Истина слишком сложна; нам же дано постичь лишь приближения к ней.
ДЖоН ФоН НЕЙмАн
Впервые идея клеточных автоматов была предложена Конрадом Цузе и Станиславом Уламом и всплощена практически Джоном фон Нейманом с целью воспроизвести поведение сложных пространственно протяженных систем [258]. Еще в начале 40-х годов Цузе начал размышлять о «вычисляющих пространствах» (как он их многозначительно окрестил) как о дискретных моделях физических систем. Улам выдвинул идею клеточных автоматов в конце $40-$ годов, вскоре после того, как он (совместно с Николасом Метрополисом) придумал метод Монте-Карло. (О поразительно широких научных интересах Улама и его достижениях можно узнать из сборника его избранных работ под названием «Множества, числа и Вселенные» [259]. Также рекомендуем обратить внимание на уникальную антологию, дающую обзор современного состояния клеточных автоматов, под редакцией Стивена Вольфрама [281]).

Одномерный клеточный автомат состоит из выстроенных в ряд клеток, в каждой из которых хранятся некоторые начальные числа, и набора правил, определяющих характер изменения этих чисел в каждый заданный момент времени. Предположим, что в начальном состоянии автомата все клетки заняты нулями, кроме одной, в которой хранится единица:
$$\text{ … }01000000\dots$$

Предположим также существование правила, согласно которому число в каждой клетке заменяется на сумму его самого и его соседа слева. Тогда через единицу времени состояние автомата будет следующим:
…01100000 …

Еще через один шаг состояние автомата будет таким:
… $01210000\dots$,

затем
… $01331000\dots$
… 01464100 …

и т. д. Такие клеточные автоматы в действительности являются компьютерами, и надо сказать, что клеточные компьютеры находят все более широкое применение при вычислении сложнейших функций, потому что клеточные автоматы изначально приспособлены для параллельной обработки данных. В приведенном только что примере клеточный компьютер вычисляет биномиальные коэффициенты, встречающиеся в разложениях по степеням биномов — таких, например, как $(a+b{)}^4$, разложение которого равно $a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$.

Клеточные автоматы могут быть одно-, двух- или многомерными. Чтобы рассчитать, например, поведение двумерного потока жидкости, используют клеточные автоматы, представляющие собой двумерные массивы клеток, в каждой из которых хранится некоторое число (представляющее, скажем, плотность жидкости), которое изменяется с ходом времени по определенным правилам, действующим на некоторую совокупность клеток. Правила эти, по существу, моделируют локальные взаимодействия между соседними клетками, отражая динамику исследуемой системы.

Клетки могут образовывать не только квадратные, но и, например, шестиугольные решетки, а «числа» в клетках могут и вовсе быть векторами, представляющими скорость жидкости или газа в каждом узле решетки (рис. 1). Такие клеточные автоматы физики называют их моделями решеточного газа — оказались весьма удобными при решении казавшихся неприступными задач гидродинамики $[219,169]$. На рис. 2 изображены потоки позади цилиндра, движущегося справа налево сквозь вязкий газ; отчетливо видно, как за цилиндром тянется знаменитый вихревой шлейф. Такие гидродинамические феномены и поныне исследуются на моделях в аэродинамических трубах и опытных бассейнах. Но в настояшее время их все чаще изучают с помощью компьютерного моделирования, основанного на клеточных автоматах.

Поскольку типичные клеточные автоматы основаны на многократном применении фиксированных правил, мы вполне можем рассчитывать обнаружить здесь самоподобия — как мы обнаружили их во многих других итеративных процессах. Наши надежды не напрасны — многие клеточные автоматы и впрямь порождают самоподобные конфигурации, часто весьма привлекательные на вид.

Рис. 1. Гидродинамический поток, моделируемый клеточным автоматом («решеточный газ»). На рисунках показаны последовательные состояния газа. Стрелки символизируют направление векторов скорости частиц.

