Приведенное выше предложение $[1+1=2]$ бызает иногда полезным.
А. Н. УАЙТХЕД И Б. РАССЕЛ «Principia Mathematica»
Современная теоретическая физика это роскошный, совершенно раблезианский полнокровный мир идей, и математик может найти в нем все, что душе угсдно – кроме порядка, к которому он привык.
Ю. И. МаниН
В этой главе мы отведаем вкус некоторых запретных плодов из тех, что произрастают на почве самоподобия, познакомимся с новым твердым состоянием вещества – с квазикристаллами, обладающими осью вращательной симметрии пятого порядка (как у пятилучевой морской звезды и многих цветов). Интересно отметить, что новое состояние вещества связано с простым итерированным отображением, описывающим размножающихся кроликов, но не простых, а весьма редкой породы, из знаменитого семейства Фибоначчи. В свою очередь упомянутое итерированное отображение тесно связано с непрерывной дробью для золотого сечения, которая легко может быть «понижена» до так называемых серебряных сечений, что позволяет ожидать появления новых запрещенных симметрий, причем некоторые из них уже были обнаружены в реальных квазикристаллах.

Запрещенная симметрия пятого порядка
Люди всегда высоко ценили кристаллы – будь то снежинки или драгоценные камни – т.е. такие образования, в которых отдельные атомы расположены в узлах упорядоченных периодических решеток. Однако нам известны также и неупорядоченные вещества (большинство жидкостей, например), в которых атомы распределены случайным образом. Аналогично, большинство твердых веществ, встречающихся в природе, неупорядочены, или аморфны, напоминая этим жидкости, только затвердевшие. Прекрасным примером аморфных твердых тел могут служить стекла. Более того, у физиков слово «стекло» стало с некоторых пор собирательным названием для неупорядоченных систем вообще. Так, под металлическим стеклом отнюдь не подразумевается вставленный в оконную раму лист свинца, и с обычным стеклом это вещество имеет мало общего: речь идет всего лишь о металле, атомы которого расположены беспорядочно. Точно так же и спиновые стекла не имеют никакого отношения ни к спинам, ни к спиннингу. Спиновое стекло – это неупорядоченное расположение магнитных спинов или, в общем смысле, значений любой другой физической переменной, обладающей двумя ${ }^{1}$ предпочтительными состояниями, например, возбужденных и невозбужденных нейронов в нейронной сети.

Кроме названных существуют и весьма необычные состояния вещества. Вспомним хотя бы о жидких кристаллах, повсеместно используемых ныне в буквенно-цифровых диспленх наручных часов и микрокалькуляторов (т. н. ЖК-дисплеи). В жидком кристалле молекулы расположены случайным образом, но их ориентации упорядочены и управ-
${ }^{1}$ Между спином (в том смысле, какой придают этому термину физики) и числом 2 (известным также как самое странное из простых чисел, поскольку 2 единственное четное простое число) существует прочная связь. Так как элементарный спин – величина, способная принять одно из двух значений («верх» или «низ), два электрона могут находиться на одной и той же атомной орбите, что (вместе с принципом запрета Паули) объясняет структуру периодической системы химических элементов. Эйнштейн в единственном выполненном им собственноручно (вместе с де Газзом) эксперименте (по узмерению гиромагнитного отношения электрона) получил результат в 2 раза больший ожидаемого значения (погрешность в $100 \%$ !). Однако это обстоятельство ничуть не обескуражило великого теоретика; говорят, что он лишь невозмутимо заметил: «Достаточно близо». Впоследствии оказалось, что экспериментальный результат Эйнштейна и де Гааза абсолютно точен, а недостававший множитель 2 обусловлен спином электрона. Позднее и в физике, и в химии неоднократно возникали ситуации, когда результаты эксперимента приходилось «умножать на 2 из-за спина». (Однако то, что цифру крепости на бутылке спиртного следует понимать как процєнтное содержание спирта, умноженное на 2 , по-видимому, не имеет отношения к спину, возникающему в головах любителей горячительных напитков, стоит им немного перебрать.) (Английское слово spin переводится, среди прочего, и как «вращение»; ну а цифра крепости на российских бутылках соответствует (в идеале) действительному содержанию алкоголя, т.е. спин, по-видимому, не учитывается вовсе, что, однако, не мешает «перебирать» нашим отечественным любителям «спина в голове». – Iрим. перев.)

Рис. 1. Электронная дифракционная картина кристалла с запрещенной симметрией пятого порядка [239].
ляются приложенным извне напряжением, что позволяет изменять выводимую информацию.

