Наш мир построен по плану, глубокая симметрия которого каким-то образом опражается во внутренней структуре нашего интеллекта.
Поль ВАЛЕРИ

Понятия подобия и различия издавна играют важную роль в делах человеческих и в природе. Мы радостно приветствуем всякое проявление подобия, но довольно часто нас гораздо сильнее привлекает непохожее. Масса притягивает массу, но электроны тянутся к частицам с противоположным зарядом – антиэлектронам, или позитронам. Электроны и позитроны даже могут привести свое взаимное влечение к достойному завершению – небольшому взрыву с выделением энергии в миллион электрон-вольт. (Впрочем, различие очень часто вызывает дискриминацию. Приведем лишь один далеко не самый яркий пример. В русском языке за коренным жителем Германии закрепилось название немеи, что означает «немой» или «не из наших». Читатель без труда приведет и более красноречивые примеры.)

В естественных науках подобие напускало туману, и в то же время проливало свет. Почему все электроны подобны, более того, тождественны друг другу (судя по тому, что мы о них знаем)? Это лишь одна из тех великих неразгаданных загадок, которыми Природа так любит подразнить нас. Если бы мы знали ответ и понимали к тому же, почему электроны и другие «элементарные» частицы обладают именно такими массами, зарядами и спинами, то наши познания об окружающем нас (и страдающем от нас) мире стали бы несравненно шире. Прежде чем погрузиться в различные аспекты самоподобия, мы коснемся в этой главе некоторых практических применений идей подобия и различия в физике, психофизике, биологии, геологии (альпинизме?) и других областях человеческой деятельности, в которых масштабная инвариантность, или скейлинг, является одним из ключевых понятий.

Более чем один масштаб

Измерение обычно считается пусть иногда и неточным, но безусловно однозначным процессом. Футбольное поле имеет размеры приблизительно 50 на 100 м. Следовательно, поле имеет площадь 5000 квадратных метров, по крайней мере, на взгляд футболиста или агента по продаже земельных участков.

Однако площадь того же самого футбольного поля (как, впрочем, и любой лужайки или поляны) может выражаться совсем другой величиной, если к ее оценке подходить с иной точки зрения – например, с точки зрения крохотной букашки, карабкающейся то вверх, то вниз по травинкам. Площадь, соответгтвующая суммарной поверхности всех травинок, гораздо (возможно, в 100 раз) больше обычной, «игровой» площади футбольного поля. Новая, бо́льшая, площадь актуальна и для фотонов солнечного света, поглощаемых хлорофиллом травы, чтобы превратить содержащийся в воздухе углекислый газ в углеводороды и кислород.

Таким образом, вопрос о площади применительно к футбольному полю допускает по крайней мере два совершенно истинных ответа; футбольнос поле харагтсризустсл двумл масштабами площади, отличающимися друг от друга во много раз. В других случаях измерения могут приводить к еще большему числу ответов. Например, протяженность границы между какими-либо двумя европейскими странами, как правило, зависит от масштаба, в котором проводятся измерения. Так, измеренная по глобусу граница между Испанией и Андоррой (или Австрией и Лихтенштейном, если это княжество вообще нанесено на глобус) окажется короче, чем та же граница, измеренная по карте Европы, а та, в свою очередь, окажется короче границы, измеренной по карте Пиренеев (или Альп).

Еще бо́льшую протяженность границ мы получим, измеряя их длину по более подробным картам, на которых нанесена только одна интересующая нас местность, или по туристическим картам-планам. А если бы мы действительно прошли вдоль границы (кое-где нам, возможно, пришлось бы плыть или взбираться на горы), то ее протяженность стала бы еще больше (рис. 1). Таким образом, не существует единственной протяженности границы – таких протяженностей много. Как теперь принято говорить, граница, как и фрактальная кривая фон Коха, о которой мы рассказывали в гл. 1 (с. 30 – 31), имеет много масштабов длины;

Рис. 1. Длина береговой линии возрєстает по мере того, как уменьшается длина мерных стержней.

эта многомасштабность является весьма важной концепцией в теории самоподобия и фракталов.

В физике существует много явлений, о которых принято говорить, что они наблюдаются «во всех масштабах». Таков, например, принцип неопределенности Гейзенберга: в огромном диапазоне значений входящих в него переменных (таких, как энергия и время или импульс и координата) не обнаружено ни одного случая, когда бы соотношение неопределенности не выполнялось бы. Но даже если диапазон допустимых масштабов ограничен, как в случае размеров скоплений галактик (ограниченных размерами Вселенной) или размеров магнитных доменов в куске железа вблизи точки перехода к ферромагнетизму (ограниченных размерами магнита), концепция истинности независимо от маситаба используется в качестве важного постулата при анализе наблюдений, объяснить которые без нее было бы во многих случаях весьма затруднительно.

Быть или не быть масштабной инвариантности: немного из биологии и астрофизики

Слоны и гиппопотамы настолько же неуклюжи, насколько и огромны, а лось поневоле менее грациозен, чем газель.
Д’Арси Томпсон

По иронии судьбы Галилей (рис. 2), открывший скейлинговый закон для свободно падающих тел и тем самым положивший начало современной экспериментальной физике, оказался также и тем, кто заметил, что некоторые законы физики (и биологии) не остаются неизменными при изменении масштабов. Размышляя над прочностью костей, Галилей рассуждал следующим образом. Животное вдвое большей длины, ширины и высоты, должно весить в 8 раз больше. Однако его вдвое более широкие кости имеют лишь вчетверо большее поперечное сечение, а значит, способны выдерживать лишь вчетверо больший вес. Следовательно, чтобы выдерживать полный вес тела, поперечный размер костей должен был бы увеличиться более чем в 2 раза. Такое отклонение от простого подобия вводит естественный масштаб в строение тела животных, как сухопутных, так и водных: при некоторых предсказуемых в общих чертах рєзмерах диаметр костей начинает увеличиваться быстрее, чем остальные части тела животного, разрушая тем самым подобие, но сохраняя в живых животное (см. очерк Дж. Б. С. Холдейна (1892-1964) «Как важно быть нужного размера» [94].

