Симметрия – как бы иироко или узко вы не определяли значение этого понятия – является той идеей, посредством которой человек на протяжении векөв пытается постичь и создать порядок, красоту и совершенство.
ГЕРМан ВеЙЛЬ
В основе фракталов, хаоса и степенных законов лежит объединяющее понятие – самоподобие. Самоподобие, или инвариантность при изменении масштабов или размеров, присуще многим законам природы и бесчисленным явлениям в окружающем нас мире. Более того, самоподобие – одна из важнейших симметрий, играющих формообразующую роль в нашей Вселенной и лежащих в основе наших попыток постичь ее.

Симметрия сама по себе принадлежит к числу наиболее фундаментальных и плодотворных понятий, созданных человеческой мыслью [275]. Под симметрией мы понимаем инвариантность при каких-либо изменениях: нечто остается одним и тем же, несмотря на потенциальную возможность изменения. По-видимому, сильнее других бросается в глаза зеркальная симметрия, т. е. инвариантность при «перемене местами» левой и правой сгорон. Многие свои организмы природа построила почти симметрично, и большинство фундаментальных законов физики, таких, как закон всемирного тяготения Ньютона, обладает точной зеркальной симметрией: в притяжении небесных тел (равно как и большинства тел земного происхождения) нет различия между левым и правым. Однако несохранение четности при радиоактивном распаде, т. е. нарушение точечной симметрии при «слабом» взаимодействии, научило в конце концов даже физиков серьезно относиться к различию между правым и левым.

Еще одна важная разновидность симметрии – инвариантность относительно геометрических преобразований. Наша вера в инвариантность при смещениях в пространстве и времени столь безгранична, что мы глубоко убеждены в одинаковости законов природы во всей Вселенной и в том, что законы природы всегда были такими и останутся такими во все времена.

Столь же важна и другая разновидность симметрии – инвариантность относительно вращения. Окружность инвариантна при повороте вокруг ее центра на любой угол. Квадрат можно совмещать с самим собой, только поворачивая его на углы, кратные $360^{\circ} / 4=90^{\circ}$. Говорят, что квадрат обладает осью симметрии четвертого порядка. Правильный шестиугольник обладает симметрией шестого порядка. Хотя поворотная симметрия цветка или морской звезды может быть не вполне точной, точная изотропия, обнаруженная в фундаментальных законах природы, является одним из наиболее мощных принципов, позволяющих понять и объяснить структуру отдельных атомов, сложных молекул и целых кристаллов. Трансляционная, поворотная и зеркальная симметрии, действуя совместно, создают форму кристаллов от алмазов до снежинок. И эти же три симметрии определяют многое из того, что доставляет нам эстетическое наслаждение в орнаментальных узорах.

Еще более поразительна симметрия, проявляющаяся в точном тождестве однотипных элементарных частиц. Между электроном здесь и электроном там – на далекой звезде, например, – просто не существует никакой разницы. Абсолютное тождество фотонов – частиц света – не позволило подойти к их подсчету как к подсчету идентифицируемых отдельных частиц. Возникла новая разновидность статистики частиц, открытая Ш.Н.Бозе и облеченная в более удобоваримую форму Эйнштейном – способ подсчета, ранее не виданный в мире, наполненном осязаемыми объектами.

Впервые на связь между симметриями фундаментальных законов физики относительно сдвигов в пространстве и времени и вращений, с одной стороны, и законами сохранениями импульса, энергии и углового момента – с другой, обратила внимание Эмми Нётер, одна из величайших математиков нашего века. (Благодаря Давиду Гильберту, который вопреки глубоко укоренившимся предрассудкам коллег настоял на предоставлении ей должности в Гёттингенском университете, Нётер получила возможность преподавать. После разгрома немецкой науки в 1933 г. она была вынуждена покинуть Гёттинген. Умерла Эмми Нётер в Брин-Море в 1935 г.)

Не менее глубокое воздействие на наше понимание мира оказывают и другие симметрии. Инвариантность при равномерном прямолинейном движении дала нам специальную теорию относительности, слияние пространства и времени в единое пространство-время и соотношение $E=m c^{2}$ как наиболее известное следствие теории относительности. Постулированная Эйнштейном эквивалентность ускорения и гравитации (инертной и тяжелсй масс) лишь усугубила переворот в нашем восприятии пространства, времени и материи.