Рис. 2. Поток за движущимся цилиндром, представленный с помощью модели решеточного газа [219].
Игра под названием «Жизнь»
Наверное, самым известным из клеточных автоматов следует считать игру, придуманную Джоном Хортоном Конуэем и названную им «Жизнь» [74]. «Жизнь» описывает рост и гибель популяций клеток в соответствии с довольно простыми правилами, которые — при всей своей простоте — породили целый зоопарк престранных существ, демонстрирующих поистине удивительное поведение [22].

Рис. 3. «Жизнь» Конуэя: судьба пяти триплетов точек [77].
Рис. 4. Натюрморт: неживые формы «Жизни» [77].

В игре «Жизнь», по замыслу Конуэя, каждая клетка либо мертва (0), либо жива (1) и изменяет свое состояние в зависимости от состояний соседних клеток и своего собственного следующим образом: по прошествии единицы времени живая клетка остается живой, если среди восьми соседних с ней клеток на квадратной решетке имеется две или три живых клетки. Если число живых соседей больше трех, то клетка чувствует себя стесненной и погибает «от удушья». Если число живых соседей меньше двух, то клетка погибает от одиночества. С другой стороны, мертвая клетка оживаєт, если ее окружают ровно три живых соседа (родители и повивальная бабка, так сказать). На рис. 3 вы можете проследить за судьбой пяти различных триплетов точек.

Рис. 5. Периодические формы «Жизни» [77].

Рис. 6. Чеширский кот (0), оставляющий после себя лишь улыбку (6), которая затем превращается в неизменный след лапы (7) [77].

Разнообразие конфигураций, порождаемых этими простыми правилами, поражает воображение — на рис. 4-8 представлена лишь весьма скромная подборка стационарных, периодических, исчезающих и выживающих «организмов».

Предложенный Конуэем свод правил, или закон, — лишь один из многих возможных. При данных начальных условиях (значение клетки двоично, и каждая клетка окружена восемью воздействующими на нее нов, из которых, похоже, только один, установленный Конуэем, оказался жизнеспособен.

Рост и гибель клеток
Рассмотрим двумерный клеточный автомат, в котором клетка, как и в игре «Жизнь», может находиться в двух возможных состояниях 0 и 1 , но имеет только четырех соседей, воздействующих на нее — Вос-

Рис. 7. Семь цепочек по пять бит: начальное (темные точки) и конечное (светлые точки) состояния [77].

ток, Запад, Юг и Север. Текущее состояние центральной клетки Ц и ее соседей ВЗЮС определяется 5-значным двоичным словом, например, ВЗЮСЦ=11000. Следующее состояние клетки Ц, например, Ц =1, определяется доминирующим правилом $11000\to 11001$ (рис. 9). Полный свод таких правил, называемый законом, задан в таблице из 32

Рис. 8. Убийство «Жизни»: единственный «вирус», помещенный в определенную клетку (светлая точка на рисунке), способен полностью разрушить конструкцию. Если поместить вирус в любую другую клетку, то конструкция его уничтожает и восстанавливает свою исходную структуру [77].

возможных состояний соседей и последующих состояний центральной клстки Ц (рис. 10). Для данных условий (значснис клстюи двоично, чс тыре воздействующих соседа) существуют $2^{32}\approx 4000000000$ возможных различных законов.

Рис. 9. «Включение» центральной клетки (переключение из положения 0 в положение 1) в соответствии с правилом (Восток, Запад, Юг, Север, Центр) = $=11000\to 11001$.

Разнообразные конфигурации на рис. 11 получены с помощью постоянного закона, заданного в таблице на рис. 10 и обозначаемого аббревиатурой HGLASS, при различных начальных условиях [258].

Согласно другому, чрезвычайно простому закону центральной клетке Ц приписывается значение суммы по модулю 2 , т.е. четность содержимого пяти клеток окрестности (включающей и саму клетку Ц).

Рис. 10. Таблица правил HGLASS, один из четырех миллиардов возможных сводов правил.

Рис. 11. (А) Конфигурация, полученная в соответствии с законом HGLASS, из случайного инициатора. (Б) То же, но из простого инициатора [258].

