Я работаю в области статистической механики, но отнюдв не мечтаю попасть на Луну.
МарстоH Морс
В этой главе мы глубже познакомимся с самоподобием, возникающим в результате итераций. Свое внимание мы сосредоточим на так называемой логистической параболе – простом квадратном уравнении, описывающем подъемы и спады численности хищников и жертв и ограниченные процессы роста (ограниченные недостатком снабжения ${ }^{1}$ ). Этот простой закон нашел широкое применение во многих областях человеческой деятельности. Его итерации порождают многочисленные универсальные характеристини и самоподобия. Мы попытаемся осветить такие знаменательные свойства логистической параболы, как устойчивые и неустойчивые орбиты, детерминированный хаос, касательные бифуркации, перемежаемость, иерархия орбит, бифуркация хаотических полос и инвариантные распределения. Мы коснемся также некоторых математических методов, использующих присущее квадратичному отображению самоподобие, и изучим несколько достопримечательных преобразований, проливающих свет на итерации логистического и других отображений.

Среди предсказаний, данных логистической параболой и подкрепленных наблюдениями многих явлений природы, можно назвать появление периодических циклов, особенно циклов с длиной периода $2,4,8,16,32$ и т. д. Речь идет о знаменитом сценарии удвоения периода, возникающего из самоподобия и приводящего в конце концов
${ }^{1} 0$ т англ. logistical – «тыловой», «снабженченский» (cp. logistic – «логистический»). – Прим. перев.

к полному хаосу, пусть и детерминированному. Мы попытаемся навести мост через, казалось бы, немыслимую пропасть, разделяющую самоподобие двоичных целых чисел и удвоение периода в логистической параболе, выковав прочную связь между этими двумя фундаментальными явлениями и дав ей имя символическая динамика. Однако, как мы увидим из дальнейшего разговора, детерминированный хаос весьма тесно связан с одной простой операцией, производимой над цифрами (двоичного) числа: многократным сдвигом влево до тех пор, пока перед нашими глазами не предстанет его абсолютно непредсказуемый хвост.

Всласть налюбовавшись реальным миром логистической параболы, мы последуем за Мандельбротом, совершив воображаемый прыжок в мнимом направлении прямиком на комплексную плоскость, где станет явным многое из того, что представлялось тайным на вещественной прямой. Иными словами, займемся комплексификацией ради симплификации. Между делом, в качестве дополнительного приза, мы откроем для себя множество Мандельброта и познакомимся с его замысловатой самоподобной структурой.

Наш экскурс в комплексную область мы начнем с простого рекурсировного упражнения в дискретном мире целых чисел.

Самоподобие от целых чисел
Числа Фибоначчи и треугольник Паскаля (см. гл. 17 «Клеточные автоматы») далеко не исчерпывают самоподобных способностей целых чисел. Рассмотрим последовательность неотрицательных целых чисел $0,1,2,3,4,5,6,7, \ldots$, записанных в двоичной форме,
\[
0,1,10,11,100,101,110,111, \ldots
\]

и извлечем из каждого двоичного числа «цифровой корень» (т.е. найдем сумму его цифр по модулю 2). Мы получим последовательность
\[
0,1,1,0,1,0,0,1, \ldots,
\]

которая называется последовательностью Морса-Туэ (МТ) в честь норвежского математика Акселя Туэ (1863-1922), который представил ее миру в 1906 г. в качестве примера апериодической рекурсивно вычислимой последовательности символов, и Марстона Морса из Принстона (1892-1977), обнаружившего, что эта последовательность играет важную роль в символической динамике при описании поведения некоторых нелинейных динамических систем в фазовом пространстве $[257,182]$.

Интересно, что МТ-последовательность можно также получить, итерируя отображение $0 \rightarrow 01$ и $1 \rightarrow 10$, т.е. отображение, при котором вслед за каждой двоичной цифрой записывается ее дополнение. Начав с единственного нуля, мы получим такие последовательные «поколения»:
0
01
0110
01101001

и т. д. Построенная таким образом последовательность называется самопорождающей последовательностью [245].

Другой способ построения той же последовательности состоит в том, что каждое поколение получается из предыдущего путем приписывания справа его дополнения:
0
01
0110
01101001

и т.д. Новый способ – это всего лишь следствие того, что отображение $0 \rightarrow 01,1 \rightarrow 10$ непосредственно порождает отображение $01 \rightarrow 0110,10 \rightarrow 1001$ и т. д., где каждое отображение более высокого порядка следует исходному правилу «повтори двоичное число и припиши к нему справа его дополнение». Иначе говоря, исходное правило, порождающее отображение, наследуется всеми последующими поколениями. Наследование такого рода является важным следствием итерированных отображений и часто приводит к самоподобным структурам. Такие порождающие процессы известны также под названием инфляционны $x^{1}$ процессов – термин, который (в своем неэкономическом и некосмологическом смысле) ассоциируется с мозаиками Пенроуза и их замечательными скейлинговыми свойствами [91].

Бесконечная последовательность, получаемая итерированием отображения $0 \rightarrow 01,1 \rightarrow 10$, инвариантна относительно этого отображения; инфляция никак ее не затрагивает. Более того, последователь-
${ }^{1} 0$ т лат. inflatio – вздутие. – Прим. перев.

ность MT самоподобна: сохраняя лишь нечетные члены этой бесконечной последовательности (отмеченные чертой снизу), мы вновь получаем последовательность МТ:
\[
\underline{0} 1 \underline{1} 0 \underline{1} 0 \underline{0} 1 \ldots .
\]

Аналогично, сохраняя только нечетные пары двоичных чисел, мы также воспроизводим МТ-последовательность:
\[
\underline{01} 11 \underline{10} 01 \ldots .
\]

МТ-последовательность воспроизводится и после замены каждой пары, четверки, октета и т. д. на их самую левую цифру. Такой процесс «усечения» и отбрасывания «лишних» чисел эквивалентен тому, что принято называть дефляцией в теории мозаик или переименованием блоков в теории ренорм-групп. Все эти схемы просто следуют из преобразования $01 \rightarrow 0,10 \rightarrow 1$, обратного исходному преобразованию $0 \rightarrow 01,1 \rightarrow 10$. Естественно, что если инфляция воспроизводит некоторую заданную бесконечную последовательность, то же самое делает и соответствующая дефляция. Тот факт, что собственное подмножество может быть эквивалентно всему множеству, представляет собой хорошо известное свойство бесконечных множеств.

Понять самоподобие МТ-последовательности очень легко. Сохранение только нечетных членов бескснечной последовательности эквивалентно умножению исходных чисе. на 2 (основание двоичной системы счисления, в которой записаны члены последовательности). Так как в двоичной системе умножение на 2 означает сдвиг цифр влево на один знак, то цифровые корни чисел остаются неизменными, точнее, они и образуют по определению МТ-последовательность. (Если мы сохраним только четные члены, то МТ-последовательность по аналогичным причинам перейдет в собственное дополнение.)

Разумеется, ни в числе 2, ни в двоичной системе нет ничего магического. Цифровые корни (т.е. суммы цифр по модулю 3) целых неотрицательных чисел, записанных в троичной системе счисления,
\[
0,1,2,10,11,12,20,21, \ldots
\]

образуют самоподобную последовательность с коэффициентом подобия 3:
\[
p_{k}=0,1,2,1,2,0,2,0, \ldots
\]

Действительно, $p_{3 k}=p_{k}$, так как троичное представление числа $3 k$ совпадает с троичным представлением числа $k$, если не учитывать сдвига на одну цифру влево. Итерации какого отображения порождают последовательность $p_{k}$ ? (И каковы самоподсбные свойства последовательностей $\left\{p_{3 k+1}\right\}$ и $\left.\left\{p_{3 k+2}\right\} ?\right)$

Еще одним интересным свойством МТ-последовательности является ее апериодичность. Доказательство этого свойства (не слишком трудное) мы предоставляем читателю. Хоть МТ-последовательность и апериодична, она ни коим образом не случайна. Более того, ее структура обладает ярко выраженным ближним и дальним порядком. Например, в этой последовательности не может быть групп, состоящих более чем из двух одинаковых членов подряд. И конечно же, ее члены с индексами (исходный 0 имеет индекс 0), различающимися на множитель $2^{n}$, совпадают.

Строгая внутренняя структура МT-последовательности отражается в ее спектре Фурье (рис. 1), на котором (несмотря на апериодичность последовательности) наблюдаются хорошо выраженные пики. Возможно, читателю захочется самому показать, что два самых высоких пика соответствуют частотам, составляющим треть и две трети «частоты выборки».

Рис. 1. Амплитудный спектр Фурье для последовательности Морса – Туэ (первые 256 периодически повторяющихся членов) [230].

Особенно удобным исходным пунктом для вывода Фурье-преобразования МТ-последовательности в «алфавите» $\pm 1$ ( $m_{k}=1,-1,-1$, $1,1,-1, \ldots)$ является ее производнщая функция
\[
H(z)=\sum_{k=0}^{\infty} m_{k} z^{k} .
\]

Инвариантность МТ-последовательности $m_{k}$ при подстановке $1 \rightarrow 1,-1$ и $-1 \rightarrow-1,1$ предполагает функциональное уравнение
\[
H(z)=(1-z) H\left(z^{2}\right),
\]

которое, в свою очередь, дает производящую функцию
\[
H(z)=(1-z)\left(1-z^{2}\right)\left(1-z^{4}\right)\left(1-z^{8}\right) \ldots .
\]

Если не учитывать замены $z$ на $z^{-1}$, эта производящая функция совпадает с так называемым «z-преобразованием», широко используемым инженерами-электриками для описания передаточных функций цифровых фильтров.

Положим $z=\exp (i \omega)$, где $\omega-$ угловая частота. Тогда из производящей функции следует Фурье-преобразование
\[
M(\omega)=\prod_{k=0}^{\infty}\left[1-\exp \left(i \omega 2^{k}\right)\right],
\]

которое удовлетворяет масштабному закону $M(\omega)=[1-\exp (i \omega)] M(2 \omega)$. Этот закон, вкупе с симметриями $M(-\omega)=M^{*}(\omega)$ и $M(\omega+2 \pi)=$ $=M(\omega)$, и определяет самоподобную структуру спектра.

В физике МТ-последовательность была впервые обнаружена в символической динамике некоторых нелинейных динамических систем. Марстон Морс доказал, что траектории динамических систем, фазовые пространства которых имеют всюду отрицательную кривизну, полностью характеризуются дискретной последовательностью нулей и единиц – поразительное открытие! Это означает, что какая-нибудь сложная кривая в $\mathbb{R}^{n}$, т.е. несчетно бесконечное множество в многомерном пространстве, может быть отображено на дискретную двоичную последовательность! Пользуясь МТ-последовательностью, Морсу удалось также доказать возможность существования бесконечно долгих шахматных партий (при определенных ограничениях).

В следующем разделе мы исследуем один особенно простой и поучительный случай символической динамики и его отношение к последовательности Морса-Туэ.

Логистическая парабола и удвоение периода
Предположим, что в процессе экологического, экономического или какого-нибудь другого роста некая величина $x_{n+1}$ для последующего поколения (например, число животных) есть линейная функция от текущего значения этой величины $x_{n}$ :
\[
x_{n+1}=r x_{n},
\]

где $r>0$ – параметр роста. Неконтролируемый рост следует геометрической прогрессии («экспоненциальному» закону):
\[
x_{n}=r^{n} x_{0},
\]

которая при $r>1$ неограниченно возрастает.
Однако часто случается так, что ограниченное количество ресурсов ограничивает рост. Иначе говоря, чем больше $x_{n}$, тем меньше параметр роста $r$. Проще всего уменьшение фактора роста моделируется заменой $r$ на $r\left(1-x_{n}\right)$. Тогда при приближении $x_{n}$ к некоторому пределу (в нашем случае – к единице) параметр роста стремится к нулю. В результате получаем закон роста
\[
x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)=r\left(1-x_{n}\right) x_{n},
\]

называемый квадратичным отображением, или – из-за его параболической формы и отношения к снабжению ${ }^{1}$ – логистической параболой (рис. 2).