Вплоть до недавнего времени вряд ли кто-нибудь подозревал, тто может существовать еще одно состояние вещества, которое обладало бы существенными свойствами кристаллических и аморфных веществ одновременно. Однако именно такое состояние и обнаружили Д. Шехтман и его сотрудники при снятии электронограммы (рис. 1) быстро охлаждаемого образца алюминиево-марганцевого сплава ( $\mathrm{Al}_{6} \mathrm{Mn}$ ), отнесенного ныне к особому разряду квазикристаллов [239]. На электронограмме, или дифракционной картине (которая, в сущности, представляет собой двумерное преобразование Фурье), квазикристаллов наблюдаются резкие пики, свидетельствующие о дальнем порядке, как в периодических кристаллических решетках. Но на тех же электронограммах мы видим симметрию пятого порядка, запрещенную для периодических кристаллов. Простое доказательство этого приведено на рис. 2. Симметрия пятого порядка означает, что решетку можно совместить с самой собой, повернув на угол $360^{\circ} / 5=72^{\circ}$. Разрешенными же являются только оси симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядков; все остальные вращательные симметрии противоречат трансляционной симметрии периодического кристалла.

Что же происходит в квазикристаллах? После первого открытия Шехтмана и его сотрудников было обнаружено еще несколько квазикристаллов с запрещенными симметриями других типов. Значит, ква-

Рис. 2. Простое доказательство невозможности симметрии пятого порядка в периодическом кристалле. Существует такое понятие, как наименъшее расстояние между двумя атомами периодического кристалла. Предположим, что отрезок $A B$ является одним из таких наищеньших расстояний. Если кристалл обладает симметрией пятого порядка, то точки $C$ и $D$ (полученные поворотом на угол $360^{\circ} / 5=72^{\circ}$ ) также должны быть заняты атомами. Но расстояние между точками $C$ и $D$ меньше (козффициент подобия, между прочим, равен 0,382 , т. е. золотому сечению в квадрате) длины отрезка $A B$, что противоречит начальному условию о минимальности длины отрезка $A B$.

зикристаллы представляют собой не любопытный курьез, не редкую диковину, а новое твердое состояние вещества – несмотря на не покидающие Лайнуса Полинга сомнения в правильности подобных взглядов [191]. Как мы вскоре увидим, объяснение существования квазикристаллов основывается на самоподобии.

Дальний порядок, обусловленный взаимодействиями между соседями

Как мы уже знаем из теоретико-числовой последовательности Морса-Туэ (см. гл. 12), острые пики в спектре и апериодичность отнюдь не противоречат друг другу – до тех пор, пока господствует дальний порядок. Простейшим примером апериодичности и дальнего порядка, приводящих к резким пикам в спектре, может служить суперпозиция двух синусоид с несоизмеримыми частотами:
\[
s(t)=\sin \left(\omega_{0} t\right)+\sin \left(\alpha \omega_{0} t\right),
\]

где отношение частот $\alpha$ – иррациональное число. Не существует ненулевого значения $T$, при котором $s(t)=s(t+T)$ для всех $t$. Однако Фурье-анализ функции $s(t)$ (надлежащим образом преобразованной для обеспечения сходимости преобразования Фурье), без сомнения, обнаружит четко выраженные пики при несоизмеримых угловых частотах $\omega=\omega_{0}$ и $\omega=\alpha \omega_{0}$.

Периодичность в кристаллах легко объяснима. Например, в кристалле поваренной соли (хлорида натрия, химически выражаясь) атомы натрия ( $\mathrm{Na}$ ) предпочитают в качестве соседей атомы хлора (Cl), а те, в свою очередь, предпочитают окружать себя атомами натрия. Таким образом, взглянув вдоль любой из кристаллических осей, мы увидим, что атомы натрия и хлора чередуются: $\mathrm{Na}-\mathrm{Cl}-\mathrm{Na}-\mathrm{Cl}-\mathrm{Na}-\mathrm{Cl}-$ и т.д. Результат – идеальная периодичность и дальний порядок.

А как же объяснить дальний порядок в апериодическом квазикристалле? Это не так просто. Если между атомами или молекулами различного рода нет взаимног притяжения (или если это притяжение разрушено высокой температурой), то дальнего порядка, как правило, нет совсем: возникает случайная структура вроде той, что мы наблюдаем в жидкостях (или в «замороженных» жидкостях – например, в оконном стекле).