Начав с небольшого квадрата из единиц, плавающего в море нулей, мы через 50 или 100 шагов приходим к когфигурациям, представленным на рис. 12. Существуют ли здесь какие-нибудь самоподобия? Вне всякого сомнения. Можно даже показать, что любая начальная конфигурация на однородном фоне воспроизводится и через определенное число шагов окружает себя четырьмя тождественяыми копиями. Еще через такое же число шагов копий будет уже 25 и т. д. ad infinitum. Так как суммирование по модулю 2 — линейная операция, различные конфигурации могут проникать одна сквозь другую, причем это никак не влияет на их будущий рост. В частности, любая конфигурация может быть полу-

Рис. 12. Правило четности: (А) конфигурация, получаемая из квадрата $32\times 32$ через 50 шагов; (Б) то же через 100 шагов [258].

Рис. 13. Самоподобный фрактал, построенный согласно правилу «одна-извосьми» [258].

чена путем суммирования по модулю 2 конфигураций, порожденных одной изолированной точкой.

Еще один простой закон: клетка переходит в состояние (1), если жива ровно одна из восьми соседних с ней клеток, в противном случае клетка остается в прежнем состоянии. Возникающая в результате конфигурация представляет собой самоподобный фрактал (рис. 13), размерность Хаусдорфа для которого читатель, возможно, пожелает вычислить самостоятельно.

А как вам понравится вот такой закон: состояние клетки зависит от состояния большинства соседей: еели из девяти клеток окрестности (включая и центральную) четыре или меньше клеток мертвы, то центральная клетка умирает (или остается мертвой), в противном случае центральная клетка оживает (или остается живой). Возникающие в результате конфигурации напоминают спиновые системы Изинга при низкой температуре и наводят на мысли о перколяции. На рис. $14\mathrm{A}$ показан узор, возникающий из исходной конфигурации случайно распределенных по половине решетки единиц.

Рис. 14. (А) Конфигурация, образующаяся при эволюции клеточного автомата, половина клеток которого в исходном состоянии была случайным образом занята единицами, согласно правилу «большинства». (Б) Эволюция по правилу «отжига» — небольшая модификация правила «большинства» [263].

О том, насколько конфигурации чувствительны к малейшим изменениям закона, можно судить по рис. 14Б. На нем изображен автомат, эволюционирующий по следующему закону: центральная клетка мертва, если мертвы либо все пять клеток окрестности, либо менее четырех. Этот закон, предложенный Дж. Вишняком, моделирует процесс отжига металла — как видно из рис. 14Б, домены и в самом деле консолидируются [263]. Полученные конфигурации пространственно однородны, но не самоподобны.

Для того, чтобы возникли самоподобные спиновые домены, исходная случайная конфигурация должна обладать критической «энергиeй» [262]. В такой «энергетической» конфигурации происходит нарушение симметрии и наблюдаются магнитные домены всевозможных масштабов (рис. 15).

Рис. 15. Магнитные домены всевозможных масштабов в равновесной конфигурации спинов Изинга при критической температуре [262].

Все рассмотренные нами до сих пор законы носили «строго принудительный» характер, т. е. были детерминированными. Между тем многие клеточные автоматы действуют по случайным правилам, моделируя диффузию и другие стохастические процессы. В качестве примера можно привести автомат, подчиняющийся «мягкому» закону, который гласит: «Копируй случайного соседа». Если выбор любой из четырех соседних клеток равновероятен, то исходный круг просто взрывается (см. рис. 16, справа). Диффузию с дрейфом можно моделировать «частицами» (клетками-единицами), движущимися с вероятностью $3/8$ на восток или юг и с вероятностью $1/8$ — на запад или север (рис. 17).

Из таких клеточных автоматов можно получить весьма правдоподобные модели дрейфа генов. На цветной вклейке 9 показано пространственное перемешивание шестнадцати конкурирующих видов генов [258].

Рис. 16. Взрывающийся круг — результат эволюции по правилу «копируйближайшего-соседа» [258].

Рис. 17. Диффузия с дрейфом и без: занятная ошибка программирования [225].

