Пока законы математики соотносятся с реальностью, они недостоверны; если же они достоверны, они никак не соотносятся с реальностью.
АльВЕРТ ЭЙНШТЕЙН
Одна из наиболее плодоносных фрактальных нив – явления, так или иначе связанные с флуктуациями. Природа просто изобилует самоподобными структурами и процессами, статистическими по своему характеру; они изучаются самыми различными науками – от распределения галактик в астрономии до формирования облаков, климата и погоды в метеорологии; от полимеризации и окисления в химии до структуры легких и сосудистой системы человека и картин роста многих растений в биологии; от «языков», мешающих добыче нефти, от структуры притоков и областей водосбора речных систем и частоты наводнений в геофизике до собственно физики, где фракталы и статистическое самоподобие встречаются в броуновском движении, поверхностях разлома, мыльных пузырях, коагуляции, перколяции, ограниченной диффузией агрегации и диэлектрическом пробое (молния и фигуры Лихтенберга), не говоря уже о минимумах энергии («долинах») в спиновых стеклах и, наконец, в турбулентности.

Космические струны, эти тонкие нити, образовавшиеся, повидимому, при рождении Вселеннсй и потенциально ответственные за кластеризацию галактик, также проявляют статистическое самоподобие по мере расширения Вселенной [264].

Ввиду столь всеобъемлющей вездесущности статистического самоподобия, неудивительно, пожалуй, что фракталы вторглись даже в храм искусства. Взяв на вооружение результаты первопроходческого труда Мандельброта и следуя его вполне конкретным предположениям, художники все чаще стали генерировать горные ландшафты и прочие «фоны» в видео- и кинофильмах, а также на обычных неподвижных изображениях, пользуясь компьютерными программами, призванными создавать образы самоподобных структур с приятной для глаз статистикой на любой вкус – говоря «на любой вкус», я нисколько не преувеличиваю, потому что фракталы обладают прелюбопытнейшими свойствами во многих маситабах.

В этой главе мы сначала рассмотрим наиболее выдающиеся случайные фракталы – броуновское движение и некоторые азартные игры.

Укрощение броуновского зверя

Броуновское движение, яркий пример случайного фрактала, впервые наблюдал в XIX веке шотландский ботаник Роберт Броун (17731858); он же в 1827 г. должным образом описал наблюдаемый эффект каю физическое ${ }^{1}$ явление.

Все было подготовлено для того, чтобы на сцене появилась математическая физика, и первый свет на сию покрытую мраком тайну пролил не кто иной, как Альберт Эйнштейн в 1905 г. и, чуть позже, Мариан Смолуховский (1872-1917) [189]. Интересно, что когда Эйнштейн впервые задумался о случайном тепловом движении макроскопических объектов, он даже не знал наверняка о существовании броуновского движения. ${ }^{2}$ Однако он чувствовал, что молекулярное движение непременно должно иметь какие-то макроскопичегкие проявления и что, наблюдая их, можно получить подтверждение молекулярной теории теплоты, доказав тем самым существование атомов, имеющих конечные размеры. Именно такую задачу поставил перед собой Жан Батист Перрен (18701942). В 1926 г. он был удостоен Нобелевской премии по физике за свою
${ }^{1}$ Вряд ли уместно пересказывать здесь те презабавные истории, которые породила причудливая пляска частиц цветочной пыльцы под микроскопом. Какие только фантастические интерпретации ни предлагались – от живых молекул, наделенных свободой воли, до прямого вмешательства сверхъестественных сил. Достаточно сказать, что когда Броун кипятил, замораживал и вновь нагревал жидкость, частицы все так же продолжали свою безумную пляску, весьма напоминающую столпотворение на многих современных дискотеках.
${ }^{2}$ В своей первой статье по данной теме Эйнштейн писал: «Возможно, что рассматриваемое здесь движение идентично так называемому броуновскому движению молекул. Однако доступные мне источники содержат о последнем явлении настолько неопределенные сведения, что я просто не смог сформировать о нем никакого мнения» [57].

работу, посвященную броуновскому движению. Применив к наблюдаемому под микроскопом движению частиц закон больших чисел, Перрен, следуя идее Эйнштейна, сумел даже «подсчитать» число молекул в данном объеме.

Однако на этом перечень головоломных вопросов, связанных с броуновским движением, далеко не исчерпал себя. На сей раз, по причине недифференцируемости броуновского движения, головы заболели уже у математиков; спасение пришло в лице Норберта Винера (1874-1964) и его коллег, разрешивших и эту проблему. С тех пор броуновское движение известно в математической физике как «процесс Винера»в нем в сущности не было ничего нового или неведомого, учитывая, что к тому времени уже довольно давно были известны функции Вейерштрасса – хорошая математическая модель нигде не дифференцируемых непрерывных функций. Бслее того, один из величайших умов XIX века Людвиг Больцман (1844-1906) уже тогда осознавал, что существуют физические проблемы, которые лучше всего описываются недифференцируемыми функциями, и что при должном рассмотрении подобных проблем такие функции можно было бы уже изобрести ${ }^{1}$.

Броуновское движение как фрактал
На рис. 1А показано, как выглядит под микроскопом типичная траектория частицы пыльцы, совершающей броуновское движение. Однако наблюдаемая картина способна ввести в заблуждение. В самом ли деле частица между вершинами ломаной движется по прямой? Нет! Может быть, она движется по кривым? Снова нет! Как же тогда в действительности движется частица из точки $A$ в точку $B$ на рис. 1?

Сфотографируем движение чястицы, увеличив скорость затвора камеры в 100 раз. Это позволит нам получить в 100 раз больше промежуточных положений частицы между точками $A$ и $B$. Результаты такой съемки, увеличенные в 10 раз, представлены на рис. 1Б: прямая, соединяющая точку $A$ с точкой $B$, превратилась в 100 прямолинейных отрезков, каждый из которых имеет (в среднем) такую же длину, как прямолинейные звенья ломаной на рис. 1А (хотя в действительности они в 10 раз короче, так как траектория на рис. 1Б показана при 10-кратном увеличении).

Движется ли частица между точками $C$ и $D$ на рис. 1Б по прямой? И на этот вопрос мы снова вынуждены ответить отрицательно.
${ }^{1}$ В письме Феликсу Клейну (1849-1925) от 15 января 1898 г.

Рис. 1. (А) Броуновское движение. (Б) Звено $A B$ траектории броуновского движения с рисунка (A) при в 100 раз большей частоте наблюдения и 10 -кратном увеличении.

