Равенство, которого мы требуем, является наиболее прочным воплощением неравенства.
ГЕОРГ КРИСТОФ ЛИХТЕНБЕРГ
В этой главе мы нанесем запоздалый визит в мир реально существующих фракталов. Как было метко замечено Мандельбротом и другими авторами, природа любит фракталы ничуть не меньше (если не больше) регулярных форм. На каждую гладкую кривую или поверхность в окружающем нас мире приходится много (чтобы не сказать «очень много») весьма нерегулярных, а нередко даже фрактальных кривых и поверхностей, наделенных тончайшей структурой во многих масштабах.

Почему фракталы так распространены в природе? Решающей причиной здесь является то, что гладкая искривленная поверхность содержит свой внутренний масштаб длины – радиус кривизны. И, конечно же, такой внутренний масштаб тоже должен иметь какую-то причину. Например, наша Земля выглядит со стороны как шар, и ее искривленная поверхность имеет свой радиус кривизны $R$. Чему равен этот радиус? Его можно выразить через полную массу Земли $M$ и ее среднюю плотность $\rho$ :
\[
R=\left(\frac{3}{4 \pi} \frac{M}{\rho}\right)^{1 / 3} .
\]

При $M \approx 6 \cdot 10^{24}$ кг и $\rho \approx 6 \cdot 10^{3}$ кг/ $\mathrm{m}^{3}$ радиус Земли получается равным приблизительно 6000 км. Таким образом, естественный масштаб длины для земного шара в конечном счете определяется количеством агрегированной пыли, из которой 4,7 миллиарда лет назад и образовалась допотопная Земля.

К счастью, многие объекты и законы природы лишены естественного масштаба в том диапазоне, в котором мы их наблюдаем. Следовательно, то, что верно при одном увеличении, должно быть верно и при всех остальных увеличениях. Иначе говоря, объект должен обладать самоподобием – статистическим, асимптотическим или даже строго геометрическим. Если же объект обладает какой-либо структурой, то аналогичная структура должна проявиться во многих масштабах. Другими словами, отсутствие естественных масштабов порождает самоподобие, а самоподобный объект, за исключением нескольких лишенных характерных структурных особенностей построений (таких как бесконечная прямая), должен быть фрактальным.

Взглянем на матушку-Землю еще раз, но уже не из космического пространства, а с более близкого расстояния, когда кривизна ее поверхности становится несущественной. Многие береговые линии (равно как и некоторые проведенные человеком границы) не имеют естественного масштаба длины. Процессы, формирующие многие из границ раздела между водой и сушей, подобны в широком диапазоне масштабов. На рис. 1 показана часть побережья Норвегии – родины Йенса Федера, из книги которого «Фракталы» [66] и позаимствован рисунок. Побережье изрезано большими фьордами: маленькими фьордами и еще более мелкими бухтами и бухточками. Если же мы рассмотрим еще более подробные карты, а затем, наконец, сами отправимся (пешком или на лодке) на прогулку вдоль побережьн, то увидим, что берега бухт изрезаны заливами, заливчиками и т. д. вплоть до уровня воды, заполняющей узкие щели между отдельными камнями.

Как же измерить длину такого фрактального побережья? Ясно, что чем подробнее наша карта, тем больше кажущаяся длина $L$. Более того, если береговая линия самоподобна, то мы обнаружим самоподобный степенной закон, устанавливающий связь между длиной побережья $L$ и масштабной единицей длины $r$, используемой при измерении:
\[
L(r) \sim r^{\varepsilon},
\]

где показатель $\varepsilon$ отрицателен, если $L$ возрастает при уменьшении $r$. В отличие от фрактальной кривой, длина гладкой кривой стремится при $r \rightarrow 0$ к некоторому асимптотическому значению, т. е. показатель $\varepsilon$ равен нулю.

Как мы уже видели в предыдущих главах, для характеристики фрактальных объектов используюг фрактальную размерность – например, размерность Хаусдорфа
\[
D=\lim _{r \rightarrow 0} \frac{\ln N(r)}{\ln (1 / r)},
\]

Рис. 1. Определение фрактальной размерности побережья Норвегии путем подсчета количества клеток, включающих в себя береговую линию [66].

где $N(r)$ – минимальное число дисков диаметра $r$, необходимых для покрытия фрактала. Если измерять таким образом длину $L$, то число $N(r)$ окажется равным $L(r) / r$, а показатель $\varepsilon$ в соотношении (1) $1-D$. Размерность Хаусдорфа, таким образом, принимает вид
\[
D=1-\varepsilon
\]

и при $\varepsilon<0$ превосходит единицу (размерность Хаусдорфа для гладкой кривой).

Размерности, определяемые путем подсчета клеток
Предложенный Хаусдорфом рецепт – покрытие фрактала дисками – далеко не всегда представляет собой самый удобный способ измерения фрактальной размерности. (равно как и рецепт сосиски Минковского, тайна которого была рєскрыта нами на с. $75-77$ в гл. 1). Для многих реальных фракталов метод определения размерности путем подсчета числа клеток, содержащих контур фрактала, оказывается более предпочтительным. Для того чтобы определить таким способом размерность фрактала, мы накладываем на него квадратную решетку (рис. 1) и подсчитываем число клеток $N(r)$, в которые попадает наш фрактал. Когда расстояние $r$ между параллельными линиями квадратной сетки становится достаточно малым, величина $\ln N(r) / \ln (1 / r)$ сходится к конечному значению – рєзмерности Хаусдорфа $D$.

На рис. 2 показан результат произведенного Федером подсчета длины береговой линии Норвегии с помощью квадратных сеток с шагом $r$ от 0,6 км до 80 км. При увеличении шага $r$ длина $L(r)$ уменьшилась в 12 раз – от примерно 30000 км до 2500 км. В двукратно логарифмическом масштабе все результаты измерения достаточно хорошо ложатся на прямую с угловым коэффициентом $\varepsilon=-0,52$. Таким образом, согласно соотношению (3), размерность Хаусдорфа $D=1-\varepsilon=1,52$, т.е. находится примерно посредине между евклидовыми размерностями гладкой кривой и гладкой поверхности.

