Я хочу узнать, каћ Бог создал этот мир. Меня не интересует то или иное явлэние, спектр того или другого элемента. Я хочу узнать, о чем Он думал, все остальное – детали.
АЛЬБЕРТ ЭЙНШТЕЙН
Природа изобилует периодическими явлениями – от движения маятника до колебаний атомов, от стрекотания кузнечиков до обращения небесных тел вокруг Солнца. В этом вселенском менуэте участвуют и наши земные тела – от сердцебиения и суточных ритмов до месячных и более продолжительных циклов.

Разумеетс, в природе нет строго периодических явлений. Всякое движение имеет начало и конец, поэтому в математическом смысле строгой периодичности в реальном мире не существует. И все же периодичность оказалась необычайно полезным понятием для объяснения основополагающих законов и механизмов во многих областях.

Одна из причин универсальности простого гармонического движения – линейность (или почти линейность) многих физических систем и инвариантность управляющих их поведением законов при сдвигах в пространстве и времени.

Однако существуют многочисленные явления, в которых линейность нарушается, и вместо периодичности мы получаем апериодическое и даже хаотическое движение: гладкие волны на поверхности спокойного озера сменяются сильной турбулентностью в горном ручье, а ежедневный восход солнца – символ предсказуемости – скрывается за завесой облаков, прибежищем хаоса, хотя и детерминированного.

Но сколь бы хаотичной ни становилась жизнь, на сколь бы мелкие осколки ни разбивалась всякая рєгулярность, одна мощная крепость остается незыблемой, гордо возвышаясь над турбулентным хаосом. Эта крепость – самоподобие, инвариантность относительно изменения масштаба, или скейлинга; иначе говоря, не инвариантность при аддитивных сдвигах, а инвариантность при мультипликативных изменениях масштаба. Кратко можно сказать, что самоподобный объект «выглядит» неизменным и после увеличения, и после уменьшения его размеров. Так, в турбулентных потоках крупные вихри порождают меньшие, те, в свою очередь, – еще меньшие и так (почти) ad infinitum. В общем случае одно из наиболее заметных следствий самоподобия – объекты с необычайно тонкой структурой, которые ныне называются фракта$л а м и$ по предложению Бенуа Мандельброта, ставшего их отцом $[161]^{1}$.

Многие законы природы не зависят (или почти не зависят) от масштаба. То, что скейлинг обычно имеет предел (постоянную Планка когда объекты становятся слишком малыми, или скорость света – когда объекты движутся слишком быстро), не умаляет полезности «размышлений в терминах самоподобия» – так отсутствие (за пределами чистой математики) строгой периодичности не создает сколь-нибудь серьезных препятствий для применения этого понятия в реальном мире. В некотором смысле самоподобие – это тоже периодичность, только в логарифмической шкале.

Самоподобие – строгое или приб.тиженное – царит во многих областях под самыми различными обличьями, и в этой книге мы займемся изучением некоторых из многочисленных проявлений самоподобия в окружающем нас мире. Среди прочих мы в той или иной стенени затронем следующие вопросы:
– Скейлинговые законы и их выражение в физике, психофизике и физиологии.
– Случайные блуждания на фондовой бирже и под микроскопом; наводнения, лесные пожары, распределение галактик и другие «стихийные явления» со статистическим самоподобием.
– Масштабная (скейлинговая) инєариантность, самоподобие и некоторые из их математических моделей – например, канторовы множества и множества Жюлиа.
– Фракталы и их количественная характеристика по Хаусдорфу, другие нецелье размерности; фрактальные парадоксы и их разрешение; функции Вейерштрасса и кривые Гильберта; снежинки Коха, ковры Серпинского и другие неевклидовы конструкции в двух и более измерениях; толстые фракталы и мультифракталы.
– Итерированные отображения и отбор следующих из них самоподобий.

${ }^{1}$ Ссылки в квадратных скобках указывают на список литературы, приведенный в конце книги.

– Логистическая парабола и другие унимодальные отображения с универсальными скейлинговыми законами; бифуркация удвоения периода, ведущая к хаосу; постоянная Фейгенбаума, символическая динамика и последовєтельность Морса-Туэ; универсальное распределение орбит (порядок Шарковского).
– Комплексификация квадратичного отображения и множество Мандельброта.
– Чертовы лестницы, деревья Фарея, языки Арнольда и синхронизация мод; «кроличья» последовательность Фибоначчи и квазипериодический путь к временному и пространственному хаосу; спиновая решетка Изинга и квазикристаллы.
– Треугольник Паскаля и клеточные автоматы.

В настоящей главе мы приводим неформальное введение в некоторые из этих вопросов и представляем читателю основных действующих лиц.

Эйнштейн, Пифагор и простое подобие

Я малость подумаю.
АльвЕРт ӘйнШтЕйн, в Америке

Когда Якоб Эйнштейн стал обучать геометрии (евклидовой) своего одиннадцатилетнего племянника Альберта, юный Эйнштейн, уже тогда стремившийся к предельной экономии мысли, почувствовал, что некоторые из доказательств Евклида неоправданно сложны ${ }^{1}$. Например, столь ли необходимо в типичном доказательстве теоремы Пифагора $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ рассматривать помимо исходного прямоугольного треугольника с гипотенузой $c$ и катетами $a$ и $b$ все эти дополнительные линии, углы и квадраты?
«Малость подумав», острый разумом подросток придумал такое доказательство, для которого требуется лишь одна дополнительная линия – высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу (рис. 1). Эта высота делит большой треугольник на два меньших, noдобных друг другу и большому треугольнику. (Треугольники подобны, если равны их соответствующие углы. С первого взгляда легко заметить, что именно так обстоит дело с треугольниками на рис. 1.)
${ }^{1}$ Эту историю мне рассказал Шнейор Лифсон (из Института Вейцмана в ТельАвиве), которому поведал ее ассистент Эйнштейна Эрнст Штраусс, слышавший ее от самого старика Альберта.

Рис. 1. Теорема Пифагора: чертеж к доказательству на основе подобия треугольников, предложенному одиннадцатилетним Эйнштейном.

В евклидовой геометрии площади подобных (замкнутых) фигур относятся как квадраты соответствующих линейных размеров. Следовательно, площади $E_{a}, E_{b}$ и $E_{c}(E$ – начальная буква немецкого слова Ebene – плоскость) трех треугольников на рис. 1 связаны с их гипотенузами $a, b$ и $c$ соотношениями
\[
\begin{array}{l}
E_{a}=m a^{2}, \\
E_{b}=m 0^{2}, \\
E_{c}=m c^{2},
\end{array}
\]

где $m$ – некоторый безразмерный отличный от нуля множитель, один и тот же во всех трех соотношениях.

Бросив на рис. 1 второй взгляд, мы обнаружим, что площадь большого треугольника равна сумме площадей двух меньших треугольников:
\[
E_{a}+E_{b}=E_{c} \text {. }
\]

Используя соотношения (1)-(3), получаем
\[
m a^{2}+m b^{2}=m c^{2} .
\]

Наконец, деля это равенство на общую меру $m$, мы приходим к знаменитому выводу Пифагора:
\[
a^{2}+b^{2}=c^{2}
\]

Теорема доказана одиннадцатилетним ребенком ${ }^{1}$ путем комбинирования двух плодотворных научных принципов, которых впоследствии неукоснительно придерживался взрослый Эйнштейн: простоты

${ }^{1} \mathrm{Ha}$ которого в его школьные годы в Мюнхене никто не обращал внимания [206].

и симметрии, частным случаем которой является самоподобие. Однако истинная красота доказательства Эйнштейна не в том, что оно столь просто, а в том, что оно вскрывает истинную суть теоремы Пифагора: подобие и масштабируемость (скейлинг).

Рис. 2. Эйнштейн накануне открытия своей знаменитой формулы $E=m c^{2}$ (с точки зрения карикатуриста) [98] (C1991 Sidney Harris).

Разумеется, сходство соотношения (3) с последующим открытием Эйнштейна – его знаменитым соотношением $E=m c^{2}$ – чисто случайно. Эквивалентность массы $m$ и энергии $E$, лежащая в основе ядерной энергетики во всех ее формах, следует из инвариантности при преобразованиях Лоренца. Эта инвариантность, лежащая в основе специальной теории относительности, была предсказана Эйнштейном в 1905 г., когда он после нескольких фальстартов «еще малость подумал» (рис. 2).

Самоподобная расстановка ферзей, не бьющих друг друга

Рассмотрим одну из многочисленных шахматных задач, состоящую в расстановке на шахматной доске заданного размера как можно большего количества не атакующих друг друга ферзей (ферзи не бьют друг друга, если никакие два ферзя не стоят на одной горизонтали, одной вертикали или одной диагонали доски). На доске $k \times k$ можно расставить самое большее $k$ не бьющих друг друга ферзей. Но всегда ли можно расставить ровно $k$ мирно сосуцествующих ферзей? А если число $k$ очень велико? Не возрастает ли сложность расстановки ферзей экспоненциально с увеличением размера доски? Как мы сейчас убедимся, расстановка ферзей осуществляется очень просто даже на произвольно больших досках, если мы сосредоточим внимание на досках, размеры или порядок которых $k$ равен целой степени какого-нибудь целого числа (т.е. $k=n^{m}$, где $n$ и $m$ – целье числа) и разумно воспользуемся принципом самоподобия при построении решения. (Как и прежде, мы называем объект или структуру самоподобными, если при увеличении их самих или надлежаще выбранной их части они выглядят так же, как до увеличения.)

На рис. 3 вверху показана расстановка пяти не бьющих друг друга ферзей на доске $5 \times 5$. (Чтобы расставить так ферзи, можно воспользоваться поглощающим алгоритмом: начать с клетки, расположенной в левом нижнем углу, и продолжать вертикаль за вертикалью, ставя каждого следующего ферзя на самую нижнюю из «допустимых» клеток.)

Из решения для доски $5 \times 5$ мы можем немедленно построить решения для доски $25 \times 25$, которую можно считать состоящей из $5 \times 5=25$ досок размером $5 \times 5$. Мы просто оставим большинство из этих 25 досок пустыми, за исключением пяти, соответствующих позициям, занятым ферзями на доске $5 \times 5$. Эта расстанозка изображена на рис. 3 и дальнейших пояснений не требует.

Чтобы расставить «мирные» (не бьющие друг друга) ферзи на доске $125 \times 125$, условимся рассматривать эту доску как составленную из двадцати пяти досок размером $25 \times 25$. Пять из них, заполненных в соответствии с решением для доски $25 \times 25$, расставлены по уже известной

Рис. 3. Пять не бьющих друг друга ферзей на доске $5 \times 5$ (вверху), и аналогичная расстановка 25 ферзей на доске $25 \times 25$, полученная из доски $5 \times 5$ с помощью подобия.

нам схеме, а остальные двадцать досок остаются пустыми. Продолжая в том же духе, мы после $n$ шагов получим доску размером $5^{n} \times 5^{n}$ с расставленными на ней $5^{n}$ ферзями, не бьющими друг друга.

Этот процесс можно продолжать ad infinitum, получая каждый раз безукоризненно самоподобную расстановку не бьющих друг друга ферзей. Действительно, выбирая одну из пяти непустых «поддосок» со стороной, составляющей одну пятую от стороны всей доски и увеличивая ее в 5 раз, мы в точности получаем исходную доску. Множитель 5 называется коэффициентом подобия доски.

Какие числа, кроме 5 , можно использовать в качестве коэффициента подобия в такого рода самоподобных схемах? Можно ли использовать самоподобие для построения решений на досках со стороной, длина которой не представима в виде чистой степени целого числа (как $5^{n}$ )? Интересующийся читатель сможет найти дальнейшие указания в весьма содержательной статье Кларка и Шиши [35].

Самоподобная снежинка

Повторяя некую операцию снова и снова (во все меньшем и меньшем масштабе), мы почти неизбежно приходим к самоподобной структуре. Повторяющаяся операция может быть алгебраической, символической или геометрической, как в случае пяти спящих красавицкоролев, которых мы на пути к совершенному самоподобию пробудили от сна и позволили безгранично множиться.

Классическим примером такого повторяющегося построения может служить кривая фон Коха, предложенная в 1940 г. шведским математиком Хельге фон Кохом. Основной принцип и конечный результат конструкций фон Коха в равной мере прекрасны. Возьмем отрезок прямой (инициатор, рис. 1A) и на его средней трети построим равносторонний треугольник, как показно на рис. 4Б. Результат этого построения называется генератором. Заметим, что длина генератора составляет четыре третьих от длины инициатора.

Повторяя еще раз построение равносторонних треугольников на средних третях прямолинейных отрезков, мы получаем ломаную, изображенную на рис. 4В. Длина ломаной теперь составляет $(4 / 3)^{2}$. Повторяя процесс бесконечно много раз, мы приходим к «кривой» бесконечной длины, которая (хотя и всюду непрерывна) нигде не дифференцируема. Насколько позволяют перо и чернила, она воспроизведена на рис. $4 \Gamma$.

Такого рода ущербные «функции», которые непрерывны, хотя ни в одной точке к ним невозможно провести касательную, были впервые построены в прошлом веке немецким математиком Карлом Вейерштрассом лишь для того, чтобы гоказать своим скептически настроенным коллегам (в том числе ужаснувшемуся Эрмиту), что такие функции действительно существуют. Однако другие авторитеты (и среди них не в последнюю очередь великий австрийский физик Людвиг Больцман) увидели забрезживший новый свет; в 1898 г. Больцман писал в письме к Феликсу Клейну, что недифференцируемые функции могли бы быть изобретены физиками, поскольку в статистической ме-

(A)

Рис. 4. Инициатор (А) и генератор (Б) для кривой фон Коха. Следующая стадия построения кривой фон Коха (Е) и аппроксимация высокого порядка к кривой фон Коха (Г).

ханике имеются проблемы, для решения которых «недифференцируемые функции абсолютно необходимы». Французский коллега Больцмана Жан Перрен пошел еще дальше. В 1906 г. он, предвосхищая современное отношение к такого рода математическим монстрам, заявил, что «кривые, не имеющие касательных, являются общим правилом, а гладкие кривые, такие, как окружность, – интересным, но весьма частным случаем». Изысканно, не правда ли? Теперь, следуя Мандельброту, мы называем такие недифференцируемые кривые просто фракталами.

Новая размерность для фракталов

Вселенная не только причуливее, чем мы думаем, но даже причудивее, чем мы можем предположить.
Дж. Б. С. ХолдЕйн

Применив генератор фон Коха (рис. 4) к равностороннему треугольнику и закрасив внутренность построенной фигуры в черный цвет, мы получим сплошную звезду Давида (рис. 5А). Бесконечная итерация такого построения приводит к снежинке фон Коха (промежуточные стадии построения показаны на рис. 5Б). Каков же периметр такой снежинки? После $n$ итераций периметр снежинки становится в $(4 / 3)^{n}$ раз больше периметра исходного треугольника. При $n$, стремящемся к бесконечности, периметр снежинки становится бесконечно большим. Следовательно, длина перестает быть удобной величиной для количественной характеристики периметра. Необходимо ввести какую-то новую меру, которая позволила бы различать фракталы, порождаемые различными генераторами. Но, изобретая нсвые меры, мы хотим оставаться как можно ближе к тому, что делали обычно при измерении длины.

Рис. 5. Инициатор и генератор для снежинки фон Коха (А) и промежуточные стадии построения снежинки фон Коха (Б).

Для гладкой кривой ее приближенная длина $L(r)$ определяется как произведение числа $N$ прямолинейных отрезков, умещающихся на кривой, на длину такого отрезка $r: L(r)=N \cdot r$. Когда длина шага $r$ стремится к нулю, величина $L(r)$ стремится к конечному пределу – длине $L$ рассматриваемой кривой.

Иначе обстоит дело в случае фракталов! Произведение $N \cdot r$ обращается в бесконечность, потому что когда $r$ стремится к нулю, мы учитываем все более мелкие извивы фрактала. Однако асимптотически это стремление к бесконечности происходит по некоторому четко определенному однородному степенному закону от $r$. Иначе говоря, существует некоторый критический показатель $D_{H}>1$, такой, что произведение $N \cdot r^{D_{H}}$ остается конечным. При показателях меньших, чем $D_{H}$, произведение расходится, т.е. обращается в бесконечность, а при показателях больших, чем $D_{H}$, — стремится к нулю. Этот критический показатель $D_{H}$ называют размерностью Хаусдорфа в честь немецкого математика Феликса Хаусдорфа (1868-1942). Справедливо следующее соотношение:
\[
D_{H}=\lim _{r \rightarrow 0} \frac{\ln N}{\ln (1 / r)}
\]
(это определение размерности Хаусдорфа эквивалентно приведенному выше). Если при построении кривой или снежинки фон Коха $n$-го поколения ( $n$-й итерации) шаг выбран равным $r=r_{0} / 3^{n}$, то число шагов $N$ пропорционально $4^{n}$. Таким образом,
\[
D_{H}=\frac{\ln 4}{\ln 3}=1,26 \ldots
\]

То, что $D_{H}$ лежит межлу 1 и 2 , довольно понятно: бесконечно длинная кривая в некотором метрическом смысле представляет собой нечто большее, чем просто одномерный объект, но в то же время «не дотягивает» до двумерной фигуры, так как такая кривая не покрывает никакой области на плоскости. И действительно, как мы вскоре увидим, предложенное Хаусдорфом определение размерности, которая, как нам уже известно, может принимать дробные значения, во многих отношениях вполне разумно. Разумеется, для гладкой кривой $D_{H}=1$, а для гладкой поверхности число $N$ покрывающих дисков пропорционально $1 / r^{2}$, вследствие чего $D_{H}=2$ (здесь $r$ – диаметр $N$ малых дисков, необходимых для того, чтобы покрыть фигуру). Аналогично, для компактного трехмерного тела размерность Хаусдорфа $D_{H}$ равна 3.