По-видимому, единственный способ построить дальний порядок из короткодействующих сил, доминирующих в твердых телах, не порождая при этом периодической решетки (такой, как у поваренной соли), состоит в том, чтобы воспользоваться итерированными отображениями. Такие отображения можно считать моделями короткодействующих сил. Например, нуль притягивает единицу, порождая отображение $0 \rightarrow 01$, а единица притягивает нуль, порождая отображение $1 \rightarrow 10$. Однако из анализа последовательности Морса-Туэ нам известно, что итерированные отображения могут также порождать апериодический дальний порядок. Поскольку итерированные отображения часто приводят к самоподобию, объяснить квазикристаллы с помощью такого подхода можно только в том случае, если эти кристаллы (и их дифракционные «портреты») обладают масштабной инвариантностью. Более подробное изучение дифракционной картины, представленной на рис. 1 , показывает, что так оно и есть, гричем наиболее заметный коэффициент подобия равен золотому сечению $\gamma=(\sqrt{5}-1) / 2=0,618 \ldots$

(Iримечание. Некоторые авторы – включая и вашего покорного слугу, только в другой книге – называют золотым сечением обратную ему величину $1 / \gamma=(\sqrt{5}+1) / 2=1,618 \ldots)$

Таким образом, квазикристаллы, скорее всего, можно моделировать с помощью некоторого итеративного отображения, связанного с золотым сечением. Чтобы найти такое отображение, нам придется заглянуть в прошлое.

Примерно в 1200 г. Леонардо Пизанский (около 1175-1250), более известный как Фибоначчи, т.е. сын Боначчи, задумался над задачей о размножении кроликов (по-видимому, уже в те далекие времена кролики были в этом деле весьма искусны) [71]. В наилучшем современном стиле Фибоначчи постулировал в высшей степени упрощенную модель процесса размножения: раз в сезон каждая взрослая пара кроликов производит новую пару, которая достигает зрелости через поколение. Предположим, что в самом начале имеется одна-единственная пара новорожденных кроликов, и что кролики живут неограниченно долго. Популяция кроликов при этом быстро растет (см. рис. 3).

С формальной точки зрения Фибсначчи занимался рассмотрением итерированного отображения $0 \rightarrow 1$ и $1 \rightarrow 10$, где 0 означает незрелую пару кроликов, а 1 – взрослую пару. Таким образом, первые шесть поколений представлены следующими двоичными последовательностями
\begin{tabular}{llllllll}
0 & & & & & & & \\
1 & & & & & & & \\
1 & 0 & & & & & & \\
1 & 0 & 1 & & & & & \\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & & & \\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
$\ldots$, & & & & & &
\end{tabular}

которые, как и последовательность Морса-Туэ, являются самопорождающими. Количество пар кроликов в $n$-м поколении равно $F_{n}$ ( $n$-е число Фибоначчи, определяемое равенством $F_{1}=F_{2}=1$ и рекуррентным соотношением $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ ); числа $F_{n}$ образуют известную последовательность Фибоначчи $1,1,2,3,5,8,13, \ldots$ ). Существует простой способ вычисления $F_{n}$ при $n>0$ – округление значения $\gamma^{-n} / \sqrt{5}$ до ближайшего целого числа (здесь $\gamma=0,618 \ldots$ – уже упоминавшееся золотое сечение). Таким образом, отношение двух последовательных чисел Фибоначчи асимптотически стремится к золотому сечению, равно как и отношение количества нулей и единиц в каждой строке массива (1). Более того, количество нулей и единиц в $n$-й строке в точности

Рис. 3. Размножение кроликов по Фибоначчи. Маленькие белые кролики молодняк, большие черные – взрослые особи.
равно $F_{n-2}$ и $F_{n-1}$, соответственно. (Заметим, что обратная рекурсия дает $F_{0}=0$ и $F_{-1}=1$.)

Другой способ построения бесконечной последовательности, начало которой представлено массивом (1), и который я назвал кроличвей последовательностью, вполне очевиден: приписывая к каждой строке, начиная со второй, предыдущую строку, мы будем получать следующую строку. Это свойство является прямым следствием итераций отображения. Первая итерация отображения $0 \rightarrow 1,1 \rightarrow 10$ дает $0 \rightarrow 01,1 \rightarrow 101$. Следующая итерация приводит к отображению $0 \rightarrow 10110,1 \rightarrow 10110101$ и т. д. Таким образом, пятую строку (10110) массива (1) можно считать порожденной третьей строкой (10) посредством однократно итерированного отображения $1 \rightarrow 101$ и приписывания справа результата отображения $0 \rightarrow 10$. Но 101 – это не что иное, как четвертая строка, а приписанная справа группа цифр 10 третья строка. Следовательно, можно утверждать, что каждая строка массива (1) может быть получена посредством приписывания к предыдущей строке предпредыдущей строки – правило «инфляции», отражающее исходное отображение $0 \rightarrow 1,1 \rightarrow 10$. Такого рода структура и обусловливает дальний порядок в кроличьей последовательности, хотя последовательность эта была определена на основе лишь короткодействующих «сил» $0 \rightarrow 1,1 \rightarrow 10$, затрагивающих только соседние символы.