Логистическое уравнение было представлено публике в 1845 г. бельгийским социологом и математиком Пьером-Франсуа Ферхюльстом (1804-1849) в качестве модели роста популяций, ограниченного конечностью ресурсов [261]. (Термин логистическое, однако, не получил широкого распространения до 1875 г. Происходит он от французского прилагательного logistique, относящегося к тыловым службам, занимающимся расквартированием и снабжением войск.)

Первоначально логистическое уравнение выглядело как $x(t)=$ $=K /[1+\exp (a-b t)]$, где $x-$ число особей в исследуемой популяции как функция от времени $t$. Постоянные $a$ и $b$ задают начало отсчета и масштаб временной переменной. В зависимости от этих постоянных рост переменной $x$ происходит по приближенно экспоненциальному закону.
${ }^{1}$ См. прим. на стр. 342 . – Прим. перев.

Рис. 2. Квадратичное отображение, также известное как логистическая парабола. Обратите внимание на неподвижную точку при $x^{*}$.

Скорость роста достигает максимума при $t=a / b$, после чего падает до нуля. Постоянная $K$ определяет асимптотическое значение $x$.

Уравнение Ферхюльста для скорости роста может быть записано и в виде $d x / d t=r x(K-x) / K$. При $x \ll K$ мы снова получаем экспоненциальный рост переменной $x$. Но когда $x$ приближается к $K$, скорость роста падает до нуля. Уравнение (1) представляет собой рекуррентную форму вышеупомянутого дифференциального уравнения с заменой времени $t$ на дискретную переменную $n$. Наиболее важным отличительным признаком уравнения Ферхюльста и его следствий является их нелинейность, позволяющая моделировать различные нелинейные явления во многих областях науки и их последствия – такие, например, как хаотическая динамика.

Квадратичное отображение (1) имеет две неподвижные точки $x=$ $=0$ и (при $r>1$ ) $x=x^{*}=1-1 / r$ (см. рис. 2). Производная от функции $f(x)$, задающей это отображение, есть функция
\[
f^{\prime}(x)=r(1-2 x),
\]

равная $r$ в точке $x=0$ и $2-r$ в другой неподвижной точке $x^{*}=1-1 / r$. Напомним, что неподвижные точки устойчивы, если $\left|f^{\prime}\right|<1$. Так, неподвижная точка $x=0$ устойчива при $r<1$. Неподвижная точка $x=$ $=1-1 / r$ существует и устойчива в диапазоне $1<r<3$, так как в нем выполняется неравенство $\left|f^{\prime}(x=1-1 / r)\right|<1$.

Более того, при $r=2$ производная $f^{\prime}(x)=0$ в неподвижной точке $x^{*}=1-1 / r=1 / 2$. Такие неподвижные точки называются свер $x$ – устойчивыми из-за очень быстрой к ним сходимости, в чем нетрудно убедиться с помощью любого карманного калькулятора. В общем случае сверхустойчивая орбита возникает, когда точка $x=1 / 2$, в которой $f^{\prime}(x)=0$, принадлежит этой орбите. (Орбита – специальный термин для обозначения последовате.ьности итераций $x_{n}$.) Значения параметров сверхустойчивых орбит с длиной периода $2^{k}$ обозначают через $R_{k}$; при $r=R_{0}$ мы получаем сверхустойчивую неподвижную точку (длина периода равна 1 ).

При $r=3$ угловой коэффициент касательной к параболе в неподвижной точке $x=2 / 3$ равен -1 . Эта неподвижная точка «нейтральна», т.е. не притягивает и не отталкивает соседние точки. Что же происходит при $r>3$ ? Неподвижная точка становится неустойчивой и расщепляется (претерпевает бифуркацию) в орбиту с длиной периода 2: $x_{0}, x_{1}, x_{2}=x_{0}$ (рис. 3). Например, при $r=R_{1}=3,2360679775$ существует устойчивая (более того, сверхустойчивая) орбита с длиной периода $2: 0,5 \rightarrow 0,8090169943 \ldots \rightarrow 0,5$ и т. д. (рис. 4 ).

Рис. 3. Неподвижная точка тернет устойчивость, порождая орбиту с длиной периода 2.

Значение $R_{1}$ мы получим, положив $f(f(0,5))=0,5$ решением кубического уравнения $R_{1}^{3}=4 R_{1}^{2}-8$, которое как раз имеет квадратичное иррациональное решение, связанное с золотым сечением $\gamma=$ $=0,618 \ldots: R_{1}=2 / \gamma=\sqrt{5}+1$.

То, что длина периода орбиты равна 2 , означает, что функция $f\left(f(x)\right.$ ) (сокращенно $f^{(2)}(x)$ ) имеет неподвижную точку (а по-

Рис. 4. (А) Квадратичное отображение для орбиты с длиной периода 2. (Б) Однократно итерированное отображение $f^{(2)}(x)$ имеет две устойчивые неподвижные точки, $x_{0}$ и $x_{1}$.
скольку $f^{(2) \prime}(x)=0$, то орбита сверхустойчива). Именно так и обстоит дело в действительности (рис. 4Б). Более того, $f^{(2)}(x)$ имеет две неподвижные точки, обе сверхустойчивые: $x_{0}=0,5$ и $x_{1}=0,809 \ldots$

При дальнейшем увеличении параметра $r$ обе неподвижные точки функции $f^{(2)}(x)$ становятся, в свою очередь, неустойчивыми, причем обе теряют устойчивость при одном и том же значении $r$. Простое совпадение? Нет, потому что, согласно цепному правилу дифференцирования,
\[
\left.\frac{d}{d x} f(f(x))\right|_{x=x_{0}}=\left.\left.f^{\prime}(f(x))\right|_{x=x_{0}} \cdot f^{\prime}(x)\right|_{x=x_{0}}
\]

или, если учесть, что $f\left(x_{0}\right)=x_{1}$,
\[
\frac{d}{d x} f\left(f\left(x_{0}\right)\right)=f^{\prime}\left(x_{1}\right) \cdot f^{\prime}\left(x_{0}\right) .
\]

Следовательно,
\[
f^{(2) \prime}\left(x_{0}\right)=f^{(2) \prime}\left(x_{1}\right) .
\]

Из этого равенства можно заключить, что если точка $x_{0}$ становится неустойчивой из-за того, что $\left|f^{(2) \prime}\left(x_{0}\right)\right|>1$, то теряет устойчивость и точка $x_{1}$, причем при том же самом значении параметра $r$. Это означает, что обе неподвижные точки отображения $f^{(2)}(x)$ претерпевают бифуркацию при одном $\boldsymbol{V}$ том же значении $r$, порождая в результате орбиту с длиной периода 4. Иначе говоря, теперь уже отображение $f^{(2)}\left(f^{(2)}(x)\right)=f^{(4)}(x)=f(f(f(f(x))))$ имеет неподвижную точку (точнее, четыре неподвижные точки). При $r=R_{2}=$ $=3,498561699 \ldots$ этими четырьмя неподвижными точками являются: $x_{0}=0,500 ; x_{1}=0,874 \ldots ; x_{2}=0,383 \ldots$; и $x_{3}=0,827 \ldots$ Они также образуют сверхустойчивую орбиту отображения $f(x)$ с длиной периода 4: $x_{0} \rightarrow x_{1} \rightarrow x_{2} \rightarrow x_{3} \rightarrow x_{0}$ и т. д.

И снова в силу цепного правила дифференцирования четыре производные во всех четырех точках орбиты равны. Следовательно, если при некотором данном значении параметра $r$ величина одной из производных превосходит единицу, то больше единицы окажутся все четыре производные. Таким образом, все четыре итерации претерпевают бифуркацию при одном и том же значении $r$, что приводит к возникновению орбиты с длиной периода 8. Такой сценарий бифуркации повторнется снова и снова по мере увеличения параметра роста $r$, порождан орбиты периода $16,32,64$ и т.д. ad infinitum, когда каскад удвоений периода завершается «хаотической» орбитой с бесконечной длиной периода при $r=r_{\infty}=3,5699 \ldots$

Рис. 5. Бифуркация-вилка: наружные «зубцы» соответствуют новым итерациям после бифуркации, а средний отражает старые, теперь уже неустойчивые, итерации.

Бифуркации удвоения периода известны также под названием бифуркаций типа вилки, поскольку график зависимости значений итераций от параметра роста напоминает своей формой вилку (рис. 5). Два зубца вилки, верхний и нижний, образованы новыми итерациями после бифуркации, а центральный зубец (показанный на рис. 5 штриховой линией) соответствует старым (уже неустойчивым) итерациям, которые превратились из аттрактора в репеллер.

Удвоение периода – весьма распространенное явление, встречающееся во многих физических, экологических и экономических системах. Вспомните хотя бы о хищниках и их жертвах – например, о лисах и зайцах. При умеренном уровне всспроизводства лис ( $r<3$ ) количество зайцев может оказаться вполне достаточным для того, чтобы насытить лисьи аппетиты, в результате чего установится устойчивое равновесие между численностью лис и численностью зайцев. Однако если уровень воспроизводства лис превысит определенный предел ( $r>3$ ), то лисы сожрут столько зайцев, что в следующем сезоне зайцев на всех не хватит, и популяция лис пойдет на убыль. Уменьшение количества хищников даст зайцам шанс на восстановление своей популяции, но как только зайцев станет больше, возрастет и поголовье лис. Таким образом, возникает цикл с периодом в два сезона.

При каких значениях $r_{n}$ параметра роста $r$ происходят бифуркации, изменяющие длину периода с $2^{n-1}$ на $2^{n}$ ? И при каких значениях $R_{n}$ мы получаем сверхустойчивые орбиты отображения (1) с длиной периода $2^{n}$ ? Что происходит с итерациями $x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{2^{n}-1}$ при $n \rightarrow \infty$ ? Чтобы ответить на эти вопросы, нам необходимо воспользоваться самоподобиями, которые наверняка скрываются где-то в итерациях квадратичного отображенин.

Самоподобие в логистической параболе
Рассмотрим сверхустойчивые орбиты отображения (1) с длинами периодов $P=1,2,4,8$ и т. д. Значения параметра $r=R_{n}$, порождающие сверхустойчивые орбиты с длиной периода $2^{n}$, определены значительно лучше, чем точки бифуркаций $r=r_{n}$ (как экспериментально, так и теоретически). Быстрая сходимость к окончательной орбите позволяет получать лучшие численные оценки, к тому же один элемент орбиты всегда известен a priori: $x_{0}=0,5$. Напротив, численное определение бифуркационных значений $r_{n}$ сопряжено с несколько бо́льшими трудностями.

Процесс удвоения периода характеризуется самоподобиями, облегчающими его анализ. Чтобы продемонстрировать одно из этих самоподобий, сравним $f(x)$ при значении параметра $r=R_{1}$ (соответствует сверхустойчивой орбите с длиной периода $P=2$ ) (рис. 6A) с функци-

Рис. 6. (А) Квадратичное отображение $f(x)$ для сверхустойчивой орбиты с длиной периода 2. (Б) Однократно итерированное отображение $f^{(2)}(x)$ для орбиты с длиной периода 4. Обратите внимание на подобие между содержимым маленького штрихового квадрата и рисунка (А). Такое самоподобие характерно для удвоения периода и облегчает его анализ [234].
ей $f^{(2)}(x)$ при $r=R_{2}$ (соответствует сверхустойчивой орбите с длиной периода $P=4$ ) (рис. 6Б). Сходство между квадратом, показанным штриховой линией на рис. 6Б (включая в рассмотрение и то, что находится внутри квадрата), и большим квадратом на рис. 6A (включая сюда его содержимое) просто поразительно! Несоответствие между параболой на рис. 6 А и кривой четвертого порядка внутри штрихового квадрата на рис. 6Б в действительности очень мало, как видно из рис. 7 , на котором показаны парабола (сплошная линия) и перевернутая и увеличенная кривая четвертого порндка (штриховая линия).