На рис. 3 представлены опубликованные Мандельбротом [161] данные о кажущейся длине $L(r)$ нескольких других берегов и сухопутных границ, размерности Хаусдорфа для которых варьируются в диапазоне от $D \approx 1$ для гладкого побережья Южной Африки до $D \approx 1,3$ для весьма изрезанного западного побережья Британии. Однако ни одна страна и ни один берег не могут сравниться с Норвегией и ее $D \approx 1,52$.

Шаг сетки $r$ (км)

Рис. 2. Измеренная длина побережья Норвегии в зависимости от шага сетки $r$. Угловой коэффициент прямой определяет фрактальную размерность береговой линии $D \approx 1,52$ [66].
Массовая размерность
Для многих целей и размерность, подсчитанная по клеткам, не является самой подходящей или удобной фрактальной мерой. Взгляните на «фигуру Лихтенберга» (рис. 4) – один из первых физических фракталов, созданных человеком. Этот узор, образованный электрическим разрядом на металлическом острие, помещенном на изолятор, впервые наблюдался в Гёттингене в 1777 г. (в этом году в расположенном неподалеку Брунсвике родился Гаусс) физлком и афористом Георгом Кристофом Лихтенбергом $(1742-1799)^{1}$. Измерив светлую область $M$ фигуры Лихтенберга, мы обнаружим, что площадь ее возрастает с увеличением характеристического радиуса $R$ согласно простому однородному степенному закону
\[
M \sim R^{D} .
\]

Однако показатель $D$ здесь равен не 2 , как в случае сплошной однородной фигуры на плоскости (например, диска с площадью $M$, равной $\pi R^{2}$ ). Для фигуры Лихтенберга показатель $D$ заключен в интервале от 1,7 до 1,9 .
1 Лихтенберг дважды побывал в Англии, из них один раз по личному приглашению короля Георга III. Там он познакомился с британской наукой и британской вежливостью, причем и то, и другое донельзя его восхитило. Славу Лихтенбергу принесли многочисленные весьма острые афсризмы, в которых он подсмеивался над своими коллегами-учеными и прочими соотечественниками. Среди литературных трудов Лихтенберга особое место занимают блестящие комментарии к гравюрам Вильяма Хогарта (в том числе к «Модному браку» и «ути повесы»).

Рис. 3. Кажущаяся длина и фрактальная размерность некоторых побережий и сухопутных границ [161].

Показатель $D$ в соотношении (1) может служить как еще одна фрактальная размерность, более доступная измерению и более понятная, чем размерности, введенные ранее. Новая размерность применима ко многим фракталам от рукотворной канторовой пыли (рис. 5) до натурального мягкого пуха (рис. 6), которым все еще набивают подушки (все реже и реже, увы). Во всех случаях увеличение «массы» внутри радиуса $R$ определяется не показєтелем, равным евклидовой размерности, а несколько меньшим показателем; например, для пуха этот показатель сотавляет около 1,6 (интересная зависимость: чем меньше $D$, тем дороже пух!).

В случае ковра Серпинского (см. гл. 1, с. 41-45) показатель $D$ также меньше 2 , потому что всякий раз, когда радиус $R$ круга, заключающего в себе площадь $M$, удваивается, площадь возрастает в 3 раза, а не в 4 . Таким образом, $M \sim R^{D}$, где $D=\ln 3 / \ln 2=1,58 \ldots$

Рис. 4. Еще одна фигура Лихтенберга – электрический разряд на поверхности стеклянной пластины. Массовая размерность $D \approx 1,9$ [185].

Для строго самоподобных математических фракталов (таких, как ковер Серпинского и канторова пыль) массовая размерность совпадает с размерностью Хаусдорфа (и любой другой из рассматриваемых здесь фрактальных размерностей). Все эти размерности определяются размерностью подобия скейлингового закона, которая задается порождающими фрактал инициатором и генератором. Однако в случае реальных («природных») фракталов между фрактальными размерностями существуют значительные различия, в чем мы могли убедиться, представляя размерность Минковского (см. гл. 1, с. 75-77) для учета числа мод колебаний барабана с фрактальным параметром.

Массовая размерность особенно хорошо подходит для параметризации упаковки порошков. Первичные частицы порошка обладают способностью образовывать кластеры с плотностью упаковки, скажем, $p$. Предположим, что радиусы этих кластеров в $r$ раз больше радиусов первичных частиц. Кластеры, в свою очередь, очень часто образуют новые, более крупные кластеры с теми же или близкими значениями $p$ и $r$, и т.д. в течение нескольких поколений (рис. 7) [186].

Рис. 5. Канторова пыль на выходе цифро-аналогового преобразователя. Массовая размерность $D \approx 1,26$.

Через $n$ поколений плотность порошка $P$ становится равной $p^{n}$, а радиус кластера $R-r^{n}$. Разумеется, полная масса $M$ пропорциональна $P R^{d}$, где $d$ – евклидова размерность пространства, в которое вложен порошок (для большинства порошков в трехмерном мире $d=3$ ). Таким образом,
\[
M \sim P R^{d}=R^{D},
\]

где массовая размерность $D=d+\ln p / \ln r$ меньше $d$, так как $p<1$ и $r>1$. На рис. $7 d=2, r \approx 7$ и $p \approx 0,7$, что дает массовую размерность $D \approx 1,82$. Для сравнения скажем, что массовая размерность ковра Серпинского ( $d=2, r=2$ и $p=3 / 4$ ) меньше и равна $D \approx 2+$ $+\ln (3 / 4) / \ln 2 \approx 1,58$ (что совпадает с его размерностью Хаусдорфа).

Массовая размерность, как можно судить из названия, применима и к случаю более высоких евклидовых размерностей, особенно к губчатым веществам, таким, как губка Менгера (рис. 3 в гл. 8) с $D=\ln 20 / \ln 3 \approx 2,73$ и к кристаллам, выращенным посредством ограниченной диффузией агрегсции (ОДА) с характерным значением $D \approx 2,4[172]$. В случае ОДА (рєзультат двумерного компьютерного моделирования которой вы можете увидеть на рис. 9 в гл. 9) некоторый

Рис. 6. Натуральный пух. Его мягкость обусловлена низкой массовой размерностью $D \approx 1,6$.
Рис. 7. Три поколения самоподобной агломерации порошка [186].