Как было показано в гл. 11, итерированные отображения часто порождают самоподобие, и кроличья последовательность в этом отношении не является исключением: она просто изобилует самоподобиями. Одно из самоподобий кроличьей последовательности можно продемонстрировать, сохраняя первые два из каждой тройки символов для каждой единицы в последовательности и первый из каждой пары символов для каждого нуля. Такое выборочное усечение воспроизводит исходную бесконечную кроличью последовательность, в чем можно убедиться, подчеркнув сохраняемые символы:
\[
\underline{10} 1 \underline{1010} 1 \underline{10} 1 \underline{1} \ldots
\]

Это свойство кроличьей последовательности отражает тот факт, что она воспроизводит сама себя при обратном отображении $10 \rightarrow 1,1 \rightarrow 0$ (называемом также переименованием блоков или «дефляцией» в физической теории ренорм-групп). (Обратите внимание на то, что неподчеркнутые символы также воспроизводят единицы и нули кроличьей последовательности – от этих проньрливых кроликов просто некуда деться!)

Попытаемся теперь извлечь из наших кроликов хоть немного пользы. Рассмотрим следующую задачу о «синхронизации» (с потенциальным применением в обеспечении согласованного функционирования каналов передачи цифровой информации – например, при передаче изображений с отдаленных космических кораблей). На сколько шагов вправо необходимо сдвинуться в кроличьей последовательности
\[
101101011011010110101 \ldots,
\]

чтобы снова обнаружить некую заданную подпоследовательность символов (например, 10)? Для ответа на этот вопрос необходимо произвести осмотр на месте. Сначала сдвигаемся на 3 знака, затем на 2 , затем снова на 3 и т.д. – в итоге получаем последовательность $3,2,3,3,2,3,2, \ldots$ (числа Фибоначчи, кстати), которая похожа на кроличью последовательность. Да что там – похожа! которая воспроизводит кроличью последовательность, если сделать подстановку $2 \rightarrow 0\left(F_{3} \rightarrow F_{0}\right)$ и $3 \rightarrow 1\left(F_{4} \rightarrow F_{1}\right)$. Чтобы справиться с большими погрешностями синхронизации, необходимо использовать длинные последовательности. В общем случае подпоследовательность длиной $F_{n}-1$ встретится повторно не ранее, чем через $F_{n-1}$ шагов, но и не позднее, чем через $F_{n+1}$ шагов.

Существует простая формула (впервые мы ее встретили на с. 90), позволяющая определять те индексы $k$, для которых элементы $r_{k}$ кроличьей последовательности равны единице:
\[
k=\left\lfloor\frac{n}{\gamma}\right\rfloor, \quad n=1,2,3, \ldots
\]

Значения индексов $k$, для которых элементы $r_{k}$ равны нулю, задаются другой функцией:
\[
k=\left\lfloor\frac{n}{\gamma^{2}}\right\rfloor, \quad n=1,2,3, \ldots
\]

Здесь под значением функции $\lfloor x\rfloor$ понимается наибольшее целое число, не превосходящее $x$.

Эти два равенства можно интернретировать как формулы, оиисывающие генерацию единиц и нулей двумя несоизмеримыми частотами $\gamma$ и $\gamma^{2}$. Заметим, что $\gamma+\gamma^{2}=1$; единица в данном случае есть частота появления либо единицы, либо нуля (инженеры называют ее частотой дискретизации). Если чигло $\gamma$ заменить любым положительным иррациональным числом $w<1$, а $\tau^{2}$ – числом $1-w$, то две результирующие последовательности, вместе охватывающие все положительные целые числа, называютея парой последовательностей Битти. Из-за своего свойства вкючать в себя все целые положительные числа последовательности Битти оказываются полезными в качестве последовательностей индексов [245].

