За каблюдением всегда стоит теория.
Эдвин ХаБьл
Фунгиия эксперта состоит не в том, чтобы быть правым, когда остальные ошибаются, а в том, чтобы ошибаться по более сложным причинам.
ДэвИд БАТЛЕР
Перколяция (просачивание) буквально пронизывает всевозможными сюособами как окружающий нас естественный мир, так и рукотворные к нему дополнения. В кофеварке, например, вода перколирует, т. е. просачивается сквозь размолотые зерна кофе, а мы на выходе получаем восхитительный напиток.

Не вставайте пока из-за стола. Поговорим о вареных яйцах – чем дольше они варятся, тем больше белковых связей сцепляется между собой, и вскоре образуются мостики, пронизывающие все яйцо, от чего оно твердеет, а вы получаете возможность спокойно есть его ложечкой, не опасаясь пролить.

С другой стороны – и к счастью для нас – эпидемии не всегда «просачиваются» сквозь все население целиком. Существует такое понятие, как порог перколяции, оказавшись ниже которого, эпидемия сходит на нет прежде, чем сойдет на нет большинство людей. Яйцо всмятку еще один пример процесса, происходящего ниже порога перколяции.

В более грандиозном масштабе теория перколяции, красноречиво изложенная Дитрихом Штауффером [249], вносит весьма солидный вклад в лучшее понимание процесеа образования отдельных галактик и скоплений галактик. На противоположном конце шкалы просачивание проникло в микроскопический мир – до масштабов атомных ядер. Например, деление ядер рассматривается теперь с точки зрения теории перколяции [31].

Еще один знаменитый и излюбленный авторами пример просачивания – лесной пожар. Что произойдет, если поджечь несколько деревьев: сгорит весь лес, или к тому моменту, когда огонь затухнет, большинство деревьев останутся стоять?

На пороге перколяции (который был явно превышен при самовозгорании леса в 1988 г. в Йеллоустонском национальном парке) существует множество статистических самоподобий, и именно эти самоподобия позволяют построить математическую теорию перколяции и приводят к простым законам подобия на пороге перколяции или вблизи него.

Теория перколяции может рассматриваться и как хорошая подготовка к исследованию более сложных физических явлений – таких, например, как фазовые переходы в магнитных материалах и в термодинамике в целом. Например, корреляционная длина направлений спина в разреженном «ферромагнетике» становится бесконечной на пороге перколяции, который в физике называется критической точкой, или точкой Кюри. Это означает, что в образце появляются кластеры магнитных доменов, сравнимые с ним по размеру. Вообще говоря, возникают кластеры всех размеров, или масштабов длины, причем эти кластеры самоподобны. Во всем диапазоне размеров, от атомных расстояний до размеров образца, кластеры выляннт похожими, а после приведения к одному масштабу становятся стохастически неотличимыми.

Ниже порога перколяции (выше точки Кюри для магнетиков) существуют только кластеры конечных размеров: жидкость не просачивается сквозь кофейную гущу, а кусок железа обладает только «парамагнитными» свойствами. Однако выше порога перколяции (ниже точки Кюри) бесконечные кластеры становятся обычным делом со всеми вытекающими отсюда последствиями: лесной пожар накроет весь лес от края до края, эпидемия перейдет в пандемию, а железо станет ферромагнетиком. Что касается ближайших окрестностей порога перколяции, то здесь безраздельно властвует самоподобие!

Итак, познакомимся более подробно с одним из самых ярких примеров из теории перколяции – лесными пожарами, с которыми люди неустанно сражаются, а они по-прежнему полыхают.

Критическое возгорание на квадратной решетке
Предположим для простоты, что лес можно моделировать квадратной решеткой, в узлах которой располагаются деревья с вероятностью $p<1$ (рис. 1). Подожжем нижний ряд деревьев и посмотрим, как распространяется огонь по мере того, как цифровые часы отсчитывают дискретное время.

Предположим также, что горящее дерево за единицу времени поджигает всех своих ближайших соседей. За следующую единицу времени дерево сгорает дотла.

Сложное компьютерное моделирование [249] подтверждает очевидное: если концентрация деревьев $p_{c}$ находится ниже некоторой критической величины, пожар затухает прежде, чем огонь достигает противоположного края леса (верхнего ряда деревьев на рис. 1). И наоборот, при $p>p_{c}$ огонь достигает противоположного края леса (а если бы лес тянулся дальше, пожар угрожал бы уничтожить и остальные деревья).