Среди всех симметрий, пышным цветом расцветаюших в Саду Инвариантности, лишь один побег до недавнего времени не был взлелеян – буквально вездесущая инвариантность при изменении размеров, называемая самоподобием, или, если речь идет более чем об одном масштабном (скейлинговом) факторе, самоаффинностью. Чрезвычайно плодотворные концепции самоподобия и самоаффиности пронизывают всю природу – от распределения атомов в веществе до распределения галактик во Вселенной. Самоподобие глубоко проникло и в математику. Около трехсот лет назад немецкий философ и разносторонний математик Готфрид Вильгельм Лейбниц воспользовался масштабной инвариантностью бесконечно длинной прямой для того, чтобы дать определение прямой. Другими, столь же ранними, хотя и менее удобными примерами самоподобных объектов в математике являются канторовы множества и функции Вейерштрасса. Позднее к этим примерам добавились множества Жюлиа и другие чудеса теории множеств.

Есть нечто симптоматичное в том, что благодаря теории множеств еще один абстрактный раздел математики глубоко проник в реальный мир. «Непостижимая эффективность» (по выражению Юджина Вигнера) математики, по-видимому, безгранична. Кто бы мог подумать, что такие чисто математические конструкции, как канторовы множества, изобретенные лишь для того, чтобы убедить скептиков в возможности существования несчетных множеств нулевой меры, найдут хотя бы какое-нибудь практическое применение, не говоря уже о том, что станут одним из центральных понятий? Между тем, именно такими они стали для многих природных явлений – от гелеобразования, полимеризации и коагуляции в коллоидной физике и химии до нелинейных систем в бесчисленных разделах современного естествознания. Перколяция, древовидный рост, поверхности разрыва, электрические разряды (молнии и фигуры Лихтенберга) и структура квазикристаллов лучше всего описываются теоретико-множественными конструкциями.

Или взять хотя бы причудливую функцию, которую сто лет назад Карл Вейерштрасс придумал только для того, чтобы показать, что функция может быть всюду непрезывна и тем не менее нигде не дифференцируема. Поразительно уже то, что такая аналитическая патология описывает нечто, существующее в реальном мире; еще более поразительно, что она имеет фундаментальное значение для понимания странных аттракторов нелинейных динамических систем (таких, как двойной маятник или задача трех тел).

Слово симметричный – древнегреческого происхождения и означает «соразмерный», «упорядоченный», т. е. даже отдаленно не напоминает ни о чем хаотическом. Тем не менее, как это ни парадоксально, самоподобие – основная тема нашей книги – это единственная из всех симметрий, которая порождает саму антитезу симметрии $x a o c$, состояние полного беспорядка и отсутствия какой бы то ни было соразмерности. Как мы постараемся показать, возникновение хаоса тесно связано с самоподобием и внутренне присущим ему отсутствием «гладкости».

Возможно, не следует удивляться тому, что самоподобие приводит к многочисленным парадоксам в измерениях времени, длины и даже музыкальной тональности. Вспомним о медлительной черепахе Зенона, за которой гонится (но которую так никогда и не догоняет) быстроногий Ахилл. Почему длина некоторых отрезков неограниченно возрастает, когда мы измеряем их все укорачивающимися мерными стержнями? Как Евклид объяснил бы плоские геометрические фигуры, площадь которых пропорциональна не квадрату видимого периметра, а некоторой меньшей, дробной его степени, например, 1,77? Что мы должны подумать о музыкальных звуках, которые при повышении их частоты звучат, каким бы невероятным это нам ни казалось, ниже тоном? Как могут существовать подобные несообразности? И как можно было бы дать непротиворечивое и осмысленное описание таких феноменов?

Здесь нам на помощь приходит одна необычайно счастливая идея Феликса Хаусдорфа. Вместе с Абрамом Безиковичем Хаусдорф, поновому взглянув на размерность, низверг ее с целочисленного трона в гущу вещественных чисел, дав нам тем самым острейшее орудие для атаки на странные множества, порождаемые самоподобием, – размерность Хаусдорфа и ее многочисленные ответвления и обобщения.