Поскольку кроличья последовательность порождена частотами $\gamma \approx 0,618$ и $\gamma^{2} \approx 0,382$, неудивительно, что в спектре (т.е. наборе амплитуд преобразования Фурье) именно на этих частотах наблюдаются два четко выраженных пика. На рис. 4 показан спектр, который получается после обрыва кроличьей последовательности на 144 члене и последующего преобразования Фурье [230]. Два главных пика расположены на 55 -й и 89 -й гармониках, что соответствует частотам $89 / 144 \approx \gamma$ и $55 / 144 \approx \gamma^{2}$. Построенный спектр отражает и самоподобие кроличьей последовательности. Более того, пики приходятся на частоты, отношение которых равно золотому сечению $\gamma$ (ему же, кстати, равно

Рис. 4. Амплитудный спектр Фурье для двоичной кроличьей последовательности (составленной из первых 144 ее членов, периодически повторяющихся) $[230]$.

и отношение двух последовательных чисел Фибоначчи в усеченной последовательности), а отношение амплитуд приближенно равно $\gamma^{2}$.

Построение кроличьей последовательности из последовательности чисел Фибоначчи

В большинстве случаев мы не испытываем особой потребности в последовательностях индексов для единиц и нулей кроличьей последовательности, но нам просто необходима сама кроличья последовательность и какая-нибудь формула, позволяющая непосредственно ее строить. Попытаемся же получить такую формулу.
Рассмотрим выражение
\[
r_{k}=m_{r}+1 \bmod 2,
\]

где $m_{r}$ – индекс наименьшего значащего члена в представлении $k$ в фибоначчиевой числовой системе [230]. Число $n$ в этой системе однозначно представляется в виде суммы чисел Фибоначчи с убывающими индексами, начиная с числа с наибольшим индексом, не превосходящим $n$ :
\[
n=F_{m_{1}}+F_{m_{2}}+\ldots+F_{m_{r}},
\]

где $m_{1}>m_{2}>\ldots>m_{r}$. Например, $12=8+3+1=F_{6}+F_{4}+F_{2}$. Так как индекс 2 последнего члена разложения $F_{2}$ четный, $r_{12}=1$. (Обратите внимание на то, что в таком представлении чисел не может оказаться рядом двух последовательных индексов, т.е. $m_{i+1} \geqslant 2+m_{i}$. Кроме того, по условию, $1=F_{2}$, поэтому $r_{1}=1$.) Хотя вышеописанный подход и направлен на получение самих членов $r_{k}$, однако вычисления, производимые в фибоначчиевой системе, вряд ли можно назвать непосредственными.

Самоподобный спектр кроличьей последовательности

Более прямым представлением кроличьей последовательности $r_{k}$ является следующее:
\[
r_{k}=\left\{\begin{array}{ll}
1, & \text { если }\langle(k+1) \gamma\rangle_{1}<\gamma, \\
0, & \text { в противном случае }
\end{array}\right.
\]

где $\langle x\rangle_{1}$, как и прежде, означает дробную часть числа $x$. Эта формула имеет красивое геометрическое представление (рис. 5).

Рис. 5. Геометрическое представлєние кроличьей последовательности. Член $r_{k}$ равен 1 , если угол $\langle(k+1) \gamma\rangle_{1} \cdot 360^{\circ}$ попадает внутрь выделенной дуги. В противном случае $r_{k}=0$.

Запишем две прямые формулы, порождающие кроличью последовательность, из которых непосредственно видны $и$ дальний порядок, $u$ апериодичность:
\[
r_{k}=\lfloor(k+1) \gamma\rfloor-\lfloor k \gamma\rfloor
\]

и
\[
r_{k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \operatorname{sgn}\left[\gamma-\langle(k+1) \gamma\rangle_{1}\right]
\]
(формула (2) по существу представляет собой выражение (1), только иначе записанное), где $\operatorname{sgn}[x]$ – функция, значением которой является знак числа $x$ (при $x
eq 0$ она равна +1 или $-1 ; \operatorname{sgn}[0]=0$ по определению).

Переведя соотношение (2) на инженерный язык и рассматривая при этом $k$ как непрерывную перемєнную («время»), можно сказать, что $r_{k}$ – это прямоугольная волна (совершающая скачки от 0 до 1 ) с основной частотой $\gamma$ (и «рабочим циклом» $\gamma$ ). Однако в действительности переменная $k$ не непрерывна, а дискретна, и возрастает с шагом 1. Это означает, что наша прямоугольная волна дискретизирована с частотой дискретизации 1 . Так как частоты $\gamma$ и 1 несоизмеримы, возникающая в результате дискретизации последовательность апериодична, хотя и сохраняет идеально жесткий дальний порядок. Например, положив $k=144$, мы обнаружим, что $r_{144}=1$. Мы можем сразу же убедиться в правильности полученного результата, заметив, что $144=$ $=F_{12}$ и применив общее правило $r_{F_{n}}=\left(1+(-1)^{n}\right) / 2$. (Примечание. При $F_{n}=1$ следует брать $n=2$.)