Рассмотрим одну классическую задачу, которая в переводе на язык клеточных автоматов может быть названа задачей о «единице в каждой клетке» [252]. Снабдим каждое поле (клетку) шахматной доски $n\times n$

лампой и кнопкой, нажатие которой включает лампы, входящие в некоторую заданную окрестность этого поля (уже включенные лампы тем же нажатием выключаются). Какие кнопки следует нажать, чтобы загорелись все лампы на доске, если в начальный момент времени не горит ни одна? Ясно, что число нажатых кнопок в окрестности каждого поля должно быть нечетным. Такое расположение кнопок называется нечетным покрытием. На рис. 18 представлены нечетные покрытия для шахматных досок $4\times 4$ и $5\times 5$ (окрестность данного поля определяется как само поле и четыре соседних поля, примыкающих к центральному сторонами).
Рис. 18. Нечетные покрытия для шахматных досок $4\times 4$ и $5\times 5$ [252].
А как выглядит решение для доски $8\times 8$ ? Под силу ли читателю сформулировать правила, следуя которым клеточный автомат даст на выходе требуемую конфигурацию нажатых кнопок, т.е. нечетное покрытие для заданной окрестности? Разумеется, если искомое нечетное покрытие окажется «райским садом», нам с вами его не найти. (По определению, конфигурация «райский сад» не имеет предшествующей конфигурации; единожды утратив райские кущи, мы никогда не сможем обрести их вновь.)

Формирование биологических конфигураций
Клеточные автоматы доказалх свои моделирующие способности и в еще одной области — в формировании различного рода структур у растений и животных. Мейнхардт, Гирер и другие, используя комбинации локальных и дальнодействующих автокаталитических и ингибиторных взаимодействий, смоделировали полосы на шкурах зебр и многочисленные другие структуры бесконечно разнообразных форм жизни $[175]$.

Простой клеточный автомат имитирует структуру раковины моллюска Olivia porphyria (рис. 19), для которой характерны диагональные линии, исчезающие в точке встречи. Другой механизм обуславливает бифуркацию одиночной линии для поддержания средней пигментации на заданном уровне [176].

С помощью клеточных автоматов, использующих простые самоподдерживающие и антагонистические реакции, были смоделированы и многочисленные другие биологические процессы, включая формирование рук и ног человека. Разнообразие возникающих при этом форм поистине поразительно.

Самоподобие клеточного автомата

Самоподобие возникает в самых различных формах в самых различных областях. Пожалуй, наиболее известный пример дискретного, хотя и ограниченного, самоподобия — русские матрешки, вложенные одна в другую. Самоподобие можно обнаружить даже в такой дискретной и безыскусственной сущности, как целые числа $0,1,2,3,4,5,6,7,\dots$ Запишем последовательные целые числа, начиная с 0 , в двоичной системе (которую Лейбниц, по всей видимости, придумал во время ожидания аудиенции у Папы Римского в Ватикане, куда он явился с планом воссоединения христианских церквей): ${}^1$
$$0,1,10,11,100,101,110,111,\dots$$

Значения суммы цифр для каждого числа образуют последовательность
$$B(t)=0,1,1,2,1,2,2,3,\dots ,t=0,1,2,\dots ,$$

которая может быть также получена итеративно следующим образом. Чтобы из подпоследовательности длиной $2^n$ получить подпоследовательность длиной $2^{n+1}$, необходимо повторить первую, прибавляя к каждому ее члену по единице. Так, начальная подпоследовательность
${}^1$ Компьютеры отдают особое предпочтение двоичной системе по той простой причине, что она использует только две цифры ( 0 и 1 ): любую двоичную цифру можно однозначно и недвусмысленно представить одним из двух состояний переключателя — «включено» и «выключено», и ничего больше.

Рис. 19. (А) Поверхность раковины улитки Olivia porphyria. (Б) Волнообразная структура, полученная клеточным автоматом с автокаталитическими взаимодействиями, локальными и дальнего порядка [176].