Коэффициент подобия для такого перехода от периода 2 к периоду 4 легко вычислить: он равен $-\left(2+2 / R_{1}\right)=-(2+\gamma)=-2,618 \ldots$, где $\gamma-$ золотое сечение. (Знак минус отражает то обстоятельство, что удвоение периода сопровождается переворачиванием графика отображения.) При переходе от сверхустойчивой орбиты с длиной периода $P=4\left(r=R_{2}\right)$ к сверхустойчивой орбите с длиной периода $P=8\left(r=R_{3}\right)$ для отображений $f^{(2)}(x)$ и $f^{(4)}(x)$ повторяется почти в точности тот же сценарий, что показан на рис. 6 для $f(x)$ и $f^{(2)}(x)$, только коэффициент подобия слегка отличается от $-2,618$. Более того, тот же сценарий (вам еще не надоело это словечко?) повторяется каждый раз, когда значение параметра изменяется от $r=R_{n}$ к $r=R_{n+1}$. При $n \rightarrow \infty$ коэффициент подобия быстро сходится к своему асимптотическому значе-

Рис. 7. Несоответствие между квадратичным отображением (сплошная кривая) и увеличенным итерированным звадратичным отображением (штриховая кривая).

нию $-2,5029 \ldots$ (что не так уж и отличается от его первоначального значения $-2,618 \ldots)$. В пределе исходная парабола квадратичного отображения становится трансцендентной функцией, задаваемой бесконечным степенным рядом $g(x)$, который был впервые получен Митчеллом Фейгенбаумом:
\[
g(x) \approx 1-1,52763 x^{2}+0,104815 x^{4}-0,0267057 x^{8}+\ldots .
\]

Координата $x$ здесь сдвинута так, чтобы максимум функции $g(x)$ приходился на точку $x=0$ (вместо $x=0,5$ ) и был равен 1 . Функция $g(x)$ есть функция неподвижных точек преобразования удвоения периода квадратичных отображений. Она удовлетворяет скейлинговому закону $g(x)=\alpha g(g(x / \alpha))$, который также определяет $\alpha=1 / g(1)$. Вывод $g(x)$ как универсальной функции для всех отображений с квадратичным максимумом, осуществленный Фейгенбаумом через теорию ренорм-групп, поучителен, но вовсе не прост [67].

Численное значение параметра скейлинга $\alpha$ может быть получено из любого из многочисленных самоподобий, которыми обладают порожденные квадратичным отображением итерации $x_{m}^{(n)}$. Особенно привлекательный метод состоит в вычислении значения итераций $x_{P / 2}^{(n)}$ на половине периода сверхустойчивой орбиты с длиной периода $P=2^{n}$, начиная с $x_{0}=0,5$. При $r=R_{n-1}$ мы получаем $x_{P / 2}^{(n-1)}=x_{0}$, однако при $r=R_{n}$ итерации $x_{P / 2}^{(n)}$ немного не совпадают с $x_{0}$. Разность

$\left|x_{P / 2}^{(n)}-x_{0}\right|$ изменяется асимптотически с коэффициентом подобия $\alpha$ при увеличении $n$ до $n+1$. Точнее говоря,
\[
\alpha_{n}=\frac{x_{P / 2}^{(n)}-x_{0}}{x_{P / 2}^{(n+1)}-x_{0}} \rightarrow \alpha \quad \text { при } n \rightarrow \infty .
\]

С помощью программируемого кальулятора можно сначала определить $R_{n}$ и $R_{n+1}$ (подбирая параметр $R$ до тех пор, пока не будет достигнуто равенство $x_{P}=x_{0}=0,5$ для $P=2^{n}$ и $P=2^{n+1}$ ), а затем найти значение $x_{P / 2}$. Действуя так, мы быстро вычислим $\alpha_{7} \approx-2,502905$ с относительным отклонением от $\alpha$ около $10^{-6}$.

Скейлинг параметра роста
Только что мы узнали, что удвоение периода асимптотически самоподобно с коэффициентом подобия для переменной $x$, равным $-2,5029 \ldots$ А с каким коэффициентом подобия изменяются значения параметра $r$, соответствующие, скажем, сверхустойчивым орбитам $R_{n}$ ? На основании численных расчетов можно предположить, что значения разности $R_{n+1}-R_{n}$ становятся все меньше и меньше согласно следующей геометрической прогрессии:
\[
R_{n+1}-R_{n} \approx \frac{R_{n}-R_{n-1}}{\delta} \quad \text { при } \quad n \rightarrow \infty,
\]

где $\delta$ – универсальная постоянная, знаменитая (и, возможно, трансцендентная) постоянная Фейгенбаума (впервые найденная С. Гроссманом и С. Томе [90]). Это поистине магическое число заслуженно носит эпитет «универсальное», потому что, как показал Фейгенбаум, оно применимо ко многим различным нелинейным отображениям, независимо от их характеристик, при условии, что абсолютный максимум отображения квадратичен. Последовательность $\delta_{n}=\left(R_{n}-R_{n-1}\right) /\left(R_{n+1}-R_{n}\right)$ сходится к $\delta$ очень быстро: $\delta_{1} \approx 4,7 ; \delta_{2} \approx 4,68, \ldots, \delta_{6} \approx 4,66918$. Асимптотическое значение равно
\[
\delta=4,6692016091029 \ldots,
\]

а точка сгущения параметра роста для удвоений периода определяется величиной
\[
R_{\infty}=3,5699456 \ldots .
\]

Используя эти два значения и еще одну постоянную, можно записать $R_{n} \approx R_{\infty}-1,542 \delta^{-n}$.

Два параметра скейлинга $\alpha$ и $\delta$ связаны между собой. Упрощенная теория дает $\delta \approx \alpha^{2}+\alpha+1 \approx 4,76$ [67].

При критическом значении параметра роста $r=R_{\infty}$ период становится бесконечным. Иначе говоря, орбита теперь апериодична и состоит из бесконечного точечного множества никогда не повторяющихся значений $x$. Однако это точечное множество, обладающее канторовой структурой (рис. 8), служит аттрактором для других значений $x$. Отметим приближенное самоподобие точечного множества, о котором идет речь: левая половина нижней линии представляет собой зеркальное отражение линии, расположенной непосредственно над ней и сжатой в 2,5 раза; правая половина также повторяет верхнюю линию, только сжатую уже в $2,5^{2}$ раза. Размерность Хаусдорфа $D=$ $=0,538 \ldots$ для этого множества была выведена аналитически и численно П.Грассбергером [84]. Этот и другие аналогичные аттракторы в многомерных пространствах получили название странных, хотя они отнюдь не кажутся нам такими уж странными теперь – когда мы знаем о канторовых множествах.

Рис. 8. Самоподобное канторово множество итераций удвоения периода. Итерации для $r=R_{5}$, обведенные рамкой, являются уменьшенной версией всех итераций при $r=R_{3}$.

Предполагая, что предельное множество строго самоподобно, мы можем воспользоваться хорошо известной формулой (см. Приложение А) размерности Хаусдорфа $D$ для самоподобного канторова множества с двумя различными остатками $s_{1}$ и $s_{2}$
\[
s_{1}^{D}+s_{2}^{D}=1
\]

и вычислить хорошее приближение размерности Хаусдорфа для странного аттрактора логистической параболы в точке сгущения удвоений периода. При $s_{1}=1 / 2,5=0,4$ и $s_{2}=s_{1}^{2}$, и полагая, кроме того, $z=0,4$, мы получаем из уравнения
\[
z+z^{2}=1
\]

значения $z=\gamma \approx 0,618$ и $D=\ln \gamma / \ln 0,4 \approx 0,525$ – удивительно хорошее согласие с более точным значением $0,538 \ldots$ Как часто бывает, самоподобие может иметь исключительно приближенный характер, однако если не обращать внимания на отсутствие точного подобия, можно получить весьма хорошие результаты, которые могут быть улучшены только бо́льшим количеством произведенных вычислений.

Рис. 9. (А) Итерации $x_{m}$ квадратичного отображения при длине периода 16. (Б) Спектральная функция Фурье итераший $x_{m}$ [234].

Спектр Фурье периодической последовательности $x_{m}$ также обнаруживает ярко выраженное самоподобие (рис. 9). Пусть $a_{k}^{n}-$ коэффициенты Фурье членов последовательности $x_{m}$, длина периода которой равна $P=2^{n}$. При переходе от орбисы с длиной периода $P=2^{n}$ через бифуркацию удвоения периода к орбите с длиной периода $2^{n+1}$ новые коэффициенты Фурье с четными индексами приближенно равны старым коэффициентам Фурье, т.е. $a_{2 k}^{n+1} \approx a_{k}$ (так как $x_{n+P} \approx x_{n}$ ). Коэффициенты же Фурье с нечетными индексами $a_{2 k+1}^{n+1}$, описывающие субгармоники, которые появляются в спектре в результате удвоения периода, определяются разностью $x_{n+P}-x_{n}$. Как показывает подробный анализ, квадраты абсолютыых величин коэффициентов Фурье $\left|a_{2 k+1}^{n+1}\right|^{2}$ приближенно равны соседним компонентам предыдущей орбиты, уменьшенным в $8 \alpha^{4} /\left(1+\alpha^{2}\right) \approx 40$ раз, т.е. до 16 децибел (дБ) в логарифмических единицах [67]. (По определению, число децибел равно $20 \log _{10}$ отношения модулей амплитуд или $10 \log _{10}$ отношения квадратов модулей амплитуд – такого, например, как отношение спектральных мощностей.)

Одно из первых подтверждений существования бифуркаций удвоения периода было получено в гидродинамическом (конвекция РэлеяБенара) эксперименте Либхабера и Маурера, в котором роль параметра $r$ сыграло число Рейнольдса [147]. Исследуя вынужденные нелинейные колебания пузырьков в воде, Лаутерборн и Крамер обнаружили аналогичное поведение: появление все новых и новых субгармоник вплоть до наступления хаоса, называемого в данном контексте кавитационным шумом [139]. Эти эксперименты позволили, в частности, разобраться в деструктивном механизме кавитации, основной причине отказа судовых винтов.

Самоподобная символическая динамика
Вместо вычисления всей посгедовательности итераций $x_{n}$ часто бывает достаточно лишь установить, куда попадает очередная точка в область слева от максимума $(L)$, справа от него $(R)$, либо в самый максимум, или центр, отображения ( $C$ ). Найденная таким образом последовательность символов $L, R, C$ называется символической динамикой для данной орбиты. Так, сверхустойчивая орбита с длиной периода 2 обладает символической динамикой, или «последовательностью пекаря» $C R C R C R$. Ограничившись одним периодом, можно записать только $C R$.

Нетрудно показать, что следующая сверхустойчивая орбита (с длиной периода 4) получается следующим образом. Прежде всего выпишем два периода 2-орбиты (т. е. орбиты с длиной периода 2) $-C R C R-$ а затем заменим второе $C$ на $L$, если число букв $R$ слева от него нечетно. Если же это число четно, то второе $C$ следует заменить на $R$. Таким образом, сверхустойчивые орбиты обладают следующей символической динамикой:
\[
\begin{array}{l}
\text { Период } 1: C \\
\text { Период } 1 \rightarrow \text { Период } 2: C C \rightarrow C R \\
\text { Период } 2 \rightarrow \text { Период } 4: C R C R \rightarrow C R L R \\
\text { Период } 4 \rightarrow \text { Период 8: } C R L R C R L R \rightarrow C R L R R R L R \\
\end{array}
\]

и т.д. Орбиту с длиной периода 8 часто бывает удобнее записать в виде $C R L R^{3} L R$. В той же манере сверхустойчивая орбита с длиной периода 16 записывается как $C R L R^{3} L R L R L R^{3} L R$.