Так как период $\gamma$ – число иррациональное, значения $r_{k}$, выбранные с интервалом дискретизации, апериодичны. Вследствие этого в спектpe $r_{k}$ наблюдаются ярко выраженные пики на определенных предпочтительных частотах, т.е. на частоте дискретизации, умноженной на $\gamma^{2}, \gamma^{3}, \gamma^{4}, \gamma^{5}$ и т.д., и на соответствующих зеркальных частотах $\left(1-\gamma^{2}=\gamma, 1-\gamma^{3}, \ldots\right)$.

Математическое выражение для спектра $r_{k}$ можно получить, произведя Фурье-преобразование функции $r_{k}$, выраженной формулой (2):
\[
R_{m}=\operatorname{sinc} m \gamma \text { на частотах } f_{n m}=n+m \gamma,
\]

где функция $\operatorname{sinc} x$ определяется как $(\sin \pi x) / \pi x$.

Самоподобие кроличьей последовательности
Откуда же берутся все эти спектральные самоподобия? Судя по всему, они должны быть заложены в самой последовательности. В самом деле, если взглянуть на последовательность индексов $\lfloor n / \gamma\rfloor$ для единиц, то нетрудно заметить, что при уменьшении всех ее членов в $\gamma$ раз, т.е. при подстановке $n / \gamma$ вместо $n$, она переходит в последовательность индексов $\left\lfloor n / \gamma^{2}\right\rfloor$ для нулей. Следовательно, амплитуда Фурье-преобразования функции $r_{k}$ останется при таком уменьшении неизменной (если пренебречь постоянным коэффициентом подобия).

Самоподобие наблюдается и в самой последовательности $r_{k}$. Так как коэффициент самоподобия равен $1 / \gamma$, то для того, чтобы добиться изменения масштаба в $1 / \gamma$ раз, нам необходимо пропускать в среднем $1,618 \ldots$ знаков. А поскольку асимптотическое отношение числа единиц к числу нулей в точности равно $\gamma$, мы могли бы пропускать по два члена последовательности $r_{k}$ всякий раз, когда встретим единицу, и по одному члену, когда встретим в исходной последовательности нуль. Как нам уже, наверное, подсказывает нетерпеливый читатель, в результате вновь получится последовательность $r_{k}$ :

Описанный выше процесс усечения последовательности является дополнением упомянутого ранее процесса «дефляции», или переименования блоков. В данном случае мы переименовали каждый блок 101 в 1, а каждый блок 10 – в 0 . Переименование блоков – операция, обратная отображению $0 \rightarrow 10,1 \rightarrow 101$ (т.е. однократно итерированному производящему отображению $0 \rightarrow 1,1 \rightarrow 10$ ).

Одномерная квазипериодическая решетка
Можно ли те удивительные открытия, что мы сделали, наблюдая за самоподобными последовательностями, порождающими апериодический дальний порядок, перевести в более физическую форму? Например, в одномерную решетку – этакий прообраз настоящего трехмерного квазикристалла? Рис. 6 иллюстрирует один простой способ построения одномерного квазикристалла. Расположим атомы на прямой по следующему правилу: для каждой единицы в кроличьей последовательности $r_{k}$ выберем межатомное расстояние в $1 / \gamma=1,618 \ldots$ единиц (например, ангстрем), а для каждого нуля – расстояние в одну единицу. В нижней части рис. 6 изображена та же одномерная решетка, сжатая в $1,618 \ldots$ раз. Легко заметить, что каждый єтом в исходной решетке в точности совпадает с некоторым атомом в сжатой решетке. (Разумеется, в сжатой решетке, обладающей более высокой плотностью атомов, имеется определенное количество «лишних» атомов, для которых не нашлось партнеров в исходной решетке.) Следовательно, построенная вышеуказанным способом одномерная решетка самоподобна. (Читатели могут попытаться самостоятельно обобщить полученный результат на самоподобные одномерные решетки, основанные на подходящих иррациональных числах, отличных от золотого сечения $\gamma$.)

Рис. 6. Одномерный квазипериодический «кристал»», полученный из кроличьей последовательности. Коэффициент самоподобия – золотое сечение $\gamma$.