При $p \ll p_{c}$ лес абсолютно пожаробезопасен, а при $p_{c} \approx 1$ представляет собой естественную пороховую бочку, однако самое интересное происходит на пороге перколяции, т. е. при $p \approx p_{c}$, или при
\[
\varepsilon=\frac{p-p_{c}}{p} \ll 1 .
\]

Оказывается, что при $\varepsilon \ll 1$ критические параметры подчиняются простым законам подобия, отражающим самоподобие просачивания вблизи порога, или критической точки (позаимствуем термин из физики фазовых переходов).

Обозначим через $Z(n, t, \varepsilon)$ отношение числа деревьев в $n$-м ряду решетки, сгоревших дотла к моменту времени $t$, к среднему числу деревьев в ряду. Предполагается, что параметры $n$ и $t$ много больше единицы. Данные численного анализа [249] показывают, что вблизи порога (т. е. при $\varepsilon \ll 1$ ) параметр порядка $Z$ является однородной (обобщенной) функцией от своих аргументов:
\[
\begin{array}{c}
Z(n, t, \varepsilon)=\frac{Z\left(\lambda^{a_{n}} n, \lambda^{a_{t}} t, \lambda^{a_{\varepsilon}} \varepsilon\right)}{\lambda}, \\
n \gg 1, \quad t \gg 1, \quad \varepsilon \ll 1 .
\end{array}
\]

Иначе говоря, $Z$ есть некоторая универсальная функция, изменяющаяся по закону (1), с тремя показателями скейлинга: $a_{n}, a_{t}$ и $a_{\varepsilon}[88]$. Что еще можно сказать об этой важной функции? Если подождать достаточно долго (т.е. при $t \rightarrow \infty$ ) и уйти достаточно далеко ( $n \rightarrow \infty$ ), то соотношение (1) принимает следующий вид:
\[
Z(\infty, \infty, \varepsilon)=\frac{Z\left(\infty, \infty, \lambda^{a_{\varepsilon}} \varepsilon\right)}{\lambda} .
\]

Рис. 1. (А) Квадратная решетка, случайным образом засаженная деревьями; плотность деревьев соответствует порогу перколяции. Нижний ряд деревьев подожжен. (Б) Некоторое время спустя: занялись соседние деревья. (В) Пожар достиг верхнего края леса. (Г) Пожар прекратился; большинство деревьев сгорело. (Печатается с любезного разрешения Х. Беме.)

Допустив, что функция $Z(\infty, \infty, \varepsilon$; зависит от $\varepsilon$ по степенному закону, т. e.
\[
Z(\infty, \infty, \varepsilon)=\text { const } \cdot \varepsilon^{\beta},
\]

получим из (2) равенство $\varepsilon^{\beta}=\left(\lambda^{a_{\varepsilon}} \varepsilon\right)^{\beta} / \lambda$, или $a_{\varepsilon}=1 / \beta$. Показатель $\beta$ называется критическим показателел, и нам только что удалось связать его с одним из показателей скейлинга $a_{\varepsilon}$.

Введем еще два параметра: характеристическую длину (например, корреляционную) $\xi$ и характеристическое время $\theta$. Известно, что и $\xi$, и $\theta$ расходятся при $\varepsilon \rightarrow 0$ в соответствии с простыми степенными законами:
\[
\xi=\mathrm{const} \cdot \varepsilon^{-
u}
\]

и
\[
\theta=\mathrm{const} \cdot \varepsilon^{-\delta} .
\]

Приведем зависимость $Z(n, t, \varepsilon)$ от $\varepsilon$ к этим характеристическим величинам и запишем (в порядке рабочей гипотезы)
\[
Z(n, t, \varepsilon)=n^{x} g\left(\frac{n}{\xi}, \frac{t}{\theta}\right),
\]

где функция $g$ зависит только от двух переменных. Чтобы выполнялся исходный закон подобия (1), показатель $x$ должен быть равен $-\beta /
u$.

Теперь мы связали все три показателя скейлинга в соотношении (1) с тремя критическими показагелями $\beta,
u, \delta$, характеризующими, как $Z, \xi$ и $\theta$ изменяются в зависимости от $\varepsilon$ вблизи критической точки ( $\varepsilon \ll 1$ ).
Обозначим через
\[
\zeta=n^{-\beta /
u}
\]

характеристическое число сгоревших деревьев. Тогда функциональное уравнение (6) можно записать в виде
\[
\frac{Z(n, t, \varepsilon)}{\zeta}=g\left(\frac{n}{\xi}, \frac{t}{\theta}\right)
\]

Это наиболее симметричный и практичный способ записи степенной зависимости $Z$ от $n$ и $t$, а с учетом формул (3)-(5) – и от $\varepsilon$. Из этих формул, в частности, видно, что при изменении параметра $p$ (т.е. $\varepsilon$ ) мы можем получить новые значения функции $Z(n, t, \varepsilon)$ из той же сaмой «универсальной» функции $g$, просто умножив ее на $n^{-\beta /
u}$, а $n$ и $t$, соответственно, на $\varepsilon^{-
u}$ и $\varepsilon^{-\delta}$.