Удивительно, однако, что при $D_{H}=2$ мы отнюдь не обязательно получаем двумерную фигуру: вполне достаточно оказывается топологически одномерного объекта – линии. Хорошо известным примером может служить асимптотически самоподобная кривая Гильберта (рис. 6A), проходящая сколь угодно близко от любой точки единичного квадрата. Последовательные этапы построения кривой Гильберта изображены на рис. 6Б. Окончательный результат, разумеется, самоподобен: раздув любой надлежащим образом выбранный подквадрат в $2^{n}$ раз, мы получим кривую, в точности похожую на всю кривую.

Поскольку $n$-е поколение кривой Гильберта состоит из $2^{2 n}-1$ звеньев длиной $1 / 2^{n}$, ее размерность Хаусдорфа равна 2, как и подобает кривой, заполняющей плоскую фигуру. На рис. 7 вы видите вариант кривой Гильберта, рожденный фантазией художника. Распознаете ли вы в хитросплетениях и извивах кривой человеческое лицо?

Рис. 7. Деформированная кривая Гильберта; точка зрения художника. Рекомендуется рассматривать издали. (Рисунок любезно предоставлен В.-Й. Мёллером.)

Соседние точки на кривой Гильберта остаются соседними и в единичном квадрате. Однако обратное утверждение неверно! Это свойство отличает кривую Гильберта от телевизионной развертки, претерпевающей разрывы на концах линии ${ }^{1}$, и от канторова полностью разрывного
${ }^{1}$ Интересно, что некоторые более сложные способы сканирования изображения на телевизионном экране используют алгоритм Гильберта для построения кривой, заполняющей все пространство. Дело в том, что точки, соседние во времени вдоль отображения единичного квадрата на единичный интервал, переводящего точку $x=0, x_{1} x_{2} x_{3} \ldots, y=0, y_{1} y_{2} y_{3} \ldots$ единичного квадрата в точку $0, x_{1} y_{1} x_{2} y_{2} x_{3} y_{3} \ldots$ единичного отрезка.

Когда Кантор впервые увидел, что плоская фигура может быть указанным выше способом обратимо отображена на линию, он написал: «Я видел это, но я не могу в это поверить». Однако эволюция, конструируя наш мозг, обнаружила тысячелетия назад, что для заполнения объема с сохранением двумерной близости серое вещество коры больших полушарий должно быть слсжено «по схеме», напоминающей трехмерную кривую Гильберта.

Кривые Гильберта в пространствах более высокой размерности нашли также интересные применения в теории информации – в кодах Грея, названных так в честь изобретателя [80]. В двоичном коде Грея для целых чисел при переходе от одного числа к следующему код изменяется только на один бит. Например, четыре целых числа от 0 до 3 кодируются двумя двоичными битами следующим образом: $0=00$, $1=01,2=11,3=10$ (а не как в обычном двоичном коде, в котором $2=10$ и $3=11$, вследствие чего между кодами чисел 1 и 2 возникает скачок в два бита). На рис. 8 показаны последовательные этапы построения кривой Гильберта в трехмерном пространстве, наглядно демонстрируя обобщенные коды Грея [81].

Если канторово отображение квадрата на отрезок разрывно в обе стороны, т.е. разрывны и прямое, и сбратное отображения, то кривая Гильберта разрывна только в одну сторону. Благодаря трудам Бернарда Больцано (1781-1848) и Джузеппе Пеано (1858-1932), мы знаем и о других отображениях площади на линию, однако ни одно из них не является непрерывным в обе стороны.

Самоподобное разбиение и «неевклидов» парадокс

Взгляните на семь фрактальных «плиток», изображенных на рис. 9А. Они получены из семи правильных шестиугольников (рис. 9Б) при замене каждой стороны трехзвенной ломаной, как показано на примере одной из сторон. Если внутренние углы между звеньями равны $120^{\circ}$, то длины трех звеньев будут составлять $1 / \sqrt{7}$ от первоначальной длины стороны правильного шестиугольника.

Бесконечно повторяя процесс взламывания прямолинейных отрезков и замены их трехзвенными ломағыми, мы приходим к разбиению
«гильбертовой развертки», оказываются соседними в пространстве и на сканируемом изображении, что упрощает его обработку.

Рис. 8. Построение трехмерного варианта кривой Гильберта (А); трехмерная кривая Гильберта, иллюстрирующая коды Грея (Б).

плоскости на фрактальные плитки, которое приближенно представлено на рис. 9 А. В результате такого построения контур всей фигуры, состоящей из семи фрактальных «шестиугольников» подобен каждому из этих семи шестиугольников.

Таким образом мы приходим к самоподобному разбиению плоскости на «шестиугольники», в котором каждая плитка окружена шестью такими же плитками. (Заметим, что хотя возможно разбить плоскость на настоящие правильные – с прямолинейными сторонами – шестиугольники, это разбиение не самоподобно: правильный шестиугольник,

Рис. 9. (А) Разбиение плоскости с помощью фрактальных плиток, плотно подогнанных друг к другу. Совокупность семи плиток подобна одной плитке, что порождает «неевклидов» парадокс. (Б) Разбиение плоскости на правильные шестиугольники – инициатор фрактальных плиток, изображенных на рис. А. Показан также один генератор, состоящий из трех прямолинейных отрезков.

окруженный шестью такими же шестиугольниками, не образует правильный шестиугольник бо́льших размеров.)

Взглянув на рис. $10 \mathrm{~A}$, нетрудно заметить, что периметры меньших фрактальных шестиугольников укладываются в периметре большого фрактального шестиугольника ровно три раза. Следовательно, по евклидову правилу соотношения площадей подобных геометрических фигур, площадь большого шестиугольника должна была бы быть в $3^{2}=9$ раз больше площади любого из меньших фрактальных шестиугольников. Но это не так: площадь большого шестиугольника только в 7 раз больше площади меньшего шестиугольника!

Где же допущена ошибка? Где мы сбились с пути? Неужели нам удалось застать врасплох Евклида? Нет, древние греки (за исключением, быть может, Зенона Элейского) могут по-прежнему покоиться с миром. Фрактальные геометрические объекты, подобные изображенным на рис. $9 \mathrm{~A}$, никогда не изучались в школе Евклида (и не использовались для мощения тамошних полов). Евклид, по-видимому, и не подозревал о существовании недифференцируемых функций или ограниченных кривых бесконечной длины. Но последующие поколения математиков занимались изучением таких объектов, и со времен Хаусдорфа мы знаем, что размерности такого рода кривых не обязательно равны единице, но могут превосходить ее. Например, размерность Хаусдорфа $D_{H}$ периметра наших шестиугольных фракталов оказывается равной $\ln 3 / \ln \sqrt{7}=1,12915 \ldots$ Поэтому, следуя идее Евклида о пропорциональности отношения площадей подобных фигур, чтобы получить соотношение площадей для нашего случая, мы должны были бы возвести 3 («отношение» периметров) нє в квадрат, а (поскольку периметр имеет размерность $1,12915 \ldots$ ) в степень $2 / 1,12915 \ldots=1,77124 \ldots$ Если верить моему карманному калькулятору, то это дает отношение площадей, равное 6,999999999 – что достаточно близко к истинному отношению, равному 7 , величина которого видна из рис. 9А. Таким образом, мы имеем все основания для того, чтобы сформулировать заново теорему Евклида об отношении площадей подобных фигур и получить более общий результат, применимый и к фракталам, и к нефракталам:
Отношения соответствующцх размеров подобных фигур равны, если их привести к одной и той же размерности на основе их размерностей Хаусдорфа.
Как раз из-за таких своих свойств размерность Хаусдорфа является столь полезной концепцией. Размерность Хаусдорфа – это необходимое расширение понятия размерности на фрактальные объекты, моделирующее, хотя и приближенно, огромное количество явлений в реальном мире вокруг нас – и внутри нас. Вспомним хотя бы сосудистую систему человека или легкие с их иерархическим ветвлением на бронхи, которое обеспечивает поразительно большую площадь полезной поверхности. И сосудистая, и легочная системы великолепно описываются фрактальными конфигурациями и размерностями Хаусдорфа.

Итак, понятие размерности Хаусдорфа разрешило чреватый катастрофическими последствиями парадокс, расширив наши представления о размерности на дробные и даже трансцендентные значения. Мы еще не раз вернемся к этой теме в нашей книге и познакомимся с другими фрактальными парадоксами – например, с музыкальным аккордом, который при воспроизведении с более высокой скоростью звучит ниже! (См. с. 142-146 в гл. 3.)

У врат канторова рая

$A$, некоторым образом, выступаю против широко распространенных взалдов на природу математической бесконечности.
ГЕорг Кантор

Размерность Хаусдорфа $D_{H}$ полезна для описания не только фрактальных кривых бесконечной длины, но и точечных множеств, или «кривых» нулевой длины. Не удивительно, что для таких множеств величина $D_{H}$, как правило, меньше єдиницы. Знаменитым примером таких множеств служит построенное самим Георгом Кантором самоподобное множество «стертой средней трети», которое он предъявил изумленному и встретившему диковинку с недоверием математическому сообществу своего времени в подтверждение того, что существуют множества нулевой меры (нулевой «длины») с несчетно бесконечным числом членов.

Свой в высшей степени неочевидный пример Кантор строил следующим образом. Он начал с замкнутого единичного интервала $[0,1]$, т. е. с прямолинейного отрезка длиной 1 , содержащего обе конечные точки. Затем Кантор «стер» открытую среднюю треть $(1 / 3,2 / 3)$ и повторил ту же операцию над каждым из двух оставшихся отрезков длиной $1 / 3$ (рис. 10).

Повторяя снова и снова процесс стирания средней трети, мы не оставляем ни одного связного прямолинейного отрезка. Общая длина, или мера, оставшегося множества равна нулю. Тем не менее, как мы увидим в дальнейшем, оставшаяся «пыль» все же содержит бесконечно много, в действительности несчетно много, «точек». Оценить мощность канторова множества можно уже по его арифметическому описанию: элементами множества служат те дроби из замкнутого интервала $[0,1]$, в записи которых не встречается цифра 1 , например, 0,2 или 0,2022 .

Как охарактеризовать содержимое множества нулевой длины? И снова нам на помощь приходит Хаусдорф. После $n$-кратного стирания средних третей у нас останется $N=2^{n}$ прямолинейных отрезков, каждый из которых имеет длину $r=(1 / 3)^{n}$. Таким образом, размерность

Рис. 10. Построение канторова множества «стертой средней трети». Оно имеет нулевую меру и тем не менее неисчислимо. Фрактальная размерность такого множества равна $\frac{\ln 2}{\ln 3}=0,63 \ldots$.

Хаусдорфа $D_{H}$ равна $\ln 2 / \ln 3=0,63 \ldots$, т. е. принимает значение между 0 и 1 , как и следовало ожидать, поскольку канторова пыль больше (гораздо больше!), чем точка (размерность 0), и много меньше, чем отрезок прямой или кривой (размерность 1). Как и в случае фрактальной кривой фон Коха значение $D_{H}$ не является целым (в действительности $D_{H}$ для канторова множества – трансцендентное число).

В нашей книге мы встретимся с «несчетным» множеством других примеров пыльных множеств, подобных канторову, в самых разнообразных декорациях. Одно из таких множеств – знаменитый ковер Серпинского – мы сейчас и рассмотрим.

Ковер Серпинского

Туман в тумане.
ГЕРмАН ВЕйль, по поводу трансфинитных чисел Кантора.

Существуют ли двумерные множества, подобные канторовой пыли? Да, существуют. Начнем с равностороннего треугольника, изображенного слева на рис. $11 \mathrm{~A}$ и удалим перевернутый центральный равносторонний треугольник со стороной, равной половине длины стороны исходного треугольника. У нас останутся три равносторонних треугольника со сторонами, вдвое меньшими стороны исходного треугольника. Повторяя эту операцию над оставшимися (не перевернутыми) треугольниками, мы получаем после $n$ итераций $N=3^{n}$ треугольников со сторонами $r=r_{0}\left(2^{-n}\right)$ (рис. 11Б). Множество, которое получается при бесконечном повторении данной процедуры, называется ковром Серпинского в честь польского математика Вацлава Серпинского (18821969), автора многочисленных работ по теории чисел и топологии. Размерность Хаусдорфа для такого множества равна $\ln 3 / \ln 2=1,58 \ldots$ Это иррациональное число меньше 2 , несмотря на то, что ковер Серпинского существует в двумерном пространстве.

Рис. 11. (А) Генератор для ковра Серпинского. (Б) К построению ковра Серпинского – двумерного несчетного множества нулевой меры с фрактальной размерностью $\frac{\ln 3}{\ln 2}=1,58 \ldots$

Интересно отметить, что в ковре Серпинского самоподобие сочетается с другой важной, хотя и классической симметрией: симметрией поворота. Действительно, форма ковра Серпинского не изменяется при повороте вокруг его центра на угол $120^{\circ}$ (или на любое целое кратное угла $120^{\circ}$ ). Такие симметрии, сочетающие в себе бесконечный скейлинг и поворот на конечный угол, наблюдаются во многих фрактальных построениях и в работах Морица Эшера (рис. 12)

Заметим кстати, что «фрактальная» размерность фрактального множества не обязательно должна быть нецелой. Например, размерность Хаусдорфа для самоподобной расстановки не бьющих друг друга ферзей (см. с. 28-30) равна 1.

На рис. 13 вы видите трехмерное обобщение ковра Серпинского. Построение его начинается с правильного тетраэдра (пирамиды, гранями которой являются четыре равносторонних треугольника), из которого вырезается центральный перевернутый правильный тетраэдр вдвое меньших размеров. Та же операция проделывается с каждым из че-

Рис. 12. Картина Эшера, в которой поворотная симметрия сочетается с бесконечным скейлингом.

тырех оставшихся тетраэдров и т.д. В результате мы получаем нечто вроде ажурной башни.

Размерность Хаусдорфа для этой самоподобной конструкции следует непосредственно из первого этапа построения: имея $N=4$ оставшихся тетраэдров размера $r=1 / 2$, мы получаем $D_{H}=\ln 4 / \ln 2=2$, т. е. фрактальная размерность на этот раз оказывается иелой, хотя и на целую единицу меньше евклидовой размерности $d=3$ несущего пространства.

Двумерные и трехмерные анатогии ковра Серпинского моделируют многие природные явления и рукотворные сооружения. Взять хотя бы Эйфелеву башню в Париже, спроектированную Густавом Эйфелем. Если бы вместо всемирно известной ажурной конструкции это

Рис. 13. Трехмерный вариант ковра Серпинского. Его фрактальная размерность $\ln 4 / \ln 2=2$ имеет целое значение, хотя она и меньше размерности несущего пространства (равной 3 ).

сооружение было спроектировано в виде сплошной пирамиды, то на его строительство было бы израсходовано дополнительно невероятное количество железа без сколько-нибудь заметного увеличения прочности. Эйфель пошел по другому пути: он прлменил фермы, т.е. структурные модули, элементы которых используют жесткость треугольника. (Треугольник в отличие от прямоугольника не может быть деформирован без деформации по крайней мере одной из его сторон.) Однако отдельные элементы больших ферм сами представляют собой фермы, которые в свою очередь состоят из ферм еще меньшего размера. Такая самоподобная конструкция гарантирует высокую прочность при низком весе. Конструкция готических соборов также выдает глубокую веру их строителей в принцип достижения максимальной прочности при минимальной массе. В то же время американский архитектор Бакминстер Фуллер (1895-1983) и его ажурные купола наглядно продемонстрировали всем, что прочность кроется не в массе, а в точках ветвления. Вопреки тому, что подсказывает нам наш здравый смысл, ковер Серпинского и аналогичные ему конструкции состоят сплошь из одних лишь точек ветвления. (В сколь угодно малой окрестности точки ветвления на кривой содержится более чем две точни.) Некоторые граничные множества (например, граничные множества странных аттракторов) разделяют это свойство с ковром Серпинского (см. с. 71-73, где свойство состоять из одних лишь точек ветвления используется для «решения» проблемы международных границ).

Рассмотрим еще одно противоречащее здравому смыслу и вызывающее удивление проявление ковра Серпинского. Для евклидовых тел в $d$-мерном пространстве объем $V$ пропорционален $R^{d}$, где $R$ – некоторый характеристический линейный размер тела. Площадь поверхности $S$ изменяется пропорционально $R^{d-1}$. Таким образом, $S \sim V^{(d-1) / d}$. Например, в трехмерном пространстве, т.е. при ( $d=3$ ), справедлива зависимость $S \sim V^{2 / 3}$ (вспомним, что для сферы $S=4 \pi R^{2}=$ $\left.=(36 \pi)^{1 / 3} \cdot V^{2 / 3}\right)$.

Однако для фрактальных объектов это простое евклидово соотношение часто нарушается. Как мы уже знаем, для ковра Серпинского размерность Хаусдорфа равна $\ln 3 / \ln 2 \approx 1,58$. А чему равна размерность Хаусдорфа для краев ковра Серпинского? Легко заметить, что всякий раз, когда мы уменьшаем мерный стержень в 2 раза, число отрезков, образующих края, увеличивается в 3 раза. Следовательно, размерность Хаусдорфа для краев, или «поверхности», ковра Серпинского равна $\ln 3 / \ln 2$, т. е. «объем» и «поверхность» имеют одинаковую размерность Хаусдорфа. В этом можно также убедиться, представив массу $M(R)$ ковра, т.е. число точек внутри окружности радиуса $R$, как функцию радиуса: мы обнаружим, что в среднем $V(R) \sim R^{1,58}$. Но для полной протяженности краев ковра $S(R)$ внутри окружности радиуса $R$ мы получаем ту же самую зависимость $S(R) \sim R^{1,58}$. Следовательно, для ковра Серпинского площадь $V$ и длина краев $S$ пропорциональны друг другу: $V \sim S$. Результат, что и говорить, парадоксальный!

