\beta=$ $=2^{14 / 12}$ приводит к понижению звука на целый тон, при отношении $\beta=$ $=2^{15 / 12}$ – на три полутона и т. д. Однако при $\beta=2^{24 / 12}=4$ восприятие становится неоднозначным, потому что при удвоении чисел $1,4,16$, $64, \ldots$ результирующая последовательность $(2,8,32, \ldots$ ) может рассматриваться либо как звук на октаву выше, либо как звук на октаву ниже.

Все физические «самоподобные» объекты в действительности обладают ограниченным самоподобием – просто потому, что в реальном мире не существует идеальных, в математическом смысле, периодических функций: большинство колебаний имеет начало и конец (исключение, возможно, составляет наша Вселенная, ${ }^{1}$ при условии, что
${ }^{1}$ Согласно некоторым из самых последних физических фантазий, Вселенная это нечто, случающееся время от времени.

она замкнута и начинает новый цикл жизни после каждого «Большого Взрыва»; см. замечательный – без единой формулы! – бестселлер Стивена Хокинга «Краткая история времени» [101]). Тем не менее, самоподобие – полезная абстракция, точно так же, как и периодичность, которая представляет собой одно из наиболее полезных понятий в естественных науках, несмотря на всю свою ограниченность.

Одним из самоподобных, если не учитывать «концевых эффектов», математических объектов является функция
\[
\operatorname{sinc} x=\frac{\sin \pi x}{\pi x},
\]

которая описывает картину дифракции на прямоугольной щели и играет важную роль в интерполяции выборочных функций, используемых в цифровых системах с дискретным временем. (Под «щелью» в данном случае понимается прямоугольное «окно», сквозь которое рассматривается спектр функции.)
Применив к функции sinc $x$ тригонометрическое тождество
\[
\sin 2 x=2 \sin x \cos x,
\]

получим
\[
\operatorname{sinc} x=\cos \left(\frac{\pi x}{2}\right) \frac{\sin (\pi x / 2)}{\pi x / 2}=\cos \left(\frac{\pi x}{2}\right) \operatorname{sinc}\left(\frac{x}{2}\right) .
\]

Следовательно, с точностью до множителя $\cos (\pi x / 2)$, функция $\operatorname{sinc} x$ самоподобна с коэффициентом подобия 2.

Повторяя процесс факторизации, приходим к знаменитому бесконечному произведению Эйлера
\[
\operatorname{sinc} x=\cos \left(\frac{\pi x}{2}\right) \cos \left(\frac{\pi x}{4}\right) \cos \left(\frac{\pi x}{8}\right) \cdots
\]

Функция sinc $x$ имеет нули при всех целых значениях $x$, положительных и отрицательных. Первый множитель в произведении Эйлера дает нули функции $\operatorname{sinc} x$ при всех нечетных значениях $x$. Второй множитель дает нули при значениях $x$, равных удвоенным нечетным числам. Третий множитель дает нули при значениях $x$, равных учетверенным нечетным числам, и т.д. Таким образом, мы получаем требуемые нули при всех целых значениях $x$ за исключением $x=0$. (Заметим, что каждое ненулевое целое $n$ может быть однозначно представлено в виде $n=2^{m} k$, где $k$ – нечетное целое число, а $m \geqslant 0$.)

Во многих ситуациях мы можем наблюдать лишь приближенное самоподобие: всегда возможны статистические или детерминированные «возмущения». Например, основанная на еще одном хорошо известном представлении $2 / \pi$ в виде бесконечного произведения последовательность
\[
s_{n}=\prod_{k=1}^{n} f_{k}-\frac{2}{\pi},
\]

где $f_{k}$ определяется через рекурсию
\[
f_{k+1}=\left(\frac{1+f_{k}}{2}\right)^{1 / 2}, \quad f_{0}=0,
\]

самоподобна только в пределе при $n \rightarrow \infty$. При $n=1,2,3,4, \ldots$ получаем
\[
s_{n}=0,070482 ; 0,01662 ; 0,004109 ; 0,0001024 ; \ldots
\]

Коэффициент подобия для членов этой последовательности стремится к 4. Такие асимптотические самоподобия часто встречаются в рекурсивных вычислениях.

В последующих главах мы встретимся с еще одним отклонением от строгого самоподобия – со статистическим самоподобием, при котором масштабную инвариантность демонстрируют статистические законы, управляющие поведением объекта. Сам объект может изменяться под действием преобразования подобия, но его вероятностные аспекты остаются теми же.