Если увеличить частоту наблюдения за движением частицы из точки $C$ в точку $D$ еще в 100 раз, а затем подвергнуть полученные снимки 10-кратному увеличению, то полученная картина окажется статистически подобна той, которую мы видим на рис. 1Б. Именно поэтому мы и называем броуновское движение статистически самоподобны. ${ }^{1}$. Всякий раз, когда мы увеличиваем пространственное разрешение в 10 раз, число звеньев ломаной увеличивается в 100 раз. В общем случае, если увеличить пространственное разрешение в $1 / r$ раз, то для того, чтобы построить траекторию, нам понадобится в $1 / r^{2}$ раз больше звеньев. Следовательно, размерность Хаусдорфа (см. гл. 1, с. 32-35) для броуновского движения определяется величиной
\[
D_{H}=\frac{\ln N(r)}{\ln (1 / r)}=2,
\]

которая по чистой случайности принимает целочисленное значение. Имея $D_{H}=2$, броуновское движение в двумерном случае могло бы заполнить плоскость, однако в действительности этого не происходит из-за множества самопересечений (см. рис. 1А и 1Б). Вообще, для броуновского движения в двумерном случае (представьте себе ферменты, блуждающие по поверхности клетки) вероятность возвращения в любую, сколь угодно малую окрестность произвольно выбранной точки равна 1. Что касается броуновского движения в трехмерном пространстве, то, поскольку размерность вложения (3) превышает размерность Хаусдорфа ( $\left.D_{H}=2\right)$, вероятность возвращения оказывается меньше $1 .^{2}$

Как мы уже отмечали, у каждого реального самоподобного процесса должен быть наибольший и наименьший масштаб: нельзя бесконечно увеличивать или уменьшать масштаб. Однако в случае броуновского движения диапазон масштабов, в пределах которого сохраняется самоподобие, охватывает много порядков величины – от размеров сосуда с жидкостью (допустим, 0,1 м) до длины свободного пробега молекул между столкновениями, которая для малых пробных частиц может достигать $10^{-9}$ м. Во многих случаях мы склонны называть объект самоподобным, если его можно масштабировать с коэффициентом подобия 10 или даже меньше за, скажем, три дискретных шага. Броуновское
${ }^{1}$ Если говорить более точно, то геометрические фигуры, части которых могут быть приведены в соответствие со всей фигурой с помощью преобразований подобия, проводимых по разным направлениям с различными коэффициентами подобия, называются самоаффинными. Так, броуновское движение статистически самоаффинно с коэффициентом подобия, скажем, $r$ по пространственным направлениям и коэффициентом подобия $r^{2}$ по временному направлению.
${ }^{2}$ По-видимому, именно по этой важной причине мать-природа предпочитает проводить многие химические реакции, необходимые для поддержания жизни, не в трехмерном пространстве, а на поверхностях.

же движение выдерживает преобразование подобия с коэффициентом до $10^{8}$, причем промежуточные шаги образуют континуум.

Броуновское движение очень близко подходит к недифференцируемым функциям (насколько это вообщє достижимо в физике). Как весьма здраво заметил Больцман в упоминавшемся письме к Клейну (тому самому, знаменитому своей бутылкой), если бы Вейерштрасс не придумал недифференцируемые функции (в попытке показать миру, насколько сильно может противоречить здравому смыслу нечто, столь невинно называемое функцией), то физикам (или ботаникам) не осталось бы ничего другого, как самим изобрести столь необычного математического зверя.

Много ли молекул в капле жидкости?
Физический закон, лежащий в основе подобия, приводящего к соотношению (1), называется уравнением диффузии
\[
\overline{x^{2}}=2 D t,
\]

где $\overline{x^{2}}$ – среднеквадратическое смещение броуновской частицы за время $t$. Соотношение (1) просто-напросто выражает тот математический факт, что при сложении независимых случайных длин (с нулевым средним и распределением, имеющим второй момент) полное расстояние можно вычислить сложением квадратов отдельных длин и извлечением из этой суммы квадратного корня. Коэффициент пропорциональности в соотношении 1 мы обозначили через $2 D$, следуя первоначальному обозначению Эйнштейна.

Так называемый коэффициент диффузии $D$ необходимо соотнести с «микроскопическими» переменными (которых, вообще говоря, ни один ботаник под микроскопом не увидит), а именно со средней длиной свободного пробега $\lambda$ и средним временем между столкновениями $\tau$. «Малость подумав», нетрудно сообразить, что соотношение между упомянутыми величинами имеет следующий вид:
\[
2 D=\frac{\lambda^{2}}{\tau},
\]

или, если ввести скорость теплового движения $v \approx \lambda / \tau$ наблюдаемой частицы,
\[
2 D=\overline{v^{2}} \tau,
\]

где $\overline{v^{2}}$ — среднеквадратичная скорость. Согласно термодинамическому равнораспределению энергии,
\[
\overline{v^{2}}=3 \frac{k T}{m}
\]

где $k$ – постоянная Больцмана, $T$ – абсолютная температура и $m$ масса частицы.
Среднее время между столкновениями определяется по формуле
\[
\tau=\frac{4}{\bar{v} n F},
\]

где $n$ – число сталкивающихся с частицей молекул в единице объема, а $F$ – поперечное сечение бомбардируемой частицы (которое, как и масса частицы $m$, может быть измерено макроскопически).

Измеряя $\overline{x^{2}}$ и подставляя соотношения (1)-(4) в формулу (5), мы получаем возможность определить число молекул $n$ в единичном объеме. Если результат оказывается конечным (а он и в самом деле конечен), то и число всех молекул в жидкости конечно. Поскольку известен и общий вес жидкости, измерение броуновского движения под микроскопом позволило Перрену определить вес отдельной молекулы. То, что Эйнштейн смог предвидеть возможность установления конечной неисчезающей реальности атомов и молекул, является одним из величайших его вкладов в наше понимание окружающего нас физического мира (стоя почти наравне с переопределением пространства и времени в общей и специальной теориях относительности).

Спектр броуновского движения
Каков же спектр мощности броуновской функции $B(t)$, которую мы определяем как проекцию броуновского движения на одно пространственное направление в зависимости от времени? Броуновское движение порождается независимыми приращениями (отдельными столкновениями молекул с частицей) и имеет плоский («белый») спектр мощности. Следовательно, сумма, или интеграл, приращений имеет спектр мощности, пропорциональный $f^{-2}$. Шумы с такими спектрами теперь принято называть коричневыми шумами (см. гл. 5) что, помимо прочего, указывает еще и на то, что коричневый свет имеет более сильную примесь красного (т.е. низших оптических частот), чем белый свет.