Мы еще будем иметь удовольетвие встретить ковер Серпинского и в первоначальном его виде, и в дискретном варианте – в виде треугольника Паскаля по модулю 2 (в гл. 17). А пока развлечемся немного одним из необычных следствий из фрактальных свойств ковра Серпинского – настольной игрой, изобретенной мифическим сэром Пинским.

Игра сэра Пинского и детерминированный хаос

Рассмотрим следующую «настольную игру», в которой могут участвовать два или более человека.
– Каждый игрок выбирает по своему усмотрению начальную точку внутри равностороннего треугольника.
– Проведя через ближайшую вершину и выбранную точку прямую и отложив на ней от этой вершины удвоенное расстояние до начальной точки, игрок получает гочку $p_{1}$.
Выигрывает тот, кто сумеет повторить удвоение расстояния от ближайшей вершины наибольшее число раз, не выходя при этом за пределы треугольника. Как мы увидим, существует несчетно много и в то же время очень мало точек, гарантирующих выигрыш или ничью. («Очень мало» надлежит понимать в том смысле, что случайно выбранная точка имеет нулевую вероятность сколь угодно продолжительного «выживания» игрока при соблюдении правил игры.)

На рис. 14 изображен равносторонний треугольник. Начальная точка помечена цичрой 0 , а три ее последующих положенин, или образа, соответственно, цифрами 1,2 и 3. Мы видим, что точка 3 лежит уже за пределами треугольника. Значит, начальная точка выбрана неудачно. Можно ли обезопасить себя от неудачных начальных точек? Мы ответим на этот вопрос сначала геометрически, а затем арифметически.

Заметим, что точка 2 , лежащая внутри малого белого (перевернутого) треугольника, при следующем ходе отображается за пределы исходного треугольника. Достаточно несложного размышления, чтобы увидеть, что любая точка внутри малого белого треугольника отобразится за пределы исходного треугольника. Следовательно, белый треугольник – неподходящее место для размещения удачной исходной позиции. Более того, не годится и его прообраз, а также прообраз прообраза, и так далее ad infinitum. Иначе говоря, любая точка, рано или поздно отображаемая в белый треугольник, приводит к проигрышу.

Но каковы же прообразы белого треугольника? Как показывает дальнейшее несложное размышление, эти прообразы состоят из трех перевернутых треугольников вдвое меньшего размера, расположенных по одному в каждом из трех оставшихся темных треугольников. В свою очередь, прообразами этих трех прообразов являются девять перевернутых треугольников со сторонами вдвое меньшего размера, вырезанных из середины девяти оставшихся темных треугольников, линейные

Рис. 14. Игра в хаос сэра Пинского. Сколько раз вам удастся удвоить расстояние от ближайшей вершины, не выходя за пределы большого равностороннего треугольника?

размеры каждого из которых в 4 раза меньше линейных размеров исходного треугольника.

Таким образом, выбирая неограниченное число раз выигрышные начальные точки, мы в действительности строим самоподобную фигуру, хорошо известную под названием ковра Серпинского (рис. 15), т.е. канторова множества в двумерном пространстве с нулевой площадью и размерностью Хаусдорфа, равной $\ln 3 / \ln 2 \approx 1,58$. Если же мы будем выбирать начальную точку случайным образом, мы почти неизбежно окажемся на белой территории – прелюдия к ужасной участи оказаться в конце концов выброшенным за пределы большого треугольника.

Рис. 15. Ковер Серпинского как множество выигрышных начальных точек для игры сэра Пинского.

Чтобы избежать возможных споров, вызванных неточным начертанием линий и точек, в вышеописанную игру сэра Пинского следует играть арифметически, т. е. начальные точки и все последующие образы задавать их координатами в подходящей системе координат. Хотя для задания точки на плоскости достаточно двух координат, в нашем случае удобнее использовать систему координат, более приспособленную к симметрии треугольника, т. е. систему трех координат $x, y$ и $z$, как показано на рис. 14. Вершины треугольника имеют единичные значения соответствующих координат, а противолежащие стороны – нулевые значения тех же координат. Например, середина горизонтальной стороны треугольника имеет координаты $x=0, y=z=1 / 2$.

Разумеется, набор из трех координат на плоскости избыточен, и мы не можем выбирать значения координат независимо друг от друга, поскольку они связаны соотношением $x+y+z=1$. Кроме того, точки внутри треугольника должны удовлетворять дополнительным условиям $x>0, y>0$ и $z>0$.

Как действует наше отображение, определяемое как удвоение расстояния от ближайшей вершины, если его рассматривать арифметически? Предположим, что для выбранной нами точки $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ближайшей является левая нижняя вершина $(y)$. Тогда образ точки $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ имеет координаты $\left(2 x_{0}, 2 y_{0}-1,2 z_{0}\right)$. Множители 2 , встречающиеся в записи нашего отображения, наводят на мысль о записи координат в двоичной системе счисления. Тогда умножению на 2 соответствует простой сдвиг на один знак влево. Следовательно, точку 0 на рис. 14 с приближенными координатами $(5 / 16,39 / 64,5 / 64)=$ $=(0,0101 ; 0,100111 ; 0,000101)$ посгигает следующая судьба:
\[
\begin{array}{lll}
x_{0}=0,0101 ; & y_{0}=0,100111 ; & z_{0}=0,000101 ; \\
x_{1}=0,101 ; & y_{1}=0,00101 ; & z_{1}=0,00101 ; \\
x_{2}=0,01 ; & y_{2}=0,0111 ; & z_{2}=0,0101 \\
x_{3}=0,1 ; & y_{3}=-0,001 ; & z_{3}=0,101
\end{array}
\]

Координата $y_{3}$ отрицательна, т. е. точка ( $\left.x_{3}, y_{3}, z_{3}\right)$ лежит вне треугольника, и игрок, выбравший начальную точку ( $\left.x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$, выходит из игры.

Оказавшись за пределами треугольника, образы продолжают «убегать» в бесконечность. Что же такое с точки зрения арифметики удачно выбранные начальные условия, позволяющие оставаться внутри большого треугольника и никогда не выбывать из игры? Если нам удастся найти полный ответ на вопрос, то мы вдобавок ко всему получим также арифметическое описание ковра Серпинского!

Итак, что привело нас к нежелательному отрицательному значению $y_{3}$ при отображении? Ответ заключается в том, что $y_{2}$ (наибольшая из координат предыдущей точки) была меньше $1 / 2$. Иначе говоря, на первом месте после запятой в представлении координаты $y_{2}$ в виде двоичной дроби стоял нуль, а не единица. Отсюда следует, что каждая из позиций во всех трех координатах удачной начальной точки не должна быть занята только нулями. Это правило нарушается в выбранной нами начальной точке $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$, так как в двоичной записи ее координат на третьем месте после запятой стоят одни лишь нули (и ни одной единицы). В сочетании с условием $x+y+z=1$ это означает, что на каждом месте двоичной записи координат $x, y$ и $z$ удачных начальных точек, т.е. точек, принадлежащих ковру Серпинского, должны стоять одна единица и два нуля.

Здесь существует удивительно красивая аналогия с троичным представлением канторова множества (стертой средней трети), которое содержит только нули и двойки, но не содержит единиц. Действительно, существует весьма тесная взалмосвязь между арифметическими представлениями ковра Серпинского и конструкции Кантора: первая отсутствующая единица канторова числа (на первом месте после «троичной запятой») соответствует стиранию средней трети $(1 / 3,2 / 3$ ) единичного отрезка. Единица, отсутствующая на втором месте после троичной запятой, соответствует последующему исключению двух интервалов $(1 / 9,2 / 9)$ и $(7 / 9,8 / 9)$ и т.д.

Что означает геометрически отсутствие трех нулей в одной и той же позиции двоичного представления ковра Серпинского? Три нуля на первом месте после двоичной запятой означали бы, что ни $x$, ни $y$, ни $z$ не превосходят $1 / 2$. На геометрическом языке это означает, что соответствующая точка принадлежит центральному перевернутому треугольнику, т.е. белому треугольнику на рис. 14 , который, таким образом, должен быть исключен. Так и происходит в действительности на первом этапе построения ковра Серпинского. Можно было бы даже утверждать, что единица на месте первого двоичного знака после запнтой в координатах $x, y$ или $z$ означала бы, что соответствующан координата больше (или равна) $1 / 2$. Геометрически это значит, что точка принадлежит одному из трех темных треугольников на рис. 14.

А чему соответствовали бы геометрически три нуля во втором двоичном знаке после запятой? Как покєзывает небольшое «треугольное» рассуждение, эти три нуля соответствуют перевернутым треугольникам размером в одну четверть исходного треугольника, вырезанным из середины трех темных треугольников половинного размера, оставшихся после первой операции вырезания центрального треугольника. В общем случае три нуля на $n$-ом месте после двоичной запятой соответствуют вырезанию $3^{n-1}$ перевернутых треугольников со сторонами длиной $2^{-n}$ из $3^{n-1}$ неперевернутых треугольников, оставшихся после $k-1$ операций вырезания центральных перевернутых треугольников. Таким образом, двоичная запись ковра Серпинского знак за знаком соответствует этапам геометрического построения ковра. Два описания – арифметическое и геометрическое – эквивалентны.

Верной точкой Серпинского является, например, точка $(1 / 3 ; 2 / 3 ; 0)=$ $=(0,(01) ; 0,(10) ; 0)$, лежащая на левсй боковой стороне треугольника на расстоянии одной трети от левой нижней вершины. Под действием нашего отображения удвоения расстонния эта точка переходит в точку $(2 / 3 ; 1 / 3 ; 0)$ и наоборот, образуя шикл с периодом 2 , что ясно и из геометрических построений и из того, что дроби $1 / 3$ и $2 / 3$ в двоичной системе записываются в виде бесконечных периодических дробей с периодом из двух знаков.

Существуют ли периодические точки с периодом 3? Если такие точки существуют, то наше отображение должно оставаться эквивалентным при повороте на $120^{\circ}$. Чтобы найти такие точки, нам необходимо просто рассмотреть двоичные дроби с периодом из трех знаков. Легко убедиться, что точкой с периодом 3 является, например, точка $(0,(010) ; 0,(001) ; 0,(100))=(2 / 7 ; 1 / 7 ; 4 / 7)$, отмеченная на рис. 14 звездочкой. Порождаемому этой точкой циклу принадлежат две другие точки $(4 / 7 ; 2 / 7 ; 1 / 7)$ и $(1 / 7 ; 4 / 7 ; 2 / 7)$, в которые точка $(2 / 7 ; 1 / 7 ; 4 / 7)$ переходит при одно- и двукратном повороте на $120^{\circ}$ против часовой стрелки. Кроме названного, существует лишь один цикл с периодом 3 . Он получается из первого, если поменять местами две координаты, т.е. начать, например, с точки $(1 / 7 ; 2 / 7 ; 4 / 7$ ), которая при поворотах на $120^{\circ}$ по часовой стрелке дает последовательно точки $(2 / 7 ; 4 / 7 ; 1 / 7)$ и $(4 / 7 ; 1 / 7 ; 2 / 7)$.

Периодические точки существуют для периодов любой длины. Например, точка $(1 ; 0 ; 0)$ – верхняя вершина треугольника – имеет период 1 , т. е. нвляетсн неподвижной почкой. То же самое можно сказать и о двух других вершинах треугольника. В дальнейшем мы еще встретимся с этим сценарием и аналогичными отображениями, и выведем формулу для различных циклов с периодом данной длины. (При выводе этой формулы используется, в частности, функиия Мёбиуса из теории чисел – функция, о разнообразных применениях которой в высшей математике вы, вероятно, наслышаны. Функция Мёбиуса «перекручивает все вокруг себя» подобно тому, как это делает гораздо лучше известный лист Мёбиуса.)

По правилам игры, образ точни в игре Серпинского (называемый точкой Серпинского) также является точкой Серпинского. Следовательно, точки Серпинского образуют то, что называется инвариантным множеством отображения: раз назвавшись точкой Серпинского, останешься точкой Серпинского навсегда. Если в качестве начальной вы выбираете точку Серпинского с иррациональными координатами, то ее цикл может выглядеть совершенно хаотическим, однако последовательность точек-образов полностью определяется значениями координат начальной точки. Именно поэтому такое поведение, весьма распространенное в природе, называется детерминированным хаосом: правила «игры» однозначно определены, но ее исход в высшей степени непредсказуем, поскольку по иронии судьбы вещественный мир не признает огромного большинства вещественных чисел, а именно чисел, задание которых требует бесконечной точности.

Хаос, вызываемый движением трех тел

Поражаешься сложности этой фигуры, котсрую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не дает нам более ясного предстаєления о сложности задачи трех тел и вооще задач динамики, не имеющих одноэначного решения.
АНРИ ПуАНКАРЕ

Более привлекательное свойство точек Серпинского состоит в том, что все они являются отталкивающими точками, или репеллерами, т. е. точка, сколь угодно близкая к точке Серпинского, не перейдет под действием нашего отображения в точки, близкие к образам исходной точки Серпинского, не говоря уже о том, чтобы притягиваться к ним. Напротив, образы точки, сколь угодно близкой к точке Серпинского, будут удаляться от соответствующих образсв точки Серпинского. Более того, расходимость расстояний будет экспоненциальной. Читатель, обладающий доступом к персональному (или неперсональному) компьютеру, может убедиться в этом самостоятельно. Нетрудно понять, с чем связана экспоненциальная расходимость: она обусловлена тем, что наше отображение соответствует сдвигу влево двоичных знаков, «кодирующих» координаты точек. Сдвиг влево приводит к тому, что первый «ошибочный» бит рано или поздно становится первым знаком после запятой. Это означает, что начальное различие, сколь бы малым оно ни было, со временем оказывается увеличенным до размера, равного половине высоты треугольника. После этого последующие биты становятся случайными ошибками: движение первоначально почти периодической точки становится хаотическим. В действительности, этот простой пример содержит то, что составляет самую суть хаоса, и полностью согласуется с определением хаоса: малые начальные ошибки растут экспоненциально и становятся с некоторого момента доминирующими в любом регулярном движении.

Хаотическое движение распространено в природе гораздо шире, чем регулярное, хотя мы можем все еще не знать об этом [277]. Ученые «присяжные» еще не вынесли своего вердикта относительно того, не является ли планетное движение – воплощение регулярности – хаотическим на больших временных интервалах. Плутон и еще несколько небесных тел уже находятся под подозрением как тела, вызывающие хаос

Рис. 16. Ламинарное и турбулентное течение струйки сигаретного дыма.

(или страдающие от него). Струйка дыма, поднимающаяся в спокойном воздухе от неподвижно лежащей сигареты, сначала образует регулярный (ламинарный) поток, а затем, всего лишь в нескольких дюймах над пепельницей, ламинарное течение сменяется турбулентными клубами (рис. 16). А что произойдет, если две звезды («двойная звезда»), обращающиеся вокруг друг друга по эллиптическим орбитам (послушные детки!), столкнутся с третьей звездой? Их регулярное движение сменится совершенно хаотическим (см. цветную вклейку 1A). Однако, как и в случае человеческого (любовного) треугольника, через некоторое время какие-то две звезды могут снова образовать пару и выйти на регулярную орбиту (как это показано на вклейке 1A). Но в хаотической неразберихе, возникающей при столкновении трех тел, один из членов первоначальной пары может поменять партнера (см. вклейку 1Б).

Разумеется, закон всемирного тяготения Ньютона, которому подчиняются движения наших трех небесных тел, является совершенно детерминированным. Но отдаленная судьба трех партнеров может весьма чувствительно зависеть от их начальных положений и скоростей. Здесь перед нами еще один случай детерминированного хаоса. Устойчивость (на бесконечном промежутке времени) движений планет нашей солнечной системы, в том числе и Земли, общего космического корабля всего человечества, пока строго не доказана, даже без учета вмешательства со стороны Немезиды, темной и далекой гипотетической сестры нашего Солнца.

Нам еще предстоит неоднократно встретиться с другими примерами детерминированного хаоса, столь тесно связанного с самоподобием, на страницах этой книги. А ненасытного читателя, который уже пристрасился к идее детерминированного хаоса и захочет узнать о нем побольше, мы отошлем к недавнєму бестселлеру Джеймса Глейка «Хаос» $[82]$.

Странные аттракторы, их области притяжения и игра в хаос

Детерминизм, подобно английской королеве, царствует – но не правит.
МАЙКЛ БЕРРИ

Обратимся теперь к обратному отображению игры сэра Пинского (см. с. 46-52) и попытаемся выяснить, не таит ли оно в себе какихнибудь сюрпризов (а может, попробуем извлечь из него один-два полезных урока). Как правило, существует несколько причин для более внимательного рассмотрения обратных отображений. Одна из них состоит в том, что репеллеры превращаются в аттракторы (и наоборот). Возникают и новые понятия, такие, как области притяжения и странные аттракторы.

В обратном отображении сэра Пинского, мы снова выбираем точку внутри (или снаружи) равностороннего треугольника, не удваиваем, а делим пополам расстояние от точки до самой далекой вершины. Мы можем быть вполне уверены в том, что деление расстояния пополам не приведет к взрывной расходимости. Однако в каких же точках мы сойдемся при таких условиях?

Прежде всего напомним, что в игре сэра Пинского точка Серпинского всегда остается точкой Серлинского, а поскольку отображение удвоения расстояния имеет единственное обратное ему (за исключением точек, находящихся на равном расстоянии от двух или всех трех вершин треугольника), то же оствется справедливым и относительно обратного отображения.

А что произойдет со всеми остальными точками внутри треугольника? Арифметически обратное отображение выглядит следующим образом. Если $x$ – наименьшан коорината (т. е. если вершина $x$ – наиболее отдаленная из вершин), то образом точки ( $x, y, z)$ при обратном отображении является точка $((1+x) / 2, y / 2, z / 2)$. В двоичной записи деление на 2 означает сдвиг на один знак вправо, а при прибавлении $1 / 2$ справа от двоичной запятой вставляется единица.