Вспоминая славные имена прошлого, мы не должны забывать о нашем великом современнике, несравненном Бенуа Б. Мандельброте, который в одиночку спас наиболее хрупкие функции теории множеств и наиболее «пыльные» множества от почти полного забвения, поместив их в самый центр нашего повседневного опыта и представлений. Как выяснилось, все эти годы мы жили с фрактальными артериями неподалеку от фрактальных речных систем, собирающих влагу со склонов фрактальных гор под фрактальными облаками и катящих свои воды к фрактальным берегам морей и океанов. Но, как и мольерову мещанину во дворянстве, нам не доставало надлежащей прозы – существительного фрактал и прилагательного фрактальный, которые мы обрели благодаря Бенуа Мандельброту.

В истории, которую мы хотим рассказать вам, есть еще один герой, молчаливый и недвижимый: цифровой компьютер. Нет никаких сомнений в том, что компьютеры действовали как мощные хирургические пинцеты, извлекая фракталы из темных закоулков абстрактной математики и выставляя на яркий свет их тончайшие геометрические особенности. Именно под влиянием фрактальных образов, нередко невообразимо красивых и привлекательных, компьютерная графика обрела новое поразительное измерение.

Краткий обзор содержания книги
Мы открываем наш трактат рассказом о наиболее изящном из когда-либо предложенных применений подобия: найденном юным Эйнштейном доказательстве теоремы Пифагора. Известная теорема доказывается сразу, легко и просто, стоит только провести в прямоугольном треугольнике в нужном месте одну-единственную линию и воспользоваться подобием треугольников.

Затем мы вступаем на бескрайние просторы самоподобия, столь ярко проявляющегося в фракталах, мультифракталах и скейлинговых законах физики, психофизики и бесчисленного множества других областей человеческой деятельности.

В фазовых пространствах мы встречаем детерминированный хаос и странные аттракторы. Перколяция и другие фазовые переходы приводят нас к критическим показателям и иерархии различных размерностей. Следуя Пуанкаре, мы погружаемся в самоподобие итерированных отображений – от преобразований пекаря и сдвигов Бернулли до логистических парабол и отображений окружности. Ни торы, ни кантор-торы, ни языки Арнольда не помешают нам взобраться по чертовым лестницам и расположиться среди рациональных чисел вращения, гроздьями свисающих с ветвей деревьев Фарея.

Но коль скоро мы заговорили о нелинейной динамике, нельзя не вспомнить некоторых из тех, кто внес в ее развитие наиболее значительный вклад совсем недавно: Зигеля, Мозера, Лоренца, Вильсона, Фейгенбаума и, наконец (последнюю по счету, но не по значению), замечательную русскую школу, представленную такими именами, как А. М. Ляпунов, В. И. Арнольд, Я. Г. Синай, Б. В. Чириков, В. М. Алексеев,

Д.В.Аносов, Я.Б.Песин и недавно скончавшийся признанный мэтр А. Н. Колмогоров.

Деревья Кэли, известные также под названием решеток Бете, послужат нам удобной отправной точкой для понимания структур многих фракталов, встречающихся в реа.ьной жизни – таких, как наша бронхиальная и сосудистая системы. Нас также будут интересовать клеточные автоматы как модели биологического роста и химических реакций.

Мы испытаем странное влечение ${ }^{1}$ к символической динамике, последуем за последовательностью Морса-Туэ и за «кроличьей» последовательностью Фибоначчи, а также за их дискретными самоподобиями, которые шепнут нам «по секрету» немало важных сведений об удвоении периода, синхронизации мод, фрустрированных спинах Изинга и квазикристаллах с симметрией пятого порядка. Многие из этих чудес были покрыты мраком таинственности и отягощены парадоксами, до тех пор пока острые скальпели теорий масштабной инвариантности и ренорм-групп не рассекли покровы и не сделали простым и ясным то, что ранее казалось столь загадочным. Не случайно все жизнеспособные фундаментальные полевые теории в физике перенормируемы, иначе бы им не миновать мнимых масштабов.

И, конечно же, мы без малейших колебаний бросимся в пучину случайных фракталов от броуновского движения до диффузноограниченной агрегации и «спазмов» на фондовой бирже (вспомним некоторые из таких спазмов в недавнем прошлом). Разорение бедного игрока и петербургский парадокс дадут нам новую пищу для размышлений на фрактальные темы.