Универсальность
Уже довольно давно я установил для себя такое правило: всякий раз, когда теоретик заговаривает об «универсальности», я считаю это чистой чепухой.
ВОЛЬФГАНГ ПАУли
Критические показатели $
u$ и $\delta$ необходимо определять аналитически или с помощью численного моделирования на компьютере, и мы предоставляем критически настроенному читателю попытаться сделать это на своем компьютере. Самое удивительное состоит в том, что для огромного множества задач в физике, химии, биологии и многих других научных дисциплинах критические показатели не зависят от конкретных деталей, а только от размерности пространства вложения (равной двум в случае квадратной решетки) и от количества «степеней свободы» рассматриваемой переменной (например, спин, который может быть направлен вверх или вниз, имеет две степени свободы, столько же степеней свободы у дерева, которое может сгореть или не сгореть).

Такого рода универсальность является одной из наиболее горячо обсуждаемых тем в современной физике и порождает немало жгучих вопросов. Например, такой: как расходится данное случайное блуждание на фрактальной решетке типа ковра Серпинского, скажем, вблизи критической точки (порога перколяции)? Или такой: как проводят электрический ток фрактальные цепи? И наконец: как зависит скорость распространения пожара от концентрации $p$ деревьев?

Из формул (4), (5) и (7) следует, что величина $Z / \zeta$ остается неизменной, если $n$ изменяется со временем $t$ по закону
\[
n=\text { const } \cdot t^{
u / \delta} \text {. }
\]

Следовательно, средняя скорость распространения пожара, которую можно измерить, например, по продвижению фронта огня, изменяется со временем как $t^{
u / \delta-1}$. Подсчитав количество только что загоревшихся деревьев в компьютерной модели ісохраним леса и кислород!), можно легко определить отношение двух критических показателей $
u / \delta[2]$.

На рис. 2 А приведен один из результатов численного моделирования, выполненного Альбине и сотрудниками, в котором среднее положение фронта пожара дано как функция от времени в двукратно логарифмических координатах. В этом эксперименте решетка имеет раз
мер $200 \times 200$ точек, а концентрация деревьев находится вблизи критического значения для квадратной решетки, $p_{c} \approx 0,593$. Т.е., в общей сложности, Альбине располагал для поджигания 23720 деревьями.

Рис. 2. (А) Среднее положение фронта пожара как функция от времени горения. Допустив, что эта функция представляет собой степенную зависимость, получим прямую с угловым коэффициентом 0,87 . (Б) Количество сгоревших деревьев как функция от времени. Угловой коэффициент 0,79 [2].

Нашему допущению о степенной зависимости вполне соответствует прямая с угловым коэффициентом $
u / \delta=0,87$. Неудивительно поэтому, что распространение лесного пожар превосходит по скорости диффузию (угловой коэффициент 0,5), но оказывается медленнее, чем продвижение огня по бикфордову шнуру (угловой коэффициент 1,0).

Отклонения от прямой при очень малых значениях времени объясняются остаточными эффектами расположения деревьев, подожженных первыми, а при больших – эффектами «насыщения» (т.е. полностью выгоревшими участками леса).
Общее число сгоревших деревьев
\[
N_{b}(t, \varepsilon)=\mathrm{const} \cdot \sum_{n} Z(n, t, \varepsilon)
\]

изменяется со временем как $t^{(
u-\beta) \prime}$. Таким образом, простой, не ограниченный какими-либо условиями, подсчет приводит к отношению $(
u-\beta) / \delta$, или $\beta / \delta$, так как отношение $
u / \delta$ уже определено. На рис. $2 Б$ показан результат другого компьюгерного эксперимента. И в этом случае после того, как окончательно сойдут на нет начальные эффекты, зависимость числа сгоревших деревьев от времени в двукратно логарифмических координатах имеет вид прямой с угловым коэффициентом $(
u-\beta) / \delta=0,79$.

Третий критический показатель $\beta$ определяется из формулы (3), т.е. путем подсчета мертвых деревьев после окончания пожара. Результаты численного моделирования оказались весьма чувствительны к ошибке выборки: $\beta=0,12 \pm 0,03$; теоретическое значение $\beta=$ $=5 / 36 \approx 0,139[249]$.