Еще о самоподобии в музыке: темперированный строй Баха

Древние греки, игравшие на множестве струнных инструментов, обнаружили, что деление струны на две равные части дает приятный для слуха музыкальный интервал, ныне называемый октавой. Соответствующее отношение физических частот равно $2: 1$.
«Отсечение» одной трети струны дает другой приятно звучащий интервал, чистую квинту, с отношением частот $3: 2$.

Пифагорейцы задумались о том, можно ли получить целое число октав из одной лишь квинты путем повторного применения простого отношения частот $3 / 2$. С математической точки зрения речь шла о решении уравнения
\[
\left(\frac{3}{2}\right)^{n}=2^{m}
\]

в целых положительных числах $n$ и $m$. В то же время из фундаментальной теоремы теории чисел известно, что никакая целая положительная степень числа 3 не может быть равна никакой целой положительной степени числа 2, т.е. уравнение $3^{n}=2^{k}$ не имеет решений в целых числах при $n>0$.

Однако древних греков это не остановило, и они методом «проб и ошибок» нашли превосходное приближенное решение
\[
\left(\frac{3}{2}\right)^{12} \approx 2^{7},
\]

основанное на почти точном равенгтве чисел $3^{1 / 19}$ и $2^{1 / 12}$.
Систематический подход к получению таких почти точных равенств сводится к записи отношения логарифмов двух целых оснований данного уравнения (в нашем случае, 2 и 3) в виде непрерывной дроби:
\[
\frac{\ln 2}{\ln 3}=[1,1,1,2,2, \ldots]
\]

где последовательность в квадратных скобках представляет собой удобную форму записи непрерывной дроби

Непрерывные дроби обычно дают хорошие рациональные аппроксимации иррациональных чисел, например $\pi \approx 355 / 113$. Это превосходное приближение к $\pi$, использующее не очень большие целые числа, было известно еще древним китайцам.

Обрывая вышеприведенную непрерывную дробь на пятом члене (как показано в примере), мы получаем дробь, дающую очень хорошее приближение для музыкальной квинты:
\[
\frac{\ln 2}{\ln 3} \approx \frac{12}{19}
\]

откуда следует, что $(3 / 2)^{12} \approx 2^{7}$.

Здесь необходимо подчеркнуть еще одно важное обстоятельство: показатели 12 и 7 представляют собой взаимно простые числа, поэтому повторное применение чистой квинты по модулю октавы («квинтовый круг») не даст в результате частоту, близкую к полученной ранее, вплоть до двенадцатого шага. Что касается 12 различных частот в пределах одной октавы, то все они являются приближенными степенями основного отношения частот $1: 2^{1 / 12}$, или полутона. Следовательно, всегда существует некоторое значение $k$, при котором
\[
\left(\frac{3}{2}\right)^{k} \approx 2^{r / 12}, \quad r=1,2,3 \ldots
\]

Решение этого приближенного уравнения имеет вид $k \equiv r / 7 \equiv 7 r \bmod 12$. Это означает, что треть октавы, например, или $2^{1 / 3}$ ( $r=4$, отношение частот $\approx 1,260$ ), эквивалентна (по модулю октавы) $k=4$ квинтам (отношение частот $\approx 1,266$ ).

Треть октавы близка и к чистой большой терции (отношение частот $5 / 4$ ), что является счастливым следствием еще одного, независимого, теоретико-числового приближенного равенства $5^{3} \approx 2^{7}$, которое устанавливает связь между следующими за 3 простым числом (т.е. 5) с наименьшим простым числом, 2.

Сама квинта аппроксимируется семью интервалами в полтона каждый с точностью до $0,1 \%: 2^{7 / 12} \approx 1,4983$. Небольшое отличие от точного значения 1,5 называется пифагорейской невязкой. Интересно отметить, что не только семь полутонов составляют одну квинту, но и семь квинт (по модулю октавы) составляют один полутон. Это следует из еще одного теоретико-числового казуса: число 7 совпадает с обратным ему числом в арифметике вычетов по модулю 12 (т.е. $7 \cdot 7=49 \equiv 1 \bmod 12$ ).