длиной $2^0=1$ (т.е. 0 ) порождает подпоследовательность длиной $2^1=2$ (т.е. 01) путем добавления к исходному 0 числа $0+1=1$. Придерживаясь этого алгоритма, получаем серию поколений подпоследовательностей длиной $2^n$ :
$$\begin{array}{l}0\\ 01\\ 0112\\ 01121223\\ 0112122312232334\\ \dots \end{array}$$

По существу, это порождающее правило является прямым следствием определения двоичного представленин целых чисел: при $k<2^n$ два целых числа $k$ и $k+2^n$ отличаются ровно одной единицей в своих двоичных представлениях.

Интересно и важно отметить, что наше итеративное правило порождения подпоследовательностей является быстрым алгоритмом: каждая итерация удваивает длину подпоследовательностей, т.е. их длина растет экспоненциально с числом итераций. (Линейные рекуррентные соотношения — такие, например, как соотношение для последовательности чисел Фибоначчи $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ — с каждой итерацией добавляют только один новый член.)

Полученная описанным способом бесконечная последовательность $B(t)$ самоподобна в следующем смысле: она воспроизводится при удалении из нее всех членов с нечетными индексами. Члены же с четными индексами (подчеркнутые) остаются, как показано ниже:
$$B(t)=\underset{―}{0},1,\underset{―}{1},2,\underset{―}{1},2,\underset{―}{2},3,\underset{―}{1},2,\underset{―}{2},3,\underset{―}{2},3,\underset{―}{3},4,\dots$$

Таким образом, $B(2t)=B(t)$.
Это самоподобие является почти тривиальным следствием того, что в двоичной системе умножение на 2 приводит всего лишь к сдвигу цифр влево, что, разумеется, не изменяет сумму цифр.

Последовательность $B(t)$ можно превратить в последовательность, самоподобную и по величине ее членов. Более того, последовательность
$$C(t)=2^{B(t)}=1,2,2,4,2,4,4,8,\dots$$

обладает одинаковым коэффициентом подобия (равным 2) не только по индексу $t$ ее членов, но и по их ве.тичине. Вторая половина каждой подпоследовательности длиной $2^{n+1}$ вдвое больше первой половины:
$$C(t+2^n)=2C(t),0⩽t<2^n.$$

Рис. 20 иллюстрирует последовательность $C(t)$ и ее самоподобие. Последовательность $C(t)$ можно, кроме того, получить из произведения $(1+b_1)(1+b_2)(1+b_3)\dots$, где $b_k$ — цифры двоичного разложения индекса $t$.

Рис. 20. Самоподобная последовательность, полученная из двоичной системы счисления.

Интересно отметить, что последовательность $C(t)$ может быть также порождена клеточным автоматом, и этот факт весьма важен в свете того, что последует ниже. Зададим себе вопрос: сколько биномиальных коэффициентов $\left(\begin{array}{l}t\\ n\end{array}\right)$ при данном $t$ нечетны, если $n$ лежит в интервале от 0 до $t$. Ответ гласит (простое доказательство этого утверждения по индукции я оставляю читателю в качестве самостоятельного упражнения): $1,2,2,4,2,4,4,8,\dots =C(t)$. Сами биномиальные коэффициенты порождаются одним из простейших клеточных автоматов. (См. введение к этой главе.)

Заметим, что сумма членов последовательности $C(t)$ от 0 до $t=$ $=2^m-1$ равна $3^m$. Это следует непосредственно из равенства $C(0)=1$ и соотношения (1).

Каталитический конвертор как клеточный автомат
Последовательности, напоминаюцие $C(t)$, где $t$ интерпретируется как дискретное время, наблюдались в некоторых химических реакциях — например, в процессах каталитического окисления (рис. 21). Какая, скажите на милость, может быть связь между химической реакцией и последовательностью $C(t)$, т. е. последовательностью двоек, возводимых в степени, равные суммам цифр двоичных представлений последовательных целых чисел? Простой ответ на этот вопрос был найден Андреасом Дрессом, занимавшимся моделированием таких каталитических процессов с помощью одномерных клеточных автоматов [53].

Рис. 21. Скорость химической реакции как функция от времени в процессе каталитического окисления [53].