Начнем с точки, не являющейся точкой Серпинского, например, с точки $(1 / 8 ; 1 / 4 ; 5 / 8)=(0,001 ; 0,010 ; 0,101)$, и проследим за ее орбитой. По нашим правилам, она отобразится в точку $(0,1001 ; 0,001 ; 0,0101)$, которая, в свою очередь, отобразится в точку $(0,01001 ; 0,1001 ; 0,00101)$ и т. д. Заметьте, что каждый раз в результате отображения мы вставляем ровно одну единицу и два нуля на первое место после двоичной запятой. С каждой новой итерацией отображения эта тройка передвигается на один двоичный знак вправо. Следовательно, независимо от того, с какого места начали, мы асимптотически приближаемся к числу Cерпинского, имеющему ровно одну единицу в каждой двоичной позиции всех трех координат. (Если бы мы с самого начала выбрали точку Cерпинского, то, разумеется, и в дальнейшем не покинули бы множество Серпинского.)

В действительности мы сходимся в одном из двух циклов с периодом 3 (в цикле, состоящем из точки $(0,(001) ; 0,(010) ; 0,(100))$ и двух ее последовательных образов, или в цикле, состоящем из точки $(0,(001) ; 0,(100) ; 0,(010))$ и двух ее последовательных образов). К какому из двух циклов мы придем, зависит от координат начальной точки (составляют ли упорядоченные значения координат четную или нечетную перестановку координат $x, y, z)$.

Помимо прочего, это обстоятельетво также можно использовать в игре, в которой требуется как можно точнее предсказать, где окажется, например, двенадцатая итерашия, исходя из грубого начального приближения. Если для начальной точки выполняются неравенства $x_{0}>y_{0}>z_{0}$, то после $3 n$ итераций ее образ приблизится к периодической точке с периодом 3 , для которой будут выполняться неравенства $x>y>z$, а именно, к точке $(0,(100) ; 0,(010) ; 0,(001))$, с погрешностью менее $2^{-3 n}$ (начальная точка находится внутри треугольника). Эта периодическая точка является аттрактором для сектора с раствором в $60^{\circ}$, задаваемом неравенствами $x>y>z$ (с вершиной в центре фигуры, изображенной на рис. 14); а сєктор представляет собой область притяжения трехкратно итерированного обратного отображения сэра Пинского. Пять остальных периодических точек с периодами 3 имеют своими областями притяжения остальные пять секторов по $60^{\circ}$. Границами между этими областями служат гладкие (более того – прямые) линии – в отличие от фрактальных границ многих других областей, с которыми нам еще предстоит познакомиться.

Обратная игра сэра Пинского сродни «игре», называемой игрой в ха$o c$. Эту игру придумал Майкл Барнсли, а описание ее можно найти в сравнительно недавно изданной книге «Фракталы повсюду» [19]. В игре Барнсли игроки по очереди бросают трехгранную кость, на гранях которой стоят буквы $x, y, z$, и в зависимости от результата броска делят пополам расстояние от точки, заранее выбранной внутри данного треугольника, до соответствующей вершины, т.е. вершины, помеченной той буквой, что стоит на выпавшей грани. (Придумать конструкцию трехгранной кости мы оставляем читателю в качестве упражнения.) Вместо кости с тем же успехом можно использовать любой генератор случайных чисел с тремя возможными исходами.

Что же представляет собой область притяжения игры в хаос? Оказывается, она имеет форму ковра Серпинского (аффинно преобразованного, если треугольник не равносторонний)! Доказательство следует непосредственно из проведенного нами анализа игры сэра Пинского. Однако орбита любой начальной точки по мере приближения ее итераций к аттрактору становится совершенно хаотической. Такой аттрактор, состоящий из бесконечного, подобного канторову, множества точек, называется странным аттрактором – етранным потому, что известные нам аттракторы либо состояли из отдельных точек (неподвижные точки), либо из конечного набора точек (периодические орбиты), либо из непрерывных многообразий, порождающих периодические или апериодические орбиты.

Странные аттракторы встречаются во многих нелинейных физических, химических и биологических системах, «неинтегрируемых» и поэтому демонстрирующих в высшей степени непредсказуемое хaoтическое поведение. Славно интегрируемые примеры, обычно приводимые в учебниках, являются в действительности единичными исключениями: реальный мир за страницами учебников, включающий «аттракторы» романтического характера, остается во многом непредсказуемым на своем пути по орбитам странных, иногда даже очень странных аттракторов.

Впрочем, не все потеряно; в реєльном мире еще не царит полный хаос. Странные аттракторы часто обладают упорядоченной структурой: подобно ковру Серпинского, они самоподобны, точно или приближенно. Они имеют фрактальные размерности и содержат важные путеводные нити для наших попыток понимания таких хаотических систем, как, например, погода.

Странные атракторы в последнее времн нашли еще одно поразительное применение. В своей книге «Фракталы повсюду» Барнсли показал, что многие обычные изображения, черно-белые или цветные, можно аппроксимировать с помощью наложения странных аттракторов, подвергнутых ограниченному числу аффинных преобразований, каждое из которых случается с заданной вероятностью. Аффинное преобразование на плоскости определяегся поворотом, преобразованием подобия (скейлингом) и сдвигом по наждой из двух координат. Поскольку аффинные преобразования на плоскости, таким образом, полностью определяются шестью вещественными числами, то вся картинка может быть задана некоторым целым числом, кратным семи, например, $7 \cdot 13=91$ числом $^{1}$.

Чтобы лучше понять аппроксимацию изображений странными аттракторами, заметим прежде всего, что ковер Серпинского состоит из трех треугольных областей, каждан из которых есть образ всего ковра
${ }^{1} \mathrm{~B}$ теории чисел число 91 пользуется некоторой юмористической известностью как наименьшее составное число, которое выглядит как простое по той лишь причине, что не существует простого правила (кроме деления) для распознавания двух его простых множителей. Заметим, однако, что $91 \cdot 11=1001$, поэтому делимость чисел, бо́льших тысячи, на 7,11 и 13 можно проверять, вычитая из них соответствующее кратное числа 1001. Например, 9399 делится на 13 потому, что на 13 делится число 390 .

при сжимающем аффинном преобразовании. (Сжимающее преобразование уменьшает расстояние между любыми двумя точками.) Геометрически такие аффинные преобразования соответствуют перемещению точки вдоль прямой с целью сократить вдвое расстояние от нее до одной из трех вершин ковра Серпинского. Арифметически преобразования задаются вписыванием единицы после двоичной запятой в одной из координат $x, y$ или $z$ и нуля в каждой из двух оставшихся координат при сдвиге всех двоичных цифр точки $(x, y, z)$ на один знак вправо.

Чтобы построить весь ковер, мы выбираем произвольную начальную точку $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ где-то вблизи ковра и наугад одно из трех преобразований – поворот, преобразование подобия или сдвиг – и получаем точку $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$. При последующих отображениях эти три преобразования выбираются независимо с заданными вероятностями $p_{1}, p_{2}$ и $p_{3}$.

Из правила вписывания единиц и нулей ясно, что образы точек подступают все ближе и ближе к точкам Серпинского, т.е. к элементам ковра. Из-за случайности выбора различных отображений точки сгущаются не по «периодической колеє», а беспорядочно «прыгают» и постепенно «высвечивают» весь ковер.

В случае равных вероятностей, или при $p_{1}=p_{2}=p_{3}=1 / 3$, каждая из трех частей ковра посещается с одинаковой веронтностью. Выбиран другие значения $p_{k}$, мы можем добиваться различных степеней освещенности или затененности для различных частей аттрактора.

Описанный выше процесс получения изображений допускает следующее обобщение. Вместо того чтобы выбирать три вершины равностороннего треугольника, мы можем вырорать любые три точки на плоскости. Более того, мы можем задать любое число совершенно общих аффинных преобразований – каждое со своей собственной вероятностью быть выбранным. Но даже учитывая все эти обобщения, нельзя не удивляться тому, что данный «странно притягательный» ${ }^{1}$ метод позволяет воспроизводить вполне реалистичные естественные изображения при числе параметров меньше 100.

Высокоэффективный метод сжатия графических данных с помощью систем итерированных функций, как назвал этот метод Барнсли, представляется поразительно многообещающим, как только будет обеспечена достаточная вычислительная поддержка, необходимая для такого аттракторного разложения изображения. На вклейке 2 показано изображение, полученное этим способом.
${ }^{1}$ В оригинальном тексте игра слов – сэ. англ. attractive («притягательный») и attractor («аттрактор») (см. также прим. на с. 20). – Прим. перев.

Перколяционные случайные фракталы

Ковер Серпинского служит примером двумерного детерминированного фрактала. Выбирая точку внутри треугольника, из которого вырезан ковер, мы сразу же знаем, принадлежит ли она фрактальному множеству или «проваливается в щели». Многие рукотворные фракталы, наподобие ковра Серпинского, привлекательны с визуальной и интригующи с алгебраической точки зрения. Однако большинство природных фрактальных объектов лучше всего моделируются случайными фракталами, порождаемыми стохастическими процессами. Среди многих явлений, рассмотренных с точки зрегия случайных фракталов, упомянем распространение эпидемий и лесных пожаров. Другими примерами таких фракталов могут служить случайные резисторные цепи, полимерные связи и, вероятно, льдины, дрейфующие в Беринговом море.

Рис. 17. Квадратная решетка со случайно занятыми узлами ниже порога перколяции.

Чтобы изложить суть дела как можно проще и яснее, рассмотрим большую квадратную решетку, узлы которой «заняты» независимо друг от друга некоторыми объектами с вероятностью $p<1$ (рис. 17). В роли таких объектов может выступать что угодно – деревья, люди, атомы или что-нибудь еще (не важно что). Доля не занятых («пустых») узлов решетки равна 1 – p. Важный вопрос заключается в следующем: образуют ли занятые узлы непрерывный путь от нижнего края решетки до верхнего? Под непрерывным мы понимаем путь, соединяющий один занятый узел решетки с соседним занятым узлом решетки. (Соседями данного узла считаются узлы, расположенные в непосредственном соседстве от него к северу, югу, востоку или западу.) Если такой путь существует, то говорят, что решетка перколирует (от латинского percolare – «протекать, течь сквозь»). Представьте себе кофейное ситечко, в котором занятые ячейки заполнены воздухом, а «пустые» кофейной гущей; вода, налитая в такое ситечко, перколирует сквозь кофе.

Наименьшая плотность $p$ занятых узлов, при которой бесконечная решетка перколирует, называетсн критической плотностью, или порогом перколяции $p_{c}$. Несмотря на столь простое определение, точный порог перколяции для узлов квадратной решетки все еще не установлен. Как показали массированные расчеты по методу МонтеКарло, $p_{c} \approx 0,59275$. По мере тог, как для вычисления $p_{c}$ используются все более мощные компьютеры, количество десятичных знаков увеличивается.

Помимо перколяции по узлам существует перколяция по связям: все узлы решетки считаются занятыми, а между соседними узлами с вероятностью $p<1$ возникают «связи» Вероятность отсутствия связи равна $1-p$. Здесь перколяция означает непрерывный путь из связей от одного края решетки до другого. Порог перколяции связей для бесконечной квадратной решетки установлен точно: $p_{c}=0,5$. Однако для доказательства этого, на первый взгляд «невинного», результата понадобилось два десятилетия компьютерного моделирования и теоретического анализа. Итак, в больших случайных сетях, состоящих из размещенных на квадратной решетке резисторов, между противоположными сторонами решетки может течь электрический ток, если проводниками являются по крайней мере половина возможных связей. Резисторы, через которые течет ток, называются остовом кластера, а остальные болтающимися связями.

При достижении порога перколяции ( $p \approx 0,5927$ для квадратной решетки) занятые узлы бесконечной решетки образуют кластеры всех размеров из связанных между собой узлов. Распределение кластеров по размерам следует простому степенному закону: число $n(s)$ кластеров, содержащих $s$ занятых узлов, пропорционально $s^{-\tau}$, где $\tau=$ $=187 / 91=2,(054945)$ (для квадратной решетки) [249]. Степенной закон $n(s) \sim s^{-\tau}$ означает, что отношение числа кластеров одного размера к числу кластеров другого размера зависит не от их размеров $s$, а лишь от отношения размеров.

Рис. 18. Квадратная решетка с вероятностью занятия узлов, равной порогу перколяции. Встречаются кластеры различных размеров, образующие статистически самоподобную картину.

На рис. 18 показаны кластеры различных размеров – от пары узлов $(s=2)$ до «перекрывающего кластера», простирающегося от нижнего края решетки до верхнего. На большой решетке – например, в 10 раз большей, чем изображенная на рис. 18 , – распределение кластеров было бы таким же за исключением того, что кластеры стали бы крупнее. Таким образом, перколяционные кластеры самоподобны, или независимы от масштаба, на интервале от шага решетки до размера всей решетки. Однако ниже порога перколяции верхняя граница размера, при котором сохраняется самоподобие, совпадает не с размером решетки, а с корреляиионной длиной $\xi$, определяемой как расстояние, при котором вероятность принадлежности двух узлов к одному и тому же кластеру убывает до $1 / e \approx 0,368$. На расстояниях, меньших корреляционной длины $\xi$, занятые узлы образуют фрактал; на расстояниях, больших $\xi$, превалирует евклидова геометрия, а число занятых узлов равно $M(R) \sim R^{d}$, где $d$ – евклидова размерность вложения. При достижении порога перколяции корреляционная длина $\xi$ обращается в бесконечность, и вероятность того, что два узла, даже при сколь угодно большом расстоянии между ними, принадлежат одному и тому же кластеру, ограничена снизу и не достигает нуля.

Будучи самоподобными фрактагами, перколяционные кластеры должны иметь фрактальные размерности. Первая размерность, которая приходит на ум в этой связи, – так называемый массовый показатель $D_{m}$, указывающий, сколько занятых узлов («масе») находится в круге радиуса $R: M(R) \sim R^{D_{m}}$. Разумеется, для евклидовых объектов показатель $D_{m}$ равен евклидовой размерности; например, для сплошного диска площадь $M(R)=\pi R^{2}$, иначе говоря, $D_{m}=2$. Но для фракталов $D_{m}$ обычно меньше, чем евклидова размерность пространства (называеман также размерностью вложения), в котором существует фрактал (в которое он вложен). Например, для троичного канторова множества доля $M(R)$ множества, попавшая внутрь круга радиуса $R$, возрастает в среднем пропорционально $R^{0,63}$, т. е. показатель $D_{m}$ равен размерности Хаусдорфа $D_{H}=\ln 2 / \ln 3 \approx 0,63$. Аналогично, для двумерного ковра Серпинского $M(R) \sim R^{1,58}$; т. е. показатель $D_{m}$ снова равен размерности Хаусдорфа $D_{H}=\ln 3 / \ln 2 \approx 1,58$.

Чему равен массовый показатель для перколяционного кластера на двумерной решетке? Теория дает значение $D_{m}=91 / 48=1,8958(3)$, находящееся в хорошем согласии с лучшими результатами, полученными с помощью численного моделирования [249].

Целое число 91, входящее в чис.енные значения $\tau$ и $D_{m}$, наводит на мысль о том, что между $\tau$ и $D_{m}$ существует какая-то взаимосвязь. Она действительно существует и имеет вид: $\tau-1=2 / D_{m}$. Через некоторое время мы еще вернемся к интересным соотношениям между характеристическими показателями (в гл. 15 – о перколяции и в гл. 16 – о фазовых переходах). В гл. 10 мы увидим, что во многих случаях массовый показатель равен корреляционной размерности $D_{2}$ одной (весьма, кстати, важной) из размерностей в бесконечной иерархии фрактальных размерностей.

Степенные законы: от Альвареса до Ципфа

Однородные степенные законы (например, открытый Ньютоном закон всемирного тяготения $F \sim r^{-2}$ ) в изобилии встречаются в природе – как в живой, так и в неживой. Поскольку однородные степенные законы при изменении масштаба остаются однородными степенными законами с тем же самым показателем ( -2 в случае закона Ньютона), такие законы по определению самоподобны. Иначе говоря, закон Ньютона справедлив независимо от значения величины $r$ – от длины волны света до светового года, т. е. закон всемирного тяготения не имеет собственного, «встроенного», масштаба. Мы могли бы сжать или растянуть гравитирующую вселенную Ньютона по своему усмотрению, если бы у нас возникло такое желание ${ }^{1}$.

Тот же закон обратных квадратов, которому подчиняется тяготение, описывает и убывание мощности радарного сигнала с расстоянием. Этим простым фактом часто пользовались во время второй мировой войны немецкие подводные лодки. Измеряя скорость увеличения интенсивности сигнала, они оценивали быстроту приближения авиации противника и успевали погрузиться прежде, чем вражеские самолеты могли их атаговать.