Другим примером подобия в биологии может служить диссипация энергии теплокровными животными как функция их веса или массы (рис. 3). Как можно было бы по наивности ожидать, диссипация энергии $P$, измеряемая по суточному потреблению калорий, должна быть пропорциональна площади поверхности тела животного, которая для «подобных» животных приближенно пропорциональна объему или массе тела в степени две третьих: $P \sim m^{2 / 3}$. И в самом деле, угловой коэффициент прямой на рис. 3 соблазнительно близок к $\frac{2}{3}$, однако небольшое, но систематическое отклонение от ожидаемого коэффициента все же существует: более крупные животные рассеивают больше энергии, чем можно было бы предсказать, исходя из соотношения $P \sim m^{2 / 3}$. Более того, данные для многочисленных видов, включая Homo sapiens, гораздо лучше ложатся на прямую с угловым коэффициентом $\frac{3}{4}$. Почему? Хороший вопрос, который заслуживает дальнейшего изучения.

Рис. 2. Галилео Галилей полностью оправдан [98] (C1982 Sidney Harris). На постаменте надпись: «Галилео Галилей. Родился в 1564 г. Осужден в 1616 г. Умер в 1642 г. Надгробие сооружено в 1737 г. Памятник воздвигнут в 1842 г. Реабилитирован в 1982 г.»

Может быть, более крупные животные менее эффективны энергетически? Может быть, они движутся к тому же ограничению на размеры тела, которое в свое время прикончило динозавров? Похоже, что с каждым десятилетием люди также становятся выше ростом и крупнее по всем остальным размерам, и, может быть, им стоит поостеречься, если они не хотят вслед за мамонтами кануть в Лету?

Рис. 3. Рассеяние энергии теплокровными животными как функция массы их тела.

Аналогичное нарушение подобия происходят и в фотографии. Обычно его называют нарушением взаимозаместимости. Оно было открыто немецким астрофизиком (да что там! – создателем астрофизики) Карлом Шварцшильдом $(1873-1916) .^{1}$ Составляя каталог яркости
${ }^{1}$ Шварцшильду едва исполнилось шестнадцать лет, когда он опубликовал свои первые работы (об орбитах двойных звезд). Уже в 1899 г. он разработал теорию кривизны пространства, а в 1916 г. первым нашел точное решение уравнений общей теории относительности Эйнштейна, предсказав существование черных дыр, возникающих после того, как звезда сжимается до размеров, меньших радиуса Шваришильда – характеристического радиуса, начиная с которого гравитация «пересиливает» все остальные взаимодействия. Таким образом, гравитация устанавливает предел и массе звезды, и массе животного.

звезд, Шварцшильд обнаружил, что звезда, обладающая вдвое меньшей яркостью, чем некоторая эталснная звезда, требует более чем вдвое большей выдержки, чтобы зачернить фотографическую пластинку так же, как эталонная звезда. Чтобы получить ту же степень почернения при малой яркости $b$, требуемое зремя экспонирования $t$ не должно быть обратно пропорционально яркости (как это имеет место в случаях бо́льшей яркости и более короткого времени экспонирования), а, как обнаружил Шварцшильд, должно выполняться равенство $t^{p} \sim b^{-1}$, где показатель Шварциильда р меньше единицы.

Следовательно, когда темнеет (или вы слишком затемняете объектив вашего фотоаппарата диафрагмой), выдержку следует устанавливать длинней, чем может показаться на первый взгляд. Поскольку у различных цветов наблюдается различное нарушение взаимозаместимости, в цветной фотографии при малой освещенности цветовой баланс может измениться, если не воспользоваться специальными цветофильтрами.

И все же, несмотря на все эти нарушения, масштабная инвариантность (скейлинг) может принести очень много пользы в самых разных областях человеческой деятельности, например, в физике.

Подобие в физике: некоторые поразительные следствия

В физике дискуссии о подобии уже завели нас достаточно далеко. Но даже на элементарном уровне подобие существенно упрощает решение различных задач. Взять хотя бы физическую систему с потенциальной энергией $U$, представляющей собой однородную функцию степени $k$ от пространственных координат $r_{m}$ :
\[
U\left(\alpha r_{1}, \alpha r_{2}, \ldots\right)=\alpha^{k} U\left(r_{1}, r_{2}, \ldots\right) .
\]

Если мы изменим все пространственные координаты в $\alpha$ раз, а время – в $\beta$ раз, то скорости изменятся в $\alpha / \beta$ раз, а кинетическая энергия – в $\alpha^{2} / \beta^{2}$ раз. Но если коэффициент $\alpha^{2} / \beta^{2}$ равен множителю $\alpha^{k}$ потенциальной энергии $U$, то лагранжиан физической системы умножается на постоянный коэффициент $\alpha^{k}$, и уравнения движения остаются неизменными. Траектории движения всех материальных точек («частиц») сохраняют подобие исходным траекториям, изменяются только масштабы [136].

Временные интервалы вдоль новой траектории изменяются в $\beta=$ $=\alpha^{1-k / 2}$ раз, значения энергии – в $\alpha^{k}$ раз, а угловые моменты, имеющие ту же размерность, что и квант действия Планка (энергия $\times$ время) – в $\alpha^{1+k / 2}$ раз.