источник, расположенный на большом расстоянии от растущего агрегата, испускает за цикл один «атом», который диффундирует до тех пор, пока не попадает в сферу действия короткодействующих сил притяжения ранее захваченных атомов и не присоединяется к растущему агрегату. Простые вероятностные соображения показывают, что новые атомы осаждаются на агрегате вблизи концов ветвей «дендритов», а не в глубине кристаллических «фьордов».

Измерение массовой размерности дает значение $D \approx 2,4$ для трехмерной и $D \approx 1,7$ для двумерной ОДА. Однако точные значения $D$ зависят от физических и химичесних параметров процесса и содержат важные указания относительно производства новых материалов, а также относительно других практических приложений с преобладанием фрактальных процессов.

Рассмотрим образование вязких языков (см. рис. 10 в гл. 9), возникающих вследствие неустойчивости поверхности раздела при вторжении жидкости или газа на «территорию» другой, более вязкой жидкости. (Читатель может попытаться собственноручно получить вязкие языки с помощью воды и глицерина, стесненных в узком зазоре между двумя стеклянными пластинами).
Рис. 8. Вытеснение нефти из битуминозной породы.
Образование вязких языков наблюдается также при вытеснении одной жидкостью (например, водой) другой жидкости (например, нефти) в пористой среде (скажем, сланце) – стандартный метод «выдавливания» нефти из битуминозной породы (рис. 8). Фрактальная массовая размерность водных языков чувствительно зависит от вязкости жидкости, пористости породы и способности жидкости смачивать поверхность породы [251]. Если бы граница воды была гладкой $(D=2)$, то через удаленную скважину можно было бы извлечь большую часть нефти, прежде чем вода достигнет откачивающего насоса. Но, к сожалению всего мира, испытывающего острую нехватку нефти, $D$ для водной границы гораздо больше 2, и вода достигает насоса задолго до того, как из нефтеносного пласта откачана вся нефть. Существует, однако, возможность уменьшить фрактальную размерность воды путем добавления к ней особых полимеров, увеличивающих вязкость. Нефтедобывающая промышленность надеется с помощью этих полимерных добавок удвоить выход нефти при тағом способе ее добычи. (Нефтепромышленники надеются также, что стоимость полимерных добавок будет меньше стоимости извлеченного с их помощью дополнительного количества сырой нефти.)

Корреляционная размерность
Одной из наиболее широко используемых фрактальных размерностей является так называемая корреляционная размерность. Измерить ее проще всего экспериментально, особенно если фрактал представляет собой «пыль», т.е. изолированные точки, разбросанные по некоторой области пространства.

Для определения корреляционной размерности необходимо прежде всего подсчитать количество точек, попарные евклидовы расстояния между которыми меньше заданного расстояния $r$. При изменении $r$ изменяется и относительная доля $C(r)$ таких точек ( $C(r)$ определяется как отношение числа точек, попарные расстояния между которыми меньше $r$, к квадрату общего числа точек). Величина $C(r)$ называется также корреляционной суммой (или корреляционным интегралом) $[87,84]$.
Корреляционная размерность, таким образом, определяется как
\[
D_{2}=\lim _{r \rightarrow 0} \frac{\ln C(r)}{\ln r} .
\]

На рис. 9 показано экспериментальное определение корреляционной размерности $D_{2}$ для странного аттрактора итерированного отображения Энона: мы видим, что в диапазоне, охватывающем шесть порядков величины, зависимость $\log _{2} C(r)$ от $\log _{2} r$ имеет вид прямой с угловым коэффициентом $D_{2}=1,21[87]$.

Рис. 9. Определение корреляционной размерности странного аттрактора [87].
Бесконечное множество размерностей

Корреляционная размерность $D_{2}$ принадлежит бесконечному семейству размерностей $D_{q}$, определяемых как
\[
D_{q}=\lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{q-1} \frac{\ln \sum_{k} p_{k}^{q}}{\ln r}, \quad-\infty \leqslant q \leqslant \infty,
\]

где сумма берется по всем ячейкам линейного размера $r$, на которые разделено пространство, а $p_{k}$ представляет собой относительную частоту, или вероятность, с которой частицы пылевидного фрактала попадают в $k$-ю ячейку $[104,85]$ (см. также гл. 9, с. 269-272).

При $q=0$ мы снова приходим к нашему старому доброму другу – размерности подсчета клеток, или размерности Хаусдорфа $D_{H}$, так как из суммы $\sum_{k} p_{k}^{0}=\sum_{k} 1$ мы видим лишь, в скольких клетках, или ячейках, «присутствует» фрактал. Таким образом, $D_{H}=D_{0}$.

При $q=2$ легко убедиться, что в пределе при $r \rightarrow 0$ сумма $\sum_{k} p_{k}^{2}$ совпадает с относительной долей $C(r)$, с помощью которой мы в предыдущем разделе ввели корреляционную размерность [234].

При $q \rightarrow 1$ формула (1) дает так называемую информационную размерность
\[
D_{1}=\lim _{r \rightarrow 0} \frac{-\sum_{k} p_{k} \ln p_{k}}{\ln (1 / r)},
\]

получившую свое название потому, чго числитель в формуле (2) представляет собой энтропию Шеннона в том виде, в каком он ввел ее в своей теории информации (по аналогии с энтропией Больцмана в статистической механике). Размерность $D_{1}$ и в самом деле измеряет потерю информации в ходе динамической эволюции хаотических систем.

При $q \rightarrow \infty$ в сумме, стонщей в числителе формулы (1), единственным значимым членом становитсн наибольшая вероятность $p_{\max }$. Отсюда
\[
D_{\infty}=\lim _{r \rightarrow 0} \frac{\ln p_{\max }}{\ln r} .
\]

И наоборот, при $q \rightarrow-\infty$ значение суммы определяется наименьшей вероятностью $p_{\min }$, и мы получаем
\[
D_{-\infty}=\lim _{r \rightarrow 0} \frac{\ln p_{\min }}{\ln r} .
\]

Размерность $D_{-\infty}$, зависящую от наименьшей вероятности $p_{\min }$, весьма трудно измерить в случае реальных фракталов: места с низкой вероятностью посещаются свободно блуждающими частицами слишком редко.