В одномерном клеточном автомате каждый период времени характеризуется последовательностью символов или чисел. Как мы узнали из введения к этой главе, последовательность $g_t(n)$ в момент времени $t$ строится из последовательности в момент времени $t-1$ согласно некоторому закону — такому, например, как закон
$$g_t(n)=g_{t-1}(n)+g_{t-1}(n-1)$$

с начальным поколением $g_0(0)=1$ и $g_0(n)=0$ при других $n$, который порождает биномиальные коэффициенты $\left(\begin{array}{l}t\\ n\end{array}\right)$ в том порядке, как они располагаются в треугольнике Паскаля. (Каждое число в треугольнике Паскаля равно сумме двух чисел, расположенных непосредственно над ним.) Построим треугольник Паскаля по модулю 2. Иначе говоря, если биномиальный коэффициент $\left(\begin{array}{l}t\\ n\end{array}\right)$ нечетный, заменим его единицей, если же коэффициент четный, заменим его нулем. Возникающий в резуль-

者)
Рис. 22. Треугольник Паскаля по модулю 2: дискретный вариант ковра Серпинского.

тате треугольник Паскаля по моду.ю 2 представлен на рис. 22. Черные клетки соответствуют единицам, селые — нулям.

Вернемся к химической реакции, моделируемой треугольником Паскаля по модулю 2. Дресс предположил, что «молекула», представленная клеткой в позиции $n$, «инфицируется» (окисляется, например) в момент времени $t$ только в том случае, если один из ее соседей в позициях $n$ и $n-1$ был инфицирован (черный цвет) в момент времени $t-1$.

Но по построению, число черных квадратов (единиц) в момент времени $t$ равно $C(t)$. Значит, последовательность $C(t)$ и в самом деле описывает скорость химической реакции в данном каталитическом конверторе — как и предполагалось, исходя из приближенного самоподобия такой реакции, который отчетливо заметен на рис. 21.

Треугольник Паскаля по модулю $N$
Рекуррентное построение из одной единицы треугольника Паскаля для биномиальных коэффициентов $\left(\begin{array}{l}t\\ n\end{array}\right)$ — типичный образец клеточного автомата. По мере того, как сами числа $\left(\begin{array}{l}t\\ n\end{array}\right)$ становятся все больше и больше с увеличением $t$ ( $0<n<t$ ), их свойства делимости образуют самоподобные конфигурации. Более того, четные коэффициенты располагаются в треугольниках, чрезвычайно похожих на пустоты в ковре Серпинского (см. с. 41-45). Структура этих треугольников с легкостью следует из того, что все биномиальные коэффициенты $\left(\begin{array}{l}t\\ n\end{array}\right)$ при $t=2^m$ и $0<n<t$ — четные. Две единицы (при $n=0$ и $n=t$ ) постепенно по мере увеличения $t$ «поедают» четные коэффициенты до тех пор, пока при $t=2^{m+1}-1$ все коэффициенты не становятся нечетными.

Аналогичные механизмы порождают самоподобные конфигурации из треугольника Паскаля с биномиальными коэффициентами, взятыми по модулю любого другого простого числа [280]. Имея под рукой персональный компьютер, читатель может попытаться соорудить свой клеточный автомат и получить с его помощью треугольник Паскаля по модулю любого простого числа, степени простого числа и произвольного составного числа, наблюдая возникающие самоподобия в чернобелом или цветном исполнении. Чему равны размерности Хаусдорфа $D$ для предельных конфигураций? Размерность Хаусдорфа для треугольника Паскаля по модулю 2 ( $D=\ln 3/\ln 2$ ) можно вывести исходя из того, что общее число нечетных коэффициентов увеличивается втрое каждый раз, когда число строк в треугольнике Паскаля удваивается (начиная с самой первой строки, содержащей лишь одну единицу) так же, как увеличивается втрое площадь, покрываемая бесконечным ковром Серпинского при каждом удвсении линейных размеров покрывающей области.