Алгоритм подсчета числа предшествующих второму $C$ букв $R$ и установления его четности или нечетности непосредственно связан с тем обстоятельством, что угловой коэффициент графика квадратичного отображения отрицателен для правой половины отображения. Следовательно, всякий раз, когда точна $x_{n}$ попадает на правую половину единичного отрезка ( $x_{n}>0,5$ ), происходит смена знака, сколь бы мала ни была разность значений, причем нечетное число смен знака это тоже смена знака (тогда как четное – нет). Это одно из наиболее важных свойств не только квадратичного отображения, но и всех унимодальных («одногорбых») отобрежений. В результате изменение порядка символов в символической динамике всех этих отображений при изменении параметра роста имеет «универсальный» характер.

Говоря более конкретно, при $r=R_{n}$ (т.е. при длине периода $P=$ $=2^{n}$ ) итерация $x_{P}^{(n)}$ по определению совпадает с $x_{0}$. При изменении параметра роста $r$ с $R_{n}$ на $R_{n+1}$ значение разности $x_{P}^{(n)}-x_{0}$ положительно (отрицательно), если разность $x_{m}^{(n)}-x_{0}$ принимала положительное значение четное (нечетное) число раз при $m=1,2, \ldots, P-1$. Это и лежит в основе вышеупомянутого правила $C \rightarrow R$ (или $L$ ) при нечетном (четном) числе предшествующих букв $R$.

Последовательности символов самоподобны в следующем смысле. Сохраняя каждый второй после $C$ символ, мы воспроизведем последовательность для сверхустойчивой орбиты с половинной длиной периода, только $L$ при этом меняется на $R$ и наоборот. «Прореживая» таким образом символическую динамину, получим для орбиты с длиной периода 16 последовательность $C L R L^{3} R L$, что представляет собой дополнение к последовательности $C R L R^{3} L R$, описывающей орбиту с длиной периода 8.

Как и в последовательности Морса-Туэ, сохранение каждого второго члена порождает аналогичную исходной, хотя и дополненную, последовательность. Существует ли более тесная связь между последовательностью Морса-Туэ и символической динамикой сверхустойчивых орбит? Вне всякого сомнения. Чтобы убедиться в этом, заменим символы $R$ на 1 , а символы $C$ и $L-$ на 0 . В этих обозначениях сверхустойчивые орбиты с периодами $1,2,4$, и 8 имеют следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
0 \\
01 \\
0101 \\
01011101,
\end{array}
\]

что, к сожалению, ничем не напоминает последовательность Mорса-Туэ. Зато частичные суммы по кодулю 2 членов этих орбит (начиная с первого) и впрямь воспроизводят эту знаменитую последовательность:
\[
\begin{array}{l}
0 \\
01 \\
0110 \\
01101001
\end{array}
\]

и т.д. Вряд ли нужно говорить о том, что вычисление частичных сумм по модулю 2 эквивалентно подсчету числа предшествующих символов $R$.

И наоборот, можно получить последовательности пекаря для унимодальных отображений в двоичной системе счисления (01011101..) из последовательности Морса-Туэ путем вычисления сумм (или разностей) соседних элементов по модулю 2.

Такого рода связь позволяет нам непосредственно (без итераций) записывать последовательность пекаря для орбиты с длиной периода $2^{m}$ при любом $m$. Правило же (я рекомендую читателю вывести его самостоятельно) сводится к следующему: $k$-й член в каждой такой последовательности символов выглядит как $k=2^{q} \cdot j$, где $j$ – нечетное число. Четность показателя $q$ определяет выбор между $L$ и $R$ : нечетные $q$ соответствуют символу $L$, четные $q$ – символу $R$ ( $k=0$ по определению подразумевает символ $C$ ). Таким образом, девяносто шестой, например, символ последовательности пекаря есть $L$, так как $96=3 \cdot 2^{5}$, а 5 – число нечетное.

Одним из общих следствий нашего правила является то, что все члены с нечетными $k$ суть $R$ (включая последний член каждой периодической орбиты с $P=2^{n}$ ). А все члены с $k$, равными степеням двойки $\left(k=2^{q}\right.$ ), чередуют $L$ и $R$.

Иррациональное число, построенное с помощью последовательности Морса-Туэ, интерпретируемой как двоичная дробь $0,0110100110010110 \ldots=0,4124 \ldots$, которую можно назвать постоянной Морса-Туэ, имеет самое непосредственное отношение к сценарию бифуркации удвоения периода и к множеству Мандельброта (см. c. 381-386).

Окна периодичности в хаосе
Зрение должно учиться у разума.
ИоганН КеПлеР
На рис. 10 А показано «поведение» итерированной логистической параболы, т.е. значения ее итераций $x_{n}$ при увеличении параметра $r$

Рис. 10. (А) Итерации квадратичного отображения как функция от параметра роста. Каскад бифуркаций удвоения периода, начинаясь слева, переходит в хаос справа, где итерации принимают хаотический характер. Полосы хаоса перемежаются «окнами периодичности», в которых итерации снова становятся периодическими. Наиболее заметно окно с периодом 3 , начинающееся при $r \approx 3,83$. (Б) На увеличенном центральном участке окна с периодом 3 виден еще один каскад удвоения периода, за которым следует второе окно периода 3 (длина периода 9 ).

от 3 до 4. Каскад бифуркаций удвоения периода сменяется хаосом (плотно заполненные полосы), который перемежается «окнами периодичности». На самом деле значения параметра $r$, соответствующие окнам периодичности, всюду плотны, но на древообразном графике (рис. 10A), иногда называемом деревом Фейгенбаума («фиговым деревом» ${ }^{1}$ ), видны лишь немногие точки бифуркации. Наиболее заметно окно с периодом 3 , которое начинается при $r=\sqrt{8}+1$ (рис. $10 \mathrm{~A}$ ). Из работы Ли и Йорка нам известно, что коль скоро наблюдается период 3 , то существуют и все остальные периоды [146].

Заметим, что в окне периода 3 снова происходит удвоение, приводящее к орбитам с длинами периода $6,12,24$ и т. д., и возникает новый
${ }^{1}$ Feigenbaum (нем.) — «фиговое дерево». – Прим. перев.

Рис. 11. Обратная бифуркация хаотических полос по мере того, как параметр роста уменьшается ниже 3,68 [122].
хаос, в который вложено другое онно с периодом 3, и т.д. ad infinitum в еще одном самоподобном каскаде (рис. 10Б).

Интересно отметить, что в хаотических полосах при уменьшении параметра $r$ от его наивысшего значения $r=4$ также наблюдается бифуркация, известная под названием обратной бифуркации. Когда значение параметра $r$ становится чуть меньше 3,68 , бывшая до того единой хаотическая полоса расщепляется на две (рис. 11), а при $r$ близком к 3,6 , эти две хаотические полосы расщепляются на четыре и т. д., тем самым как бы воспроизводя бифуркации удвоения периода, наблюдаемые при возрастании параметра $r$. При этом каждую хаотическую полосу разрывает пополам затаившийся «призрак» соответствующей бифуркации удвоения периода.

Причина бифуркации хаотических полос при уменьшении параметpa $r$ легко объяснима и аналогична причине бифуркации периодических орбит. Рассмотрим значение $\tilde{r}_{1}$ параметра $r$, при котором третья итерация $x_{3}$ начального значения $x_{0}=0,5$ попадает на неустойчивую неподвижную точку $x^{*}=1-1 / \widetilde{r}_{1}$. Для $\widetilde{r}_{1}$ в этом случае получаем уравнение $\widetilde{r}_{1}^{3}\left(4-\widetilde{r}_{1}\right)=16$, откуда $\widetilde{r}_{1}=3,678573510 \ldots$ При значениях $r$ несколько меньших, чем $\widetilde{r}_{1}$, третья итерация $x_{3}$ немного «недотягивает» до $x^{*}$, а четвертая итерация $x_{4}$ чуть превосходит $x^{*}$, что создает в окрестности точки $x^{*}$ «окно», в которое не может попасть ни одна итерация.

Аналогично при значениях $r$, чуть меньших, чем $\widetilde{r}_{2}=3,5925721841 \ldots$, при котором итерации начального значения $x_{0}=0,5$ попадают на неустойчивую 2-орбиту, происходит бифуркация двух хаотических полос в четыре. Более того, темные синусоидальные контуры, видимые на диаграмме Фейгенбаума (рис. 11), включая верхний и нижний края хаотических полос, являются образами стационарной точки $x=0,5$. В точках пересечения этих контуров происходит слияние хаотических полос, а там, где контуры касаются верхнего и нижнего краев, открываются окна периодичности $[150,122]$.

Интересно, что значения параметра $\widetilde{r}_{m}$, при которых сливаются $2^{m-1}$ и $2^{m}$ хаотических полос, образуют убывающую асимптотически геометрическую прогрессию с той же точкой сгущения ( $r=$ $=3,5699 \ldots$ ), что и при бифуркациях удвоения периода. Остается тем же и коэффициент подобия – постоянная Фейгенбаума $\delta=4,6692 \ldots$

Значения $\tilde{r}_{m}$ соответствуют также значениям параметра для точек сгущения последовательных строк порндка орбит, известного под названием «порядка Шарковского» (см. с. 369), так как их символические динамики совпадают. Например, хаотические динамики двух хаотических полос (начинающихся с $x_{0}=0,5$ ), т.е. $C R L R^{2}(R L)^{\infty}$, совпадают с символическими динамиками для точки сгущения орбит с длинами периода $4 \cdot 3,4 \cdot 5,4 \cdot 9, \ldots$ (см. с. 372 ).

Порядок, в котором итерации $x_{n}$ попадают в $2^{m}$ различных хаотических полос, совпадает с порядком итераций в устойчивой орбите с длиной периода $P=2^{m}$. Например, как для 4-орбиты, так и для четырех хаотических полос, итерации, начиная с наибольшей $x_{1}$, располагаются в следующем порядке: $x_{1}>x_{3}>x_{4}>x_{2}$. Этот порядок получается из порядка $x_{1}>x_{2}$ при $P=2$ путем расщепления каждой итерации $x_{i}$ на две итерации $x_{i}$ и $x_{i+P}$ и обращения порядка в каждой второй паре итераций. Таким образом, мы легко получаем порядок для $P=8$, т.е. $x_{1}>x_{5}>x_{7}>x_{3}>x_{4}>x_{8}>x_{6}>x_{2}$, из порядка $x_{1}>x_{3}>x_{4}>x_{2}$ для $P=4$.

Упорядочение итераций $x_{n}$ в соотзетствии с их значениями можно также получить из кода Грея (который, в свою очередь, связан с заполняющей пространство кривой Гильберта; см. гл. 1, с. 34-36). Например, чтобы вывести правильный порядок восьми итераций $x_{n}$ ( $n=$ $=1,2, \ldots, 8$ ), представим трехзначные коды Грея (в которых при каждом шаге меняется одна цифра, начиная с крайней левой) как обычные двоичные числа и добавим единицу, чтобы получить индекс $n$ итерации $x_{n}$ :
\[
\begin{array}{l}
0=000=x_{1}, \\
1=100=x_{5}, \\
2=110=x_{7}, \\
3=010=x_{3}, \\
4=011=x_{4}, \\
5=111=x_{8}, \\
6=101=x_{6}, \\
7=001=x_{2} .
\end{array}
\]

Тесное соответствие между бифуркациями удвоения периода и обратными бифуркациями хаотических полос, с которыми мы бегло ознакомились – это лишь одна из многих увлекательнейших особенностей квадратичного отображения.