Заметим, что $D_{-\infty} \geqslant D_{\infty}$. В общем случае для любых двух размерностей с различными $q$ справедливо неравенство
\[
D_{q} \geqslant D_{q^{\prime}} \quad \text { при } q<q^{\prime} .
\]

Таким образом, $D_{q}$ – монотонно невозрастающая функция от $q$. Только в исключительных случаях $D_{q}$ не зависит от $q$ и принимает одно и то же значение во всем диапазоне $-\infty \leqslant q \leqslant \infty$.

Одним из таких исключений является строго самоподобный фрактал, порожденный «нестертыми» отрезками равной длины, такими как отрезки, порождающие троичную канторову пыль. При вычислении $D_{q}$ по формуле (1) мы считаем, что генератор фрактала состоит из $N=2$ отрезков с равными вероятностями $p_{1}=p_{2}=1 / 2$. Так как троичное канторово множество является строго самоподобным фракталом, предел при $r \rightarrow 0$ становится излишним: мы можем вычислить $D_{q}$ с $r=1 / 3$ для генератора, что дает
\[
D_{q}=\frac{1}{q-1} \frac{\ln \left[2(1 / 2)^{q}\right]}{\ln (1 / 3)}=\frac{\ln 2}{\ln 3},
\]
т. е. значение $D_{q}$ и в самом деле не зависит от $q$.

Если генератор состоит из отрезков различной длины $r_{k}$, то для того, чтобы размерность $D_{q}$ не зависела от $q$, вероятности $p_{k}$ должны быть пропорциональны $r_{i}^{D_{q}}$. Для доказательства этого утверждения воспользуемся уравнением (8) для самоподобных фракталов из главы 9:
\[
\sum_{i} p_{i}^{q} r_{i}^{\tau}=1
\]

где $\tau=(1-q) D_{q}$.
При $p_{i} \sim r_{i}^{D_{q}}$ в уравнении (4) получаем
\[
\sum_{i} r_{i}^{q}=1
\]

что, разумеется, означает независимость разности $D_{q}$ от $q$.
Например, при $r_{1}=1 / 2$ и $r_{2}=1 / 4$ получаем: $D=\ln \gamma / \ln (1 / 2) \approx 0,694$, где $\gamma=(\sqrt{5}-1) / 2$ – золотое сечение. Таким образом, $p_{1}=(1 / 2)^{D}=\gamma$, а $p_{2}=(1 / 4)^{D}=\gamma^{2}$. Конечно же, вероятности $p_{i}=r_{i}^{D}$ (за исключением $r_{i}=r$ ) носят весьма искусственный характер, и размерность $D_{q}$ в общем случае зависит от $q$. Например, при $r_{2}=r_{1}^{2}$ и $p_{1}=p_{2}=1 / 2$ из формулы (4) получаем размерность
\[
D_{q}=\frac{1}{1-q} \frac{\ln \left[\sqrt{1+2^{q+2}}-1 / 2\right]}{\ln r_{1}}, \quad q
eq 1,
\]

которая изменяется от $D_{-\infty}=\ln 2 / \ln \left(1 / r_{1}\right)$ до $D_{\infty}=\ln 2 / \ln \left(1 / r_{2}\right)$.

Заметим, что при $r_{1}>1 / 2$ размерность $D_{-\infty}$, характеризующая самую плотную часть фрактала, больше единицы. В общем случае при постоянных $p_{k}$ размерность $D_{-\infty}$ определяется самым длинным отрезком $r_{\max }$, а $D_{\infty}$ – самым коротким отрезком $r_{\min }$ (см. гл. 9).

Определение фрактальных размерностей по временным рядам

Огромное количество данных, воспринимаемых человеком, поступает к нему в виде временных рядов, т.е. последовательностей неких измеренных величин во времени. Таковы, например, электроэнцефалограммы (ЭЭГ) – записи электроэнцефалографических потенциалов (рис. 10). Что это – случайный шум или детерминированный хаос, порожденный неким детерминированным, пусть и хаотическим, процессом?

Чтобы ответить на эти вопросы, часто имеющие решающее значение, необходимо построить из $d$ измерений, равноотстоящих друг от друга по времени, $d$-мерные векторы данных и определить для полученного $d$-мерного точечного множества корреляционную размерность $D_{2}$. Если измеренные данные действительно были случайными, то при возрастании $d$ вычисленная корреляционная размерность $D_{2}$ также возрастает. Но для детерминированной системы, сколь бы хаотичной ни казалась она «невооруженному глазу», вычисленная корреляционная размерность перестает возрастать, как только корреляционная размерность $D_{2}$ данных оказывается меньше так называемой размерности вложения $d$ (рис. 11). Действуя таким образом, студент автора этой книги Й. Рёшке обнаружил, что казавшаяся на первый взгляд хаотической энцефалограмма, снятая со слухового отдела коры больших полушарий головного мозга кошки, в действительности представляет собой не случайный шум, а детерминированный хаос, корреляционная размерность которого зависит от того, спит кошка или бодрствует [215].

Рис. 11. Корреляционная размерность как функция от размерности вложения [140].