Если каждый атом в «кроличьей решетке» представить дельтафункцией Дирака, мы получим следующее преобразование Фурье [283]:
\[
S_{n m}=\operatorname{sinc}\left(\frac{f}{\sqrt{5}}+m\right) \text { на частотах } f_{n m}=\frac{n}{\sqrt{5}}-m .
\]

Самоподобие, порождаемое проекциями
На рис. 7 вы видите схему альтернативного метода построения одномерной кроличьей решетки [44]. В квадратной двумерной целочисленной решетке $\mathbb{Z}^{2}$ проводится прямая с угловым коэффициентом (тангенсом угла между нею и положительным направлением оси абсцисс), равным $1 / \gamma$. На проведенную прямую нормально проецируется верхняя левая вершина каждого квадрата, ею пересекаемого. И – о чудо! – полученные проекции образуют одномерную кроличью решетку, определение которой было дано выше. Обозначим бо́льшие интервалы единицами, а меньшие – нулями, и перед нами вновь кроличья последовательность. Сообразительный читатель, вероятно, уже понял, что это геометрическое построение непосредственно следует из арифметического описания кроличьей последовательности (1).

Метод проекций, основанных на идеально периодической квадратной решетке, вновь демонстрирует и дальний порядок одномерной кроличьей решетки, и ее апериодичность (обусловленную иррациональнос-

Рис. 7. Одномерный кристалл с рис. 6, полученный с помощью проекций квадратной решетки [44].
тью углового коэффициента проведенной прямой). Но самое важное здесь то, что метод проекций может быть легко обобщен и позволяет производить двумерные и трехмерные квазипериодические решетки, моделирующие реальные квазикристаллы $[153,55,58,117]$.

Для построения двумерной квазипериодической решетки необходимы четыре рационально независимых вектора [145]. Однако более удобным представляется спроецировать область пятимерной «кубической» решетки на плоскость с надлежащим образом выбранным наклоном. Результат такого проецирования представлен на рис. 8 (вряд ли есть необходимость пояснять, что изображение было получено с помощью компьютера, поскольку в реальном мире пятимернье решетки пока недосягаемы). Интересно отметить, что точки на рис. 8 совпадают с вершинами апериодической мозаики, получающейся при замощении плоскости плитками двух различных форм – знаменитой мозаики Пенроуза (рис. 9) (долгое время такое замощение считалось невозможным) $[197,153]$. Апериодическая мозаика, образующаяся в результате замощения плоскости плитками только одной формы, изображена на рис. $10[75]$.

Рис. 8. Двумерный квазикристалл, полученный с помощью проекций из пятимерной гиперкубической решетки.

Если слайд с рис. 8 поставить на пути лазерного луча, то возникнет дифракционная картина, которую вы видите на рис. $11 \mathrm{~A}$. Она демонстрирует непривычную и даже несколько ошеломляющую симметрию

Рис. 9. Мозаика Пенроуза: замощение плоскости с помощью всего лишь двух разновидностей плиток [153].

Рис. 10. Апериодическое замощение плоскости Хайнца Фодерберга с использованием одной разновидности плиток [75].

пятого порядка (которая выглядит как симметрия десятого порядка просто потому, что мы не можем различить знаков амплитуд рассеян-

Рис. 11. (А) Дифракционная картина рассеяния лазерного луча на квазикристалле, изображенном на рис. 8. Ясно различима симметрия пятого порядка. (Б) Та же картина при большей интенсивности лазерного луча. Количество дифракционных точек увеличилось. (В) Практически плотная картина рассеяния энергии лазерного луча, возникающая при дальнейшем увеличении его интенсивности.

ного излучения в запечатленных на снимке интенсивностях). Вообще говоря, узор на рис. 11А весьма напоминает дифракционную картину, возникающую при рассеянии лазерного луча на реальном квазикристалле. Особого внимания заслуживает самоподобие с коэффициентом $\gamma$, наблюдаемое на многих деталях картины, например, на многочисленных правильных пятиугольниках различных размеров.

Для достижения максимального эффекта только что описанный эксперимент надлежит демонстрироєать «живьем» перед достаточно многочисленной аудиторией, используя большие телевизионные мониторы для показа изображения и без.инзовые телекамеры для съемки дифракционной картины ${ }^{1}$. При увеличении яркости дифракционной
${ }^{1}$ Я глубоко признателен Хансу Вернеру Штрубе за выращенный компьютером «квазикристалл» и Хайнриху Хенце за великолепные дифракционные картины.