Какой вывод можно сделать из всего этого? Обратимся к линейному осциллятору, потенциальная энергия которого представляет собой однородную квадратичную функцию, т.е. функцию, для которой показатель $k$ из соотношения (1) равен 2. Іростым примером линейного осциллятора может служить маятник, раскачивающийся с очень малой амплитудой. Зависит ли период колебания от амплитуды колебаний? Мы могли бы, конечно, решить уравнение движения и убедиться, что не зависит, но для того, чтобы ответить на поставленный вопрос, совсем не обязательно решать уравнение. Как мы заметили выше, время при изменении масштабов изменяется в $\alpha^{1-k / 2}$ раз, т.е. при $k=2-$ в $\alpha^{0}$ раз. Непосредственно отсюда можно заключить, что все значения времени, в том числе и период колебания, остаются неизменными: естественная частота линейного осциллятора, строго придерживающаяся квадратичной функции потенциальной энергии, не зависит от амплитуды или энергии осциллятора. (В квантовой механике этот факт находит отражение в эквидистантности уровней энергии: расстонние между любыми двумя соседними уровнями равно $h
u$.)

А что можно сказать о нелинейном осцилляторе с восстанавливающей силой, подчиняющейся кубическому закону, т. е. с однородным потенциалом четвертой степени $(k=4)$ ? В этом случае мы не можем найти решение уравнения движения, используя простую тригонометрическую функцию. Однако подобие подсказывает нам, что время должно изменяться как $\alpha^{1-k / 2}=\alpha^{-1}$, т.е. что частоты пропорциональны $\alpha$ : чем больше энергия осциллятора, тем больше его резонансная частота, чего и следовало ожидать от пружины с возрастающей жесткостью. Точнее говоря, резонансная частота гакого нелинейного осциллятора изменяется как корень четвертой степени из его энергии. (В квантовой механике $E_{n} \sim n^{4 / 3}$.)

В однородном силовом поле потенциальная энергия является однородной линейной функцией пространственных координат, т.е. $k=1$. В результате значения времени изменяются как $\alpha^{1-k / 2}=\alpha^{1 / 2}$, и это действительно так, в чем имел возможность убедиться один из первых людей, практиковавших скейлинг, Галилей, который еще в давние времена открыл, что для увеличения продолжительности свободного падения в два раза, ему приходится взбираться по ступеням Пизанской падающей башни на вчетверо большую высоту (красивая легенда, хоть и апокриф).

В случае ньютоновского притяжения потенциальная энергия обратно пропорциональна расстоянию. Следовательно, $k=-1$, и для круговых орбит вокруг массивного центра следует ожидать, что время будет изменяться в $\alpha^{1-k / 2}=\alpha^{3 / 2}$ раз. Иначе говоря, квадрат периода обращения планеты по орбите пропорционален кубу линейного размера орбиты. Так мы с вами только что заново открыли частный случай одного из основных законов небесной механики – бессмертного третьего закона движения планет Кеплера – и не взяли при этом ни одного интеграла!

Исаак Ньютон в своих «Началах» рассмотрел более общие законы движения «планет». Он показал, что если выполняется скейлинговое соотношение $\tau \sim r^{n}$, то для круговой орбиты радиуса $r$ и с периодом обращения $\tau$ гравитационный потенциал подчиняется закономерности $U \sim r^{2-2 n}$. Тот же результат непосредственно следует из нашего «подобного» принципа. При $n=\frac{3}{2}$ мы возвращаемся к закону $U \sim r^{-1}$ и реальному миру падающих яблок и лун, движущихся по орбитам. В действительности только благодаря внезапному озарению ${ }^{1}$ Ньютон увидел, что сила, с которой Земля притягивает яблоко, в $3600=60^{2}$ раз больше, чем сила, с которой Земля притягивает Луну (расположенную в 60 раз дальше от центра Земли), и вывел, как следствие, закон всемирного тяготения: сила гравитационного притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния.

При $U \sim r^{-2}$ одна из возможных орбит имеет форму логарифмической спирали (в полярных коюрдинатах $r(\varphi)=r_{0} e^{\gamma \varphi}$ ), т. е. самоподобного объекта! Подробнее о логарифмической спирали рассказано в главе 3 на с. $132-138$, а с художественным взглядом на нее С. Кима читатель может ознакомиться на рис. 4. Что может нам поведать скейлинг о скоростях и времени для такого движения, когда «планета» падает на свое солнце или удаляется от него по спирали?

При $U \sim r^{-3}$ одна из возможных траекторий представляет собой кардиоиду $r=r_{0}(1+\sin \varphi(t))$. Что же мы можем сказать об угле $\varphi(t)$ ?

Используя концепцию подобия, мы можем даже доказать теорему вириала, которая устанавливает связь между средней потенциальной энергией $\bar{U}$ и средней кинетической энергией $\bar{T}$ для ограниченных движений. Так как кинетическая энергия $T$ – это однородная квадратич-
${ }^{1}$ Интересно отметить, что немецкое слово Einfall («озарение», «вдохновение») произносится так же, как ein Fall («падениек).

Рис. 4. Логарифмическая спираль, ведущая в бесконечность [129]. ная функция от скоростей, а потенциальная энергия $U$ – однородная функция степени $k$ от пространственных координат, мы непосредственно (почти) получаем из соотношения (1) формулу $2 \bar{T}=k \bar{U}$.