Порождение новых орбит
На с. 359-360 мы привели описание алгоритма построения символической динамики сверхустойчивых орбит, возникающих при удвоении периода. Этот алгоритм допускает существенное обобщение. Так, правило «записать последовательность символов $C R \ldots$ дважды и заменить второй символ $C$ на $L$ (или $R$ ), если число символов $R$ в исходной последовательности нечетно (или четно)» применимо не только к фундаментальным периодам длиной $P=2^{n}$, но к периодам любой длины. Действуя таким образом, можно видеть, что сверхустойчивая орбита, длина периода которой равна 3 , а символическая динамика имеет вид $C R L$, удваивается через $C R L C R L$ в $C R L L R L$. Новая орбита, в свою очередь, переходит после удвоения периода в орбиту с символической динамикой $C R L^{2} R L R^{2} L^{2} R L$ и т. д. Возникает бесконечный каскад орбит с периодами $3 \cdot 2^{n}$.

В более общем виде: орбиты с периодами $k \cdot m^{n}$ могут быть получены из орбиты $P$ с длиной периода $k$ и орбиты $Q$ с длиной периода $m$. Для получения периода $k \cdot m$ мы копируем $m$ раз символическую динамику орбиты $P$ и заменяем один за другим $m-1$ символов $C$ (кроме первого) символами орбиты $Q$, заменяя $L$ на $R$ и $R$ на $L$, если число символов $R$ в $P$ нечетно. (Первый символ $C$ в орбите $Q$ во внимание не принимается.) Например, 2-орбита $C R$ утраивается с помощью 3 -орбиты $C R L$ следующим образом: прежде всего 2 -орбита трижды копируется ( $C R C R C R$ ), затем второй и третий символы $C$ заменяются дополнениями второго и третьего символов орбиты $C \underline{R L}$. В результате мы получаем орбиту $C R \underline{L} R \underline{R} R$ с длиной периода 6 , отличающуюся от ранее описанной орбиты $C R L^{2} R L$. (Алгоритм удвоения периода, о котором шла речь в предыдущем разделе, представляет собой не что иное, как частный случай рассматриєаемого здесь закона композиции c $Q=C R$ ).

Какая из только что описанных двух орбит с длиной периода 6 «доминирует» над другой? По определению, это зависит от первого символа, которым они отличаются. Если число символов $R$ в начальных, одинаковых, отрезках двух последовательностей нечетно (четно), то доминирует та из орбит, у которой первый отличающийся от другой последовательности символ есть символ $L$ или $C(R)$. Из сказанного следует, что орбита $C R L^{2} R L$ доминирует над орбитой $C R L R^{3}$. Сверхустойчивое значение параметра $r$ орбиты, доминирующей над другой орбитой, есть наибольшее из двух сверхустойчивых значений. Действительно, орбите $C R L^{2} R L$ соответствует приближенное значение $r \approx 3,8445688$, тогда как орбите $C R L R^{3}$ соответствует значение $r \approx 3,6275575$.

Особенно привлекателен эквивалентный алюритм «умножения» двух орбит с длинами периодов $p_{1}$ и $p_{2}$, порождающий орбиту периода $p_{1} p_{2}$. Он заключается в следующем. Запишем символическую динамику орбиты как последовательность знаков плюс и минус (плюс соответствует любому из символов $L$ или $C$, минус – символу $R$ ). Последнее соглашение отражает то обстонтельство, что угловой коэффициент унимодальных отображений отрицателен справа от максимума. Так, сверхустойчивая орбита $p_{1}=3$ с символической динамикой $C R L$ записывается в виде +-+ . Затем мы выписываем самый левый знак, а каждый последующий знак заменяем его произведением с предыдущим. В результате такого преобразования из последовательности знаков +- + получаем новую последовательность + – -, которую условимся называть $\sigma$-последовательностью орбиты. Аналогично $\sigma$-последовательность сверхустойчивой орбиты $C R$ с длиной периода $p_{2}=2$ имеет вид +- .

Введенные нами $\sigma$-последовательности позволяют свести умножение периодов к простому приписыванию одной $\sigma$-последовательности к другой. Например, удвоение периода любой орбиты мы получаем, приписывая к ее $\sigma$-последовательности такую же последовательность, но с измененными знаками – в соответствии с действием «оператора» +- , т.е. $\sigma$-последовательности орбиты с длиной периода 2. Если придерживаться такого правила, то каскад удвоений периода выглядит следующим образом. Начнем с неподвижной точки $C$, которая имеет период $p=1$ и поэтому соответствует $\sigma$-последовательности, состоящей из одного-единственного знака ( $\sigma_{0}=+$ ). Тогда
\[
\begin{array}{ll}
p=1+ & C \\
p=2+- & C R \\
p=3+–+ & C R L R \\
p=4+–+-++- & C R L R^{3} L R
\end{array}
\]

и т.д. Такое итеративное построение $\sigma$-последовательностей орбит с длинами периода $2^{n}$ («приписывание дополнения»), конечно же, приводит к уже знакомой нам самоподобной последовательности МорсаТуэ, порождаемой тем же правилом.

Чтобы восстановить символическую динамику, мы выписываем символ $C$ и приписываем к нему справа символы $R$ и $L$ в зависимости от того, отличается ли очередной знак в $\sigma$-последовательности от предыдущего или совпадает с ним, как это было только что показано для $p=2,3$, и 4 .

Для того чтобы утроить длину периода орбиты, мы приписываем к $\sigma$-последовательности две ее «кошии» со знаками, измененными в соответствии с $\sigma$-последовательностью + – – 3-орбиты. Таким образом, каскад утроения периода состоит из следующих $\sigma$-последовательностей (начиная с $\sigma_{0}=+$ ):
\[
\begin{array}{ll}
p=1+ & C \\
p=3+– & C R L \\
p=9+—++-++ & C R L^{2} R L R^{2} L
\end{array}
\]

и т.д. Получающуюся в результате такого построения бесконечную самоподобную $\sigma$-последовательность $\sigma_{3 k}=\sigma_{k}$ можно рассматривать как обобщение последовательности Морса-Туэ.

Заметим, что $k$-й символ $s_{k}, k>0$, в символической динамике утроенного периода мы получим, представив индекс $k$ в виде $k=3^{m} \cdot q$, где $q=1$ или $2 \bmod 3: s_{k}=L$, если оба числа $m$ и $\langle q\rangle_{3}=q \bmod 3$ являются четными или нечетными. Если же четности чисел $m$ и $\langle q\rangle_{3}$ различны, то $s_{k}=R$. Заменяя символ $R$ числом -1 , а символ $L$ числом +1 , получаем $s_{k}=(-1)^{m+\langle q\rangle_{3}}$. Например, при $k=405=3^{4} \cdot 5$ символ $s_{k}$ равен $(-1)^{4+2}=1=L$.
«Вторая гармоника» 3 -орбиты $C R L$ с $\sigma$-последовательностью + – имеет $\sigma$-последовательность +—++ , соответствующую 6-орбите с символической динамикой $C R L^{2} R L$. Она получается путем приписывания $\sigma$-последовательности + – – себе самой с противоположным знаком. Аналогично $\sigma$-последовательность утроенной 2 -орбиты $C R$ ( $\sigma$-последовательность +- ) получается в результате двукратного приписывания последовательности $+-\mathrm{k}$ себе самой с противоположными знаками, в соответствии с оператором утроения периода +- . Это дает $\sigma$-последовательнос ьь +–+-+ , соответствующую орбите $C R L R^{3}$, которая была выведена нами ранее с помощью менее изящного правила.

Мы еще встретимся с $\sigma$-последовательностями при вычислении параметра роста линеаризованного логиетического отображения (так называемого отображения «палатка») в следующем разделе.

Другой алгоритм построения новой орбиты состоит в интерполяции между двумя известными орбитами $P$ и $Q$; для этого необходиимо взять пересечение гармоники $H(P)$ орбиты $P$ и антигармоники $A(Q)$ орбиты $Q[180]$. Гармоника орбиты $P$ строится, как и прежде, приписыванием символической динамики орбиты $P$ к самой себе и заменой второго $C$ на $L$ (или $R$ ), если число символов $R$ в орбите $P$ нечетно (или, соответственно, четно). Антигармоника орбиты $Q$, которая, вообще говоря, не является допустимой периодической орбитой, определнетс также, как и гармоника, за исключением того, что при замене второго символа $C$ символы $R$ и $L$ меняются местами. Таким образом, $\sigma$-последовательность антигармоники получается путем приписывания исходной $\sigma$-последовательности к себе самой без изменения знака. (Возможно, кто-нибудь из читателей захочет вывести правила, позволяющие отличать допустимые орбиты от недопустимых.)

Например, гармоника орбиты $P=C R$ есть орбита $H(P)=$ $=C R L R$, а антигармоника орбиты $Q=C R L^{\infty}$ есть последовательность $A(Q)=C R L^{\infty} R R L^{\infty}$. Пересечением этих двух последовательностей, т.е. последовательностью, в которой начальные символы последовательностей $H(P)$ и $A(Q)$ совпадают, является «дочерняя» орбита $C R L$ с длиной периода 3 . Согласно этому правилу, значение параметра $r$ дочерней орбиты всегда лежит между значениями параметров двух исходных орбит. Отсюда и название – интерполяция орбит. Повторяя построение гармоник и интерполяцию, можно построить все орбиты отображения от «первой» $(C)$ до «последней» $\left(C R L^{\infty}\right)$.

Различные длины периода $P$ устойчивых периодических орбит унимодальных отображений следуют некоторому универсальному порядку. Пусть $r_{p}$ – значение параметра роста $r$, при котором впервые при возрастании $r$ появляется устойчивый период длиной $p$. Тогда $r_{p}>r_{q}$, если $p \succ q$ (читается: $p$ предшествует $q$ ) в следующем порядке Шарковского:
\[
\begin{array}{l}
3 \succ 5 \succ 7 \succ \ldots \\
2 \cdot 3 \succ 2 \cdot 5 \succ 2 \cdot 7 \succ \ldots \\
\ldots \\
2^{n} \cdot 3 \succ 2^{n} \cdot 5 \succ 2^{n} \cdot 7 \succ \ldots \\
\ldots \\
\ldots \succ 2^{m} \succ \ldots \succ 4 \succ 2 \succ 1 .
\end{array}
\]

Так, минимальное значение $r$ для орбиты с длиной периода $p=10=5 \cdot 2$ больше, чем минимальное значение $r$ для орбиты с длиной периода $p=$ $=12=4 \cdot 3$, так как в этой колдовской алгебре $10 \succ 12$.

Перечислим некоторые следствия, проистекающие из порядка Шарковского:
– Существование периода длиной $p=3$ гарантирует существование периода любой другой длины $q$ для некоторого $r_{q}<r_{p}$.
– Если встречается только конечное число длин периодов, то эти длины должны быть равны степеням двух, т.е. $p=$ $=2^{k}, 2^{k-1}, \ldots, 4,2,1$ для незоторого $k$.
– Если существует период с длиной, отличной от степени двух, то существует бесконечно много различных периодов.
Сверхустойчивые орбиты при наименьшем значении параметра $r_{p}$ имеют символическую динамику $C R L R^{p+3}$ при нечетных длинах периода $p \geqslant 3$. «Последняя» сверхустойчивая орбита с длиной периода $p$, т.е. орбита с наибольшим значением $r_{p}$, обладает символической динамикой $C R L^{p-2}[36]$. Например, последняя сверхустойчивая 6 -орбита имеет символическую динамику $C R L^{4}, r \approx 3,9975831$.