Разорение игрока, случайные блуждания и теория информации

Другими примерами коричневого шума могут служить колебания биржевых курсов, выигрышей и проигрышей в других jeux d’hasard ${ }^{1}$, а в более общем плане – всякого рода случайные блуждания, обусловленные независимым приращением. Рассмотрим печально знаменитый пример, известный под названием «разорение игрока». Если при броске монеты выпадает орел (с вероятностью $p$ ), игрок выигрывает 1 доллар, а если выпадает решка (с вероятюостью $1-p$ ), игрок проигрывает 1 доллар. Капитал игрока как функция от времени (числа бросков) представляет собой броуновский процесс с фиксированными приращениями, называемый также процессом Маркова-Винера в честь А. А. Маркова (1856-1922) и Норберта Винера.

Предположим, что первоначальный капитал игрока составляет $K$ долларов ( $K-K$ арл Маркс и «Капитал»). После первого опыта (весьма удачное слово!) его капитал становится равным либо $K+1$ (с вероятностью $p$ ), либо $K-1$ (с вероятностью $q=1-p$ ). Обозначив вероятность окончательного разорения игроза через $q_{K}$, получим следующее разностное уравнение
\[
q_{K}=p q_{K+1}+q q_{K-1}, \quad 0<K<B,
\]

где $B$ – капитал банка, $q_{0}=1$ и $q_{B}=0$.
Такие разностные уравнения могут быть решены с помощью производящей функции $q_{K}=z^{k}$ (или $z$-преобразования), которая позволяет свести уравнение (1) к квадратному уравнению по $z\left(z=p z^{2}+q\right)$, имеющему (при $p
eq q$ ) два решения ( $z=1$ и $z=q / p$ ). Таким образом, при $p
eq q$ и частных решениях $q_{K}=1$ и $q_{K}=(q / p)^{K}$ общее решение имеет вид
\[
q_{K}=a+b\left(\frac{q}{p}\right)^{k}
\]

или, с «граничными условиями» $q_{0}=1$ и $q_{0}=0$,
\[
q_{K}=\frac{q / p)^{B}-(q / p)^{K}}{(q / p)^{B}-1}, \quad p
eq q .
\]

В случае $p=q$ применяем к пределу при $p \rightarrow 0,5$ правило Лопиталя и получаем для вероятности окончательного разорения игрока следую-
${ }^{1}$ Jeux d’hasard (фр.) – азартные игры. – Прим. перев.

щее простое выражение:
\[
q_{K}=1-\frac{K}{B},
\]

удовлетворяющее при $p=0,5$ необходимой симметрии, т.е. $q_{K}+$ $+q_{B-K}=1$. Разумеется, окончатєльное разорение небогатого игрока, чей капитал $K$ мал по сравнению с капиталом банка $B$ почти неизбежно $^{1}: q_{K} \approx 1$.

Крах здравого смысла в случайных испытаниях
Рассмотрим один из нескольких бросающих вызов здравому смыслу фактов, связанных с бросанием нефальшивой монеты. Он заключается в том, что в среднем 1 раз за игру игрок сможет увеличить свой капитал на $G$ долларов, прежде чем ему придется впервые изъять некую сумму из первоначальной, причем величина $G$ может быть сколько угодно большой! Переведем сказанное на более понятный язык при ставке в 1 доллар игрок, бросая монету, сможет увеличить свой капитал до 1000000 долларов в среднем один раз, прежде чем проиграет какую-либо сумму (т.е. прежде чем его капитал станет меньше, чем был до начала игры). Единственное утешение для банка состоит в том, что ожидаемый выигрыш в конечном счете равен 0 . (Как было показано в предыдущем разделе, дыя неограниченной во времени игры вероятность того, что игрок проиграет весь свой капитал, составляющий $K<B$ долларов, равна $1-K / B$, а вероятность разорения банка равна $K / B$.)

Еше один, столь же фантастичный результат, связанный с продолжительностью честной игры $D_{K}$, можно получить при решении разностного уравнения, напоминающе о по своей структуре уравнение (1):
\[
D_{K}=K(B-K) .
\]

Иначе говоря, если у игрока имеется один-единственный доллар, а в банке – миллион долларов, то ожидаемая продолжительность игры составит 999999 бросков монеты! Как станет ясно из дальнейшего, столь поразительные заключения евязаны с тем, что хотя обращения к некоторому заданному капиталу в неограниченной ( $B=\infty$ ) игре,
${ }^{1}$ Как это ни удивительно, но один профессор-статистик, имени которого я называть не буду, оказался не в состоянии вывести формулу для вероятности разорения игрока в конечной по продолжительностұ. игре. Вывод этой формулы он предложил в качестве упражнения своим студентам в начале летнего семестра 1948 г. На протяжении всего семестра он повторял на каждом занятии: «А этим мы займемся на следующей неделе». Так и не занялись.

происходят с вероятностью 1 , они имеют структуру канторовых множеств с фрактальной размерностью $1 / 2$.

Только что описанные удивительные результаты весьма характерны для несмещенных случайных блужданий, наиболее ярко выражаемых так называемым законом арксинуса. Сформулированный в терминах дискретного случайного блуждания диффундирующей частицы в одном пространственном измерении, закон арксинуса гласит: вероятность $p_{2 n}(2 k)$ того, что за временной интервал от 0 до $2 n$ частица проведет $2 k$ единиц времени на положительной полуоси, определяется по формуле [70]
\[
p_{2 n}(2 k)=\left(\begin{array}{c}
2 k \\
k
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
2 n-2 k \\
n-k
\end{array}\right) 2^{-2 n} \approx \frac{1}{\pi[k(n-k)]^{1 / 2}} .
\]

Это распределение вероятности сосредоточено в основном вблизи $k=0$ и $k=n$ (подобно распределению амплитуды синусоиды, осциллирующей между своими экстремальными значениями; на этом распределении основана голография колеблющихся тел с усреднением по времени). Закон арксинуса, получивший свое название потому, что интегралом уравнения (1) является арксинус имеет много любопытных следствий. Например, при честной игре вероятность того, что из 20 бросков каждый игрок выиграет 10 раз (по-моему, достаточно честно) составляет лишь около $6 \%$. Вероятность же того, что один из игроков выиграет все 20 бросков (а вот это уже совсем нечестно!) превышает 35\%! Иначе говоря, более чем в одной трети всех игр выигрывает только один игрок!