картины (посредством усиления интенсивности лазерного луча) количество дифракционных точек будет увеличиваться, и в конце концов экран монитора заполнится ими целиком. На рис. $11 \mathrm{~A}$, Б и В показана одна и та же дифракционная картина при увеличении интенсивности лазерного излучения. Таким образом можно весьма убедительно продемонстрировать одно из наиболее существенных различий между дифракционными картинами при рассеянии на квазикристаллах и на периодических кристаллах: хотя и в том, и в другом случае дифракционные картины состоят из дельта-функций, дифракционные картины квазикристаллов содержат бесконечный (счетно бесконечный) набор таких функций, которые всюду плотны, в то время как дифракционные картины периодических кристаллов состоят из конечного числа изолированных дифракционных точек! Первые дифракционные картины квазикристаллов так напоминали дифракционные картины периодических кристаллов лишь потому, что были получены при относительно низкой интенсивности падающего излучения.

Чтобы получить трехмерную квазипериодическую решетку, необходимо спроецировать на трехмерное пространство шестимерную кубическую решетку [126].

Другие запрещенные симметрии
Вкусив от первого запретного плода симметрии пятого порядка, вы вправе поинтересоваться, существуют ли квазикристаллы с другими незаконными осями симметрии, которые мы могли бы «выкристаллизовать» из самоподобных итерированных отображений. Спешу вас обрадовать – существуют.

Отображение $0 \rightarrow 1,1 \rightarrow 10$, порождающее кроличью последовательность, тесно связано с непрерывнсй дробью для золотого сечения $\gamma$,

которую можно записать как $[1,1,1, \ldots]$ или, поскольку она периодична, как $[(1)]$. Заметим, что длина периода равна единице. Разложение золотого сечения $\gamma$ в непрерывную дробь следует непосредственно из определения числа $\gamma$ как положительного корня квадратного уравнения $x^{2}+x=1$, которое можно также записать в виде $x=1 /(1+x)$.

Именно такая форма определяющего уравнения для $\gamma$ рекуррентно приводит к непрерывной дроби [(1)]. (Заметим еще, что, поскольку $|1+\gamma|>1$, рекурсия сходится.)

А нельзя ли воспользоваться для построения самоподобных решеток менее благородными серебряными сечениями $\tau_{N}^{ \pm}$? Серебряные сечения определяются уравнением $1 / \tau_{N}^{ \pm}=N \pm \tau_{N}^{ \pm}$, т.е. все они являются квадратичными иррациональными числами, представимыми в виде периодических непрерывных дробей с периодом 1 и числителем, равным $\pm 1 .^{1}$ Можно показать, что сечение $\tau_{2}^{+}=[2,2,2, \ldots]=\sqrt{2}-1$ порождает квазикристалл с кристаллографически запрещенной симметрией восьмого порядка, в то время как сечение $\tau_{4}^{-}=2-\sqrt{3}$ лежит в основе также запрещенной оси симметрии двенадцатого порядка. Обе эти симметрии (и восьмого, и двенадцатого порядка) недавно наблюдались экспериментально $[113,114,33]$.

Наряду с золотым сечением $\gamma=\tau_{1}^{+}$, все сечения $\tau_{N}^{ \pm}$(где $N-n$-е число Люка, а знак в верхнем индексе равен $(-1)^{n}$ ) также способны порождать квазикристаллы с симметрией пятого порядка [230]. Числа Люка $L_{n}$ подчиняются тому же рекуррентному соотношению, что и числа Фибоначчи, с тем лишь отличием, что $L_{1}=1$ и $L_{2}=3$. Кроме того, числа Люка $1,3,4,7,11,18, \ldots$ также свнзаны с золотым сечением $\gamma$. Более того, при $n \geqslant 2$ число Люка $L_{n}$ определяется величиной $\gamma^{-n}$, округленной до ближайшего целого числа.
${ }^{1}$ Благородные сечения – еще одно обобщение золотого сечения – определяются как числа, разложения которых в непрерывные дроби заканчиваются бесконечной последовательностью единиц. Благороднне сечения играют важную роль и в структуре квазикристаллов, и в квазипериодическом пути к хаосу нелинейных динамических систем. Следуя этой терминологии, можно сказать, что золотое сечение это всего лишь благороднейшее из благородных сечений.

Щели Кассини в кольцах Сатурна могуг служить примером того, что происходит, когда вместо благородных сечений бал правят обычные рациональные числа: камни и глыбы льда, из которых состоят кольца, обращаются вокруг планеты с периодами, находящимися в простых рациональных отношениях с периодами обращения лун Сатурна, и возникающие при этом резонансные эффекты между соизмеримыми периодами обращения просто сметают их с их орбит. Скажем больше: сама устойчивость солнечной системы зависит от благородства отношений между периодами обращения планет вокруг Солнца.