Такая тактика великолепно работала на гросс-адмирала Карла Дёница до тех пор, пока американский физик Луис Альварес (19111988) не изобрел хитроумное устройство, получившее кодовое наименование «Виксен» ${ }^{2}$. Альварес предложил уменьшить интенсивность радарного сигнала настолько, чтобы она была пропорциональна кубу расстояния до подводной лодки. В результате при приближении самолета к ничего не подозревающей подводной лодке, интенсивность радиосигнала падала, создавая у моряков ложное впечатление, будто самолет удаляется. Идея была великолепна! (Для атакующего же самолета интенсивность принятого сигнала, отраженного от подводной лодки, возрастала по мере приближения к цели [4].) $)^{3}$
${ }^{1}$ Впрочем, недавно на неограниченную применимость закона Ньютона все же была брошена тень сомнения. Похоже, некая все еще таинственная «пятая сила» потрясает самые основы ньютоновских построений и выводов, добавляя члены, вносящие естественный масштаб длины порядка нескольких сотен метров [7]. При очень малых величинах $r$ действие закона Ньютона ограничивается планковской длиной $\left(10^{-35} \mathrm{M}\right)$, что напоминает нам о том, что гравитацию необходимо, наконец, должным образом квантовать и наделить неопределенностью.
${ }^{2}$ Vixen (англ.) – «лисица». – Прим. перев.
${ }^{3}$ Предложенная Альваресом хитрость наводит на мысли о «повелителе мира» Чингиз-хане и о коварной тактике, применяемой воинами Золотой Орды. Броса-

Еще один широко известный пример однородного степенного закона – соотношение между площадью $A$ подобных плоских фигур и их диаметрами, периметрами или любыми другими характеристическими линейными размерами $l$ : площадь пропорциональна квадрату линейного размера $l$, т.е. $A \sim l^{2}$. Разумеется, для площадей на кривых поверхностях это неверно: радиус кривизны привносит масштаб длины, который разрушает истинность вышеприведенного соотношения «во всех подобиях». Например, как всем известно, расстояния и площади на поверхности сферы ограничены некоторой максимальной величиной, задаваемой радиусом сферы.

В отличие от гравитации, межатомные силы принято моделировать неоднородными степенными законами по крайней мере с двумя показателями. Такие (и экспоненциальные) законы зависят от масштаба; они непременно вводят характеристический размер, связанный с размерами атомов.

Степенные законы описывают и спектры мощности всевозможных шумов. Самый загадочный из них – вездесущий (хотя иногда и труднообъяснимый) фликер-шум $1 / f$ (где $f$ – частота). Например, шум, наблюдаемый во многих полупроводниковых приборах, не является ни «белым» (т.е. независимым от часто\”), ни «коричневым» (с зависимостью $1 / f^{2}$, как при броуновском движении ${ }^{1}$ ), а имеет некоторый промежуточный показатель, вследствие чего его иногда называют $p o$ зовым шумом. При акустических исследованиях предпочтение отдается опять же розовому шуму, так как его мощность постоянна в интервале октавы (а не герца) и поэтому хорошо соответствует шкале частот внутреннего уха.

Как мы увидим на протяжении нашего экскурса в мир фракталов, показатели степенных законов не обязательно должны быть целыми. Они вполне могут быть (и часто бывают) дробными.

Неудивительно, что мы обнаруживаем однородные степенные законы не только в неорганическом мире. Такие законы «присущи» и живой природе, и, в частности, человеческому восприятию. Так, в весьма широком диапазоне амплитуд звуковых сигналов субъективная громкость $L$ пропорциональна физической интенсивности звука $I$ в степени три десятых: $L \sim I^{0,3}$. Это означает, что для увеличения громкости

ясь наутек от преследователей, всадники Чилгиз-хана в действительности позволяли тем приблизиться, после чего внезапно вставали на стременах, поворачивались назад и обрушивали град стрел на онемевшего от изумления противника.
${ }^{1}$ Английское слово brown («коричневый») совпадает по написанию с фамилией Броун (Brown). – Прим. перев.

своей музыки вдвое рок-группа из пяти музыкантов должна увеличить свою численность в десять раз, т.е. довести ее до 50 участников (при условии, что «выходная мощность» каждого музыканта останется на прежнем уровне). (Эти несложные подсчеты объясняют просто кричащее пристрастие «производителей» поп-музыки к электронным усилителям.)

По той же причине, если мы хогим уменьшить вдвое громкость непрерывного грохота от шоссе с напряженным движением, то интенсивность акустического шума необходимо уменьшить в десять раз! Сделать это не так трудно, как может показаться, по крайней мере с чисто физической точки зрения: шуршание шин (основной виновник дорожного шума при постоянных скоросгях движения) резко идет на убыль при снижении скорости движения. Интенсивность шума приближенно пропорциональна четвертой степени скорости.

С другой стороны, десятикратное повышение средней интенсивности дорожного шума, вызванное десятикратным увеличением плотности дорожного движения, может привести к стократному увеличению потока жалоб со стороны раздраженных окрестных жителей: один грузовик, грохочущий каждые 5 минут, еще вполне терпим, но рев и грохот каждые 30 секунд превратили бы жизнь людей в кошмар и сделали бы заведомо невозможным любой зазговор на открытом воздухе. Сказанное о грузовых автомобилях в полной мере относится и к низко летнщим самолетам.

Степенные законы широко распространены и в экономике. Почти сто лет назад итальянский экономист Вильфредо Парето (1848-1923), работая в Швейцарии, обнаружил, что число людей с доходом, превышающим некоторую большую величину, следует простому степенному закону $[190,156]$. Другие примеры степенных законов в экономике и логические ошибки, основанных на них экономических схем, были проанализированы Мандельбротом [157, 158].

Одним из наиболее удивительных примеров степенных законов в гуманитарных науках может служить закон Ципфа, определяющий зависимость между рангом слова и частотой слова для многих натуральных языков. (Под словом ранга $r$ понимается слово, стоящее на $r$-м месте в списке слов данного языка, расположенных в порядке убывания частоты их употребления.) Закон, сформулированный Джорджем Кингсли Ципфом (1902-1950), гласит, что относительная частота слова $f$ в данном тексте в очень хорошем приближении обратно пропорциональна рангу слова $r$ :
\[
f(r) \approx \frac{1}{r \ln (1,78 R)}
\]

где $R$ – общее число различных слов [285]. Законы, подобные закону $f(r) \sim 1 / r$, называются гиперболическими законами. Например, если предположить для английского языка $R=12000$, то относительные частоты слов высокого ранга (the, of, and, to и т. д. в порядке убывания рангов) приближенно равны 0,$1 ; 0,05 ; 0,033 ; 0,025$ и т. д.
Ранг слова
Рис. 19. Частота слова как функция ранга слова (по закону Ципфа).
На рис. 19 показано, насколько точное соответствие наблюдается между однородным степенным законом Ципфа и экспериментальными данными. Создатель теории информации Клод Шеннон использовал закон Ципфа для вычисления энтропиу. источника английского текста, порождающего слова независимо, с вероятностями (частотами) Ципфа [236]. Энтропия такого источника определяется приближенно следующим выражением:
\[
H=\frac{1}{2} \log _{2}(2 R \ln 2 R) \quad \text { битов на слово. }
\]

При $R=12000$ мы получаем $H \approx 9$ битов на слово, в то время как $R=$ $=300000$ приводит к энтропии около 11,5 битов на слово. Разумеется, приведенные значения указывают лишь верхнюю границу энтропии, так как слова (пусть даже и независимые от действий) зависят друг от друга (за исключением, разве что, слов в произведениях так называемой случайной поэзии). Взаимозависимость слов в осмысленном тексте (их «избыточность») приводит к уменьшению энтропии.

Если учесть, что средняя длина английского слова составляет 4,5 буквы, или 5,5 «символов», в число которых входит и пробел между словами, то легко заметить, что энтропия английского текста составляет приблизительно 2 бита на символ.

Из гиперболического закона Ципфа, применимого не только к языку как таковому, но и к языку отдельных писателей, вытекают некоторые весьма любопытные следствия. Знаете ли вы, например, что у хорошего писателя с активным словарем примерно в $R=100000$ слов «верхние» 10 слов (т.е. слов наивысшего ранга) занимают 24 процента текста, тогда как в более примитивном английском (basic English), на котором изъясняется большинство газет, со словарем в десять раз меньшим ( $R=10000$ ) доля наиболее часто употребляемых слов лишь немногим больше (около 30 процентов)? Разумеется, любому писателю трудно избежать таких слов, как the, of, and и to.

Ципф попытался вывести свой закон из анализа текста собственного трактата «Человеческое поведение и принцип наименьшего усилия» (1949). Однако Мандельброт в одной из своих ранних работ показал, что обезьяна, случайным образом барабанящая по клавишам пишущей машинки, также создает «язык», подчиняющийся гиперболическому закону Ципфа [155]. Вот вам и наименьшее усилие в применении к лексикографии!

Подробный анализ показывает, что если на клавиатуре пишущей машинки, на которой «печатает» обезьяна, имеется $N$ равновероятных клавиш с буквами и одна клавиша для пробела (с вероятностью $p_{0}$ ), то порождаемые обезьяной слова (определяемые как последовательности букв между пробелами) имеют относительные частоты
\[
f(r) \sim r^{\frac{-1+\ln \left(1-p_{0}\right)}{\ln N}} .
\]

При $N=26$ и $p_{0}=1 / 5$ показатель величины $r$ равен $-1,068$, что лишь слегка меньше, чем -1 . В общем случае обезьяньи слова можно моделировать как канторово множество с фрактальной размерностью $D$, равной величине, обратной поназателю дроби $1 / r$. В нашем приmepe
\[
D=\frac{1}{\frac{1-\ln \left(1-p_{0}\right)}{\ln N}} \approx 0,936 .
\]

Для алфавита из 9 букв и $p_{0}=110$ показатель равен $-1,048$, что соответствует канторовой «пыли» с $D \approx 0,954$. Арифметической моделью для слов (бесконечно большого количества слов) такого девятибуквенного «языка» служат все десятичные дроби между 0 и 1 , в записи которых после запятой не встречается ни одного нуля (не считая нулей на концах конечных дробей).

Вот несколько «трехбуквенных» слов такого языка: 0,$141 ; 0,241$; 0,$643 ; 0,442 ; 0,692 ; 0,121$. А вот дробл 0,$103 ; 0,702 ; 0,0(3)$ словами не являются, так как содержат нуль пос.е десятичной запятой.

у такого рода языков не существует среднего ранга, но медианный ранг слов нашего «образцово-показательного» языка имеет поразительное значение: 1895761 . Иначе говоря, лишь отсчитав от начала его частотного словаря 1895761 слов, мы достигнем слова, встречающегося с вероятностью $1 / 2$. (Для сравнения: медианный ранг английского текста находится между 100 для типичной газетной статьи и 500 для произведения высокообразованного писателя.) Таким образом, обезьяна, неукоснительно придерживаясь закона Ципфа, создает весьма многословный (и многосложный) язык.

Обезьяний язык обладает еще одной, не менее удивительной, «речевой патологией»: построить для него словарь оказывается невозможным, поскольку его слова образуют несчетное канторово множество. (Мы, возможно, не откажемся пользоваться даже бесконечно толстым словарем, лишь бы статьи в нем располагались последовательно, но не потерпим несчетного нагромождения слов.)

Но если обезьяний язык имеет фрактальную размерность, то обладает ли он какими-нибудь самоподобиями? Несомненно, обладает. УМножим все слова этого «десятичного языка» на 10 и отбросим целую часть (или просто отбросим самую левую «букву» каждого слова). У нас получится еще один обезьяний язык (и скорее всего, на нем можно будет писать столь же бессмысленные предложения). Можно сказать, что слова такого рода языков растут на самоподобных деревьях: выберите любую ветвь, как бы высоко она ни росла и как бы мала ни была, и она окажется тождественной всему дереву.
В этом особенно наглядно проявляется отличие обезьяньего языка от языков естественных: языки, на которых говорят и пишут живые люди, не растут на самоподобных деревьях, а если мы станем-таки настаивать на том, чтобы и их туда повесить (Боже упаси!), то большинство ветвей окажутся мертвыми.

Действительно, в естественньх языках многие комбинации букв словами не являются. Вместе с тем многие английские слова омографичны словам других языков, т.е. имеют одинаковое с ними написание. Говоря о словах-омографах, мы отнюдь не имеем в виду такие тривиальные случаи, когда одно и то же слово, например, GENERAL, имеет одинаковое значение во многих языках. Нет, гораздо более интересны примеры одинакового написания слов, не родственных друг другу, таких, как английское STRICKEN («пораженный» (параличом), «охваченный» (ужасом)), означающее по-немецки «вязать», или английское FALTER («шататься, колебаться, запинаться»), означающее понемецки «бабочка», или английское LINKS («узы, связи»), означающее по-немецки «слева, налево». А что говорить о таких триплетах, как английское слово ART («искусство, ремесло, умение»), которое по-немецки значит «вид, порода, сорт, манера, способ», т.е. то же, что означает английское слово KIND, которое переводится с немецкого как «ребенок, малыш», т.е. то же, что по-английски может означать слово MINOR («младший ребенок в семье»), которое встречается как термин в теории определителей (и в немецком, и в английском языках). Или вот вам последовательность из пяти слов: ROT – RED – TALK – STEATITE SOAPSTONE ${ }^{1}$. Может, придумаем цепочку из шести звеньев?

Существуют буквально сотни таких «англо-немецких» слов. Однажды я даже сочинил небольшой расљказ на немецком языке, в котором использовал только английские слсва. Когда я показал свое произведение одному немецкоязычному венгру, жившему в Соединенных Штатах, тот, зевнув, отозвался о моем опусе, как об «еще одном образчике случайной поэзии», и не изменил своего вердикта даже после неоднократных и настойчивых просьб непредвзято подойти к рассмотрению текста, например, как к задаче о дискриминации изображения (различения фигуры и фона), входившей в круг занимавших его исследовательских проблем. Однако когда я через полгода показал тот же текст
${ }^{1}$ Английское ROT («гниение, гниль») – по-немецки «красный», что на английский переводится как RED; в свою очередь, RED почти совпадает с немецким REDE \”речь», что по-английски соответствует слову TALK; с немецкого это слово переводится как название минерала «тальк», одна из разновидностей которого называется, в частности, «стеатит», по-немецки – STEATITE, что соответствует английскому SOAPSTONE – «мыльный камень». – Iрим. перев.

тому же венгерскому приятелю, к тому времени оказавшемуся в Германии, он, прочтя, заметил: «Interessant! Interessant!»¹ И не говорите мне после этого, что контекст не влияет на человеческое восприятие! (Я оставляю в качестве самостоятельного упражнения для читателя с лингвистическими наклонностями сочинение рассказа, который имел бы смысл и по-английски, и по-немецки или на любых двух других языках – таких, в которых хотя бы частота использования букв сопоставима.)

Некая француженка, впервые оказавшись в Соединенных Штатах и увидев толпу под вывеской «Lingerie Sale» ${ }^{2}$, была несказанно удивлена тем, что американцы охотно покупают грязное белье, да еще в таких количествах.

Иногда слова с двойной смысловсй нагрузкой порождают двоякое понимание или точнее двоякое непонимание. Вскоре после моего приезда в Гёттинген комендант физического института, в обязанности которого входило доставлять из таможни пәступившие в мой адрес зарубежные посылки, доверительно сообщал сотрудникам: «Профессор Шрёдер импортирует из Соединенных Штатов яд. На пакетах, которые он получает, так прямо и значится – ЯД!» Действительно, на моих бандеролях крупными буквами было написано «GIFT» ${ }^{3}$, что по-немецки означает «яд». Здесь необходимо признать, что слова эти все же происходят от одного корня (в самом деле, и подарок, и яд, как правило, даются совершенно безвозмездно); кроме того, в немецком языке сохранилось слово Mitgift – «приданое».

Когда я рассказал об этом случае химику Фрэнсису О.Шмитту из Массачусетского технологического института, он тут же привел обратный пример полного непонимания. По словам одного из студентов Шмитта, побывавшего на стажировке в Германии, тамошняя химическая промышленность отличается необычайной щедростью: на каждой второй бутыли с реактивами в лаборатории красовалась наклейка с надписью GIFT. Этот пример показывает, что в некоторых краях «подарки» лучше не принимать внутрь!

Разумеется, не все омографы столь безобидны. Возьмите немецкое слово NOT («нужда, необходимость; аварийная ситуация»). Один мой приятель из Австралии (настоящий лингвист, никак не меньше) однажды оказался в ловушке в каком-то здании в Австрии (уж не пожар

$1_{\text {«Интересно! Интересно! (нем. }}$ ). – Прим. перев.
${ }^{2}$ Lingerie Sale – англ. «Распродажа дамского белья», франц. «грязное белье». Прим. перев.
${ }^{3}$ Gift – англ. «подарок, дар». – Прим. перев.

ли там был?): куда бы он ни пошел, на его пути неизменно возникала дверь со зловещей надписью NOTAUSGANG ${ }^{1}$ (очевидно, не-выход). Тщетно мой друг, все больше впадая в панику, искал дверь с надписью AUSGANG: в достаточной мере владея латынью и немецким (кроме родного английского), он правильно расшифровал Aus-gang как $e x$ – $i t^{2}$. Но, подгоняемый настоятельной нєобходимостью срочно выбраться из здания, он так и не сумел разрубить этот Гордиев узел. NOT не значит «нет»!

Итерации Ньютона и упразднение межнациональных границ

Как известно каждому школьнику, уравнение $z^{2}=1$ имеет не одно, а два решения: $z=+1$ и $z=-1$. Предположим, однако, что мы этого не знаем. Пытаясь решить это уравнение, мы могли бы начать с некоторой начальной догадки $z_{0}$ и воспользоваться методом касательных Ньютона для отыскания более гочного приближенного значения $z_{1}$. В нашем случае метод Ньютона даєт $z_{1}=\left(z_{0}^{2}+1\right) / 2 z_{0}$. При положительном $z_{0}$ приближенное значение $z_{1}$ будет лежать ближе к решению +1 . Например, при $z_{0}=0,5$ мы получаем $z_{1}=1,25$. Действительно, все $z_{0}$ с положительной вещественной частью при многократном применении формулы Ньютона «мигрируют» к +1 . Аналогично, все $z_{0}$ с отрицательной вещественной частью сходятся к -1 . Таким образом, линия на комплексной плоскости, состоящая из точек $z_{0}$ с нулевой вещественной частью (т.е. мнимая ось) является границей между областями притяжения двух решений: +1 и -1 . Просто, как дважды два – четыре.