Метод определения фрактальной размерности экспериментальных данных с помощью «вложения» их в пространство подходящей размерности, позволяющий тем самым отличать детерминированный хаос от случайного шума, был успешно применен к обработке широкого круга различных физических, метеорологических, биологических и физиологических наблюдений [105].
«Абстрактное в конкретном»

Самоподобие не только поддается измерению – его с успехом можно использовать при проектировании фрактальных структур и материалов, отличающихся большей до.говечностью или более низкой стоимостью (или тем и другим одновременно). Речь идет о способе постройки межевых оград на многих фермах Новой Англии (см. рис. 12; снимок сделан автором во время велосипедного путешествия по Коннектикуту). Эти ограды сложены из больших камней, просветы между которыми заполнены меньшими камнями; промежутки между ними в свою очередь заполнены совсем маленькими камешками. В результате такого грубо самоподобного построения получается прочная стена, не требуя обычно применяемого в таких случаях дорогостоящего цемента для заполнения просветов и укрепления конструкции. Если представить количество требуемых д.тя кладки камней как степенную функцию от их размера, то каков же будет надлежащий показатель?
Рис. 12. Иерархическая структура межевой ограды в Новой Англии.
Дэвид Джонс в колонке «Абстрактное в конкретном» журнала «Nature» высказывает соображения о том, что применяя все более мелкие частицы от самой крупной галь:и до мельчайшей пыли, можно сколь угодно уменьшить объем, который предстоит заполнить дорогостоящим связующим материалом, и тем самым снизить стоимость конструкции либо получить возможнрсть использовать более дорогие и высокопрочные связующие материалы, такие как эпоксидная смола или даже полимид [123]. Аналогично, многие другие композитные материалы, например, фибергласс, можно было бы усовершенствовать, используя самоподобные структуры.

Фрактальные поверхности раздела как основа дробных показателей частоты

Входные импедансы конечных электрических цепей, построенных из пассивных «элементов с сосредоточенными параметрами», например, сопротивлений и конденсаторов, являются рациональными функциями от частоты. Так, конденсатор с емкостью $C$ обладает импедансом $Z=$ $=(i \omega C)^{-1}$, где $i=\sqrt{(-1)}$, а $\omega$ – угловая частота (частота, умноженная на $2 \pi$ ). Таким образом, для конденсатора $Z \sim \omega^{-1}$, т. е. является рациональной функцией от $\omega$.

Инженеры-электрики давно обнаружили, что конечная электрическая цепь, произвольным образом составленная из конечного числа элементов с сосредоточенными парамєтрами, всегда обладает импедансом, который является рациональной функцией от частоты. Это обусловлено тем, что рациональные функции образуют при сочетании группы, т.е. если $R(x)$ и $S(x)$ – рациональнье функции, то и $S(R(x))$ – также рациональная функция.

Эта рациональность является в определенном смысле злом, поскольку характеристический импеданс $Z_{0}$ линии связи (например, телевизионного кабеля), необходимый для «согласованного» безэхового соединения, не является рациональной функцией от частоты. Обычно $Z_{0}$ зависит от частоты как $\omega^{-1 / 2}$. Таким образом, конечная цепь не может в точности воспроизвести импедане, который описывается квадратным корнем из частоты; любая согласованная цепь всегда является лишь приближением (и стандарты этого приближения, увы, варьируются от страны к стране).

Рис. 13. Электрическая цепь лестничного типа, составленная из сопротивлений $R$ и проводимостей $G$.

Бесконечные же цепи способны порождать иррациональную зависимость от частоты. Например, бесконечная цепь «лестничного» типа, представленная на рис. 13 , имеет входной импеданс $Z_{0}$, который лучше всего представляется в виде непрерывной дроби
\[
Z_{0}=R+\frac{1}{G+\frac{1}{R+\frac{1}{G+\ldots}}} .
\]

Конечную форму для значения $Z_{0}$ можно получить, если воспользоваться периодичностью этой непрерывной дроби, которая позволяет записать ее в виде
\[
Z_{0}=R+\frac{1}{G+\left(1 / Z_{0}\right)} .
\]

Перед нами квадратное уравнение относительно $Z_{0}$. Физический смысл имеет следующее его решение (с положительной вещественной частью):
\[
Z_{0}=\frac{1}{2}\left(R+\sqrt{\left(R^{2}+4 R / G\right)}\right) .
\]

При $R=1 / G=1$ Ом $(\Omega)$ и конечнсм числе элементов импеданс $Z_{0}$ равен рациональному числу, а именно, отношению двух последовательных чисел Фибоначчи: $1 / 1,2 / 1,3 / 2,5 / 3, \ldots$ Но если число элементов бесконечно, то, как видно из формулы (1), $Z_{0}$ перестает быть рациональным. В этом случае $Z_{0}$ есть величина, обратная золотому сечению, т. е. $(\sqrt{5}+1) / 2=1,618 \ldots$.

Чтобы получить иррациональную зависимость от частоты, можно на место $G$ поставить конденсаторы с обратным импедансом $G=i \omega C$. При малых частотах $\omega \ll 1 / R C$ величина $Z_{0}$ зависит от $\omega$ по простому степенному закону $\omega^{-\beta}$ с дробным показателем $\beta=1 / 2$ :
\[
Z_{0}=R\left(i \frac{\omega}{\omega_{c}}\right)^{-1 / 2},
\]

где $\omega_{c}=1 / R C-$ верхняя «частота обрезания» используемого приближения.

Однако реальный мир электропроводности, как правило, выходит за рамки простых полуцелых показателей типа $\beta=1 / 2$. Это следует иметь в виду, поскольку однородные цепи описываются периодическими непрерывными дробями, неизменно приводящими к квадратным корням и полуцелым показателям. Следовательно, если наблюдатель обнаруживает в физической системе нестандартную зависимость от частоты с дробным значением $2 \beta$, то это свидетельствует о некоторой неоднородности структуры.

Более того, такие нестандартные частотные зависимости нередко наблюдаются при прохождении электрического тока через шероховатые поверхности, например, через поверхности раздела между электродом и электролитом в автомобильном аккумуляторе. Простые модели, представляющие токонесущие поверхности раздела в виде фракталов, установили однозначное соотношение между фрактальной геометрией и показателем частоты $\eta$.

На рис. 14 А вы видите очень схематичную двумерную модель поверхности раздела между электродом (белый) и электролитом (черный) [149]. В основе этой модели лежит канторово множество с генератором, состоящим из двух отрезков равной длины $r$, которая на рис. $14 \mathrm{~A}$ равна 0,3 . «Шероховатость» поверхности моделируется постоянно углубляющимися «канавками» в электроде; на каждом этапе построения фрактала их глубина увеличивается на постоянную величину, как показано на рис. $14 \mathrm{~A}$.