А для линейного осциллятора ( $k=2$ ) мы, оказывается, имеем такое хорошо известное соотношение между средней кинетической и средней потенциальной энергией как $\bar{T}=\bar{U}$.

Подобие в концертных залах, микроволнах и гидродинамике

Особенно плодотворными преобразования подобия оказались в гидродинамике и других сложных областях физики. Еще в XIX веке Coфус Ли (1842-1899), а впоследствии Джордж Дэвид Биркгоф (18841944) занялись поиском групп преобразований, которые оставляли бы
инвариантными данные дифференциальные уравнения, а следовательно, и их решения. Такие решения получили название подобных (или инвариантно-груповых) решений.

Предположим, что для решения $\varphi(x, y)$ существует следующий предел:
\[
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \varepsilon^{a} \varphi\left(\varepsilon^{b} x, \varepsilon^{c} y\right)=\Phi(x, y) .
\]

Тогда подобное решение $\Phi(x, y)$ подчиняется масштабному закону
\[
\Phi(x, y)=\lambda^{a} \Phi\left(\lambda^{b} x, \lambda^{c} y\right),
\]

который следует непосредственно из равенства (1) и, более того, является обобщением соотношения (1).

Но преобразование подобия не всегда так просто́. Например, при проектировании концертных залов и оперных театров применяется следующий разумный метод: сначала архитектор строит уменьшенные модели, подобные проектируемым сооружениям, и изучает передачу звука в них – вместо того, чтобы делать это в «полномасштабном» здании. ${ }^{1}$ Линейные размеры, длины волн и частоты масштабировать легко и просто. Например, если модель сооружена в одну десятую натуральной величины, то все ее линейные размеры в десять раз меньше соответствующих линейных размеров настоящего зала. Так как дифракция звука на твердых поверхностях зависит только от отношения длины волны к линейным размерам рассеивающих поверхностей, то длины волны следует также уменьшить в 10 раз. При фиксированной скорости звука ( $c=343 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ в сухом воздухе при комнатной температуре) это означает, что частоты должны быть увеличены в 10 раз. Время распространения звука в нашей модели, разумеется, в 10 раз меньше, чем в настоящем зале. Таким образом, время изменяется обратно пропорционально частоте, и это хорошо, учитывая, что частоту принято измерять в обратных секундах. Несколько труднее масштабировать поглощение звука (самими слушателнми, например). Тем не менее были изобретены специальные материалы (известные под названием «публики быстрого приготовления»), позволяющие имитировать поглощение звука слушательской аудиторией при обычных, немасштабированных частотах.
${ }^{1}$ Альтернативный подход, т.е. постройка сначала полномасштабного концертного зала и лишь затем его уменьшенных моделей, также был испробован проектировщиками и привел к катастрофическим последствиям, так как потребовал весьма дорогостоящей «реконструкции» (вот так нужно употреблять эвфемизмы!).

Поглощение, трение и другие механизмы энергопотерь обычно создают трудности при попытке их масштабировать. Например, при уменьшении в 10 раз размеров микроволновой полости (полого металлического резонатора) ее резонансные частоты возрастают в те же 10 раз. Однако минимальные значения ширины полос резонансных мод (определяемые потерями на скин-эффект) увеличиваются в $10^{3 / 2} \approx 32$ раза, так как малая глубина проникновения электромагнитных полей в проводниках (конечная величина глубины проникновения и обуславливает скин-эффект) пропорциональна не $f^{-1}$, а $f^{-1 / 2}$. (Относительная ширина резонансной полосы микроволновой полости приближенно определяется отношением двух объемов – площади внутренней поверхности полости, умноженной на глубину проникновения электромагнитного поля, – объема, в котором происходят потери энергии, – к полному объему полости, или объему, в которсм накапливается энергия.) Похоже, все-таки есть хоть что-то простое и ясное во всей этой микроволновой неразберихе.

Вот еще один пример проблем при масштабировании: на этот раз источником их служит трение при испытании моделей судов в особых испытательных бассейнах. Военный корабль, уменьшенный в 50 раз, в гораздо большей мере подвержен действию влекущих сил потоков, потому что эти силы создаются вязкими пограничными слоями, в которых, как и в случае скин-эффекта, действует другой масштаб.

О том, насколько ошутимым может быть влияние размера на масштабируемость, красноречиво свидетельствует следующее наблюдение очевидца. Огромный океанский лайнер, входивший в нью-йоркскую гавань во время забастовки портовых буксиров, был вынужден застопорить свои двигатели за несколько миль до причала и затем дрейфовать вместе с ослабевающим приливом по Гудзону с тем, чтобы добраться до места своей стоянки точно в тот момент, когда прилив сменится отливом. Маневр, надо сказать, не из гегких: тормозной путь океанского лайнера (при отсутствии посторонней помощи) значительно длиннее тормозного пути многотонного грузовика на гладком льду.

И наоборот, в микроскопических масштабах тормозные пути в любой неидеальной (не-сверхтекучей) жидкости настолько малы, что взвешенные в ней частицы кажутся неподвластными инерции. То же наблюдает и современный исследователь, изучающий под микроскопом гидродинамические течения в модели внутреннего уха: в момент прекращения звука движение мгновенно замирает, как будто частицы жидкости совершенно лишены массы. Такова «жизнь при малых числах Рейнольдса», какой она описана в увлекательной статье Эдварда Перселла под тем же названием [204]. Числа Рейнольдса – лишь один из представителей длинного списка безразмерных величин, отражающих важность и сложность масштабирсвания в гидродинамике [170].