Еще немного пищи для размышлений
о справедливости
Еще один «нечестный» результат вполне честной игры с монетой заключается в следующем. Рассмотрим $2 n$ бросков, в половине из которых выпали орлы (а в половине – решки). А $2 k$ пусть обозначает количество раз, когда общее число всех выпавших орлов превышало общее число всех выпавших решек. Тогда число возможностей $N_{2 n}(2 k)$ такого исхода определяется «числом Каталана»
\[
N_{2 n}(2 k)=\left(\begin{array}{c}
2 n \\
n
\end{array}\right) \cdot \frac{1}{n+1},
\]

которое не зависит om $k .^{1}$
${ }^{1}$ Хотя числа Каталана, возможно, недостаточно широко известны, встречаются они поистине на каждом шагу. Например, $N_{2 n}$ – это число способов, которыми $2 n$

Такого рода несоответствия со здравым смыслом неоднократно приводили к ложным выводам в истории науки вообще и статистики в частности. В 1876 г. сэр Фрэнсис Гальтон (1822-1911), изобретатель доски Гальтона (своего рода факирского ложа для шариков), занимался исследованием некоторых данных о растениях, предоставленных ему еще более знаменитым Чарльзом Дарвином (1809-1982). Всего было выбрано 15 растений, подвергшихся обработке, и 15 необработанных растений (контрольная группа). Упорядочивая данные, Гальтон обнаружил, что в 13 из 15 случаев подвергшиеся обработке растения опережают необработанные растения с тем же порядковым номером. Вполне понятно, что Гальтон признал обработку эффективной, однако так ли это? Предположим, что все измерения выбраны совершенно случайно (30 измерений из одной и той же группы растений). Тогда вероятность обнаружения Гальтоном положительных последствий обработки составляет $3 / 16$. Иначе говоря, в 3 случаях из 16 абсолютно неэффективная обработка выглядит чрезвычайно эффективной. Сколько неверных ответов и ошибочных умозаключений было почерпнуто из одного только этого источника «статистических преступлений»!

Петербургский парадокс

Азартные игры успели породить множество парадоксов, чаще всего связанных с противными здравому смыслу аспектами случайных блужданий и их внутренней фрактальной природой.

Около 1700 г. Николас Бернулли (1687-1759), племянник Якова (1654-1705) и Иоганна Бернулли (1677-1748), придумал любопытную азартную игру с бесконечными средними выигрышами (пожалуй, нетрудно предугадать точку зрения банкиров на подобные забавы). Игру Николая Бернулли проанализировєл другой Бернулли ${ }^{1}$, Даниил (17001782), на страницах «Комментариев» Санкт-Петербургской Академии, печатного органа, в котором были опубликованы многие работы Эйлеpa.

Предположим, что монета выпадает вверх орлом с вероятностью $p>1 / 2$. Игрок бросает монету до тех пор, пока орел не выпадет в первый раз. Если это происходит на $n$-м броске, то игрок выигрылюдей, сидящих за круглым столом, могут обменяться попарно рукопожатиями так, что их руки при этом не пересекутся. Множество интереснейших сведений о числах Каталана приведено в статье Эгглтона и Гая [56].
${ }^{1}$ На рис. 2 проведена параллель между многочисленными представителями славного рода Бернулли и вывеской типичной американской адвокатской фирмы.

Рис. 2. Бернулли, Бернулли, Бернулли и К ${ }^{\circ}$ [98] ((C1991 Sidney Harris). Подпись под рисунком гласит: «Какой Бернулли вам нужен – Бернулли по гидродинамике, Бернулли по дифференциальному исчислению, Бернулли по геодезическим, Бернулли по большим числам или Бернулли по теории вероятности?»
вает $2^{n-1}$ долларов. Каков же будет его ожидаемый выигрыш $W$, если игра может продолжаться неограниченно долго? Ответ достаточно прост:
\[
W=2^{0} p+2^{1}(1-p) p+2^{2}(1-p)^{2} p+\ldots,
\]

или
\[
W=\frac{p}{1-2(1-p)} .
\]

Например, при $p=0,55$ ожидаемый выигрыш составит $W=5,5$ долларов, а при $p=0,51-W=25,5$ долларов.

А что произойдет, если играть «честно»? При $p=1 / 2$ геометрическая прогрессия (1) не сходится, а ожидаемый выигрыш становится бесконечным! Стало быть, по справедливости, платой за игру должна стать бесконечно большая первая ставка (так, по крайней мере, мог бы рассудить раздраженный банкомет).

Однако благоразумный игрок, помимо того, что он «временно»не располагает бесконечным капиталсм, мог бы счесть бесконечный средний выигрыш, который сулит ему соотношение (1), не совсем честным, и предпочел бы основывать свою ставку на конечном медианном выигрыше, составляющем всего лишь один доллар. Банкомету и игроку никогда не стать друзьями – слишком различны ставки!

Каким же образом среднее значение может так сильно отличаться от медианного? Ответ состоит в том, что при $p=1 / 2$ среднего значения даже не существует, а то, что не существует, не может от чего бы то ни было отличаться.

Расходящиеся средние выигрыши напоминают о бесконечной длине фрактальной кривой, и, действительно, как мы убедимся в последующих разделах, петербургский парадокс может быть укрощен с помощью введения фракталов и размерностей Хаусдорфа.

Угадывающая машина Шеннона
Не все азартные игры честны, и меньше всего, пожалуй, те, которые провозглашают свою честность громче других («Я не жулик!»). Но некоторые игры и не претендуют на честность. Более того, самим своим существованием они обязаны тому, что нечестны. Такова, например, занимательная «угадывающая машина» Клода Шеннона [237].

Это хитроумное изобретение Шеннона в начале игры несколько раз случайным образом выбирает сторону монеты, в то время как соперник-человек делает ставки. Сразу после первого своего выигрыша машина приступает к анализу «стратегии» оппонента на глубину до двух бросков «монеты». Ставит ли человек на другую сторону монеты, если исход предыдущего броска оказывается для него неблагоприятным? Продолжает ли игрок ставить на решку, если решка выпала в двух предыдущих бросках? Или он из осторожности предпочтет сделать следующую ставку на орла? Большинство людей выбирает такие стратегии подсознательно, но машина Шеннона исходит из допущения, что человек действует, как марковский процесс второго порядка. Безошибочно вскрывая глубинные переходные вероятности и используя их, машина Шеннона всегда выигрывает в длинной серии бросков за исключением того случая, когда ей приходится играть против своего создателя. Шеннон, постоянно отслеживая внутреннее состояние машины, может выиграть у нее 6 раз из 10. Разумеется, кто угодно может выиграть у машины в среднем 5 раз из 10: нужно лишь делать ставки случайным образом (например, в самом деле бросая монету). Но именно этого и не делают люди (очевидно, по причине отсутствия необходимых \”шариков»), в чем нас снова и снова убеждает машина Шеннона, выигрывая у множества самых различных людей-претендентов на победу. По-видимому, есть нечто противное человеческому разуму в длинных сериях однотипных исходов, которые выглядят вполне естественно в истинно случайных последовательностях.