На рис. $14 Б$ показана древовидная электрическая цепь, моделирующая проводимость такой поверхности раздела. Обратите внимание на то, что сопротивления на каждом новом этапе построения увеличиваются в $1 / r>2$ раз, отражая тот факт, что заполненные электролитом канавки в поверхности электрода с каждым этапом все больше сужаются. Построенная электрическая цепь в действительности представляет собой самоподобное дерево Кэли, т. е. дерево с постоянным коэффициентом ветвления (в рассматриваемом случае равным 2) и коэффициентом подобия для сопротивлений, равным $1 / r$, что соответствует возрастанию сопротивления постоянно сужающихся канавок.

Входной импеданс построенного дерева Кэли определяется непрерывной дробью
\[
Z(\omega)=R+\frac{1}{i \omega C+\frac{2}{R_{/}^{\prime} r+\frac{1}{i \omega C+\frac{2}{R / r^{2}+\ldots}}}} .
\]

Двойки в числителях здесь – «отзвук» коэффициента ветвления нашего дерева $2: 1$.

Непрерывная дробь (3) также была бы периодической, если бы не то обстоятельство, что коэффициент подобия $r$ здесь отличен от $1 / 2$. Входной импеданс можно представить в следующем конечном виде:
\[
Z(\omega)=R+\frac{1}{i \omega C+\frac{2 r}{Z(\omega / r)}} .
\]

Заметим, что $Z(\infty)=R$, как и следовало ожидать, глядя на схему, изображенную на рис. 14Б. Для конечных частот справедливо неравенство $|Z(\omega)|>R$.

Рис. 14. (А) Троичная модель поверхности раздела между электродом (белый) и электролитом (черный) в автомобильном аккумуляторе. (Б) Древовидная электрическая схема, представляющая ток сквозь фрактальную границу, показанную на рис. (А) [149].

Если
\[
R \ll \frac{|Z(\omega)|}{2 r} \ll \frac{1}{\omega C},
\]

что подразумевает $\omega \ll 1 / R C$, то соотношение (4) упрощается к следующему масштабно-инвариантному виду:
\[
Z(\omega)=\frac{1}{2 r} Z\left(\frac{\omega}{r}\right),
\]

решением которого является степенной закон
\[
Z(\omega) \sim \omega^{-\beta}
\]

с показателем
\[
\beta=1-\frac{\ln 2}{\ln (1 / r)}=1-D .
\]

Здесь $D$ – размерность Хаусдорфа для канторова множества, использованного в модели (рис. $14 \mathrm{~A}$ ). Так как $0 \leqslant D \leqslant 1$, показатель $\beta$ заключен в том же интервале ( $0 \leqslant \beta \leqslant 1$ ) и не обязательно ограничен значением $\beta=1 / 2$.

Размерность Хаусдорфа для одномерной поверхности раздела электрод-электролит в двумерном пространстве равна $D+1=2-\beta$. Для двумерной поверхности раздела с изотропной шероховатостью соотношения для $\beta$ и $D$ остаются неизменными. Соответствующая древовидная модель использует коэффициент ветвления, равный 4 (вместо прежнего значения 2 ), а сопротивления изменяются с коэффициентом подобия $1 / r^{2}$ (вместо $1 / r$ ). Размерность же Хаусдорфа для такой поверхности раздела становится равной $2 D+1=3-2 \beta$. Вот они, давно ожидаемые соотношения между геометрией проводника и показателем частоты. Заметим еще, что чем бо.ее шероховата поверхность раздела (чем больше $D$ ), тем меньше показатель частоты $\beta$.

На интуитивном уровне возрастание импеданса при уменьшении частоты объясняется тем, что электрический ток все глубже проникает во все более узкие канавки на поверхности раздела, прежде чем оказывается шунтированным емкостями. Для древовидной фрактальной поверхности глубина проникновения растет по степенному закону с показателем $\beta$, изменяющимся в некоторых пределах в зависимости от шероховатости поверхности.

Если бы не экспоненциальный рост числа элементов, то древовидные цепи, аналогичные изображенной на рис. 14Б, были бы полезны для генерирования шумов или фильтрации сигналов, зависящих от частоты по степенному закону с дробным показателем. Хотя $1 / f$-шумы, наблюдаемые во многих электронных материалах, могут в некоторых случаях генерироваться фрактальными структурами, поддающимися описанному выше моделированию.

Фрактальные размерности поверхностей разлома
Госпудь Бог создал обтем; поверхности же были изобретены дьяволом.
ВоЛЬФГАНГ ПАУли
Разумеется, фрактальные поверхности отнюдь не исчерпываются шероховатыми электродами. Разлом – вот еще один вездесущий источник двумерных фракталов. В своей классической работе Мандельброт, Пассойя и Полле исследовали структуру поверхности разлома образцов низкоуглеродистой стали, которая оказалась самоаффинной [163]. Покрывая поверхность разлома толстым слоем никеля и последовательно сошлифовывая слой за слоем, авторы получили островки стали, размеры которых увеличивались по мере того, как плоскость шлифования приближалась к поверхности разлома. На рис. 15 представлена зависимость площадей $A$ стальных островков от их периметров $L$ в двукратно логарифмическом масштабе. В диапазоне, охватывающем более четырех порядков величины, данные хорошо описываются степенным законом $A \sim L^{1,56}$, из чего следует, что периметры стальных островков самоподобны. Значение показателя 1,56 заметно отличается от показателя в евклидовом законе $A \sim L^{2}$. Показатель 1,56 означает также, что размерность Хаусдорфа $D$ для периметра равна $2 / 1,56 \approx 1,28$. Это значение близко к размерности Хаусдорфа для западного побережья Британии ( $D \approx 1,3$ ), но значительно превосходит размерность «фрактального шестиугольника» ( $D=\ln 9 / \ln 7 \approx 1,13$ ), с которым мы уже встречались в гл. 1 (с. 36-40). Возможно, читатель вспомнит, что для правильного предсказания площади фрактального шестиугольника по его периметру, последний следует возводить в степень $2 / D \approx 1,77$ (а не 2).