А что можно сказать об уравнении $z^{3}=1$ ? Оно, разумеется, имеет три решения: $z=1, z=\omega$ и $z=\omega^{2}$, где $\omega-$ стандартное обозначение для $\exp (i 2 \pi / 3)$. Если в качестве нулевого приближения мы выбрали число $z_{0}$, то для следующего приближенного значения метод Ньютона дает $z_{1}=\left(2 z_{0}^{3}+1\right) / 3 z_{0}^{2}$. Вычисляя последующие итерации по этой формуле, мы ожидаем, что приближенные значения будут сходиться к одному из трех решений ( $1, \omega$ или $\omega^{2}$ ) в зависимости от сектора, в котором расположено начальное приближение $z_{0}$. Иначе говоря, мы ожидаем, что существуют три области притяжения, которые разбивают комплексную плоскость на три сектора по $120^{\circ}$ каждый. Но, как обнаружил в 1879 г. к своему крайнему изумлению английский математик
1 «Запасный выход» (нем.). – Iрим. перев.
${ }^{2}$ Вы-ход (лат. и англ.). – Прим. переє.

Артур Кэли (1821-1895), ничто не может быть дальше от истины. (Мы еще встретимся с Кэли, когда дойдем до рассмотрения самоподобных деревьев.)

В действительности безобидные, на первый взгляд, итерации $z_{n+1}=$ $=R\left(z_{n}\right)=\left(2 z_{n}^{3}+1\right) / 3 z_{n}^{2}$ ведут себя невероятно сложным образом. Начать хотя бы с того, что области притяжения корней $1, \omega$ и $\omega^{2}$ отнюдь не напоминают круглый пирог, разрезанный на три равных сектора. В действительности на всей комплексной плоскости нет ни одного сколь-нибудь связного фрагмента границы между любыми двумя областями притяжения. Предположим, что мы выбрали начальную точку $z_{0}$, итерации которой сходятся к +1 ; предположим далее, что итерации другой точки, расположенной поблизости от первой, сходятся к $\omega$. Если это так, то всегда найдется третья точка, расположенная еще ближе к $z_{0}$, итерации которой сходятся к третьему решению $\omega^{2}$. Общая картина выглядит так, как если бы межгосударственные границы были бы упразднены, дабы избежать межнационального соперничества (или просто из предусмотрительности), и между любыми двумя странами всегда вклинивалась бы третья.

Столь невероятно сложное поведение границ областей притяжения решений простого, казалось бы, уравнения поразило не только профанов в математике, но и высоких профессионалов. Впрочем, в 1918 г. Гастон Жюлиа (1893-1978) и Пьер Фату (1878-1929) несколько рассеяли всеобщее удивление, показав, что для итераций рациональных функций в общем случае граничные точки одной области притяжения являются граничными точками всех областей притяжения. Эти граничные точки образуют множество, известное теперь под названием множества Жюлиа в честь Гастона Жюлиа (дополнительное множество точек комплексной плоскости с полным основанием было названо множеством Фamy). Таким образом, итерации, имеющие более двух областей притяжения, не могут иметь границ между этими областями, представляющих собой связные отрезки линий. Такие границы неизбежно должны быть фракталами, состоящими из множеств совершенно не связанных между собой точек – бесконечно тонким налетом несчетной числовой «пыли».

На вклейке 3 красным, зеленым и синим цветом показаны области притяжения трех решений $1, \omega$ и $\omega^{2}$ на комплексной гауссовой плоскости. В центре фигуры ( $z=0$ ) мы видим своего рода клеверный лист: три области притяжения (каждая прєдставлена дважды) встречаются в одной точке. Центральный клеверный лист имеет три прообраза, также в виде клеверных листьев, хотя и несколько искаженных. Эти три клеверных листа, в свою очередь, имеют прообразы в виде девяти еще более мелких клеверных листьев и т. д. ad infinitum, причем все прообразы вместе образуют изящный самоподобный орнамент. Именно так любая граничная точка становится граничной точкой всех трех аттракторов – в точности так же, как точка $z=0$. Последнее замечание не случайно: множество Жюлиа есть не что иное, как множество прообразов точки $z=0$. Но истинную степень «пыльности» множества Жюлиа невозможно оценить с помощью какого бы то ни было рукотворного прибора, ибо разрешение любого прибора конечно. В действительности, если множество Жюлиа не совпадает со всей комплексной плоскостью, то оно не имеет ни одной внутренней точки. Вот так множества Жюлиа «решили» проблему внутренних точек по принципу все или (почти) ничего.

Мы также можем определить множество Жюлиа, взяв вместо аттракторов репеллеры. Действительно, множество Жюлиа $J_{R}$ рациональной функции $R$ содержит в себе все свои репеллеры (несчетно бесконечное количество). На интуитивном уровне это понятно, поскольку множество $J_{R}$ есть граница областей тритяжения функции $R$, не принадлежащая самим областям притяжения. Однако несколько удивительно, что при прнмом отображении любой репеллер порождает орбиту, которая непременно должна «посетить» все остальные репеллеры.

Интересно отметить, что не только прямая, но и обратная (порождаемая обратным отображением) орбита любого репеллера всюду плотна в $J_{R}$. Поскольку при обратном отображении репеллеры становятся аттракторами, множества Жюлиа можно стабильно, хотя и неравномерно, строить из одного-единственного репеллера, обратно отображая его; при этом малые ошибки в ходе вычислений не возрастают экспоненциально, как в случае прямого огображения. Все это великолепно изложено в книге Пайтгена и Заупе «Наука о фрактальных образах» [196].

Мы еще вернемся к множествам Жюлиа на с. 319-326 в гл. 11, где и углубим наши знания об этих удивительных и часто фрактальных множествах.

Мог ли Минковский услышать форму барабана?

В конце 1910 г. великий голландский физик Хендрик А.Лоренц, выступая с докладом на Вольфскелевских чтениях в Гёттингене ${ }^{1}$, вы-
${ }^{1}$ Чтения проводились на проценты от Вольфскелевской премии, учрежденной Гёттингенской Академией Наук и преднєзначенной тому, кто сможет доказать или сказал некое предположение. Присутствовавший на докладе Гильберт (принимавший Лоренца в качестве гостя) тотчас же заявил во всеуслышание, что это предположение при его жизни не будет доказано. Суть высказанного Лоренцем предположения, играющего важную роль в термодинамике (при вычислении удельной теплоемкости твердых тел), теории излучения черного тела и акустике концертных залов, состоит в том, что число резонансов $N_{3}(f)$, вплоть до некоторой большой частоты $f$, зависит только от объема $V$ резонатора и не зависит от его формы.

Один из слушателей, молодой человек по имени Герман Вейль (ставший впоследствии преемником Гильберта в Гёттингене), не разделил пессимизма великого математика. И вскоре Вейлю удалось доказать, что при большой частоте $f$ для резонаторов с достаточно гладкими, но в остальном произвольными границами асимптотически справедливо соотношение
\[
N_{3}(f)=\frac{4 \pi}{3} V\left(\frac{f}{c}\right)^{3},
\]

где $c$ – скорость звука (или света в случае излучения черного тела). Соответствующая формула для двумерных резонаторов (например, барабанов или поверхностных волн на озере) имеет вид
\[
N_{2}(f)=\pi A\left(\frac{f}{c}\right)^{2},
\]

где $A$ – площадь поверхности резонатора. Этот результат асимптотически верен с точностью до порядка $f^{2}$ и, как и в трехмерном случае, независим от формы границы (периметра).

Впоследствии эти поразительные формулы были усовершенствованы посредством введения в них дополнительных поправочных членов, содержавших частоту $f$ в меньших степенях [110]. Например, при некотором заданном граничном условии поправочный член для $N_{2}(f)$ имеет вид
\[
\Delta N(f)=\frac{1}{2} P \frac{f}{c},
\]

где $P$ – длина периметра резонатора.
Что произойдет, если отбросить требование Вейля о гладкости границы? Что если периметр резонатора представляет собой фрактал опровергнуть последнюю теорему Ферма (эта премия, кстати, так и не была востребована). Первоначально размер премиального капитала составлял 100000 золотых марок, но инфляция, последовавшая за двумя мировыми войнами, уменьшила его до 7600 немецких марок.

с фрактальной размерностью $D>1$ ? М. В. Берри высказал предположение [23], что
\[
|\Delta N(f)|=\left(L \frac{f}{c}\right)^{D},
\]

где $L$ – постоянная длины, а $D$ – размерность Хаусдорфа для периметра. Такое допущение вполне разумно, так как показатель степени частоты $f$ в любом из членов предыдущих формул, включая поправочные члены, совпадает с евклидовой размерностью ( 3,2 или 1) меры протяженности (объема, площади или длины) резонатора. Поэтому для фрактального периметра, имеющего бесконечную длину и фрактальную размерность $D$, соответсвующей степенью частоты $f$ вполне могла бы стать $f^{D}$.

Предположение Берри о том, что $D$ в действительности представляет собой размерность Хаусдорфа, в некоторых случаях оказывается неверным. Как показали Лапидус и Флекингер-Пелле [137], правильной фрактальной размерностью в этом случае является размерность $\mathrm{Muн}$ ковского – еще одна нетривиальная размерность, введенная для других целей Германом Минковским $(1864-1909)^{1}$ и обобщенная на фракталы Булиганом. Размерность Минковского не всегда совпадает с размерностью Хаусдорфа.

Определение размерности Минковского $D_{M}$ для кривой (фрактальной или гладкой) в общих чертах сводится к следующему. Пусть центр небольшого круга радиуса $r$ движется вдоль кривой, заметая площадь Минковского, т.е. площадь $F(r)$, возникающей в результате движения круга «сосиски Минковского» (рис. 20). Разделим площадь $F(r)$ на $2 r$ и устремим $r$ нулю. В случае гладкой кривой мы получили бы в пределе длину кривой, но для фрактальной «кривой» результат может превзойти любой мыслимый конечный предел. Действительно, отношение $F(r) / 2 r$ пропорционально величине $r^{1-D_{M}}$, которая при $D_{M}>1$ – расходится для $r \rightarrow 0$. Значение величины $D_{M}$ служит мерой скорости расхождения и называется размерностью МинковскогоБулигана. Эта размерность допускает и другое, эквивалентное, определение:
\[
D_{M}=\lim _{r \rightarrow 0} \frac{\ln F(r)}{\ln (1 / r)}+2
\]
${ }^{1}$ Как и Гильберт, Минковский родилен в Кёнигсберге, где и началась дружба двух математиков, которую они пронесли через всю жизнь. Минковский соединил геометрию с теорией чисел и снабдил специальную теорию относительности подобающими ей четырехмерными парусамк (пространство-время) для плавания под предводительством капитана Эйнштейна к берегам общей теории относительности и современной космологии.

Рис. 20. Определение «протяженности» кривой с помощью «сосиски Минковского».

при условии, что предел существует. (Для некоторых фракталов хороший вкус требует различать два конца сосиски.) В случае гладкой кривой $F(r) \sim r$ и $D_{M}=-1+2=1$, как и следовало ожидать.

Предыдущая формула для $D_{M}$ напоминает формулу для размерности Хаусдорфа. Различие состоит в том, что вместо числа «покрывающих элементарных областей» $N(r)$ в размерность Минковского-Булигана входит «площадь» $F(r)$ – площадь сосиски Минковского. Кроме того, к отношению логарифмов добавлено 2. (Впрочем, от члена +2 можно избавиться, если заменить $F(r)$ под логарифмом на $F(r) / r^{2}$.)
Предполагается, что для всех строго самоподобных фракталов размерность Минковского $D_{M}$ равна размерности Хаусдорфа $D$. Если эти размерности не совпадают, то $D_{M}$ больше $D$.

Почему же числом резонансных мод, связанных с границей резонатора, управляет размерность Минковского, а не Хаусдорфа? На интуитивном уровне ответ прост: нормальным модам необходима некая площадь (или объем), связанная с границей резонатора (а не некоторый набор элементарных областей, как в случае размерности Хаусдорфа).

Что произойдет, если фрактальна сама область резонатора, а не только ее граница, т.е. если резонатор представляет собой не спошное твердое тело, а весь пронизан множеством дырок и дырочек всевозможных размеров? Как будет вибрировать такая фрактальная «губка»? Можно было бы предположить, что приведенную выше формулу для $N_{2}(f)$ следовало бы в этом случае заменить на
\[
N_{2}(f)=\left(a \frac{f}{c}\right)^{\overline{\bar{d}}},
\]

где $a$ – некоторая характеристическая длина, а $\overline{\bar{d}}-$ подходящая фрактальная размерность, называемая спектральной размерностью. В данном случае, однако, нам следует соблюдать осторожность, потому что фрактал с $D<2$, вложенный в двумерное пространство, часто является не чем иным, как «пылью», а как может пыль быть носителем нормальных колебаний? Но, как мы узнаем в главе о перколяции (гл. 15), на пороге перколяции и над ним существует бесконечно много «связанных» кластеров «атомов», а такие кластеры имеют конечную массу и поддерживают нормальные моды колебаний. При длинах волн, превосходящих некоторый характеристический размер кластера, называемый корреляционной длиной, плотность мод ничем не отличается от плотности для сплошного однородного тела, т.е. пропорциональна $f^{d-1}$, где $d-$ евклидова размерность (целочисленная) пространства, в которое вложена перколяционная сеть. Но при длинах волн ниже корреляционной длины нормальные моды «видят» самоподобную фрактальную структуру кластеров, и показатель степени плотности мод падает с $d-1$ до $\overline{\bar{d}}-1$, где спектральная размерность $\overline{\bar{d}}$ обычно имеет дробное значение, которое отличается от значений других фрактальных размерностей (например, от размерностей Хаусдорфа и Минковского).

По аналогии с частицами света – вездесущими фотонами – нормальные моды колебаний, знакомые нам по звучанию музыкальных инструментов, принято называть фононами (если моды квантованы). Фононы имеют решающее значение для нашего понимания многих физических явлений, в том числе удельной теплоемкости твердых тел и сверхпроводимости как при низких, так и при высоких температурах – возможно, даже при комнатноц́ температуре (в комнате с широко раскрытыми окнами где-нибудь на Аляске, не иначе). Фононы живут в кристаллических решетках, но и в амфорных телах чувствуют себя, как дома. В фрактальных средах фононы, если они существуют, принято называть фрактонами (а как же еще?). Предполагается, что фрактоны будут играть все возрастающую роль в нашем понимании природы колебательных процессов.

С колебаниями тесно связана дифракция волн на фрактальных структурах («дифракталах»). Так как дифракция на больших расстояниях от излучателя (или дифракция Фраунгофера) представляет собой, по существу, преобразование Фурье, самоподобия (детерминированные или статистические) фрактала рассеяния должны полностью отразиться в дифракционной картине падаюшего излучения, будь то электромагнитное, звуковое или ультразвуковое излучение, или же электроны, нейтроны и нейтрино. (Интересно, можно ли наблюдать дифракцию нейтрино на фрактальной структуре Вселенной?) Очевидно, что дифракция волн является весьма чувствительным инструментом не только для классических тел, но и для фрактальной материи. Кроме того, фрактальнан дифракция служит (в каком, интересно, звании?) для очень детальной имитации радиолокационных помех во всевозможных масштабах (может быть, для того, чтобы затруднить обнаружение противником цели?).

Что происходит с плотностью нормальных мод колеблющихся фракталов, размерность которых превышает их евклидову размерность? Представьте себе скрипичную струну, локальная плотность массы которой изменяется на канторовский манер: средняя треть струны обладает плотностью, скажем, вдвое превышающей плотность двух остальных третей, средние трети которых, в свою очередь, вдвое больше плотности их первых и третьих третей и т. д. ad infinitum. Для «классической» струны длиной $L$ с постоянной плотностью массы число нормальных мод определяется выражением
\[
N_{1}(f)=2 L \frac{f}{c} .
\]

По аналогии с формулами Вейля можно ожидать, что число мод такой «животрепещущей» фрактальной струны будет изменяться по формуле
\[
N_{1}(f)=\left(b \frac{f}{c}\right)^{D_{M}},
\]

где $D_{M}>1$; здесь $b$ – снова некоторая характеристическая длина.

Эти размышления приводят нас к интересному и, как оказывается, важному вопросу: можно ли вычислить толщину струны (переменную) по ее резонансным частотам? Такого рода обратные задачи в том или ином виде встречаются во многих сбластях человеческой деятельности. (Например, можно ли локализовать опухоль в головном мозге по теням, отбрасываемым ею на рентгеновских снимках, сделанных под разными углами? Ответ: можно – в определенных, разумеется, пределах с помощью компьютерной томографии.)

К сожалению, в случае скрипичной струны восстановить распределение плотности по резонансным частотам не представляется возможным. Но если известны резонансные частоты для двух независимых граничных условий, то в нашем распоряжении оказывается вся информация, необходимая для вычисления распределения масс в колеблющейся (без потерь) струне.

Решение задачи о струне приобрело однажды весьма большую важность. Произошло это на одном из этапов проводившегося автором этой книги исследования основных механизмов звукопроизводства в человеческой речи (в рамках проекта создания говорящих компьютеров, чей «голос» был бы лишен того бесчувственного «электронного акцента», который до сих отличает «речь» современных машин). Разумеетсн, мы могли бы многое узнать о звукопроизводстве в человеческой речи, если бы форму вокального тракта (например, положение языка) можно было бы вывести из звуков записанной речи (отображающих резонансы этого самого вокального тракта). Это также очень помогло бы глухим и плохо слышащим людям как дополнение к чтению по губам, поскольку они тогда могли бы «видеть» на свсем видеомониторе положение языка говорящего.

К сожалению, осуществление подобного замысла наталкивается на большие трудности по только что изложенным причинам, а именно, из-за необходимости иметь два набора резонансов. С другой стороны, оказывается, что определение входного импеданса вокального тракта, измеренного на губах, вместе с некоторыми другими предположениями позволяет вычислить функцию площади вокального тракта и тем самым восстановить последовательность движений языка при артикуляции субъектом различных звуков [224].