Конечно же, у машины также бывают полосы неудач, в особенности на стадии начального угадывания. Однажды я хотел продемонстрировать проницательность машины Шеннона одному своему иностранному знакомому (математику Фрицу Хирцебруху), посетившему Bell Laboratories. Так уж получилось, что Хирцебруху удалось выиграть 13 раз подряд, прежде чем он впервые проиграл. Однако затем машина Шеннона отыгралась с лихвой: она обогнала знаменитого математика на 31-м броске (т.е. машина выиграла в 16 из 18 последующих бросков)! и после этого уже не уступила ему, хотя Хирцебруху и объяснили (в общих чертах) принцип работы машины.

Классическая механика рулетки и пропускная способность канала по Шеннону

Если угадывающая машина Шеннона нечестна изначально (в полном соответствии с замыслом своего создателя), то многие на первый взгляд честные азартные игры можно превратить в нечестные. Огромные состояния (а иногда и жизни) были «спущены» за рулеточным столом игроками, делавшими ставки в соответствии с причудливой смесью «абсолютно надежных» стратегий. В конце концов банк всегда остается в выигрыше, так как даже при игре с «равными шансами», шансы банкомета относятся к шансам. игрока как 19 к 18 (а на столах с двумя «зеро», распространенных в американских казино, как 20 к 18).

И все же автор этой книги, заядлый любитель понаблюдать за происходящим в игорном зале, был склонен думать, что простая – классическая, а не квантовая – механика вкупе с быстрыми вычислениями в реальном времени, могут несколько улучшить его шансы на выигрыш. Облачившись в новенький с иголочки смокинг и вооружившись несколькими спрятанными в карvанах хронометрами, он отправилея в поход по самым известным казино мира – в Баден-Бадене в Шварцвальде («отце» Монте-Карло), Бадене близ Венского леса и Эвиан-Ле-Бен на Женевском озере. Эти полевые исследования, предпринятые в начале $60-$ годов, подкрепили выводы, сложившиеся у меня в результате экспериментирования с настоящей рулеткой, устроенной по всем правилам в подвале моего дома: в момент, когда некий усредненный крупье объявляет: «Rien ne vas plus!» («Ставки больше не принимаются!», «Nichts geht mehr!»), окончательное положение шарика уже не является совершенно непредсказуемым; распределение вероятностей здесь далеко не равномерно. Больше того, глубина модуляции амплитуды вероятности по окружности рулеточного колеса обычно составляет около $10 \%$. Таким образом, вместо того, чтобы проигрывать в среднем 19 из 37 «равношансовых» ставок, можно выигрывать примерно 20 ставок из 37. В некоторых казино шансы клиента на выигрыш еще выше. Например, в Эвиане, где крупье за одним столом по небрежности запускал колесо так медленно, что шарик, свалившись с верхнего круга, падал прямиком в лунку, где и оставался, не подпрыгнув ни разу ни в ту, ни в другую сторону.

Чтобы пожать обещанные плоды, необходимо прежде определить коэффициенты трения для шарина и колеса (обычно очень малые) и ввести эти параметры в небольшой портативный вычислитель. (В свое время мы с приятелем построили для этой цели специализированный аналоговый компьютер. Теперь, четверть века спустя, при необходимости направить фишки на игорном столе в нужную для вас сторону вы вполне можете положиться на цифровые компьютеры [20].) Нажатием двух клавиш вы передаете компьютеру данные о времени двух последовательных прохождений шарика и «зеро» вращающегося колеса мимо некоторой заранее выбранной отметки на ободе рулетки. Эти данные позволяют определить скорости и относительные положения колеса и шарика. (0 трении мы уже позаботились заранее.) После вычисления наиболее вероятный исход сообщается игроку через модифицированный слуховой аппарат.

Как же максимизировать ожидаемую скорость прироста капитала игрока, если известно, что вероятность выигрыша $p$ больше, чем один из двух (т.е. $p>0,5$ )? Какой долей капитала следует рисковать при каждом запуске рулеточного колеса? Ответы дает теория информации (вообще говоря, азартные игры – это одно из первых ее приложений). В превосходной работе, о которой мы уже упоминали (гл. 5, с. 181-182), Джон Л. Келли-младший [127] доказал следующее утверждение: чтобы максимизировать скорость увеличения капитала, необходимо ставить $(2 p-1)$ от текущего количества денег. При $p \leqslant 0,5$ следует, разумеется, полностью воздержаться от игры в рулетку и найти себе другое времяпрепровождение. При соблюдении упомянутого условия ожидаемый (экспоненциальный) рост капитала определяется коэффициентом $2^{C(p)}$, где $C(p)$ – пропускнан способность по Шеннону двоичного симметричного канала с вероятностью ошибки $p$ :
\[
C(p)=1+p \log _{2} p+(1-p) \log _{2}(1-p) .
\]

Например, при $p=0,55$ игроку следует при каждом запуске рулеточного колеса рисковать долей своего капитала, равной $2 p-1$, или $10 \%$, и ожидать скорости обогащения $2^{C(0,55)}=0,005$, или $0,5 \%$, за каждый запyck. (Это означает, что за один уик-энд, сделав 138 ставок, игрок может удвоить свое состояние – за вычетом чаевых и налогов).

Описанное выше применение теории информации было первым (и, насколько мне известно, все еще остается единственным) примером того, какую пользу можно из нее извлечь, не прибегая к трудоемкому кодированию, необходимому для реализации обещанной теорией Шеннона безошибочной передачи информации.

Много ли я выиграл, придерживаясь своей системы? По правде говоря, когда я убедился, что классическая механика (так же, как и мой аналоговый компьютер) работает, у меня пропал всякий интерес к проекту. Кроме того, я знал, что в любом казино всякого, кто «слишком много» выигрывает, могут без всяких объяснений выдворить из священных залов. И наконец, стоит лишь администрации казино ознакомиться с научными основами нашего метода, как тотчас же последует распоряжение крупье запускать рулетку чуть быстрее и объявлять «Rien ne vas plus!» чуть раньше. И все- волшебный сон развеется, рай будет утерян.