Чтобы на музыкальных инструментах с фиксированным набором тонов, вроде фортепиано, можно было играть в различных тональностях, частоты этих тональностей доляны выбираться из одного и того же основного набора частот. Это подвигло И. С. Баха на разработку темперированного строя, основанного на полутоне с отношением частот $2^{1 / 12}$. Музыкальный инструмент, настроенный в соответствии с темперированной гаммой, имеет, таким образом, частоты, близкие к следующим кратным самого низкого тона:
\[
1,2^{1 / 12}, 2^{2 / 12}, 2^{3 / 12}, 2^{4 / 12}, 2^{5 / 12}, \ldots
\]

и т.д. до самой высокой ноты.

Замечательные соотношения между простыми числами 3, 5 и 7149
Можно видеть, что частоты хорошо темперированного инструмента образуют самоподобную последовательность с коэффициентом подобия $2^{1 / 12}$. Если бы все эти ноты прозвучали одновременно, то такой инструмент создал бы акустический выход (чтобы не сказать сильнее), близкий к самоподобной функции Вейерштрасса. (В действительности результат настройки фортепиано нельзя назвать в точности самоподобным. Настраивая инструмент, настройщик несколько «перетягивает» струны, чтобы минимизировать биение обертонов, которые не являются в точности гармоническими из-за конечного сопротивления струн именно на изгиб.)

Превосходным введением в науку о музыкальном звуке может служить книга Джона Р. Пирса с тем же названием [199].

Замечательные соотношения между простыми числами 3,5 и 7

Несколько лет назад Джон Р. Пирс, известный своими работами по спутниковой связи, заинтересовалея вопросом о том, нельзя ли заменить отношение частот октавы $2: 1$ отношением частот $3: 1$ (соответствующий интервал Пирс предложил назвать тритавой) и создать самоподобный (равнотемперировағный) строй с отношениями частот, в которых участвуют следующие два простых числа – 5 и 7 [167]. Иначе говоря, существует ли некоторый корень целой степени $N$ из числа 3 $\left(3^{1 / N}\right)$ – такой, что его целыми степенями хорошо аппроксимируются отношения $\frac{5}{3}$ и $\frac{7}{5}$ (по аналогии с аппроксимациями $\frac{3}{2} \approx 2^{7 / 12}$ и $\frac{5}{2} \approx 2^{9 / 12}$ хорошо темперированного строя Баха)?

Систематически подходя к ответу на этот вопрос, необходимо разложить отношения $\ln 3 / \ln 5$ и $\ln 3 / \ln 7$ в непрерывные дроби. Для первого отношения получаем
\[
\frac{\ln 3}{\ln 5}=[1,2,6, \ldots] .
\]

Оборвав непрерывную дробь в правой части на числе 6 , приходим к рациональной аппроксимации
\[
\frac{\ln 3}{\ln 5} \approx \frac{13}{19},
\]
т.е. $3^{1 / 13} \approx 5^{1 / 19}$. Это означает, что начальное отношение частот $3^{1 / 13} \approx 1,088 \ldots$ представляет собой подходящий «полутон» для построения музыкального строя, который дает хорошее согласие, по модулю тритавы, с нотами, порождаемыми отношением частот $5: 3$. В самом деле, $3^{6 / 13}$ совпадает с $\frac{5}{3}$ с точностью до $0,4 \%$ !

А что можно сказать об отношении частот 7 : 3? Разложение $\ln 3 / \ln 7$ в непрерывную дробь дает превосходную аппроксимацию $3^{1 / 13} \approx 7^{1 / 23}$. И снова число $3^{1 / 13}$ выступает как предпочтительный начальный интервал для построения хорошо темперированного строя Пирса – еще одно счастливое совпадение в теоретико-числовом духе! Разница между $\frac{7}{3}$ и одной из степеней основания $3^{1 / 13}$, а именно, числом $3^{4 / 13}$, невероятно мала и составляет всего лишь $0,16 \%$. А отношения частот снова образуют самоподобную последовательность
\[
1,3^{1 / 13}, 3^{2 / 13}, 3^{3 / 13}, \ldots
\]

Несмотря на то, что теоретико-числовая основа этого нового музыкального строя практически безупречна, оценить его эстетические достоинства каждый должен для себя сам ${ }^{1}$.
${ }^{1}$ Тот терпеливый слушатель, который выступал в роли подопытного кролика в музыкальных тестах строя Пирса, упорно отдавал предпочтение сочинениям, написанным в традиционной манере.