Вышеприведенные рассуждения являются следствием из теоремы Шарковского о существовании и упорядочении орбит в соответствии с уже упомянутым определением предшествования по Шарковскому при фиксированном значении $r$ [238]. Однако большинство этих орбит неустойчиво. (Они являются «призраками» тех орбит, которые были устойчивы при меньших значениях $r$. Неподвижная точка $x^{*}=1-1 / r$, например, сохраняется даже при $r>3$, где она становится неустойчивой.) Более того, как показал Д. Сингер, унимодальные («одногорбые») отображения $f(x)$ с отрицательной производной Шварца
\[
\frac{f^{\prime \prime \prime}(x)}{f^{\prime}(x)}-\frac{3}{2}\left(\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f^{\prime}(x)}\right)^{2}
\]

имеют самое большее одну устойчивую орбиту [243]. (Здесь предполагается, что $f(x)$ – трижды непрерывно дифференцируемая функция, отображающая единичный интервал на себя.)

Например, при $r=3,83187405529$ и $x_{0}=0,5$ мы получаем сверхустойчивую орбиту $C R L$ с длиной периода 3 , а выбрав $x_{0}=1-1 / r=$ $=0,73903108882-$ неустойчивую орбиту с длиной периода 1 . При $x_{0}=$ $=0,89208905218$ получим неустойчивую орбиту с длиной периода 2. Другие начальные значения приводят к неустойчивой 4-орбите, происходящей от орбиты $C R L R$. Однако 4-орбиту, происходящую от орбиты $C R L L$, невозможно реализовать при $r=3,83 \ldots$, так как $C R L L$ доминирует над орбитой $C R L$. Предоставляем читателю самостоятельно найти начальные значения для других длин периода (так как при $r=$ $=3,83 \ldots$ возможен период длины 3 , то, согласно теореме Шарковского, возможны и все остальные периоды).

Вычисление параметров роста для различных орбит
Предположим, что дана сверхустойчивая орбита с символической динамикой $Q=C R L \ldots$ Чему равно соответствующее ей значение параметра роста $r$ ? Один из методов вычисления $r$ состоит в итерационной подгонке $r$ в формуле $f(x)=r x(1-x)$ до тех пор, пока не будет достигнуто равенство $f^{(p)}(0,5)=0,5$, где $p$ – длина периода орбиты, а $f^{(p)}-p$-я итерация отображения $f(x)$. Однако для тех областей, где скапливаются значения $r$ для «подобных» орбит, этот метод, скорее всего, неприменим. Под подобными мы понимаем в данном случае орбиты с одинаковой четностью (числом символов $R$ ) и длинами периодов, на которые делится длина периода $p$. Кроме того, разумеется, важно удачно выбрать начальное значение $r$.

Спутать нужную орбиту с какой-нибудь другой совершенно невозможно, если при вычислениях значения $r$ мы будем принимать во внимание не только четность и период орбиты, но и ее символическую динамику. Для того, чтобы воспользоваться предлагаемым нами методом, удобно перейти к другой часто применяемой форме квадратичного преобразования $g(x)=1-\mu x^{2}$ с помощью линейной замены независимой переменной $x$. Новый параметр роста $\mu$ связан с $r$ соотношением $\mu=r(r-2) / 4$, или $r=1+\sqrt{(1+4 \mu)}$. При такой записи квадратичного отображения максимум приходится на $x=0$. Следовательно, сверхустойчивая орбита содержит значение $x=0$.

Рассмотрим в качестве примера 5 -орбиту с наименьшим значением $r$, которая обладает символической динамикой $C R L R^{2}$. Выбираем $x_{0}=x_{5}=0$. Так как $g(0)=1, g_{R}\left(g_{R}\left(g_{L}\left(g_{R}(1)\right)\right)\right)=0$. Индексы $R$ и $L$ в последнем уравнении напоминают нам, какая ветвь параболы $g(x)$ вступает в игру при соответствуюцей итерации. Эти сведения необходимы нам для того, чтобы обратить уравнение. Обращая его, получаем
\[
1=g_{R}^{-1}\left(g_{L}^{-1}\left(g_{R}^{-1}\left(g_{R}^{-1}(0)\right)\right)\right),
\]

где
\[
g_{R}^{-1}(x)=+\sqrt{\frac{1-x}{\mu}},
\]
a
\[
g_{L}^{-1}(x)=-\sqrt{\frac{1-x}{\mu}} .
\]

Умножая уравнение (1) на $_{\text {м, }}$, получаем
\[
\mu=\sqrt{\mu+\sqrt{\mu-\sqrt{\mu-\sqrt{\mu}}}} .
\]

Значение $\mu$ из этого соотношения можно определить с помощью итераций, как предложил X. Каплан. Если начать с $\mu_{0}=2$, то правильное значение параметра для орбиты $C R L R^{2}$ получается быстро и без каких бы то ни было неоднозначностей: $\mu=1,625413725 \ldots$, что соответствует $r \approx 3,738914913$.

Для произвольной допустимой орбиты $C R L \ldots$ знаки плюс или минус в соотношении (2) определяются символической динамикой (символ $R$ соответствует знаку минус, а символ $L-з$ знаку плю). Первый знак под радикалом (плюс) соответствует первому символу $L$ после начальной группы $C R$ в $C R L \ldots$

Соотношение (2) особенно полезно для вычисления значений параметра в точках сгущения некоторых орбит. Например, взглянув на порядок Шарковского, мы, возможно, захотим узнать, при каком значении $\mu$ сгущаются орбиты с нечетными длинами периода $p=$ $=3,5,7,9, \ldots$ Как уже отмечалось, эти орбиты имеют символическую динамику $C R L R^{p-3}$, поэтому при $p \rightarrow \infty$ соотношение (2) принимает вид
\[
\mu=\sqrt{\mu+\sqrt{\mu-\sqrt{\mu-\sqrt{\mu \cdots}}}}
\]

с бесконечной последовательностью знаков минус. Положим $\mu-$ $-\sqrt{\mu-\sqrt{\mu \ldots}}=x$. Тогда $x=\mu-\sqrt{x}$. Исключая $x$, приходим к кубическому уравнению для $\mu$, а именно, к уравнению $\mu^{3}-2 \mu^{2}+2 \mu-$ $-2=0$ с корнем $\mu=1,543689012 \ldots$, который соответствует $\widetilde{r_{1}}=$ $=3,67857351 \ldots\left(=\mu^{3}\right)$. Это также то самое значение параметра, при котором сливаются две хаотические полосы, потому что они имеют одинаковую символическую динамику (см. с. 361-364).

Поскольку орбиты с четными длинами периода вида $p=2 \cdot 3,2 \cdot 5$, $2 \cdot 7, \ldots$ имеют ту же символическую динамику $C R L R^{p-3}$, что и орбиты с нечетными длинами периода, они сгущаются при одном и том же значении параметра, но приближаются к нему снизу.

Аналогично определяется и значение параметра $\widetilde{r}_{2}$ точки сгущения орбит с длинами периода $p=4 \cdot 3,4 \cdot 5,4 \cdot 7,4 \cdot 9, \ldots$ и символической динамикой $C R L R^{3}(L R)^{p / 2-3}$. Параметр $\widetilde{r_{2}}=3,5925721841 \ldots$; при этом значении параметра, кроме того, происходит слияние четырех хаотических полос в две.

Орбиты $C L^{n}, n \rightarrow \infty$, приводят в точке сгущения к соотношению $\mu=\sqrt{\mu+\sqrt{\mu \ldots \ldots}}$, т.е. $\mu=\sqrt{(\mu+\mu)}$, с решением $\mu=2$ (что соответствует $r=4$ ).

Другое «одногорбое» отображение – кусочно-линейное отображение «палатка» – имеет вид
\[
f(x)=\lambda(1-|x-1|), \quad 0 \leqslant x \leqslant 2
\]

и гораздо лучше поддается анализу, чем квадратичное отображение [47]. Тем не менее, отображение (3) имеет много общих с квадратичным отображением свойств, в частности, аналогичные порядок орбит и их символическую динамику при увеличении параметра $\lambda$ от 1 до 2 . (Iравда, некоторые орбиты, существующие при квадратичном отображении, отсутствуют в отображении (3) – например, те, что вытекают из удвоения периода. Кроме того, поскольку $\left|f^{\prime}(x)\right|>1$ при $\lambda>1$, отображение «палатка» не имеет устойчивых орбиг.)

Особенно просто определить значение параметра $\lambda$ для данной орбиты $C R L \ldots$; нужно лишь решить уравнение
\[
\sum_{k=1}^{P} \frac{\sigma_{k}}{\lambda^{k}}=0 .
\]

Для итераций с начальным значением, скажем, $\lambda=1,5$, уравнение (4) удобнее представить в следующем виде (здесь также подразумевается, что $\sigma_{1}=1$ и $\sigma_{2}=-1$ ):
\[
\lambda=1-\sum_{k=3}^{P} \frac{\sigma_{k}}{\lambda^{k-2}}=0, \quad 1<\lambda<2 .
\]

Коэффициенты $\sigma_{k}$ равны +1 (или -1 ) в зависимости от того, четно или нечетно число символов $R$ слева от $k$-го символа орбиты $C R L \ldots$ (включая и $k$-й символ). Например, для орбиты $C R L$ с длиной периода $P=3$ уравнение (5) имеет вид $\lambda=1+1 / \lambda$. Ему удовлетворяет решение $\lambda=(\sqrt{5}+1) / 2=1,618 \ldots$ Для «низшей» из трех 5-орбит ( $C R L R R$ ) уравнение (5) имеет решение $\lambda=1+1 / \lambda-1 / \lambda^{2}+$ $+1 / \lambda^{3} \approx 1,5128763968$. (Заметим, что коэффициент $\sigma_{3}$ всегда равен -1 , так как в противном случае уравнение (5) не имело бы решений при $1<\lambda<2$.)

Коэффициенты $\sigma_{k}$ есть не что иное, как элементы $\sigma$-последовательности, которую мы ввели на с. 366 , чтобы упростить построение новых орбит из уже известных. В определенном смысле $\sigma$-последовательности являются наиболее полезной формой динамики квантованных орбит унимодальных отображений.

С помощью уравнения (5) можно очень просто найти общую точку сгущения для орбит с нечетными длинами периода $p$ и орбит с длинами периода $p$ вида $2 \cdot 3,2 \cdot 5,2 \cdot 7, \ldots$ Как уже отмечалось, общая символическая динамика таких орбит имеет вид $C R L R^{p-3}$. Ей соответствует $\sigma$-последовательность $+–+-+-+-\ldots$, т.е. $\sigma_{k}=(-1)^{k}$ при $k \geqslant 3$. Следовательно, длн $p \rightarrow \infty$ получаем $\lambda=1+1 /(\lambda+1)$, откуда $\lambda=\sqrt{2}$.
При конечном $p$ решение определяется выражением
\[
\lambda^{2}=2-\frac{(-1)^{p}}{\lambda^{p-2}}
\]

или, асимптотически,
\[
\lambda \approx \sqrt{2}\left[1-\frac{(-1)^{p}}{2 \sqrt{2 p}}\right] .
\]

Таким образом, разности между значениями $\lambda$ для последовательных нечетных (или четных) орбит и их точкой сгущения $\lambda=\sqrt{2}$ при увеличении периода в 2 раза образуют асимптотически геометрическую прогрессию с знаменателем $1 / 2$. Это значение сравнимо с знаменателем $1 / 4,669 \ldots$ для последовательности удвоения периода квадратичного отображения. Но если значения параметра орбит с удвоенными периодами заключены в смежных интервалах, то между значениями параметра, соответствующими 3 и 5 или другим последовательным нечетным длинам периода, «вклиниваются» многие другие орбиты.