Таким образом, на вопрос о том, можно ли услышать форму вокального тракта, следует отвечать с осторожностью. Да, мы можем ее услышать (именно так, в конце концов, мы и воспринимаем речь), но решение здесь не единственно: часто при различных положениях языка звуки получаются весьма похожими. Эту артикуляционную неоднозначность используют чревовещатели, которые умудряются разгваривать с неподвижными губами, используя «в порядке компенсации» другие артикуляторы.

Но довольно о Лоренце, Гильберте, Вейле, Минковском – и о чревовещателях!

Дискретное самоподобие: складки и центральные сгибы

Повторение – почти безотказный источник самоподобия, даже если речь идет о таких простых вещах, как складывание бумаги. Возьмем лист бумаги и сложим его один раз. В результате этой операции у нас получится V-образная складка (рис. 21A, поколение 1). Сложенный вдвое лист подвергнем еще одному складыванию (следя за тем, чтобы новая линия сгиба была параллельна старой) и получим три складки V V $\Lambda$ : слева от первоначальной складки V расположится складка $\mathrm{V}$, а справа – складка $\Lambda$. Очередное складывание порождает последовательность сгибов V V $\Lambda \mathrm{V} \Lambda \Lambda$ (рис. 21А, поколение 3). Дальнейшие складывания дают всё более длинные последовательности складок. Каждое новое поколение получается из предыдущего путем вставления новых складок, таким образом, чтобы слева от каждой складки предыдущего поколения, исключая самую первую, центральную V-складку, оказывалась новая V-складка, а справа – новая $\Lambda$-складка. Так, последовательность складок четвертого поколения имеет вид V V $\Lambda$ V V $\Lambda \Lambda$ V V V $\Lambda \Lambda$ V $\Lambda \Lambda$. При альтернативном способе построения поколение $n+1$ получается из поколения $n$ путем копирования последовательности поколения $n$, добавления к ней справа центральной складки V и приписывания далее «вывернутой» последовательности поколения $n$ (прочитанной от конца к началу с заменой букв V на буквы $\Lambda$ и наоборот) [46]. Такая операция эквивалентна повороту последовательности поколения $n$ на $180^{\circ}$ вокруг центральной складки, что в действительности и происходит при очередном складывании.

Но где же, спросите вы, самоподобие в этой безумной последовательности складок? Развернем же скрытую истину! Извлечем каждую, к примеру, вторую «букву» из последовательности V V $\Lambda$ V $\mathrm{V} \Lambda \Lambda$, начиная со второй (с V). (Такая операция совершенно уместно называется развертыванием.) Мы получим «материнскую» последовательность V V $\Lambda$, которая, при построении альтернативным способом, долж-

Рис. 21. (А) Основная кривая дракона, порождаемая правыми складками. (Б) Самоподобие, возникающее в более поздних поколениях кривой дракона. (B) Центральные сгибы (помеченные точками) точно ложатся на самоподобную логарифмическую спираль.

Рис. 21. (продолжение)
на породить дочернюю последовательность V V $\Lambda$ V V $\Lambda \Lambda$. Таким образом, получающаяся в результате такого построения бесконечная последовательность складок обладает точным самоподобием: изъяв каждую вторую складку (вместо 2 здесь сгодится любое четное число), мы воспроизводим заново всю последовательность. Вряд ли найдется более простой пример дискретного самоподобия!

Можете ли вы построить прямую нерекурсивную формулу для определения $n$-й «буквы» в общем «складчатом слове»? Предположим, что число $n$ записано в двоичном виде и первой цифрой слева от первой единицы является …

Самоподобие, присущее последовательности складок, можно наглядно продемонстрировать, представив все складки как сгибы под прямым углом (рис. 21A). Порождаемая такой конструкцией фрактальная кривая называется кривой дракона, так как на более поздних этапах построения она действительно напоминает дракона (рис. 21Б). Два таких дракона образуют двойного дракона [43]. Кривая дракона самоподобна (рис. 21В). Последовательные центральные складки, помеченные жирными точками, точно ложатся на логарифмическую спираль, которая и сама представляет собой один из основных (причем гладких!) самоподобных объектов и имеет множество интересных практических приложений (о последних см. с. 132-138 в гл. 3).

Двойной дракон (рис. 22A) оживает в одной весьма примечательной системе счисления с комплексиым основанием. С появлением цифровых компьютеров наиболее широко применяемым способом записи чисел стала двоичная система, использующая только две цифры – 0 и 1.1 Теперь же компьютерам приходится довольно часто иметь дело с комплексными числами, т.е. с числами, состоящими из двух «компонентов» – вещественной и мнимой частей. Для записи комплексного числа необходимо, таким образом, два множества двоичных чисел. Разумеется, было бы просто великолепно, если бы и комплексное число можно было бы записать как одно двоичное число, но это, кажется, невозможно (мы, разумеется, не принимаем в расчет такую грязную игру, как попеременную запись по одной цифре то из одной, то из другой части комплексного числа).

Рис. 22. (А) Двойной дракон. (Б) Область, занимаемая на комплексной плоскости правильными дробями в комплексной двоичной системе счисления с основанием $1-i$ : зеркально-симметричный двойной дракон. Двойными драконами можно замостить плоскость [43].
${ }^{1}$ Правда, Клод Шеннон однажды построил компьютер под названием THROBAC, основанный на использовании римских чисел (I, II, III, IV и т. д.), однако это упражнение в мазохизме почему-то не привлекло ничьего внимания и осталось без последствий (в отличие от его же теории информации, слава которой не померкла до сих пор).

Тем не менее, система записи комплексных чисел, использующая только цифры 0 и 1 , но с основанием, отличным от 2 , все же существует. Ясно, что основание такой системы должно быть комплексным числом и модуль этого числа не должен превншать $\sqrt{2}$, иначе двум двоичным цифрам пришлось бы обслуживать ингервал, больший, чем 2. Если мы теперь будем настаивать на равноправии вещественной и мнимой частей, то наилучшим выбором будет основание $(1-i)=\sqrt{2} \exp (-i \pi / 4)$ (или какой-нибудь другой из трех первообразных корней восьмой степени из 16).

Разумеется, при использовании этой хитроумной системы мы платим довольно высокую цену, когда дело доходит до «программирования». Например, число 2 в обычной, вещественной двоичной системе записывается как 10 , в системе же с основанием $1-i$ то же число 2 выглядит несколько сложнее.

Действительно, назвать систему счисления с основанием $1-i$ комплексной означает не сказать ничего ${ }^{1}$. На рис. 22 Б показаны все такие числа на комплексной (гауссовой) плоскости, которые являются правильными дробями, т.е. числами, представимыми в виде набора только отрицательных степеней основания, например, $0,1=(1-i)^{-1}$ или $0,(1)=(1-i)^{-1}+(1-i)^{-2}+\cdots=i$. (Заметим, что периодическан дробь $0,(1)$ в периодической системе с основанием $1-i$ не равна 1 , как в обычной, вещественной двоичной системе.)

Как ясно из приведенного примера, правильные дроби занимают односвязную область с фрактальным периметром, т. е. образуют двойного дракона. Но в отличие от снежинни фон Коха и фрактальных «шестиугольников», с которыми мы встречались в предыдущих разделах, шкура двойного дракона порождена гєнератором, состоящим из прямолинейных отрезков различной длины: одного отрезка длиной $r_{1}=1 / \sqrt{2}$ и двух отрезков, расположенных под прямым углом к первому, длиной $r_{2}=r_{1}^{2}$ каждый (рис. 23). Размерность Хаусдорфа $D_{H}$ для таких фракталов можно рассматривать как прямое обобщение формулы для $N$ отрезков равной длины, которую можно записать в виде $N \cdot r^{D_{H}}=$ $=1$. Заменяя единственную длину $r$ генератора различными длинами $r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{N}$ (общим числом $N$ ), получаем
\[
r_{1}^{D_{H}}+r_{2}^{D_{H}}+\ldots+r_{N}^{D_{H}}=1 .
\]

Разумеется, при $r_{1}=r_{2}=r_{3}=r_{4}=1 / 3$ мы получаем известное
${ }^{1}$ В оригинальном тексте игра слов: англ. complex можно перевести и как «комплексный», и как «сложный». – Прим. перев.

значение размерности Хаусдорфа для снежинки фон Коха: $4(1 / 3)^{D_{H}}=$ $=1$ или $D_{H}=\ln 4 / \ln 3$.

Рис. 23. Генератор для шкуры двойного дракона: размерность Хаусдорфа $1,52 \ldots$

Чтобы найти $D_{H}$ для генератора двойного дракона, необходимо решить кубическое уравнение относительно $r_{1}^{D_{H}}$, а именно, $r_{1}^{D_{H}}+2 r_{1}^{3 D_{H}}=$ $=1$. Хотя для решения кубических уравнений существуют замкнутые формулы с радикалами, я предпочитаю более консервативный подход: мой микрокалькулятор говорит мне, что $r_{1}^{D_{H}}=0,5897545123 \ldots$, и при $r=1 / \sqrt{2}$ я получаю $D_{H}=1,523627 \ldots$

Двойного дракона можно разделить на четыре части, подобные ему самому (рис. 24). Следовательно, согласно нашему обобщению теоремы Евклида о соотношении площадей и периметров для фрактальных фигур (см. с. 36-40), периметр шкуры дракона-мамаши должен содержать периметр шкуры одного из четырех драконов-отпрысков не 2 раза, а $2^{D_{H}}=2,875 \ldots$ раз. (Пожалуй, зря мы не стали решать то кубическое уравнение «радикальными» методами, а то уже поняли бы, что может значить это иррациональное соотношение.)

Золотое и серебряное сечения и гиперболический хаос

Как уже отмечалось, итерация является одним из богатейших источников самоподобия. Если выбрана подходящая начальная точка, то повторное применение некоторой одной и той же операции – геометрической, арифметической или просто абстрактной, производимой над символами – почти неизбежно приводит к самоподобию. Возьмем, например, простое правило $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$. При $F_{0}=0$ и $F_{1}=1$ эта рекуррентная формула порождает хорошо известную последовательность чисел Фибоначчи $0,1,1,2,3,5,8,13,21, \ldots$ Что же в них самоподобно-

Рис. 24. Двойной дракон содержит четыре малых себе подобных дракона, а его фрактальная шкура нарушает евклидово соотношение между площадями и периметрами подобных фигур.

го? Умножим каждое из чисел на 1,6 и округлим до ближайшего целого числа; в результате получаем $0,2,2,3,5,8,13,21,34$, т. е. за исключением нескольких первых членов (и, возможно, нескольких более поздних) ту же последовательность чисел Фибоначчи.

Вычислим отношение последовательных чисел и получим $F_{n} / F_{n+1}=$ $=0 ; 1 ; 0,5 ; 0,(6) ; 0,625 ; 0,615 ; \ldots ; 0,619 \ldots$ Похоже, что эти числа сходятся к какому-то пределу. Действисельно, как показывают несложные арифметические выкладки, отношения последовательных чисел Фибоначчи стремятся к иррациональному числу $\gamma=(\sqrt{5}-1) / 2=$ $=0,618 \ldots$ – знаменитому золотому сечению, т. е. такому разделению прямолинейного отрезка на две части, что его короткая часть относится к длинной так же, как длинная – ко всему отрезку. Таким образом, $n$-е число Фибоначчи должно быть равно (приближенно) некоторой константе, умноженной на $\gamma^{-n}$. В действительности приближение оказывается сверхъестественно точным: нужно просто разделить $\gamma^{-n}$ на $\sqrt{5}$, что дает $0,4 \ldots ; 0,7 \ldots ; 1,1 \ldots ; 1,8 \ldots ; 3,0 \ldots ; 4,9 \ldots ; 8,0 \ldots$; затем округлить до ближайшего целого, числа и – готово! – мы получим числа Фибоначчи даже для $n=0$.

А что можно сказать о самом золотом сечении $\gamma$ ? Кроются ли в нем какие-нибудь самоподобия? Может быть, эти самоподобия проявятся, если записать число $\gamma$ подходящим образом, т.е. не в «детской» десятичной $(0,61803 \ldots)$, не в «двусмысленной» двоичной $(0,100111 \ldots$ ) и не в какой-нибудь другой из тех систем счисления, которые возносят число, выбранное за основание, выше того места, которое ему пристало занимать. Попробуем вместо этого представить число $\gamma$ в более естественном виде, а именно в виде непрерывной дроби, т. е. $\gamma=[1,1,1, \ldots]$. Напомним, что в теории непрерывных дробей запись $\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots\right]$ означает
\[
\frac{1}{a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\ldots}}} ;
\]

такое «многоэтажное» написание следовало бы запретить, даже в качестве наказания для наборщика.

На рис. 25 вы видите изображение периодической непрерывной дроби для величины, обратной золотому сечению $\gamma$, из которого видно, что она геометрически самоподобна. А что можно утверждать относительно арифметического самоподобия $\gamma$ ?

Непрерывная дробь для данного положительного иррационального числа $\alpha<1$ вычисляется следующим образом: положим $x_{0}=1 / \alpha$ и применим итерацию $x_{n+1}=\frac{1}{\left\langle x_{n}\right\rangle}$, где угловые скобки с индексом 1 означают дробную часть числа, т. е. «взятие остатка по модулю 1» (например, $\left.\langle\pi\rangle_{1}=0,14 \ldots\right)$. Тогда непрерывная дробь для $\alpha$ запишется как $\left[\left\lfloor x_{0}\right\rfloor,\left\lfloor x_{1}\right\rfloor,\left\lfloor x_{2}\right\rfloor,\left\lfloor x_{3}\right\rfloor, \ldots\right]$, где скобки \lfloor\rfloor означают округление до ближайшего целого числа, а $\left[x_{0}\right]$ – целую часть числа $\alpha$. Так как все члены непрерывной дроби для золотого сечения (за исключением пер-

Рис. 25. Геометрически самоподобная непрерывная дробь для величины, обратной золотому сечению.

вого) равны 1 , число $\gamma$ является неподвижной точкой итерации $x_{n+1}=$ $=1 /\left\langle x_{n}\right\rangle$, называемой также гиперболическим отображением.

Особенно просто гиперболическое отображение выполняется в том случае, если «отображаемое» число $x_{0}$ задано в виде непрерывной дроби: нужно просто сдвинуть все члены дроби $\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots\right]$ на одно место влево и отбросить первый член: $\left[a_{1}, a_{2}, \ldots\right]$. Таким образом, золотое сечение $\gamma$, равное $[1,1,1, \ldots]$, и в самом деле является неподвижной точкой гиперболического отображения.

Это отображение называется также гауссовым отображением, так как именно Гаусс вывел многие его свойства, в том числе инвариантные распределения для $x$ и $a_{k}[230]$.

Существуют ли, кроме золотого сечения, другие драгоценные числа, представимые в виде периодических непрерывных дробей с длиной периода 1? Заметим, что $1 / \gamma=\gamma+1$. Заменив +1 на любое другое положительное целое число $n$, мы получим серебряные сечения $\tau_{n}$, определяемые соотношением $1 / \tau_{n}=\tau_{n}+n$ и представимые в виде непрерывных дробей $\tau_{n}=[n, n, n, \ldots]=[(n)]$.

Серебряные сечения $[(n)]$ занимают весьма видное положение в одной просто бескрайней стране чудес, в которой можно встретить такие диковинки, как квазикристаллы, «изящные» спины Изинга, путь к хаосу через синхронизацию мод, размножение кроликов и некоторые другие еще более интересные забавы, например, фибоначчиева стрижка, усовершенствованная с помощью золотого сечения.

Подобно многим другим самоподобным объектам, серебряные сечения несут в себе семена хаоса. Попробуем итерировать гиперболическое отображение, начиная с какого-либо серебряного сечения, на компьютере, производящем вычисления с любой конечной точностью; результатом будет полнейший хаос. В качестве примера выберем начальным значением $(\sqrt{13}-3) / 2=[3,3,3, \ldots]=0,3027756 \ldots$ – серебряное сечение $\tau_{3}$. Гиперболическое отображение, вычисленное с помощью микрокалькулятора, дает (запишем только первую цифру после запятой) восемь раз подряд 0,3 , а затем 0,$2 ; 0,8 ; 0,2 ; 0,6 ; 0,4 ; 0,0 ; 0,2$ и т. д. полностью непредсказуемая последовательность с совершенно хаотическим хвостом.

Аналогичная картина наблюдается и в том случае, если мы записываем результаты последовательных итераций гиперболического отображения в виде непрерывных дробей: в конце концов непрерывнан дробь, получаемая гиперболическим отображением из $\tau_{3}$, становится хаотической. Судите сами – сначала получаем девять раз подряд $[3, \ldots]$ (в записи оставлена только первая цифра дроби), затем $[1, \ldots],[4, \ldots]$, $[1, \ldots],[2, \ldots],[10, \ldots],[4, \ldots],[11, \ldots],[90, \ldots],[1, \ldots]$ и т. д. Откуда берется здесь этот хаос? Непрерывная дробь, выражающая любое иррациональное число, имеет бесконечно много членов. А компьютеры конечны, т.е. работают с конечной точностью, и, независимо от того, сколь велика эта точность, менее значимые члены, начиная с какого-то места, неизбежно останутся неопределенными. Так, в нашем примере серебряное сечение $\tau_{3}$ представляет собой не непрерывную дробь [(3)], где (3) означает бесконечно много троек, а последовательность $[3,3,3,3,3,3,3,3,3,1,4,1,2,10,4,11,90,1, \ldots]$. После девятикратного повторения гиперболического отображения случайные числа «выходят на передний план» и доминируют в дальнейшем, порождая типичный случай хаоса.