Скопления разорений и галактик
Некоторые весьма простые статистические правила порождают случайные последовательности точек, называемые точечными процессами, в которых наблюдаются неожиданно большие пустоты, обладающие статистически самоподобной структурой. Хорошим тому примером может служить распределение галактик во Вселенной: пустоты между самыми большими скоплениями галактик лишь в несколько раз меньше размера всей Вселенной. Пустоты между галактиками, в свою очередь, сравнимы по размеру со скоплениями галактик и т. д. С аналогичной структурой мы встречаемся и в азартных играх (в «расстояниях» между последовательными разорениями) и в многочисленных других явлениях, заполненных «дырами». Рассмотрим честную азартную игру, в которой вероятность выиграть или проиграть иену равна $p=0,5$. Текущий капитал $K(t)$ игрока в ходе игры может изменяться так, как показано на рис. ЗА: он обладает тенденцией к сдвигу в сторону больших положительных или отрицательных значений, но в конце концов возвращается к 0 . (Разорившемуся игроку, растратившему весь свой капитал, разрешается продолжать игру в кредит). Коль скоро капитал упал до 0 , то вероятность того, что он в течение короткого промежутка времени еще раз достигнет нулевой отметки, по очевидным причинам очень высока. Иначе говоря, нули «капитальной» функции $K(t)$ образуют скопления.

Рис. 3. (А) Капитал игрока в честной азартной игре как функция от времени. (Б) Флуктуации капитала игрока на протяжении длительного времени.

Что еще можно сказать о функции $K(t)$ ? Других масштабов, кроме величины шага по оси времени ( $\Delta t=1$ ) и прироста капитала ( $\Delta K=1$ ), в интересующей нас задаче нет. Поэтому мы ожидаем, что разорение игрока обладает самоподобием и самоаффинностью. Действительно, если построить график функции $K(t)$ на бо́льшем интервале времени при подходящем выборе масштабов по осям $t$ и $K$, то новый график (рис. 3Б) будет сильно напоминать старый. Подходящим коэффициентом подобия для $K$ является квадратный корень из коэффициента для $t$, как и в броуновском движении.

Число ожидаемых нулей $N_{0}$ во временном интервале $t$ также пропорционально квадратному корню из $t[70]: N_{0} \approx t^{1 / 2}$. При увеличении временного интервала в 4 раза число разорений возрастет только в 2 раза (звучит неплохо!).

Какова вероятность $p(z)$ того, что расстояние между последовательными нулями будет равно $z$ ? Поскольку в задаче при бесконечных pecypcax капитала нет ограничения на масштаб, функция $p(z)$ для продолжительных игр должна стремиться к самоподобному степенному закону:
\[
p(z) \approx \text { const } \cdot z^{\alpha}, \quad 1 \ll z \leqslant t .
\]

Так как величина $N_{0}$ пропорциональна $t^{1 / 2}$, ему же пропорционально и среднее расстояние между последовательными нулями $z=t / N_{0}$. При $\bar{z} \approx$ const $\cdot t^{\alpha+2} \sim t^{1 / 2}$ получаем $\alpha=-3 / 2$ и, асимптотически,
\[
p(z) \approx \text { const } \cdot z^{-3 / 2}, \quad 1 \ll z \leqslant t .
\]

Отсюда выводится кумулятивное распределение длин свободных от нулей отрезков, длина которых превышает $z$ :
\[
P(z)=\sum_{k=z}^{t} p(k) \approx \text { const } \cdot z^{-1 / 2} .
\]

Это распределение имеет очень длинный хвост, который, по мере возрастания расстояния между последовательными нулями, очень медленно спадает к нулю. На рис. 4 представлены экспериментальные результаты (полученные с помощью карманного калькулятора), подтверждающие соотношение (1) в диапазоне, охватывающем более пяти порядков по величине.

На рис. 5 показана структура свободных от нулей областей «пустоты внутри пустот внутри пустот». Примерно половина каждого «скопления нулей» не содержит на деле ни одного нуля! В пределе, при непрерывной шкале времени, нули образуют весьма разреженное облако пыли – канторово множество с размерностью Хаусдорфа, равной взятому с противоположным знаком показателю в уравнении кумулятивного распределения (1): $D_{H}=0,5$. Эту величину можно также получить из значения $D_{H}=2,5$ для поверхности броуновских гор

Рис. 4. Распределение временны́х промежутков, в течение которых не происходит разорения игрока.
(см. гл. 5, с. 189). Вертикальное сечение такой горы представляет собой броуновский «профиль» с $D_{H}=1,5$, соответствующий нашей функции $K(t)$. Еще одно сечение – линией $K=0$ – порождает наше нулевое множество (т.е. множество тех значений $t$, при которых $K(t)=0$ ), с $D_{H}=0,5$. В общем случае понижение топологической размерности фрактала на единицу при образовании нулевого множества сопровождается уменьшением фрактальной размерности также на единицу. Например, броуновские горы с поверхностью, обладающей размерностью Хаусдорфа $D_{H}=2,2$, порождают береговые линии (т.е. линии нулевого возвышения над уровнем моря) с $D_{H}=1,2$, близкой к размерности Хаусдорфа для западного побережья Британии.

Полеты Леви в космическом пространстве
Существует еще один способ генерировать такие точечные процессы, как нулевое множество игрока, и обобщать их на более высокие размерности – так называемые полеты Леви [161]. В полетах Леви (названных так в честь французского математика Поля Леви (18861971)) мы «сшиваем» независимые приращения («траектории полета»),

Рис. 5. Временны́і промежутки без разорения игрока (показанные тонкой линией) присутствуют в любом масштабе.

длины которых $z$ распределены (кумулятивно) согласно однородному степенному закону:
\[
P(z)=\text { const } \cdot z^{-D},
\]

где $D$ оказывается размерностью Хаусдорфа для получающейся в результате «пыли». В случае одной пространственной размерности и $D=$ $=0,5$ формула (1) описывает «пустоты» в кривй разорения игрока.

На рис. 6 А вы видите двумерный изотропный полет Леви с показателем $D=1,26$, при котором вероятность появления крупных пустот больше, чем при $D=0,5$. Точки поворота, т. е. «галактики», порожденные этим процессом, показаны на рис. 6 Б. При $D=1,26$ сходство с распределением галактик во Вселенной (каким его видит земной наблюдатель) поражает воображение [101]. Из этого мы, разумеется, можем сделать вывод о том, что наша Вселенная представляет собой канторову пыль, не имеющую никаких естественных масштабов, кроме поперечника самой Вселенной. Однако лучше всего подходящий для галактик и их скоплений, похожих на мыльные пузыри, показатель $D=1,26$ до сих пор не получил должного объяснения. Упорно не поддается разрешению одна загадка – из тех, что касаются эволюции Вселенной –

Рис. 6. (А) Двумерный полет Леви. (Б) Соответствующее скопление «галактик».

таинственная роль темной материи, в том числе черных дыр и (на другом конце шкалы масс) вездесущих, но неуловимых нейтрино. ${ }^{1}$

Парадоксы вероятностных степенных законов
Распределения вероятности, описываемые самоподобными степенными законами, могут иногда приводить к весьма парадоксальным следствиям. Рассмотрим случайную величину $1 \leqslant x<\infty$ с вероятностью того, что она превысит данное значение $x$ на $x^{-D}$. Условная вероятность того, что при $x>x_{0}$ случайная величина превосходит значение $x$, равна $\left(x_{0} / x\right)^{D}$.