Еще одно полезное свойство $\sigma$-последовательности состоит в том, что уравнение (4) может быть факторизовано для орбит, порожденных исходными («родительскими») орбитами, что приводит к возникновению интересных соотношений между значениями параметра $\lambda$ исходных и дочерних орбит. Например, для 6-орбиты с $\sigma$-последовательностью +–+-+ (утроенная 2 -орбита) $\lambda=\lambda_{3}^{1 / 2}$, где $\lambda_{3}$ – параметр 3 -орбиты +- .

Касательные бифуркации, перемежаемость и $1 / f$-шум

При $r=1+\sqrt{8}$ мы можем наблюдать странное явление – так называемую касательную бифуркацию. Если параметр $r$ чуть меньше $1+\sqrt{8}$ (рис. 12), то итерации оказываются надолго «запертыми» между логистической параболой и прямой $x_{n+1}=x_{n}$. На рис. 13 вы видите перемежающиеся импульсы с длиной периода 3 при $r=1+\sqrt{8}-10^{-4}$. Спектральная функция такого процесса убывает как $1 / f$, где $f$ – частота. Этот феномен, называемый перележаемостью, является одним из главных механизмов образования $1 / f$-шума в природе.

Рис. 12. Запертые итерации около касательной бифуркации при $r=1+$ $+\sqrt{8}-10^{-4}$.

Рис. 13. Перемежаемость при параметре роста чуть ниже параметра касательной бифуркации: импульсы с длиной периода 3 перемежаются со случайными импульсами.

Если $r$ чуть больше $1+\sqrt{8}$, то третья итерация квадратичного отображения $f^{(3)}(x)$ (рис. 14) приобретает шесть дополнительных неподвижных точек: три с угловым коэффициентом, превышающим по абсолютной величине единицу (принадлежат неустойчивой орбите с длиной периода 3), и три с угловым коэффициентом, который по абсолютной величине меньше единицы (принадлежат устойчивой орбите с длиной периода 3). Это и есть та самая 3-орбита, гарантирующая существование орбит (пусть неустойчивых) с любыми другими длинами периода при том же значении параметра. Это сосуществование бесконечного множества неустойчивых орбит Ли и Йорк назвали хаотическим, а тот факт, что «период 3 – предтеча хаоса», был обнародован ими в одноименной статье еще в 1975 г. [146].

При уменьшении параметра $r$ ниже $1+\sqrt{8}$ все эти орбиты становятся устойчивыми на малых, но конечных интервалах параметра роста. Все периоды орбит, кроме $p=2$ и $p=3$, устойчивы на более чем одном интервале значений $r$. Если $p$ – нечетное простое число, то число таких интервалов для различных орбит равно $\left(2^{p-1}-1\right) / p$. Касательная бифуркация, вместе с бифуркацией удвоения периода (типа «вилки»), является основным источником новых орбит.

Заметим, что интервалы значений $r$ плотны, т.е. значения параметра, при которых не существует устойчивых орбит, не образуют интервалов. Тем не менее, они обладают положительной мерой Лебега. Это означает, что при случайном выборе параметра роста существу-

Рис. 14. Трижды итерированное квадратичное отображение при значении параметра роста чуть выше $1+\sqrt{8}$. Благодаря «касательной бифуркации» это итерированное отображение получило шесть дополнительных неподвижных точек. Три из шести устойчивы (абсолютный угловой коэффициент меньше единицы) и принадлежат устойчивой 3-орбите, которую можно увидеть на рис. 10 и 11.

ет ненулевая вероятность выйти на апериодическую орбиту. Ситуация с апериодическими орбитами напоминает ситуацию с иррациональными числами, которые также имеют положительную меру Лебега, хотя и не образуют интервалов. Разумеется, никакой автомат с конечным числом внутренних состояний, например, цифровой компьютер (не говоря об аналоговых машинах), не позволит доказать, что апериодическая орбита апериодична.

Если не считать бифуркаций удвоения периода, начинающихся с устойчивой неподвижной точки и заканчивающихся при $r=$ $=3,5699 \ldots$, то диапазон значений параметра $r$, соответствующих длине периода 3 , больше, чем аналогичный диапазон для любой другой длины периода. «Окно» периода 3 на диаграмме Фейгенбаума (рис. 10A), таким образом, шире остальных окон периодичности, и к тому же его (одно из немногих) видно невооруженным глазом, без «увеличительного стекла» (т.е. без компьютерной программы, которая для лучшей видимости увеличивает малый интервал значений параметра роста). При достаточно сильном увеличении в каждом из окон периодичности можно разглядеть бифуркации удвоения периода – такие, как на рис. $10 Б$, причем все они регулируются все той же постоянной Фейгенбаума $\delta=4,6692 \ldots$.

Полный хаос

Для квадратичного отображения особенно интересно значение параметра роста $r=4$. Преобразование
\[
y=\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi} \arcsin (1-2 x), \quad 0 \leqslant y \leqslant 1
\]

переводит квадратичное отображение в еще одно отображение «палатка»
\[
y_{n+1}=1-\left|2 y_{n}-1\right|,
\]

состоящее из двух прямолинейных отрезков с угловыми коэффициентами +2 и -2 и максимума при $y_{n}=0,5$ (рис. 15 ).
Рис. 15. Хаотическое отображение «палатка» $y_{n+1}=1-\left|2 y_{n}-1\right|$.
Перевернув правую половину «палатки» $\left(y_{n+1} \rightarrow 1-y_{n+1}\right.$ для $\left.y_{n}>0,5\right)$, получим необычайно простое отображение двоичного сдвига (сдвига Бернулли):
\[
y_{n+1}=2 y_{n} \bmod 1 .
\]

Если записать $y_{n}$ в виде двоичной дроби, то отображение (2) представляет собой не что иное, как сдвиг цифр этой дроби влево на один знак с отбрасыванием единицы, «выступающей» влево за двоичную запнтую. Под действием двоичного сдвига любое значение $y$, представимое в виде конечной двоичной дроби, в конце концов отображается в нуль. В общем случае рациональные значения $y$, представимые в виде периодических двоичных дробей, порождают периодические орбиты. В отличие от них иррациональные значения $y$, т. е. почти все значения $y$ из интервала $(0,1)$, порождают непериодические орбиты.

Хотя при $r=4$ почти все начальные значения $y$ из интервала $(0,1)$ приводят к апериодическим орбитам, такие апериодические значения $y$ не образуют интервалов. Более того, начальные значения, порождающие периодические орбиты, плотны в $(0,1)$. Чтобы убедиться в этом, оборвем некоторое данное значение $y$ после сколь угодно большого числа двоичных знаков и периодически повторим оставшиеся знаки. Например, ограничив $y=0,10110001 \ldots$ в пределах $2^{-5}$, получим начальное значение с длиной периода 5 , т.є. $y_{0}=0,(10110)$ (длина периода может быть сколь угодно большой).

Если не выбирать в качестве начальных значений $y_{0}$ «ненормальные» двоичные числа (см. гл. 11, с. 316-319), то итерации иррациональных $y_{0}$ заполняют единичный интервал с равномерной плотностью. Такое распределение называется инвариантным распределением отображения, так как если случайная величина первоначально имеет такое распределение, то оно остаетс неизменным и после итераций. Вследствие равномерного распределения значений $y$ инвариантное распределение $p(x)$, связанное с $y$ соотношением (1), представляет собой $U$-образное распределение, хорошо известное из закона арксинуса в теории случайных блужданий:
\[
p(x)=\left|\frac{d y}{d x}\right|=\frac{1}{\pi}[x(1-x)]^{-1 / 2}, \quad 0<x<1 .
\]

Это распределение, представленное на рис. 16, после надлежащего масштабирования и сдвига, аппоксимирует также инвариантные распределения в хаотических полосах при других значениях параметра.

Отображение (2) может также служить великолепной иллюстрацией того, что имеют в виду, когда говорят о детерминированном хаосе. Предположим, что начальное условие физической динамической системы представлено значением $y_{0}$ с некоторой конечной точностью. Например, ограничившись точностью в восемь двоичных знаков, получим
\[
y_{0}=0,10110101_{111}^{000} \cdots,
\]

где двухъярусная запись после восьмого знака отражает то обстоятельство, что мы не знаем, будет ли какой-либо знак, начиная с девятого,

Рис. 16. Инвариантное распределение квадратичных итераций при $r=4$. Большинство итераций скапливаются около $x=0$ и $x=1$ [36].

нулем или единицей. Из-за такого неизбежного отсутствия абсолютной точности, девятая и более высокие итерации начального значения $y_{0}$ имеют вид
\[
y_{k}=0,{ }_{111}^{000} \ldots,
\]
т.е. принимают любые возможныє значения из единичного интервала в абсолютно непредсказуемой последовательности. Именно так детерминированный закон, включающий в себя и соотношение (2), дает хаотические результаты, которые весьма удачно называются детерминированным хаосом. Даже при вполне детерминированных динамических законах начальные условия, заданные с конечной точностью, при надлежащем увеличении в конце концов дают совершенно непредсказуемые результаты.

Это, однако, произойдет только в случае, если определяющий итерации закон будет нелинейным и, более того, не обратимым однозначно. К отображениям, удовлетворяющим этому требованию, относятся и отображения с одним максимумом (квадратичные либо какие-нибудь другие), и отображения, содержащие операции взятия вычета по некоторому модулю, как в соотношении (2). Кроме того, нелинейность должна быть достаточно выраженной, чтобы начальная неопределенность возрастала экспоненциально. Например, в случае отображения двоичного сдвига (2) неопределенность возрастает вдвое с каждой итерацией.

Напротив, в случае логистической параболы любое начальное значение (отличное от 0 или 1 ), скажем, при $r=2$ приводит к неподвижной точке $x^{*}=0,5$, и значения разности $\varepsilon_{n}$ между последовательными итерациями $x_{n}$ и точкой $x^{*}$ убывают с каждой итерацией в $-2 \varepsilon_{n}^{2}$ раз (асимптотически). Именно это имеют в виду, когда говорят о квадратичной сходимости. Например, если в качестве начального значения выбрать $x_{0}=0,45(\varepsilon=-0,05)$, то последовательные разности оказываются приближенно равными $-0,0005 ;-0,00005 ;-0,000000005$ и т. д. Иначе говоря, «погрешность» быстро убывает: расстояние в 5 знаков от десятичной запятой удваивается с каждой итерацией (в отличие от смещения на один знак за итерацию при двоичном сдвиге (2)).

Если значения параметра $r$ не соответствует сверхустойчивым орбитам (как в случае $r=2$, поскольку орбита включает в себя «плоскую вершину» параболы при $x=0,5$ ), то сходимость несколько замедляется. Например, при $r=2,5$ неподвижная точка возникает при $x^{*}=$ $=1-1 / 2,5=0,6$, отличном от 0,5 , а значит, орбита не является сверхустойчивой. Значение производной в неподвижной точке позволяет оценить сходимость итераций. При $r=2,5$ получаем
\[
f^{\prime}\left(x^{*}\right)=2-r=-0,5 .
\]

Следовательно, значения разности между $x_{n}$ и $x^{*}$ убывают в геометрической прогрессии с знаменателем $-0,5$ (асимптотически). Например, начальное условие $x_{0}=0,61$ приводит к следующим последовательным значениям разности: $x_{n}-x^{*}=0,01000 ;-0,00525 ; 0,00256 ;-0,00129$; 0,00064 и т.д. Эта несверхустойчивєя орбита сходится гораздо медленнее, и сходимость ее может быть описана как линейная. В нашем примере она соответствует асимптотическому сдвигу влево цифр числа $\left|x_{n}-x^{*}\right|$ на $\log _{10} 2=0,3$ десятичных знаков (в среднем) при каждой итерации – в отличие от удвоения сдвига в сверхустойчивых орбитах.