Масштабирование в психологии

Если в классической физике измерение можно считать вполне понятным процессом, устанавливающим, как наблюдаемая величина связана с определенной единицей, то в психологии ситуация оставалась не столь ясной до тех пор, пока физиолог Э. Г. Вебер (1795-1878), брат физика Вильгельма Вебера (1804-1891), сотрудника К.Ф.Гаусса, не произвел тщательных исследований звуковых и тактильных ощущений, заложив тем самым основы новой науки – науки об ощущениях. Согласно сформулированному Вебером закону, увеличение интенсивности раздражителя, необходимое для того, чтобы вызвать едва заметное усиление ощущения, не является раз и навсегда заданной величиной, а зависит от отношения приращения интенсивности раздражителя к его первоначальной интенсивности. Впоследствии физик и философ Г. Т.Фехнер (1801-1887) несколько иначе сформулировал закон Вебера (в новой редакции закон полутил впоследствии название закона Вебера-Фехнера) и указал область его применимости ${ }^{1}$. Современным психологам (главным образом С.С.Стивенсу) удалось ввести в психологию методы измерения почти столь же однозначные, как и объективные измерения в физике [250]. Поэтому новая научная дисциплина вполне обоснованно была названа психофизикой, а психоакустика и психовизуальные исследования стали ее разделами.

Одним из наиболее значительных вкладов Стивенса в науку стало введение отношения масштабов для субъективных параметров (громкость, яркость и т. п.), а также открытие простых степенных соотношений между этими субъективными параметрами и соответствующими физическими величинами (поток энергии, интенсивность и т.п.).

Например, для того, чтобы громкость звука $L$ возросла вдвое, его интенсивность $I$ должна увеличиться в 10 раз; это верно для большей части диапазона интенсивности звука, воспринимаемого человеческим ухом без болевых ощущений (диапазон охватывает более 12 порядков величины при средних аудиочастотах). Поскольку $\lg 2 \approx 0,3$, мы полу-
${ }^{1}$ Фехнер также заложил основы экспериментальной эстетики, исследуя, какие формы и размеры наиболее приятны глазу. Возможно, он был также первым человеком, проведшим опрос общественного мнения (для того, чтобы выяснить, какой из двух картин Гольбейна отдает предпочтение большинство людей).

чаем следующий степенной закон для громкости как функции от интенсивности звука:
\[
L \sim I^{0,3} .
\]

Кто-нибудь, никогда не принимавший участия в тестах психоакустического масштабирования, возможно, возразит, что «удвоение громкости» – понятие не вполне определенное. Однако, как это ни удивительно, случайный разброс результатов тестирования оказывается на редкость малым, даже при участии в нем различных слушателей.

Входящие в психофизические степенные законы показатели, такие, как число 0,3 в соотношении (1), не универсальны, но специфичны для исследуемого ощущения (например, для субъективной яркости, кажущегося веса груза или видимой длины) и подробнейшим образом проанализированы психофизиками ${ }^{1}$. Один из важных вопросов, встающих перед исследователями в этой области, связан с транзитивностью показателей степеней при сравнении, скажем, громкости с весом или веса с яркостью и с тем, что это может дать для понимания функционирования мозга.

Если интенсивность звука $I$ в соотношении (1) заменить звуковым давлением $p$, то, поскольку интенсивность пропорциональна квадрату давления, мы получим следующее соотношение:
\[
L \sim p^{0,6} .
\]

Интересно отметить, что показатель 0,6 может быть выведен из показателя 0,5 , который обнаруживается на более фундаментальном уровне при разложении «критической» полосы частот звуков во внутреннем ухе в некое подобие ряда Фурье. В свою очередь, показатель 0,5 обращает наше внимание на статистический анализ и неопределенность, из чего возникает следующая упрощенная модель восприятия громкости. Если бы громкость воспринималась как средняя скорость нервных импульсов, распространяющихся по слуховому нерву к высшим слуховым центрам в мозге и если бы эти импульсы представляли собой модулированный пуассоновский процесс, средняя скорость распространения которого пропорциональна звуковому давлению $p$, то неопределенность количества импульсов в данном временном интервале (например, за 100 мс) была бы пропорциональна $p^{0,5}$. Поскольку многие отношения масштабов в психофизике оказались непосредственно связанными с неопределенностями восприятия («едва заметными различиями»),

${ }^{1}$ Таким образом, столь милая сердцу физиков универсальность не присуща психофизике.

рассмотренный степенной закон, задающий субъективную громкость как функцию от физической интегсивности звука, действительно может быть предсказан на основе такой статистической модели частот возбуждения нейронов.

В действительности восприятие звука представляет собой более сложный процесс, однако рассмотренные выше степенные законы и входящие в них показатели снабжают исследователей важными путеводными нитями и направляют их в ғужную сторону.

Специалисты по акустике, алхимия и концертные залы

Концертные залы строят для того, чтобы предавать приятные звуки от музыкантов-исполнителей к внимательным слушателям (а еще для того, чтобы и те, и другие чувствовали себя при этом уютно и не зависели от капризов погоды). Таким образом, вряд ли физик-акустик может предпринять здесь что-либо более уместное, чем измерение «частотной характеристики» зала в пространстве между сценой и различными точками, в которых предполагается размещать слушателей. Частотная характеристика в данном случае означает эффективность, с которой различные частоты (музыкальные тоны) передаются между двумя разнесенными в пространстве точками зала. На рис. 5 показан типичный образец такой частотной характеристики, т.е. зависимости амплитуды сигнала от его частоты в логарифмическом масштабе.