Таковы некоторые из увлекательных и в высшей степени серьезных тем, звучащих в нашей книге. Мы стремились помочь читателю глубже понять самоподобие – возможно, наиболее чреватую важными последствиями из всех существующих в природе симметрий, а также продемонстрировать широчайший диапазон применений масштабной инвариантности в физике, химии, биологии, музыке и, в особенности, в изобразительном искусстве (убедительным подтверждением тому является недавний ренессанс компьютерной графики, порожденный фрактальными образами и их красотой, неизменной при любом масштабировании).
${ }^{1}$ В оригинальном тексте игра слов: англ. attractor может быть передано и как «аттрактор», и как «нечто влекущее, притягивающее к себе». – Прим. перев.

Благодарности

Эта книга обязана своим появлением многим источникам. Помимо того, что я вкратце обсуждал в моей диссертации хаос в нормальных модах концертных залов (вот, кстати, хороший пример «неинтегрируемой» системы, если таковая вообще существует), моим главным стимулом стали первые демонстрации фрактальных множеств Жюлиа, произведенные Хайнцем-Отто Пайтгеном и Петером Рихтером. Чарующая красота фрактальных образов и лежащая в их основе увлекательная математика, описанная в книге этих авторов «Красота фракталов», произвели на меня неизгладимое впечатление.

Моя первая встреча с работаки Мандельброта произошла в связи с произведенным им анализом частоты слов в естественных и искусственных языках, затронувшим мой собственный интерес к компьютерному синтезу и распознаванию речи. Монументальная монография Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» оказала на меня, как и на многих других людей, ни с чем не сравнимое влияние.

Я также многое почерпнул для себя из книг Роберта Девани и его лекций по хаосу, «Фракталов» Йенса Федера, «Фракталов повсюду» Майгла Баршели и очароватсльного «Ввсдспил в тсорию перголяции» Дитриха Штауффера.

Много полезного о последних достижениях в этой области я узнал на организованной Рихардом Фоссом и Полом Микином Гордоновской конференции по фракталам, куда съехалось множество выдающихся специалистов со всего мира.

В Гёттингенском университете (главным образом благодаря работам Вернера Лаутерборна) я увидел хаос в действии – в нелинейных динамических системах от кавитационных пузырьков до цепочек Тоды. Мои собственные студенты в Третьем Физическом институте были для меня и стимулом, и пробным камнем во время серии лекционных курсов по самоподобию, фракталам и хаосу. Хайнрих Хенце и Карл Лаутшам умело дополнили демонстрации, сопровождавшие эти лекции. Хольгер Беме, Вольф Дитер Брандт и Тино Грамс предоставили многие из вошедших в книгу компьютерных изображений.

Ныне покойный Вальтер Кауфман-Бюлер из нью-йоркского отделения издательства Springer и мой давний коллега по работе в Bell Laboratories Рональд Грэм оказали мне моральную поддержку на раннем этапе работы над книгой.

Хильдегард Франкс и Эсперанца Плата в Murray Hill (штат Нью-Джерси) при поддержке Майи Зуттер и Ирены Шёнке из Гёттингенского университета превратили мои почти не поддающиеся прочтению каракули в удобочитаемую машинописную рукопись. Лиана Либе и Гизела Киршман-Шрёдер любовно позаботились об иллюстрациях. Как и во время наших предыдущих странствий, Анни Шрёдер обеспечила мне столь необходимую логистическую поддержку.

Джерри Лайонс убедил меня отдать себя и рукопись в руки W.H.Freeman and Company, и, последовав его совету, я ни разу не пожалел об этом. Сотрудничество с Джерри Лайонсом, старшим редактором Джорджией Ли Хэдлер, дизайнером Нэнси Сингер и художественным редактором Биллом Пейджем доставило мне огромное удовольствие. Профессиональная компетентность моего редактора Ричарда Микки была вне всяческих сравнений.

Наконец (но отнюдь не в последнюю очередь), я хотел бы выразить свою признательность выдающимся специалистам Хансу-Вернеру Штрубе, Аллану Херду, Виктору Клее и Полу Микину, взявшим на себя труд по рецензированию рукописи, внесшим множество исправлений и высказавшим важные замечания.

Мюррей Хилл и Гёттинген
Манфред НІёдер

Май 1990 г.