При $D>1$ среднее существует и равно $D /(D-1)$. Условное среднее при $x>x_{0}$ выглядит, на первый взгляд, достаточно невинно:
\[
\bar{x}_{x_{0}}=\frac{x_{0} D}{D-1} .
\]

Как и следовало ожидать для случая самоподобного распределения, условное математическое ожидание линейно зависит от $x_{0}$.

Предположим теперь, что значения времени, необходимые для завершения какой-то работы (например, для написания сложного доклада), распределены согласно степенному закону с показателем, скажем, $D=1,5$. Тогда ожидаемое время, необходимое для завершения работы, составит $D /(D-1)=3$ часа, дня или любых других единиц времени. Здраво рассуждая, если мы начали некую работу 5 дней назад и не закончили ее, то время, необходимое нам сейчас для окончания этой работы, окажется значительно меньше 3 дней – в конце концов, мы же собирались сделать ее всю за 3 дня. Как бы то ни было, из формулы (1) следует, что теперь, через 5 дней после начала работы, ожидаемое время ее завершения составляет 15 дней. Если по истечении 60 дней после начала работа все еще не будет завершена, то ожидаемое время ее окончания составит уже 180 дней! Иначе говоря, чем дольше ведется работа над каким-нибудь проектом, тем более отдаленной становится дата ее окончания.
1 Давно ожидающие решения вопросы, связанные с распределением квазизвездных объектов («квазаров») на дальних окреинах Вселенной, недавно были объяснены эффектами гравитационной линзы, образованной темной материей, которая окружает галактики, находящиеся на «переднем плане» [13]. Этот оптический эффект, предсказанный некогда Эйнштейном (Эйнштейн, впрочем, полагал, что он ненаблюдаем), может еще оказаться наиболее четким «отпечатком» темной материи. (Способность гравитационной линзы порождать множественные изображения можно сравнить с оптическими свойствами ножки бокала: если смотреть сквозь ножку, изображение двоится.)

Так ли уж парадоксально последнее утверждение? Отнюдь: как показывает человеческий опыт, наш старый добрый человеческий опыт, многие проекты страдают именно из-за таких «убегающих» сроков их завершения. Если говорить кратко, то подобная работа либо выполняется быстро, либо не выполняется никогда. Хотя нельзя не удивиться тому, что эту всеобщую загадку удается так просто смоделировать с помощью самоподобного степенного закона. Пожалуй, было бы разумно разработать классификацию таких «затяжных» работ по их характеристическим показателям $D$ и в соответствии с нею назначать нерадивым исполнителям зарплату. При $D=2$ разность $\bar{x}_{x_{0}}-x_{0}$ равна $x_{0}$, что характерно для пресловутых работ, завершение которых вечно откладывается а mañana ${ }^{1}$.

Инвариантные распределения: Гаусс, Коши … кто следующий?

Сумма двух гауссовых случайных величин является гауссовой случайной величиной. Поэтому принято говорить, что гауссово распределение инвариантно относительно сложения. Дисперсия $\sigma^{2}$ суммы гауссовых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин ( $\sigma_{1}^{2}$ и $\sigma_{2}^{2}$ ):
\[
\sigma^{2}=\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2} .
\]

Инвариантность гауссова распэеделения тесно связана с центральной предельной теоремой теории вероятности. Теорема эта утверждает, что надлежащим образом нормированная сумма большого числа независимых случайных величин с конечными дисперсиями сходится к гауссову распределению.

Для правила суммирования (1) гауссово распределение является единственным распределением, инвариантным относительно сложения. Однако, если ввести некоторый общий показатель $D$ и заменить стандартные отклонения $\sigma$ (возможно, расходящиеся) какой-нибудь другой мерой $s$ ширины распределения, существование которой гарантировано (например, интерквартильным размахом), то вместо соотношения (1) мы получим более общее правило
\[
s^{D}=s_{1}^{D}+s_{2}^{D} .
\]

Существуют ли распределения, инвариантные относительно сложения с показателем $D$, отличным от 2 ? Существуют, причем они связаны
${ }^{1}$ A mañana (исп.) – на завтра. – Iргім. перев.

с самоподобными степенными распределениями, с которыми мы встречались в предыдущих разделах.

Для показателя $D=1$ инвариантным распределением оказывается колоколообразная плотность Коши
\[
p(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^{2}\right)},
\]

функциональная форма которой совпадает с формой резонанса интенсивности («резонансной линией») линейного осциллятора как функции от частоты.

С распределением Коши, названным в честь французского математика Огюстена Луи Коши (1789-1857), связано несколько заслуживающих внимания парадоксов. Оно не имеет первого момента и дисперсии, поскольку соответствующие интегралы расходятся. Следовательно, нам не остается ничего другого, как характеризовать распределение Коши с помощью его медианы и интерквартильного размаха. Напомним, что медианой называется значенхе $x$, при котором распределение, проинтегрированное от $x$ до $+\infty$, равно $1 / 2$, т. е. применительно к распределению Коши,
\[
P(x)=\int_{x}^{\infty} \frac{d y}{\pi\left(1+y^{2}\right)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi} \operatorname{arctg} x=\frac{1}{2},
\]

откуда медиана равна 0. Интерквартильный размах есть разность двух значений $x$, при которых величлна $P(x)$ равна, соответственно, $3 / 4$ и $1 / 4$. Для распределения Коши (3) интерювартильный размах равен 2.

Преобразование Фурье (так называемая характеристическая функция) распределения Коши (3) имеет вид симметричной экспоненциальной функции $\exp (-|t|)$. (Раз уж мы признали, что распределение Коши имеет форму резонансной линии, появления экспоненциальной функции следовало ожидать, так как амплитуда колебаний линейного резонатора убывает экспоненциально.)

Поскольку сложение двух случайных величин означает свертку их распределений вероятностей или произведение их преобразований Фурье, то очевидно, что преобразование Фурье суммы двух переменных, распределенных по формуле (3), запишется каю функция $\exp (-2|t|)$. Taким образом, соответствующая плотность вероятности будет такой же, как и плотность, задаваемая формулой (3), но с осью абсцисс, растянутой в 2 раза. Обобщая, можно сказать, что ширина $s$ распределения суммы двух случайных величин Коши равна сумме ширин распределений слагаемых:
\[
s=s_{1}+s_{2} .
\]

Итаю, для распределения Коши показатель $D$ в соотношении (2) действительно равен 1. Причина такого линейного поведения заключается в том, что преобразование Фурье распределения Коши убывает экспоненциально, а при умножении двух экспоненциальных функций их аргументы складываются линейно.