Самоорганизующиеся критические кучи песка по Баку

В этой книге мы несколько раз встречались с тем, что многие явления природы — от фликер-шума до разливов Нила — обладают самоподобными спектрами мощности с зависимостью от частоты по закону $f^{-\beta }$. Такие процессы называются $1/f$-шумами (даже если спектральный показатель $\beta$ не равен в точности единице), и их степенные спектры свидетельствуют об отсутствии у процесса характеристического масштаба времени, т. е. в описании процесса не фигурируют такие типические значения времени, как, например, период полураспада в радиоактивном распаде.

Отсутствие характеристических масштабов наблюдается и в пространственных аспектах многочисленных явлений природы; для них не существует доминирующих характеристических длин, в отличие, например, от ядерных сил или движения молекул в газе.

Чтобы как-то объяснить вездесущность таких самоподобных структур, Пер Бак, Чао Тан и Курт Визенфельд не так давно ввели понятие самоорганизующейся критичности [15]. В своей одноименной статье и в последующих публиканиях $[254,16]$ Бак и его сотрудники убедительно доказывают, что пространственно протяженные динамические системы спонтанно эволюционируют в едва устойчивые структуры критических состояний, и что такая самоорганизующаяся критичность является общим механизмом, лежащим в основе многих самоподобных и фрактальных феноменов.

Воплощая свои идеи в конкретную форму, Бак и его сотрудники построили несколько моделей, в том числе простой двумерный клеточный автомат, имитирующий осыпание песчинок в куче песка. Если крутизна склона в какой-то точке $(x,y)$ на поверхности кучи становится слишком большой, песчинка осыпается, уменьшая действующую на нее силу тяжести $z$ ценой увеличения силы тяжести, действующей на четыре соседние точки $(x\pm 1,y)$ и ( $x,y\pm 1)$. Таким образом, если значение переменной $z$ (целочисленное) превосходит некоторое критическое значение $z_c$, то оно обновляется (синхонно) по следующему закону:
$$\begin{array}{rl}z(x,y)& \to z(x,y)-4\\ z(x\pm 1,y)& \to z(x\pm 1,y)+1\\ z(x,y\pm 1)& \to z(x,y\pm 1)+1.\end{array}$$

Автомат начинает работать со случайно выбранных начальных условий $z\gg z_c$; граничные условия имеют вид $z=0$. Как только все $z$ становятся меньше, чем $z_c$, эволюция системы прекращается. Система достигает минимального устойчивого состояния — минимального, потому что добавление одной-единственной песчинки может спровоцировать лавину. Более того, вооруженный персональным компьютером читатель, вознамерившись подтвердить выводы Бака, возможно, обнаружит, что песчаные лавины во всех масштабах длины могут быть вызваны малыми локальными возмущениями, т.е. добавлением одной песчинки в случайно выбранной точке. Размеры кластеров точек, образующихся с помощью этого физического «эффекта домино», распределены по степенному закону:
$$D(s)\sim s^{-\tau },$$

где $\tau \approx 1$ (для размера кластера $s$ до 500 в массиве $50\times 50$ точек) или $\tau \approx 1,35$ (для трехмерного массива $20\times 20\times 20$ точек) [15].

Время жизни таких лавин также еледует степенным законам с показателем $\alpha \approx 0,43$ в двумерном случае и $\alpha \approx 0,9$ в трехмерном; соответствующие показатели спектров мощности $2-\alpha$ равны 1,57 и 1,1 .

Тан и Бак обнаружили также ссепенное поведение расхода песка, корреляционной длины, максимального размера кластера и других параметров, наблюдаемое, когда среднее значение $z$ удерживается подальше от критического с помощью некоего «внешнего поля» [254]. Хотя найденные ими критические показатели для перечисленных выше величин могут зависеть от конкретных особенностей рассматриваемой системы, авторы полагают, что сама по себе масштабная инвариантность степенных законов более универсальна.

Если это действительно так, то сямоорганизующаяся критичность может стать «типовой» моделью для множества разнообразнейших масштабно-инвариантных явлений: от всевозможных стекол, магнитных доменов, гидродинамических потоков и турбулентности до транспортных пробок, экономических взаимодействий и землетрясений [12].

И еще: не являются ли минимально устойчивые состояния (чересчур долго поддерживавшиеся) причиной политических потрясений 1989 г. в Восточной Европе?