Даже если рассматривать узкие интервалы частот, многочисленные пики и провалы такой частотной характеристики просто бросаются в глаза. Обратил на это внимағие и изобретатель конденсаторного микрофона Эдвард Ч. Венте (1889-1972), который первым опубликовал такую частотную характеристику в 1935 г. Будучи экспертом по связи, Венте выразил в своей статье недоумение по поводу того, как люди могут наслаждаться музыкой в кснцертных залах при столь больших флуктуациях частотной характеристики – таких флуктуаций не дают даже самые дешевые громкоговорители. Ответ заключается в том, что, воспринимая речь или музыку, ухо подсознательно «настраивается» на высокочастотный спектральный анализ, при котором, в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга, не заметны флуктуации в столь мелком масштабе частот, какой показан на рис. 5 .

Не обращая внимания на то, что воспринимающему звук уху глубоко безразличны частотные характеристики настолько высокого разрешения, специалисты-акустики всего мира, забыв о еде и сне, все

Рис. 5. Передача звука между двумя точками в концертном зале как функция от частоты. Обратите внимание на большие статистические флуктуации.

продолжали их снимать. Хуже того, вскоре на основе этих тастотных характеристик были «состряпаны» многочисленные предположительно объективные критерии, определяющие качество звучания. Разумеется, всякий раз при открытии нового концертного зала существовавший до того критерий приходилось модифицировать, чтобы частотная характеристика нового концертного зала соответствовала реальному, воспринимаемому качеству звучания. Кто-то сравнил эти «научные» изыскания – с полным основанием, по-моему, – с гаданием на кофейной гуще и алхимией (хотя заслуг погледней умалять, конечно же, не следует).

Когда автор в бытность свою студентом в Гёттингене услышал об этих «исследованиях» (а в 1954 г. они были еще в самом разгаре), ему пришло в голову, что, может быть, такие частотные характеристики всего лишь отражают шум в области соответствующих частот (или, если воспользоваться специальной терминологией, модуль сложного гауссовского процесса, возникающего в результате случайной интерференции многочисленных перекрывающихся резонансов зала). Если это действительно так, то практически все частотные характеристики больших залов должны быть подобны друг другу и характеризоваться единственным маситабируемым параметром – временем реверберации зала.

Как показали дальнейшие измерения, так оно и есть. Например, среднее расстояние по частоте (в герцах) между максимумами частотной характеристики оказалось равным 4 , деленным на время реверберации (в секундах) – в совершенном согласии с теоретическим предсказанием $[222]$ (или последний перевод на английский язык: [229]). Таким образом, все эти годы вышеупомянутые специалисты измеряли не что иное, как время реверберации, причем весьма сложным и окольным путем. Ирония ситуации заключается в том, что «новые» критерии, извлеченные из частотных характеристик, должны были по замыслу исследователей дополнить время реверберации, которое, согласно их же вердикту, было признано не имеющим предсказательной силы в отношении качества звучания. Так немного интуиции и хороший аргумент, основанный на соображениях подобия, избавили множество людей от бесполезного занятия.

Частотные характеристики высокого разрешения пригодились впоследствии при решении проблемы стабильности звукоусилительных систем, предназначенных для выступлений перед большими скоплениями людей; проблема заключалась в наличии нежелательной акустической обратной связи («гула»). Как выяснилось, стабильность можно существенно повысить посредством простог сдвига всех частотных компонентов речевого сигнала на среднее расстояние между максимумами и минимумами частотной характеристики помещения (согласно статистической теории, о которой мы уже упоминали, эта величина составляет всего лишь несколько герц). (Гулкие аплодисменты.) [223]

В более общем (и, возможно, более важном) плане теория случайно интерферирующих когерентных волн приобрела центральное значение при анализе многолучевого распространения электромагнитного излучения и пятнистой структуры лазерных голограмм; вспомните о портативных сотовых телефонах в машинах и беспроводных телефонах в домах – великолепное изобретение, особенно учитывая, что такой телефон позволяет достичь превосходного качества звучания, присущего лучшим моделям телефонов «привязанных».

Предпочтения и несходство: снова о концертных залах

В этом разделе мы кратко рассмотрим одну проблему психологического масштабирования, с которой автор, не будучи психологом, все же до некоторой степени знаком, – проблему оценки акустики концертных залов.

Для оценки акустических свойств концертного зала (или оперного театра) издавна применяется глубоко укоренившаяся процедура сбор отзывов слушателей, музыкантов, дирижеров и музыкальных критиков. Затем эти субъективные оценни соотносятся с различными архитектурными и физическими характеристиками зала (ширина размещения слушателей, время реверберации и частотная характеристика). Затем на основании этих соотношений строится математическая формула, способная предсказать качество звучания исходя из измеримых объективных параметров зала (см., например, книгу Беранека «Музыка, акустика и архитектура» [21]).

Отзывы немецкоязычных любите.ей музыки об акустике концертных залов содержат, как правило, такие замечательные словечки, как glasklar, jämmerlich, krankhaft, ruinös, unheimlich и – последнее, но только в этом алфавитном списке – wunderbar. Пытаться перевести эти великолепно звучащие по-немецки слова на обычный английский было бы пустой тратой времени, ибо на любом другом языке они не просто смутно определены, а почти лишены смысла ${ }^{1}$.

Филармонический зал Линкольновского Центра Исполнительских Искусств в Нью-Йорке (ныне Зал Эвери Фишера) был спроектирован как раз на основе вышеупомннутого подхода. Неудивительно поэтому, что для исправления положения потребовалась крупномасштабная акустическая спасательная операция. Столкнувшись с подобным проектированием, автор и его коллеги осознали, что наиважнейшая задача отрасли состоит в данный момент в том, чтобы как можно скорее разработать более надежные методы субъективной (и объективной) оценки акустических свойств концертных залов.