В результате такого линейного скейлинга распределение среднего значения $N$ одинаково распределенных случайных величин Коши совпадает с исходным распределением. Следовательно, усреднение случайных величин Коши не улучшает оценку, т.е. не дает никаких преимуществ. Этим распределение Коши резко отличается от остальных распределений вероятности с конечной дисперсией $\sigma^{2}$, для которых усреднение по $N$ случайным величинам уменьшает неопределенность в $1 / \sqrt{N}$ раз. Такое нестандартное поведение распределения Коши является следствием медленно убывающих «хвостов», порождающих слишком много «выбросов», которые отнюдь не способствуют получению стабильного среднего.

Мы настоятельно рекомендуем. читателю самостоятельно убедиться в парадоксальном поведении распределения Коши, моделируя усреднение случайных величин Коши с помощью микрокалькулятора или домашнего компьютера. В общем елучае, случайную величину с проинтегрированным распределением $P(x)$ можно получить из случайной величины $u$, равномерно распределенной в интервале [0,1] (генераторы таких величин имеются во многих калькуляторах), с помощью обращения уравнения $u=P(x)$. Подставляя в его правую часть определение величины $P(x)$ из соотношения (4), получаем «рецепт»
\[
x=\operatorname{tg}[\pi(0,5-u)]
\]

преобразования равномерно распределенной случайной величины $u$ в случайную величину Коши $x$.

Распределение Коши встречается в многочисленных практических ситуациях. Например, отношение двух независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым средним распределено по Коши. Иначе говоря, для любого двумерного изотропного распределения $p(x, y)$, центрированного в начале координат, отношение $x / y$ (или $y / x$ ) распределено по Коши. Из этого утверждения также следует, что если какая-либо случайная величина распределена по Коши, то и обратная ей величина распределена по Коши. Распределение логарифма $z$ случайной величины Коши также симметрично: $1 /(\pi \mathrm{ch} z)$. (Эта функция играет важную роль в некоторых разделах физики. Например, световые лучи с профилем $1 / \operatorname{ch} z$ во времени или пространстве приводят к солитонам в оптических волокнах. Ірофиль скорости звука в океане, изменяющийся по закону $1 / \operatorname{ch} z$ в зависимости от глубины, приводит к самофокусировке и тем самым к возможности передачи акустической энергии на межконтинентальные расстояния с малыми потерями.)

Как мы уже знаем, то, что показатель $D$ в соотношении (2) для распределения Коши равен единице, непогредственно следует из того факта, что преобразование Фурье распределения Коши представляет собой экспоненциальную функцию $(\exp (-|t|))$ с линейной зависимостью аргумента от переменной Фурье $t$. Аналогично: показатель $D$ для гауссова распределения равен двум, так как преобразование Фурье гауссова распределения есть экспоненциальная функция ( $\exp \left(-t^{2}\right)$ ) с квадратичной зависимостью от переменной Фурье $t$. Следуя Коши, мы можем предположить, что обратное преобразование Фурье функции $\exp \left(-|t|^{D}\right)$ приведет к случайной величине с инвариантным относительно сложения распределением, имеющим некоторый показатель $D$. Так оно и есть в диапазоне $0<D \leqslant 2$. (В случае $D>2$ приведенный выше «рецепт» Коши дает отрицательные значения вероятности, что есть verboten ${ }^{1}$.)

Милое нашему сердцу гауссово распределение с $D=2$ предстает здесь перед нами как крайний случай (пусть даже и весьма распространенный) из целого клана распределений. Это означает, что вместо одной центральной предельной теоремы мы получаем много таких теорем: в зависимости от показателя скейлинга $D$ из соотношения (2) надлежащим образом нормированная сумма случайных величин будет сходиться к тому или иному предельному распределению, инвариантному относительно сложения случайных величин.

Например, при $D=1 / 2$ инвариантное распределение принимает вид
\[
p(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} x^{-3 / 2} \exp \left(-\frac{1}{2 x}\right) .
\]

Это есть не что иное, как плотность вероятности того, что функция броуновского шума $B(t)$ с нулевым начальным значением (т.е. $B(0)=0$ ) снова обратится в нуль в интервале $x \leqslant t \leqslant x+d x$.
${ }^{1}$ Verboten (нем.) – запрещено. – Iрим. перев.

То, что показатель скейлинга $D$ случайной величины, распределенной по закону (5), равен $1 / 2$, очевидно непосредственно из распределения, проинтегрированного от $x$ до $+\infty$, что дает $P(x)=\operatorname{erf}(1 / \sqrt{2 x})$. Интерквартильный размах $s=9,12$ этого распределения может быть получен из таблиц интеграла ошибок [115]. Поскольку преобразование Фурье функции $p(x)$ (5) имеет вид $\exp \left(-|t|^{1 / 2}\right)$, добавление двух независимых случайных величин изменяет переменную Фурье $t$ на $4 t$, а значит, и случайную величину $x$ на $x / 4$. Интерквартильный размах для суммы двух случайных величин при этом оказывается равен $4 s=$ $=36,5$. Таким образом, среднее двух независимых случайных величин такого рода имеет интерквартильный размах вдвое больший, чем размах каждой случайной величины в отдельности. В общем случае, среднее значение $N$ независимых случайных величин, распределенных по закону (5), имеет ширину в $N$ раз большую, а не в $1 / \sqrt{N}$ раз меньшую, как в стандартных случаях. Неудивительно, что такую статистику иногда называют нестандартной – хотя в мире гораздо больше нестандартной статистики, чем хотелось бы многим невинным мудрецам.

При больших $x$ распределение $p(x)$ из соотношения (5) пропорционально $x^{-3 / 2}$, а проинтегрированное распределение пропорионально $x^{-1 / 2}$, т.е. $x^{-D}$. Последнее утверждение допускает обобщение: для всех инвариантных распределений, отличных от гауссова, проинтегрированное распределение асимптотически пропорционально $x^{-D}$, где $D$ – показатель из соотношения (2). И наоборот, поскольку нам уже известно (см. с. 211), что полеты Леви с проинтегрированными распределениями, удовлетворяющими степенному закону $x^{-D}$, порождают фрактальные множества с размерностью Хаусдорфа $D$, мы увидим в показателе $D$ из соотношения $s^{D}=s_{1}^{D}+s_{2}^{D}$ самую что ни на есть «добропорядочную» фрактальную размерность для этой геометрической реализации распределения. Заметим лишь, что показатели $D$ не всегда имеют смысл фрактальной размерности.