Резюмируя, можно сказать, что сверхустойчивые орбиты обладают двумя основными преимуществами:
1) Они быстрее сходятся и более устойчивы при малых возмущениях (с чем, собственно, и связан эпитет – сверхустойчивые) и, следовательно, легче поддаются экспериментальным измерениям.
2) Они допускают более простые теоретические описания, такие, например, как символическая динамика, о которой мы говорили выше.

Многие свойства квадратичного отобэажения являются образцом для подражания не только среди унимодальных отображений, но также и среди других нелинейных отображений. Последние отображения, в свою очередь, моделируют широкий круг проблем, в которых существенную роль играют различного рода нелинейности.

Множество Мандельброта
Кратчайший путь между двумя истиндми в вещественной области проходит через комплексную область.
ЖАК АДАМаР
Как было показано в предыдущем разделе, квадратичное отображение при $r=4$ может быть преобразовано в простое отображение «палатка», которое, в свою очередь, упрощается до отображения двоичного сдвига $y_{n+1}=2 y_{n} \bmod 1$. Последнее отображение позволяет непосредственно получить орбиту любой нєчальной точки $y_{0}$, записав $y_{0}$ в виде двоичной дроби: периодические двоичные дроби порождают периодические орбиты, а иррациональные $y_{0}$ с нормальными апериодическими дробями приводят к хаотическим орбитам.

К сожалению, это простое отображение неприменимо при других значениях параметра роста вещественного квадратичного отображения, изучением которого мы до сих пор занимались. Однако стоит нам «комплексифицировать» параметр роста и независимую переменную, как квадратичное отображение становится гораздо «прозрачнее» и намного легче поддается анализу. Как и во многих других областях математики (например, в теории чисел), введение комплексных переменных позволяет существенно упростить многие доказательства и соотношения (такие, например, как доказательство теоремы о простых числах, лежащей в основе распределения простых чисел). Отсюда парадоксальный математический девиз «комплексифицируй, если хочешь упростить» ${ }^{1}$.

Комплексифицированный вариант квадратичного отображения часто записывают в виде
\[
z_{n+1}=z_{n}^{2}+c
\]

где и переменная $z$, и параметр роста $c$ могут принимать комплексные значения, графически прєдставляемые точками на комплексной плоскости $z$ и комплексной плоскости $c$. Вещественные $c$ свя-
${ }^{1}$ Англ. complex «комплексный» имеет, среди прочих, значение «сложный». Прим. перев.

заны с уже встречавшимися нам параметрами $\mu$ и $r$ соотношением $c=-\mu=-r(r-2) / 4$.

Один из первых вопросов, которые приходят на ум при взгляде на соотношение (1), можно сформулировать следующим образом: при каких значениях параметра $c$ итерашии $z_{n}$ остаются ограниченными при $n \rightarrow \infty$ ? Очевидно, что при $c=0$ и $z_{0}$, находящемся внутри единичного круга $\left|z_{0}\right| \leqslant 1$, итерации $z_{n}$ при $n \rightarrow \infty$ остаются в пределах единичного круга. Однако даже при $c=0$ начальное значение $z_{0}=2$, например, дает $z_{7}=2^{2^{7}}>10^{38}$, т. е. седьмая итерация превышает диаметр Вселенной, измеренный в атомных единицах.

А если $c
eq 0$ ? Например, при $c=-2$ и $z_{0}=0$ соотношение (1) дает $z_{1}=-2, z_{2}=2, z_{3}=2$ и т. д. Таким образом, $c=-2$ порождает предпериодическую орбиту с длиной периода 1 , иначе говоря, неподвижную точку $z=2$.

В общем случае множество всех точек $c$, для которых итерации $z_{n+1}=z_{n}^{2}+c\left(z_{0}=0\right)$ остаютея ограниченными при $n \rightarrow \infty$, называется множеством Мандельброта, или, для краткости, $M$-множеством, в честь Бенуа Мандельброта, который открыл эти множества и исследовал многие из их замысловатых свойств [160]. На вклейке 8A черным цветом показано $M$-множество, состонщее из большой сердцевидной области («кардиоиды»), к которой примыкают меньшие круглые области, к тем, в свою очередь, прилепились еще более миниатюрные круги и т.д. ad infinitum в приблизительно самоподобной прогрессии. Ту же «кардиоиду», облепленную множеством меньших кругов, можно при надлежащем увеличении обнаружить во многих других областях плоскости комплексного параметра (см. цветные вклейки 8Б и 8В). Компьютерный «микроскоп» обнаруживает также и другие характерные формы: дендриты, завитки и хвосты «морских коньков» (см. цветные вклейки). На этих иллюстрациях черным цветом показаны области, принадлежащие $M$-множеству, а другие цвета характеризуют различные скорости ухода итераций $z_{n}$ в бесконечность при значениях $c$, не принадлежащих $M$-множеству. (Цвета были выбраны из компьютерной палитры из соображений хорошей различимости и эстетической привлекательности.)

Хотя $M$-множество в целом не самоподобно, оно обладает многочисленными подструктурами, демонстрирующими приближенное самоподобие, – кардиоидами, кругами, хвостами морских коньков и завитками внутри завитков внутри завитков, образующими бесконечно тонкие филигранные узоры. Удивительна сама мысль о том, что столь поразительная конструкция, как $M$-множество вместе со своим окружением, порождена простым квадратичным отображением! Тончайшая математическая паутина $M$-множеств продолжает внушать благоговейный трепет даже закаленным профессионалам. Сложность $M$-множества живое напоминание о том, что сложность, которую мы наблюдаем во многих явлениях природы, включан и Саму жизнь (название известной книги Ф. Крика), может быть следствием сравнительно простых законов [40]. Очевидно, что сложное поведение еще не означает сложности основополагающих законов.

Хотя части $M$-множества выглядят как изолированные пятна (известны случаи, когда чрезмерно ревностные художественные редакторы стирали такие «пятна»), в действительности, как показали Дуади и Хаббард, $M$-множество является связным. Однако до сих пор неизвестно, можно ли считать его всюду локально связным. (Круг, из которого выколота отдельная точка, по-прежнему остается связным, но его уже нельзя считать всюду локально связным: точки, расположенные по разные стороны от отверстия, пусть даже сколь угодно близко друг от друга, могут быть соединены между собой только дугой, обходящей отверстие.)

Большая кардиоидная область $M$-множества и каждый круг соответствуют периодической орбите оределенной длины: кардиоида периоду 1 , самый большой круг – периоду 2 , а остальные выстроившиеся по горизонтали круги – периодам $2,4,8, \ldots$, завершаясь точкой сгущения последовательности бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума. Самая большая из остальных кардиоид на вещественной оси соответствует орбитам с длинами периода 3. Каждый из бесконечно многих кругов, отпочковавшихся от кардиоид на комплексной плоскости, соответствует какой-то периодической орбите с определенной длиной периода, связанной с длиной периода материнской кардиоиды, причем каждый из этих кругов облеплен бесконечно большим количеством меньших кругов, похожих один на другой. Невооруженному глазу заметно лишь одно отклонение от самоподобия в последовательности кругов – зазор в «задней» части материнской кардиоиды.

Множества Жюлиа комплексного квадратичного отображения

Разумеется, нам хотелось бы знать не только то, что некоторое данное значение параметра принадлежит $M$-множеству. Мы были бы не прочь узнать, как поведут себя итерации $z_{n}$ при различных начальных условиях $z_{0}$. При каких $z_{0}$ итерации $z_{n}$ ограничены? Множество начальных значений $z_{0}$, при которых итерации $z_{n}$ ограничены (при заданном значении параметра $c$ ), образуют так называемое заполненное множество Жюлиа $J_{c}$. (Собственно множеством Жюлиа называется множество граничных точек множества $J_{c}$.) Как показал компьютерный эксперимент, различные значения параметра $c$ могут порождать поразительно разнообразные множества Жюлиа, причем малейшие изменения параметра $c$ нередко приводят к весьма существенным метаморфозам множеств $J_{c}$ (рис. $17 \mathrm{~A}$ и $17 \mathrm{~B}$ ).

Некоторые множества Жюлиа связны, другие представляют собой «пылевидные» канторовы множества. Интересно, что абсолютно все значения параметра $c$, при которых $J_{c}$ связны, принадлежат $M$-множеству, поэтому последнее может быть определено и как множество всех значений параметра $c$, при которых $J_{c}$ – связно. Эта эквивалентность следует из теоремы, доказанной незввисимо друг от друга Гастоном Жюлиа и Пьером Фату в 1918 г. и переоткрытой в совместной работе Дуади и Хаббарда, которые существенно расширили наши все еще отрывочные знания об обманчиво простом отображении $z \rightarrow z^{2}+c[50]$.

Одно из наиболее важных открытий Дуади и Хаббарда состоит в том, что граница множества Мандельброта может быть конформно отображена на единичную окружность, и что итерации $z_{n+1}=z_{n}^{2}+c$ соответствуют простому удвоению угла на единичной окружности. Таким образом, если измерять углы $\alpha$ в величинах кратных $2 \pi$, то комплексное квадратичное отображение соответствует отображению $\alpha_{n+1}=$ $=2 \alpha_{n} \bmod 1$. Если «внешний угол» $\alpha$, как его принято называть, выразить в виде двоичной дроби, то такое отображение соответствует сдвигу двоичных цифр влево по модулю 1. Например, значение параметра с внешним углом $\alpha=13 / 31=0,(11011)$ приводит к периодической орбите с длиной периода 5. Конкретные цифры указывают, какая из итераций $z_{n}$ попадет в верхнюю (0), а какая – в нижнюю (1) полуплоскость.

На рис. 18 изображено $M$-множество и указаны некоторые рациональные внешние углы. Точка сгущения бифуркаций удвоения периода $c=-1,4011 \ldots$ (она отмечена буквой $F$ в честь Фейгенбаума) имеет в качестве своего внешнего угла постоянную МорсаТуэ $0,0110100110010110 \ldots=0,412 \ldots$, двоичные цифры которой образуют последовательность Морса-Туэ.

Конформному отображению границы $M$-множества на единичную окружность можно придать наглядный физический смысл, если его интерпретировать как задачу электростатики. Рассмотрим бесконечно длинный проводящий стержень, поперечное сечение которого совпа-

Рис. 17. (А) Заполненное множество Жюлиа, определяемое как множество всех точек $z_{0}$, для которых итерации $z_{n+1}=z_{n}^{2}+c$ ограничены. (Б) Еще одно едва связное множество Жюлиа, иллюстрирующее огромное разнообразие форм, получаемых при изменении параметра $c$ [161].
дает с $M$-множеством, окружим его на большом удалении электродом в форме кругового цилиндра и создадим между стержнем и цилиндром разность потенциалов. Тогда силовые линии электрического поля, выходящие из точки на единичной окружности, проведенный через которую радиус образует с вещественной осью угол $\alpha$, заканчиваются в точке $c$ с внешним углом $\alpha$ на границе $M$-множества. Так проис-

Рис. 18. Внешние углы для множества Маядельброта. Дробные значения определяют длины периода итераций $z_{n}$ при заданном параметре $c$. Точка « $F$ » отмечает точку сгущения каскада удвоения периода [52].

ходит потому, что силовые линии электрического поля подчиняются законам конформного отображения. А эквипотенциальные линии, ортогональные к силовым линиям, соответствуют значениям $c$ с равными скоростями расходимости итераций $z_{n}$ в бесконечность при $z_{0}=0$. (Напомним, что лежащие вне $M$-множества значения параметра $c$ приводят к неограниченным итерациям $z_{n}$.)

Еще более увлекательные подробности можно найти в книге Пайтгена и Рихтера «Красота фракталов»: в которую, кроме того, входит и доступно написанный очерк Дуади [194].