Новый объективный метод измерения [9] обнаружил, что подвесные акустические панели («облака», см. рис. 6) не отражают с достаточной силой низкочастотных компонентов (особенно в звучании виолончели) в основное пространство размещения слушателей [232]. Отчасти это можно объяснить плохим масштабированием: для того, чтобы музыкальные тоны с различными длинами волн хорошо отражались от акустической панели, ее геометрические размеры должны быть по крайней мере сравнимы с длиной самой длинной из присутствующих в звуке волн. В действительности же размеры панелей оказались слиш-
${ }^{1}$ Glasklar – от нем. Glas «стекло» и klar «ясный, прозрачный, светлый»; jämmerlich – нем. «жалобный» или «жалкий, ничтожный»; krankhaft — нем. «болезненный»; ruіпӧs – от нем. Ruin «разорение, упадок, гибель»; unheimlich – нем. «жуткий, ужасный» wunderbar – нем. «чудесный, удивительный, замечательный». Прим. перев.

Рис. 6. Акустические панели («облака*) в филармоническом зале Линкольновского Центра Исполнительских Искусств, Нью-Йорк.

ком малы. Этот промах проектировщиков послужил поводом для многочисленных саркастических замечаний и шуток ${ }^{1}$.

Чтобы подвести под субъективную оценку акустических качеств концертного зала твердое основание, автор этой книги предложил пол-
${ }^{1}$ Не слишком сдержанный в речах дирижер прославленного Кливлендского симфонического оркестра Джордж Селл был настолько раздражен всем этим безобразием, что обозвал пресловутые панели «schwangere Frösche mit beleuchtetem Bauchnabel» («беременными лягушками с подсвеченными пупками» – панели выполняли двоякую функцию, служа одновременно и для подвески ламп). На карикатуре из тогдашнего выпуска журнала «New Yorker» изображены две дамы, прогуливающиеся в фойе под скульптурой Липшица (смутно напоминающей подвесные акустические панели); одна из дам замесает, обращаясь к другой: «Неудивительно, что акустика в зале так ужасна. Ведь все эти штуки развешаны здесь, а не там!»

ностью отказаться от всех смутных эпитетов, приведенных выше, и ограничить оценки слушателей выражением предпочтения, отдаваемого звучанию в одном из залов перед другим, или степени несходства воспринимаемого на слух звучания. Чтобы учесть индивидуальные различия в музыкальных предпочтениях, отзывы слушателей не просто усреднялись, а анализировались с помощью современных алгоритмов многопараметрического скейлинга [233]. При достаточном числе отзывов (даже если эти отзывы двоичны, как в случае двузначных выражений предпочтения) такие алгоритмы позволяют построить вполне определенное евклидово пространство, обычно дву- или трехмерное, расстояния в котором пропорциональны воспринимаемому несходству звучания или различию в предпочтениях.

На рис. 7 показан пример построенного таким образом пространства предпочтений. Символы $T_{1}, Q_{3}$ и т. д. соответствуют различным концертным залам и расположению мест в этих залах (например, $Q_{3}$ означает, что речь идет о месте третьего слушателя в концертном зале $Q$ ). Нумерованные стрелки – это единичные векторы, представляющие 10 слушателей, принимавших участие в данном тесте на предпочтение. (То, что некоторые стрелки выглядят короче других, объясняется наличием у них ненулевого компонента в третьем измерении, которое также учитывалось при анализе, но не показано на рисунке.)

Для каждой пары из 10 тестовых условий, например для $T_{3}$ и $E_{2}$, каждый из 10 слушателей указывал, какому из условий он отдает предпочтение. Собранные данные (общее число попарных сравнений составило 450) были подвергнуты многопараметрическому скейлингу с помощью метрического линейно-факторного анализа [244].

Компьютерная программа, осуществлявшая этот факторный анализ, итеративно изменяла положение каждого из тестовых условий, например, $T_{1}$, в пространстве предпочтєний и направление вектора каждого слушателя в трехмерном евклидовом пространстве до тех пор, пока нормальные проекции всех 10 тестовнх условий на каждый из 10 слушательских векторов не дали как можно более полного согласия с данными о предпочтениях. Таким образом, из рис. 7 мы можем узнать о том, что, скажем, слушателю 3 меньше всего нравится тестовое условие $T_{1}$, а больше всего – условие $Q_{2}$.

Вообще говоря, для точного предгтавления этих данных нам требуется десятимерное евклидово пространство. В действительности же почти $90 \%$ всех колебаний значений можно наблюдать на двух первых измерениях пространства предпочтений.
Поскольку стрелки почти всех слушателей на рис. 7 направле-

Рис. 7. Пространство предпочтений для концертных залов.
ны в правую полуплоскость, абсциссу можно пометить как «направление единодушного предпочтения». В самом деле, если бы в результате некоторой архитектурной модификации зала положение точки в пространстве предпочтений, соответствующей любому выбранному месту в этом зале, сдвинулось вправо, то все слушатели, за исключением одного (слушателя 4), сочли бы это место в зале более предпочтительным. Что касается разницы в предпочтениях между верхней и нижней полуплоскостями, то здесь мнения разделились почти пополам. Следовательно, ордината явно отражает «индивидуальные различия» в музыкальных вкусах, олицетворяя собой некое личностное измерение, к которому надлежит относиться с догжным почтением при проектировании помещений, где люди могли бы наслаждаться музыкой.