Из значения $D \approx 1,28$ для стальных островков следует, что самоаффинная поверхность разлома имеет фрактальную размерность $D+1=2,28$ – значение, характерное для несглаженных гор. Вертикальный разрез, проведенный через такой изломанный горный ландшафт, порождает профиль с фрактальной размерностью $2,28-1=D$.

Рис. 15. Площади стальных «островков» как функция от их периметров на поверхности разлома куска низкоуглеродистой стали [163].

Мандельброт и его сотрудники подтвердили этот результат, измерив пространственный частотный спектр $P(f)$ таких профилей разлома, и обнаружили, что $P(f) \sim f^{-4,5}$. Вычисленная по показателю частоты $\beta=4,5$, фрактальная размерность оказывается равной $D=3-(\beta-1) / 2=1,25$ (см. гл. 5, с. 190) в достаточно хорошем согласии с проведенными ими независимыми измерениями размерности «островков». Таким образом, поверхность излома металла не зависит от внутреннего масштаба в диапазоне, охватывающем несколько порядков величины.

Интересно, что фрактальная размерность поверхности разлома и энергия, необходимая для ударғого разрушения образца, оказались связаны с температурой закаливания стали. Хотя в точной металлургической подоплеке этой зависимости энергии разрушения и топографии поверхности образца от режима термической обработки еще предстоит разобраться.

Фрактальные формы облаков и дождевых областей

Сильные дожди нарушают связь в УКВ-диапазоне, излюбленном диапазоне дальней телефонной связи в последние полвека. Стоит между двумя УКВ-вышками, встречающимися буквально на каждом шагу и в США, и в других странах, появиться области сильных дождей, как возникает необходимость перемаршрутизации сигналов по другим линиям связи. Неудивительно, что инженеры-телефонисты проявляют столь живой интерес к распределению осадков по времени и геометрическим формам дождевых областей. Дождь, как известно, идет из облаков (хотя есть люди, достаточно просвещенные, которые признают, что были очень удивлены, когда впервые услышали об этом).

Поэтому нет ничего более естественного, чем исследовать статистику дождей и облаков вместе, как это сделал (среди прочих авторов) Лавджой [151]. На рис. 16 представлены данные о площадях $A$ дождевых областей (черные точки) и облаков (светлые точки) в зависимости от их периметров $L$ в двукратно логарифмическом масштабе. В диапазоне, охватывающем 6 (!) порядков величины (от 1 км² до 1000000 км²), эти данные с достаточно хорошей точностью ложатся на прямую с угловым коэффициентом около 1,5 , что соответствует фрактальной размерности $D$ периметра, равной $2 / 1,5 \approx 1,35$. И здесь, как и в случае разлома и других многочисленных явлений природы, по-видимому, не существует естественного масштаба.

Рис. 16. Площади дождевых областей (черные точки) и облаков (светлые точки) в зависимости от их периметров [151].

Численное значение показателя находится в хорошем согласии с термодинамической моделью Хентшеля и Прокачча [106]. Лавджой и Мандельброт предложили математическую модель, в которой предполагается, что дождевые области порождаются наложением друг на друга отдельных дождевых участков, размеры которых распределены по гиперболическому закону [152]. Предложенная ими модель позволяет получать в высшей степени реалистичные изображения облаков. На цветной вклейке 5 на фотографии, снятой автором этой книги, видно, что естественные облака соперничают в реализме с изображениями, полученными с помощью компьютера. На вклейках 6 А и 6 Б показаны еще два фрактала, наблюдаемых в природе. Один из них возникает при распаде, другой – в процессе роста.

Агломерация кластеров
При ограниченной диффузией агрегации (ОДА) рост скоплений молекул происходит путем присоединения к агрегату по одной молекуле за цикл. Еще одним важным процессом роста, который также приводит к образованию фрактальных структур, является агломерация аэрозолей и коллоидов. На рис. 17 вы видитє сделанный с помощью электронного микроскопа снимок частицы коллоидного золота, выращенной Вейтцем и Оливериа посредством кластерной агрегации [273]. Фрактальная структура этого коллоида настолько разрежена, что даже на представленной на снимке двумерной проекции кластер прозрачен.

Процесс агломерации кластеров проиллюстрирован на рис. 18. Первоначально отдельные частицы почти равномерно распределены в некотором конечном объеме (рис. $18 \mathrm{~A}$ ). Затем частицы случайным образом мигрируют, как при броуновском движении. При столкновении две частицы слипаются и в дальнейшем движутся вместе как маленький «кластер». Эти маленькие клєстеры, в свою очередь, также слипаются при столкновении, образуя более крупные кластеры; о таком поведении частиц сообщает в своих наблюдениях Микин [171]. Подобные агломерационные процессы, как видно на рис. 18 Б и $18 \mathrm{~B}$, приводят к образованию все более крупных кластеров, которые обладают структурой статистически самоподобных фракталов. Двумерное компьютерное моделирование дает значение размерности Хаусдорфа $D$ около 1,4 . В трехмерном случае Кольб, Боте и Жюльен получили $D \approx 1,8$ [134].

Экспериментально фрактальную размерность можно измерить по рассеянию света, рентгеновского излучения или нейтронов на фрактале. Для пространственных частот (обратных длин волн) $f$ в диапазоне $1 / R \ll f \ll 1 / r$, где $R$ – размер всего фрактала, а $r$ – величина отдельной частицы, можно ожидать, что интенсивность рассеянного излучения $I(f)$ удовлетворяет простому степенному закону $I(f) \sim f^{-D}$ (см. следующий раздел). Измеренная таким способом Шефером и его

Рис. 17. Частица коллоидного золота, взращенная посредством агрегации кластеров [273].

сотрудниками фрактальная размерность частиц кремнезема оказалась равной $D \approx 2,1$ (см. рис. 19) [221]. Этс значение, существенно большее, чем найденные с помощью компьютерного моделирования, указывает на то, что агломерация кремнезема происходит на основе иного механизма. Численные эксперименты, в которых кластеры образуются медленно, после многократных столкновений дают размерность $D \approx 2,0$, которая лучше согласуется с результагами измерений по рассеянию на фракталах $[63,248]$.