Показатель $\beta$ весьма мал – как и следовало ожидать, учитывая, что доля сгоревших деревьев не так сильно зависит от $\varepsilon$, как скорость распространения пожара.

Еще один показатель, который можно вычислить аналитически, это показатель $
u$, управляющий корреляционной длиной (4); он равен $4 / 3$ (точно). При $
u=4 / 3$ и $
u / \delta=0,87$ критический показатель времени $\delta$ равен 1,533 , что близко к значению, найденному Петером Грассбергером [86]. Следовательно, при $\varepsilon \rightarrow 0$ характеристические времена расходятся быстрее, чем корреляционные длины. Это имеет смысл, так как при $p$, меньших $p_{c}$, но близких к нему (т.е. при $\varepsilon \ll 1$ ), может случиться так, что огонь будет гореть в течение длительного периода времени после остановки фронта пожара. Как хорошо известно лесным пожарным, огонь распространяется не только вперед, но и назад.

Интересно отметить, что все критические показатели ( $
u, \delta$ и $\beta$ ), как оказалось, не зависят от числа взаимодействующих соседних элементов. Значения этих показателей одинаковы в следующих трех случаях: во взаимодействии принимают участие только 4 ближайших соседа на квадратной решетке, 8 соседей в квадрате $3 \times 3$ или 24 соседа в квадрате $5 \times 5$.

Эта инвариантность иллюстрирует то, что мы назвали универсальностью: критические показатели зависят только от размерности вложения ( $d=2$ ) и количества степеней свободы (также 2) для всех трех координационных чисел.

Что же касается критических концентраций $p_{c}$, то они бывают различными. Например, для трех вышеупомянутых координационных чисел экспериментальные значения критических концентраций равны, соответственно, $p_{c}=0,592745 ; 0,407355$ и 0,168 . Это неудивительно, так как огонь может перебрасываться не только на ближайших соседей, но и на деревья, стоящие за ними, или нє те, что стоят еще дальше, и т. д. Таким образом, даже сравнительно широкие просеки в лесу не могут считаться непреодолимым препятствием на пути огня.

Критическая концентрация
На рис. 3 представлена зависимость среднего времени прекращения лесного пожара $t_{\infty}$ от концентрации деревьев $p$ для квадратной решетки $300 \times 300$. Расходимость вблизи $p=p_{c} \approx 0,593$ выражена вполне отчетливо и согласуется с теоретическим предсказанием $t_{\infty}-$ $=$ const $\cdot|\varepsilon|^{-\tau}$, где $\tau \approx 1,5[249]$.

Аналогичное поведение с тем же значением показателя $\tau$ наблюдается и в треугольных решетках, за исключением того, что $p_{c} \approx 0,5-$ в точном соответствии с теоретическим предсказанием для критической концентрации ( $p_{c}=0,5$ ).

Треугольная решетка принадлежит к тем решеткам, для которых удается получить аналитическое решение. Другим примером аналитически разрешимой решетки может служить решетка Бете (см. гл. 16), называемая в теории графов деревом Кэли: порог перколяции $p_{c}$ в точности равен $1 /(z-1)$, где $z-$ число ближайших соседних элементов. Как можно судить по рис. 3, компьютерное моделирование с изменением $p$ является хорошим способом определения $p_{c}$ : в критической точке $p=p_{c}$ у многих параметров наблюдается острый пик. В физике такие пик. (в зависимостях удельной теплоемкости, например, или магнитной восприимчивости от температуры) сигнализируют о фазовых переходах второго рода. Вообще говоря, просачивание – это тоже фазовый переход, только гораздо более чистый и четко выраженный, чем «средний» термодинамический фазовый переход, анализ которого может оказаться делом довольно «пыльным».

Рис. 3. Среднее время прекращения пожаров как функция от плотности деревьев. Обратите внимание на расходимость вблизи критической плотности $P \approx 0,593[249]$.

Фрактальные периметры просачивания
Распространяется ли лесной пожар ровным фронтом, подобно греческой фаланге? Или в этом фронте имеются выступы и впадины? Имеются, уверяю вас. Более того, линия фронта имеет фрактальную структуру с размерностью Хаусдорфа $D$, заключенной между 1 и 2 . На первый взгляд, похожая картина нєблюдается в таком явлении как проникновение, известном также под названием образование вязких языков, которое имеет отношение к добыче нефти, и на которое нефтяная промышленность возлагала большие надежды, особенно в 70 -е годы, когда запасы нефти «временно» истощились (см. гл. 9). Однако вязкие языки образуются вследствие неустойчивости поверхности раздела двух жидкостей. Что же касается фрактальной структуры фронта лесного пожара, то ее причина кроется в связности – т. е. в соседстве деревьев.