Субъективные тесты, основаные на суждениях слушателей о несходстве звучания, дали весьма сходные результаты. Таким образом, наша уверенность в том, что используя методы многопараметрического скейлинга, можно строить пространства, достоверно описывающие особенности нашего восприятия, получила новое подкрепление. Успешность применения этих методов не вызывает сомнений, а все благодаря двум начальным условиям (точнее, зепретам):
1) при описании качества звучания мы тщательно избегали пользоваться смутными терминами или пустыми словами;
2) мы не пытались втиснуть музыкальные вкусы в одномерное прокрустово ложе (несомненно, Прозрусту чрезвычайно понравилась бы самая мысль об одномерном ложе).
В заключение нельзя не упомянуть об одной «технической детали», без которой вышеописанные результаты никогда бы не были получены. Сопоставление акустических особенностей разных залов и обнаружение различий в звучании (часто очень тонких различий) – дело весьма и весьма сложное. Суждения слушателей, разделенные днями или даже неделями, основанные на различных музыкальных программах, исполненных различными оркестрами, в высшей степени ненадежны. Гораздо большего можно было бы достичь, если бы предоставилась возможность мгновенного переключения между различными залами. В вышеупомянутом исследовании эта возможность была реализована с помощью остроумного метода, позволявшего точно воспроизводить музыку, записанную в разное время в разных залах, используя магнитофонную запись симфонии Моцарта «Юпитер» (а также произведений, представляющих другие музыкальные стили) в исполнении Английского камерного оркестра, сделанную в безэховом помещении и любезно предоставленную автору.

На рис. 8 А вы видите трех главных участников этого проекта. Метод воспроизведения звука [226] основан на том факте, что у большинства людей обычно имеется два уха. После надлежащей предварительной обработки два аудиосигнала, исходящих от изображенной на рис. 8 А головы манекена, поступают на барабанные перепонки слушателя, сидящего на некотором расстоянии перед громкоговорителями (см. рис. 8 Б). Предварительная обработка – своего рода обратная фильтрация – компенсирует перекрестные искажения, т. е. попадание сигнала из громкоговорителя «не в то» ухо. Поскольку трансфер-матрица прохождения звука между громкоговорителями и ушами при надлежащем расположении громкоговорителей в безэховом помещении невырождена, то существует физически реализуємая обратная трансфер-матрица, которая воплощена в соответствующих фильтрах, компенсирующих перекрестные искажения. Структура трансфер-матрицы и обратной ей матрицы зависит от геометрии пространства вокруг головы слушате-

Рис. 8. (А) Три основных участника проекта акустических измерений в концертном зале. (Б) Прослушивание звука через громкоговорители с компенсированными перекрестными искажениями.

ля и дифракции звука в нем; эти ветичины измеряются для некоторой «стандартной» формы головы. (В кои-то веки успех задуманного предприятия зависит не столько от процессов, происходящих внутри головы, сколько от ее внешней формы.)

Чтобы испытать предложенный метод воспроизведения звука, мы имитировали звуковые волны, приходящие с двух сторон под углом $90^{\circ}$, с помощью двух громкоговорителей, расположенных под углами $\pm 22,5^{\circ}$. Имитация оказалась настолько реалистичной, что многие слушатели поворачивали головы на $90^{\circ}$, стремясь обнаружить третий (не существующий) источник звука. (Разумеется, стоило им повернуть голову, как эффект исчезал, поскольку изменялась геометрия пространства.)

Когда же этот метод воспроизведения звука был впервые применен к концертным залам, эффект был поистине ошеломляющим: одним щелчком переключателя слушатель мог «переноситься» из, скажем, венского Musikvereinssaal в амстердамскай Concertgebouw и назад. Такие мгновенные сравнения сделали, наконец, возможными надежные оценки качества звучания, столь долго ускользавшие от акустиков.

Координаты предпочтений, полученные в этих тестах, были поставлены в соответстие различным физическим параметрам залов, что позволило обнаружить отсутствие в менее предпочитаемых залах сильных поперечно распространяющихся звуковых волн. Таким образом, хорошая акустика (при соответствующих времени реверберации, балансе частот и отсутствии помех в виде эха) зависит от наличия сильных поперечных звуковых волн, обеспечивающих то самое «стереофоническое» звучание, которому слушатели отдают предпочтение. В старинных узких и высоких концертных залах такие поперечные волны естественным образом порождались архитектурными особенностями помещения. Во многих же современных залах, имеющих в плане форму веера и обладающих низкими потолками, доминирует «монофоническое» звучание, которое доходит до слушателя в плоскости симметрии, проходящей через его голову, рождая у него нежелательное ощущение обособленности от музыки.

Такова вкратце причина столь низкого качества звучания во многих современных залах. Стимулирующую роль, которую сыграли концепции сходства-несходства и многопараметрического скейлинга [241] в выяснении тайны хорошего звука вряд ли можно переоценить.

Недавно, с целью увеличения числа поперечных звуковых волн в современных концертных залах, были изобретены поверхности, эффективно рассеивающие звук [230]. Эти, как говорят физики, «фазоотражательные решетки» разработаны на основе теоретико-числовых принципов (примитивные полиномы над конечными полями, квадратичные вычеты и дискретные логарифмы) и обладают замечательным свойством рассеивать звук (или электромагнитное излучение – в случае радаров) по всем направлениям с почти одинаковой интенсивностью. В настоящее время такие широко рассеивающие поверхности используются в студиях звукозаписи, церквях и даже в жилых помещениях, – словом, где только ни используются!

Подобные звукорассеивающие структуры должны также найти широкое применение в решении проблемы снижения шума, так как рассеянный (и, следовательно, ослабленный) шум легче «замаскировать» (т.е. сделать неслышимым) другими звуками.