Агломерация, кроме того, играет решающую роль в процессах электролитического осаждения и в каталитических реакциях. Кластеризация во многом определяет также распространение эпидемий, слухов и мнений. Грассбергер показал, что при опросах общественного мнения фрактальные структуры могут пэиводить к сильно смещенным и поэтому ложным результатам [86].

Рис. 18. Агломерация кластеров: (А) однородное случайное распределение, (Б) образование малых кластеров при случайном движении, (В) образование больших кластеров [171].

Дифракция на фракталах

При некогерентной дифракция на фрактале, состоящем из независимых частиц, например, на коллоиде, интенсивность $I(f)$ рассеянного излучения как функция от пространственной частоты $f$ пропорциональна всей «массе» $M$, содержащейся в объеме радиуса $\rho=1 / f$. Если $M \sim \rho^{D}$, то
\[
I(f) \sim f^{-D} .
\]

Рис. 19. Определение фрактальной размерности частиц кремнезема. Интенсивность рентгеновских лучей, рассеянных на коллоидном агрегате кремнезема (SAXS – рассеяние рентгеновских лучей на малые углы) [221].

Для поверхностных фракталов $I(f) \sim S$, где $S$ – площадь поверхности. Но $I(f)$ можно также представить в виде $M^{2} F(f \rho)$, где $F$ некоторая универсальная функция [165]. С учетом того, что $S \sim \rho^{D_{s}}$ и $M \sim \rho^{d}$, получаем $F(f R) \sim(f \rho)^{D_{s}-2 d}$ и
\[
I(f) \sim f^{D_{s}-2 d},
\]

где $D_{s}$ – фрактальная размерность рассеивающей поверхности, а $d$ евклидова размерность вложения. При $d=3$, таким образом, имеем:
\[
I(f) \sim f^{D_{s}-6} .
\]

Для гладкой поверхности $D_{s}=2$, а $I(f) \sim f^{-4}$ – хорошо известный классический результат для рассматриваемого здесь режима рассеяния. Как мы уже отмечали, соотношение (3) позволяет определить размерность Хаусдорфа $D_{s}$ для фрактальной поверхности по дифракции волн.

На рис. 19 интенсивность рентгеновского излучения, рассеянного на упоминавшемся выше агрегате коллоидного кремнезема, показана как функция от пространственной частоты (выраженной в обратных ангстремах $\left.\left(10^{-10} \mathrm{~m}\right)\right)$. Измерения были ограничены рассеянием на малые углы, так как при рассеянии на большие углы рентгеновское излучение разрешало бы молекулярную структуру, тогда как основной интерес в данном случае представляет структура кластеров. При $f<1 / r$, где $r=27 \AA$ – радиус нефрактальных мономеров, образующих фрактальный коллоид, значения интенсивности рассеянного излучения ложатся на прямую с угловым коэффициентом $-2,1$ (в двукратно логарифмическом масштабе), который, таким образом, является размерностью Хаусдорфа для данного фрактального коллоида.

При $f>1 / r$ существует другой линейный режим изменения интенсивности рассеянного излучения с угловым коэффициентом, равным -4 . Именно его предсказываєт теория для нефрактальных мономеров, образующих фрактал. Таким образом, экспериментальный результат указывет на то, что мономеры в агрегате остаются неповрежденными.

Здесь мы подходим к самому важному применению волновой дифракции при анализе фрактальных структур – к анализу коллоидов. Проблема понимания процессов, лежащих в основе агрегации коллоидов, уже давно стоит на первом месте в определенных областях физики и химии, а также в многочисленных и разнообразных коммерческих отраслях. Дифракция волн и без того всегда была превосходным инструментом структурного анализа, теперь же область ее применимости успешно расширена от однородных тел к фрактальным структурам.

Еще одной фрактальной структурой, которую удалось расшифровать с помощью рассеяния рентгеновского излучения и нейтронов на малый угол, стал лигнит, или «бурый уголь». Лигнит пронизан микроскопическими порами с фрактальной внутренней поверхностью. Именно эти поры и их поверхности делают «активированный» уголь активным и многообещающим материалом для воздушных фильтров и других приспособлений, связанных с тонкой очисткой. Теория предсказывает, что интенсивность рассеянного излучения $I(f)$ для гладких пор должна быть пропорциональна $f^{-4}$. Для крупных же пор с фрактальной поверхностью величина $I(f)$ должна быть, согласно соотношению (3), пропорциональна $f^{D-6}$, где $D$ – фрактальная размерность внутренней поверхности пор. Этот закон должен выполняться для пространственных частот, соответствующих величине, обратной неровности поверхности пор.

Экспериментальные результағы Бейла и Шмидта дают показатель $-3,44$ с ошибкой менее $1 \%$ в диапазоне интенсивностей, охватывающем семь порядков величины [17]. Следовательно, поверхности пор фрактальны, и их фрактальная размерность равна $6-3,44=2,56$.

Интересно отметить, что тот же самый степенной закон $I(f) \sim f^{D-6}$ получается и для гладких пор с самоподобным распределением размеров. В частности, если число пор $N(r)$ с радиусом, превышающим $r$, пропорционально $r_{D}$, то, как показывают результаты Iфайфера и Авнира, интенсивность рассеянного излучения с.едует закону $I(f) \sim f^{D-6}[198]$. Однако выполняется этот закон в другом диапазоне частот, который определяется размерами пор, а не неровностями их поверхности. Это еще один пример относительного упрощения ситуации при наличии самоподобия и при должном его использовании.

Несколько лет назад автор этой книги предложил несколько теоретико-числовых концепций (квадратичные вычеты, примитивные многочлены и первообразные корни на конечных числовых полях, а также логарифмы Цеха) в качестве основ проектирования отражательных фазовых решеток с очень интенсивным рассеянием падающей энергии по широким частотным диапазонам [230]. Диапазоны частот, эффективно рассеиваемые такими решетками, можно еще больше расширить, если использовать при их проектировании самоподобие, в результате чего мы получим фрактальные дифракционные решетки [42].