Конечномерный скейлинг
Какие сведения о фрактальной размерности $f$ периметра объятого пламенем участка леса можно извлечь из численного моделирования лесных пожаров? Если определить периметр как число $F$ выгоревших участков, каждый из которых граничит хотя бы с одним невыгоревшим, и построить график зависимости этого числа от размера решетки $L$, то мы получим простой степенной закон, называемый конечно-мерным скейлингом [249]:
\[
F=\text { const } \cdot L^{f},
\]

где $f=1,75$ для всех трех окрестностей; близость этого значения к 2 как-то тревожит, ведь топологически размерность периметра должна быть равна единице. (Не следует, впрочем, забывать о том, что наше определение периметра включает в себя и границы внутренних оазисов – невыгоревших участков леса.)

Другая фрактальная размерность, $\bar{d}$, описывает число $M$ сгоревших деревьев. Если сгорают все деревья (или какая-то определенная доля от их общего количества), то $M$ будет пропорционально общему количеству деревьев или площади решетки: $M=\mathrm{const} \cdot L^{2}$. Но вблизи порога перколяции все иначе. Конечномерный скейлинг здесь описывается другим степенным законом, а именно:
\[
M=\text { const } \cdot L^{\bar{d}},
\]

где $\bar{d} \approx 1,9$ – несколько меньше двух, так как на сцене все еще присутствуют невыгоревшие участки леса. После прекращения пожара выгоревшие участки образуют нечто вроде двумерной губки (или швейцарского сыра) с множеством пустот в различных масштабах длины.

Штауффер [249] также приводит интересную взаимосвязь между разностью фрактальной размерности $\bar{d}$ и размерности вложения $d$, с одной стороны, и критическими показателями $\beta$ и $
u-\mathrm{c}$ другой:
\[
d-\bar{d}=\frac{\beta}{
u} .
\]

При $d=2, \beta=5 / 36$ и $
u=4 / 3$ соотношение (2) дает $\bar{d}=91 / 48-$ в превосходном согласии с экспериментальными данными (рис. 4).

Разумеется, вдали от критической точки зависимость числа сгоревших деревьев от $\varepsilon$ очень слаба. Значит, показатель $\beta$ стремится к нулю (см. формулу (3)), а $\bar{d} \rightarrow d$ (согласно соотношению (2)), чего и следовало ожидать, так как лесные пожары фрактальны только вблизи критической точки $\varepsilon \ll 1$.

Собственно говоря, вдали от критической точки корреляционная длина во много раз меньше размеров леса (или магнита). Поэтому $M$ изменяется не как $L^{\bar{d}}$ с фрактальным показателем $\bar{d}$ (см. формулу (1)), а вполне «евклидовым» образом: $M=$ const $\cdot L^{d}$, где $d$ – евклидова размерность пространства вложения. Короче говоря, просачивание фрактально только вблизи критической точки; выше или ниже ее оно демонстрирует классическое евклидово поведение.

Рис. 4. Размер наибольшего скопления на пороге перколяции в треугольной решетке как функция от размера решетки. Угловой коэффициент прямой согласуется с теоретической фрактальной размерностью 91/48 [249].

Еще одну фрактальную размерность, $\widetilde{d}$, можно определить из зависимости времени проникновения $t_{\infty}$ от размера леса $L$ :
\[
t_{\infty}=\text { const } \cdot L^{\tilde{d}} \text {. }
\]

Результаты численного моделирования подтверждают этот степенной закон и дают значение $\widetilde{d} \approx 1,16$, достаточно хорошо согласующееся с предсказанием, согласно которому характеристические значения времени изменяются пропорционально длинам, возведенным в степень $
u / \delta=1,159$.

В этой главе мы занимались в основном лесными пожарами, однако почти такие же законы управляют распространением эпидемий, образованием галактик, делением атомных ядер и бесчисленными другими процессами [128].

Перколяция – весьма широкое понятие; как следствие, теория перколяции способна объяснить множество ситуаций, которые кажутся, на первый взгляд, совершенно различными. Поскольку просачивание по сути своей геометрично, оно упрощает анализ сложнейших конфигураций и текстур, позволяя обойтись без излишних физических усложнений. А самоподобие, господствующее в критических точках, способствует успешному раскрытию взаимосвязей между подобием и фракталами.