Как выиграть в фибоначчиев ним

Попробуем теперь, не откладывая в долгий ящик, познакомиться с золотым сечением $\gamma$ немного поближе. Рассмотрим две целочисленные последовательности
\[
\begin{array}{l}
a_{k}=\left\lfloor\frac{k}{\gamma}\right\rfloor=1,3,4,6,8, \ldots \\
b_{k}=\left\lfloor\frac{k}{\gamma^{2}}\right\rfloor=2,5,7,10,13, \ldots
\end{array}
\]

Перед нами пара так называемых последовательностей Битти. Вместе они полностью охватывают все положительные целые числа. Заметим, что $b_{k}=a_{k}+k$; и что $a_{k}$ – всегда наименьшее положительное целое число, еще не встречавшееся ни как $a_{n}$, ни как $b_{n}$, где $n<k$.

Это свойство последовательностей Битти находит применение в одной интересной игре, называемой фиєоначчиевым нимом (а так же нимом Витхофа). Два игрока поочередно берут фишки из двух кучек. Каждый забирает не менее одной фиџки. Если игрок берет фишки из двух кучек, то он должен брать из каждой одинаковое количество фишек. Выигрывает тот из игроков, кто забирает последнюю фишку (или фишки).

Предположим, что перед началом игры в одной кучке 7 фишек, а в другой – 12 , и что мне предстоит сделать первый ход. Чтобы выиграть, я должен оставить своему противнику две кучки, количество фишек в которых составляет пару Битти ( $b_{k}, a_{k}$ ), причем такой расклад я могу получить из любой пары кучек, не составляющих пару Битти. С меньшим ${ }^{1}$ из двух начальных чисел $\left(7=b_{3}\right.$ ) пару Битти образует число $a_{3}=4$, поэтому я забираю из большей кучки $12-4=8$ фишек, оставляя противнику пару Битти $(7,4)$. Для него это означает верный проигрыш, так как получить из пары Битти другую пару Битти у него не получится.

Предположим теперь, что противник оставляет мне пару $(5,4)$, которую я не могу превратить в $(7,4)$, Заметим, однако, что разность между 5 и 4 равна 1. Это означает, что, взяв из каждой кучки по 3 фишки, я получу пару Битти с разностью 1 , т.е. пару $(2,1)$. Предоставляю читателям самостоятельно убедиться в том, что какой бы из четырех возможных ходов ни сделал мой противник, я всегда могу забрать последнюю фишку (или фишки) и тем самым выиграть. Раз уж вы получили пару Битти, то вам от этого самостоятельно не оправиться и приходится признать, что в этой игре вас побили.

Интересно, что существует простая игра на шахматной доске, называемая «Королеву – в угол» [78], которая эквивалентна («гомоморф-
${ }^{1}$ Если фишек в обеих кучках поровну, то я забираю все и сразу же выигрываю.

на») фибоначчиеву ниму. Возьмите шахматную доску и поставьте ферзя («королеву») на любое поле верхней горизонтали или правой вертикали (на рис. 26А эти поля затемнены). Оба игрока поочередно делают ходы, двигая ферзя на «запад», «юго-запад» или «юг». На какие поля мне следует ставить ферзя для того, чтобы, какой бы ход ни сделал мой противник, я мог последним ходом попасть на поле, помеченное звездочкой, и тем самым обеспечить себе выигрыш?

Рис. 26. (А) Игра «Королеву – в угол», придуманная Руфусом П. Айзексом. Начальная позиция ферзя выбирается либо на верхней горизонтали, либо на правой вертикали (на рисунке затемғены). Цель игры состоит в том, чтобы достичь поля в левом нижнем углу цоски. (Б) «Верные» позиции для ферзя закрашены черным. Через две противоположные стороны «верных» полей проходит либо прямая с угловым коэффициентом, равным золотому сечению, либо прямая с угловым коэффициентом, равным величине, обратной золотому сечению.

Ходы ферзя на запад или юг соответствуют взятию фишек только из одной из двух кучек игры в ним. Ход на юго-запад соответствует взятию одинакового числа фишек из обеих кучек. Следовательно, координаты «верных» полей образуют уже знакомые нам пары Битти, выведенные из золотого сечения: $(1,2),(3,5),(4,7),(6,10),(8,12)$ и т. д. Эти «верные» поля показаны черным цветом на большой доске (рис. 26Б).

Существует ли простой, чисто геометрический, способ нахождения всех «верных» полей? Безусловно, существует. Проведем на доске прямую, выходящую из левого нижнего угла, с угловым коэффициентом, равным золотому сечению (рис. 26Б). Клетки доски, пронзенные проведенной прямой справа $и$ слева, образуют нижний ряд «верных» полей. (Верхний ряд образован клетками, зеркально-симметричными клеткам нижнего ряда относительно диагонали, проходящей через левый нижний угол доски.)

Заметим между прочим, что «размножающимся» кроликам Фибоначчи такая выигрышная стратегия известна с давних пор (именно поэтому ним-версия игры называется фибоначчиевым нимом).

В своем сочинении «Liber Abaci», изданном в 1202 г., итальянский математик Леонардо Пизанский, более известный как Фибоначчи (сын Боначчи), рассматривает задачу о числе пар кроликов после $n$ периодов размножения, если первоначально имеется лишь одна пара крольчат и предполагается, что рост числа пар подчиняется следующим идеализированным правилам [71]:
– Крольчата достигают зрелости за один сезон с момента рождения.
– Каждая из пар взрослых кроликов производит по одной паре крольчат за каждый сезон размножения.
– Кролики не умирают.

Нетрудно видеть, что при таких правилах число пар кроликов в каждом $n$-м поколении должно равняться сумме чисел пар в двух предыдущих поколениях: $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$. Полагая $F_{1}=F_{2}=1$, мы приходим к знаменитой последовательности чисел Фибоначчи: $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, \ldots$, фигурирующей в бесчисленном множестве ситуаций.

С кроликами связана еще одна числовая последовательность – последовательность двоичных битов, которую я назвал кроличьей [230]. Рассмотрим два отображения $0 \rightarrow 1$ («рольчата взрослеют») и $1 \rightarrow 10$ («взрослые кролики никуда не деваются и обзаводятся крольчатами»). Начав с одного-единственного нуля, мы получаем в результате итераций $1,10,101,10110, \ldots$ и в пределе бесконечную кроличью последовательность 1011010110110 … Самоподобна ли такая последовательность? Вне всякого сомнения. Стоит лишь подчеркнуть все пары «10» ( $\underline{10} 1 \underline{10} \underline{10} 1 \underline{10} 1 \underline{10} \ldots)$ и прочитать их, как единицы, а все не подчеркнутые цифры – как нули, и бесконечная кроличья последовательность воспроизведет сама себя: $10110101 \ldots$…!

Где расположены все единицы в кроличьей последовательности? Они стоят на местах с номерами $1,3,4,6,8,11,12, \ldots$, а это есть не что иное, как первая из вышеописанных последовательностей Битти $\left(a_{k}\right)$. Нули расположены на местах с номерами $2,5,7,10,13, \ldots$, образующими вторую последовательность Битти ( $b_{k}$ ). Отсюда ясно, что кроликам превосходно известны тайные пружины игры в фибоначчиев ним, но им просто некогда – они заняты размножением.

Между кроличьей последовательностью и числами Фибоначчи существует еще одна интересная связь, открытая Джоном Хортоном Конуэем [78]: «кроличья постоянная», определяемая двоичной дробью $0,1011010110110 \ldots$, которая, в свою очередь, образуется приписыванием 0 и запятой перед кроличьей последовательностью, равна непрерывной дроби $\left[2^{0}, 2^{1}, 2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, 2^{5}, 2^{8}, 2^{13}, 2^{21}, 2^{34}, \ldots\right]$, где показатели степени у двоек – не что иное, как числа Фибоначчи.

Предоставляем читателю придумать аналогичные игры, основанные не на золотом, а на серебряном сечении. Какими окажутся соответствующие правила размножения кроликов, например, при $\tau_{2}=[(2)]=$ $=\sqrt{2}-1$ ?

Самоподобные последовательности, порождаемые квадратными решетками

Возьмем квадратную решетку (рис. 27) и проведем через начало координат прямую с угловым коэффициентом, равным золотому сечению $\gamma=[(1)]=0,618 \ldots$ Условимся записывать единицу всякий раз, когда наша прямая пересекает вертикальную линию решетки, и нуль всякий раз, когда она пересекает горизонтальную линию. Полученная последовательность единиц и нулей апериодична, так как золотое сечение иррационально, но все же имеет дальний порядок с бесконечно большим «радиусом действия», так как выведена из бесконечно протяженной жесткой квадратной решетки.

Какими еще свойствами обладєет построенная нами последовательность, которая начинается так: $1011010110110 \ldots$ ? Она самоподобна в следующем смысле. Условимся сситать каждую единицу началом нового «предложения» и сокращать предложение 10 до 1 , а предложение 1 заменять нулем. В результате мы снова получим оригинальный, бесконечно длинный «роман»: 10110101 … В действительности наш роман вовсе не так уж и оригинален, а списан со старой (и вечно юной) доброй кроличьей последовательности, с которой мы только что встречались, играя в фибоначчиев ним, только на этот раз кролики выскакивают из квадратной решетки. (Просто невозможно побороть искушение какая же это решетка? Это же клетка!)

Рис. 27. Квадратная решетка и прямая с угловым коэффициентом, равным золотому сечению $\gamma$, порождает «кроличью последовательность\” 10110 … Нижняя прямая имеет угловой коэффициент, равный серебряному сечению $\sqrt{2}-1$, и порождает еще одну самоподобную двоичную последовательность.

Если вместо того, чтобы сокращать «роман» золотого сечения, мы захотим просто-напросто написать его с нуля, то (подобно большинству авторов) мы с него и начнем, а засем будем итерировать кроличье отображение $0 \rightarrow 1,1 \rightarrow 10$.

А что если угловой коэффициент секущей прямой равен одному из серебряных сечений $\tau_{n}=[(n)]$ ? При $n=2$ получаем $\tau_{2}=1 /(2+1 /(2+$ $+\ldots)$ ) $=\sqrt{2}-1$ (см. нижнюю секущую прямую на рис. 27 ). Она порождает бесконечную последовательность 11011011101101110110110 . . Эта последовательность также самоподобна – еще один всемасштабный роман. Но где начинаются или кончаются предложения, которые воспроизводят роман? Условимся считать концом предложения каждый нуль и каждую первую единицу в тройке единиц. Предложение первого типа (110) заменим единицей, предложение второго типа (1) нулем. И что же получается? Все та же старая история: 1101101110 …

И наоборот, секущая последовательность для $\tau_{2}$ порождается итерацией отображения $0 \rightarrow 1$ и $1 \rightarrow 110$.

Для секущей прямой с угловым коэффициентом, равным следующему серебряному сечению $\tau_{3}=[(3)]=(\sqrt{13}-3) / 2$, секущая последовательность имеет вид 11101110111011110110 … Где же «точки» между предложениями? И как можно написать роман с помощью итераций, начиная буквально с нуля?

Самоподобные последовательности, аналогичные тем, которые мы только что продемонстрировали, недавно приобрели скандальную известность как генераторы одномерных квазипериодических «решеток», которые – при обобщении их на трехмерный случай – служат хорошими математическими моделями для недавно открытого нового состояния материи, получившего название квазикристаллы (см. гл. 13).

Схожие последовательности играют заметную роль и в компьютерной графике – при оцифровке прямых линий. Независимо от значения углового коэффициента (будь то золотое или серебряное сечение или какое-либо другое значение) ступенчатая функция, наилучшим образом аппоксимирующая прямую, проведенную по целочисленной решетке, характеризуется последовательностью нулей и единиц, известной под названием цепного кода. Каждому горизонтальному участку ступенчатой функции соответствует в цепном коде единица, каждому вертикальному участку – нуль. Цепные коды обладают следующим свойством: один символ всегда изолирован, а другой встречается сериями, причем серии имеют самое большее две различные длины. Если длины серий различаются, то ровно на единицу. Действительно, при $m \geqslant 1$ длины серий равны, соответственно, $\lfloor m\rfloor$ и $\lceil m\rceil$. («Виселицы» ¡ ๆ означают округление в бо́льшую сторону до ближайшего целого числа.) При $m<1$ длины серий равны $\lfloor 1 / m\rfloor$ и $\lceil 1 / m\rceil$. Длины серий различаются только при нецелых $m$ и $1 / m$.

Один из методов перекодирования цепных кодов с различными длинами серий двумя символами состоит в том, что более коротким сериям ставится в соответствие один символ, а более длинным – другой. В результате такого перекодирования мы получаем еще одну последовательность символов, один из которых встречается одиночно, а другой сериями самое большее двух длин, отличающихся между собой на единицу. Эта инвариантность цепного кода была открыта Азриэлем Розенфельдом в 1973 г. [216], однако лежащая в ее основе теоретико-числовая проблема (а именно, может ли данная последовательность целых чисел быть получена в результате округ.ения линейной функции?) была поставлена еще одним из Бернулли [83].

Эти выводы нашли применение в эффективном кодировании изображений и распознавании образов, в особенности для различения прямых линий и криволинейных контуров [274]. В настоящее время основные усилия исследователей в этой области сосредоточены на создании эффективных вычислительных алгоритмов для обнаружения прямолинейных участков [135].

Существует другой метод перекодирования цепного кода, тесно связанный с первым. Он основан на подсчете числа знаков между двумя сериями символов различной длины. Например, цепной код $1011010110110 \ldots$ при таком способе перекодирования переходит в $10110101 \ldots$ Я предполагаю, что такое перекодирование цепных кодов соответствует сдвигу влево в непрерывной дроби, представляющей угловой коэффициент $m$.

«Отчаянное пари» Джона Хортона Конуэя

Джон Х. Конуэй, английский математик, автор множества интересных работ, ныне основательно обосновавшийся в Принстоне (штат Нью-Джерси), приобрел широкую известность (даже за пределами математических кругов), придумав остроумную игру под названием «Æизнь» (о ней см. гл. 17 «Клеточные автоматы»). В своей захватывающей лекции «0 некоторых безумных последовательностях», прочитанной сотрудникам AT\&T Bell Laboratories в Мюррей-Хилл (штат НьюДжерси) 15 июля 1988 г., Конуэй привел еще одно неопровержимое доказательство того, что математика может быть не только занимательной, но и весьма забавной. После нескольких предварительных замечаний о числах Фибоначчи и тому подобных материях, Конуэй представил аудитории последовательность $a(n)$, которая начиналась довольно безобидно: $1,1,2,2,3,4,4,4,5, \ldots$ Простой итеративный закон для такой последовательности имеет вид
\[
a(n)=a(a(n-1))+a(n-a(n-1))
\]

с начальными членами $a(1)=a(2)=1$. Как и в случае последовательности Фибоначчи, каждый новый член последовательности Конуэя равен сумме двух ее предыдущих членов.

Данные числового анализа свидетельствуют, что $a(n) / n$ при больших $n$ стремится к $1 / 2$, и Конуэй предложил аудитории найти такое число $n_{0}$, чтобы при всех $n>n_{0}$ абсолютная ошибка $|a(n) / n-1 / 2|$ была бы меньше, чем 0,05 . Поскольку Конуэй и его жена (также математик по специальности), сочли последовательность $a(n)$ достаточно трудной для исследования, Конуэй предложил премию в 100 долларов тому, кто первым сообщит ему решение. Затем, как бы про себя, Конуэй негромко (но отчетливо различимо на видеозаписи его лекции) предложил премию в 10000 долларов тому, кто первым найдет наименьшее $n_{0}$.

Рис. 28. Джон Хортон Конуэй, увенчанный самоподобной рогатой сферой. (Рисунок Саймона Фрейзера, любезно предоставленный Дж. Х. Конуэем.)

Ровно через 34 дня – 18 августа 1988 г. – Колин Мэллоуз, способнейший математик из Bell Laboratories предложил решение десятитысячедолларовой задачи Конуэя (вместе со строгим доказательством): $n_{0}=317-337-3556$. Я намеренно записал решение Мэллоуза так, словно это телефонный номер (в Индиане, кстати): высказывалось предположение, что Конуэй просто вздумал пошутить, что он и сам знал решение, а если бы решивший задачу умник набрал номер (317) 337-5556, то ему бы ответили, что номер, конечно, набран верный, но раздача призов, к несчастью, уже закончена. (В действительности при наборе номера $n_{0}$ автоответчик просит набрать номер еще раз. Еще раз? И это после всего, что мы вытерпели, разыскивая это номер?!)

Как вы уже, наверное, догадались, последовательность $a(n)$, порожденная простой рекурсией, просто переполнена весьма привлекательными самоподобиями, которые и содержат ключ к решению задачи. Эти самоподобия были быстро обнаружены Мэллоузом, специалистом по математической статистике и анализу данных, который не использовал при решении ничего более сложного, чем обычные численные расчеты и пояснительные рисунки [154].

Предоставляем увлеченному читателю, имеющему в распоряжении персональный компьютер, самостоятельно обнаружить упомянутые нами самоподобия и другие симметрии последовательности Конуэя $a(n)$ или более простой последовательности $b(n)=2 a(n)-n$ (чтобы почувствовать основную тенденцию). Что происходит с $b(n)$ при $n=2^{m}$ и почему? Какова размерность Хаусдорфа для фрактальной функции, к которой сходится при стремящемся к бесконечности $n$ надлежащим образом нормированная между $n$ и $2 n$ последовательность $b(n)$ ? Существует ли простая прямая формула для $b(n)$ ? В качестве разминки читатель может попытаться обнаружить закономерность изменения длин серий одинаковых знаков для $a(n)$.

Завоевавший «гран-при» Мэллоуз и Конуэй впоследствии согласились, что Конуэй намеревался предложить приз размером не в десять, а в одну тысячу долларов. Конуэй выслал победителю чек на меньшую сумму, однако первоначальный призовой чек на десять тысяч долларов Мэллоуз все же сохранил на память. (На рис. 28 вы видите Джона Хортона Конуэя, увенчанного самоподобной короной, получившей весьма меткое название рогатой сферы.)