Eine Menge stelle ich mir vor wie einen Abgrund. (Множество, по моєму представлению, подобно бездие.)
ГЕорг Кантор (около 1888 г., цитир. по Эмми Нетер)
В этой главе мы продолжим наше знакомство с одним из наиболее важных источников самоподобия – канторовыми множествами. Первоначально построенные для чисто абстрактных целей, канторовы множества впоследствии превратились в почти идеальные модели для огромного числа явлений реального мира — от странных аттракторов в нелинейных динамических системах до распределения галактик во Вселенной.

Уголок канторова рая
Большинство чисел в континууме не может быть определено с помощью конечного набора слов.
МАРК КАЦ
Посреди жарких споров, происходивших в XIX столетии вокруг основ математики (и затрагивавших самый смысл понятия числа́), Георг Кантор (1845-1918) вознамерился продемонстрировать своим коллегам некое множество, состоящее из чисел, заключенных в интервале от 0 до 1. Это множество имело нулевую меру (т.е. пущенная наугад «стрела» вряд ли «поразила» бы какой-либо из его элементов), но в то же время содержало так много чисел, что могло бы с полным правом называться несчетным, как множество всех вещественных чисел между 0 и 1.

Многие математики, в том числе и сам Кантор (в течение некоторого времени), сомневались, что такое «безумное» множество вообще может существовать $^{1}$ – тем не менее, оно существует, причем процесс его построения весьма прост. Представьте себе отрезок прямой от 0 до 1 (начертите его мелом на доске, если уж вам так хочется) и сотрите открытую среднюю трєть, т.е. интервал от $1 / 3$ до $2 / 3$, исключая концы – точки $1 / 3$ и $2 / 3$. Затем сотрите открытую среднюю треть в каждом из двух оставшихся отрезков, и так далее ad infinitum. Результат первых семи стираний средней трети представлен на рис. 10 в гл. 1 (с. 41). Изобразить же окончательный результат, который Мандельброт удачно назвал канторовой пылью [161], не представляется возможным. Действительно, пустоты в канторовой пыли присутствуют во всех маситабах ${ }^{2}$ : сколь бы сильное увеличение ни давал наш «микроскоп» для рассматривания канторова множества, мы увидим только пустоты (иначе говоря, во всем единичном интервале от 0 до 1 нет ни одного сплошного подынтервала, сколь бы малым он ни был, а лишь отдельные изолированные точки). Ни одно из канторовых чисел не может похвастаться тем, что имеет в качестве непосредственного соседа другое канторово число. Канторова пыль совершенно разрывна, и в то же время бесконечно делима, подобно континууму. Древних греков, очевидно, весьма позабавило бы то обстоятельство, что в данном случае между разрывным (например, состонщим из атомов) и бесконечно делимым не существует фундаментальной антиномии или философского противоречия – канторова пыль представляет собой и то, и другое.

Формально канторово множество определяется как вполне разрывное, замкнутое и совериенное. Вполне разрывным называется множество, не содержащее ни одного интервала и, следовательно, не имеющее внутренних точек. Замкнутым называется множество, которое содержит все свои граничные элементы. (Граничным называется элемент множества, содержащий в любой своей сколь угодно малой окрестности элементы как принадлежащие, так и не принадлежащие данному множеству). Совершенным называется непустое множество, совпадаю-
${ }^{1} 0$ нелегком жизненном пути Георга Кантора, возникновении и постепенном признании его теории множеств можно прочесть в новой замечательной книге «Георг Кантор» [205]
${ }^{2}$ Выражение во всех маситабах, как мы уже отмечали, отражает одну из главных особенностей самоподобных структур. Например, кластеры при перколяции в критической точке (см. гл. 15) существуют во всех масштабах размера, а магнитные домены в спиновых стеклах существуют во всех масштабах длины. Разумеется, применительно к реальным физическим системам – в отличие от простых математических моделей – слово «всех» в выражении «во всех масштабах» надлежит понимать с некоторыми оговорками. Например, в случае перколяции размеры кластеров лежат где-то между размером отдєльного «атома» и размером всего образца.

щее с множеством его предельных точек. Множество, получающееся в результате стирания средних третей – первоначальное канторово множество – удовлетворяет всем трем условиям, т.е. оно вполне разрывно, замкнуто и совершенно.

Хоть канторово множество и противоречит здравому смыслу, существует изящное теоретико-числовое описание канторовой пыли, а именно, описание с помощью троичных дробей (т. е. дробей, в записи которых используются только цифры 0,1 и 2). Например, запись $0,5=$ $=1 / 3+1 / 9+1 / 27+\ldots$ соответствует дроби $0,111 \ldots$ в троичной системе. Подобно представлению чисел в десятичной системе, запись числа в троичном виде не является однозначной. Например, дробь $1 / 3$ можно записать либо как 0,1 , либо как $0,0(2)$, где двойка в скобках означает бесконечную последовательность двоек. Одним из способов придать однозначность представлению чисел в троичной системе может стать запрет конечных дробей. Т.е. записывать $1 / 3$ в виде 0,1 «противозаконно» – вам придется воспользоваться записью $0,0(2)$.

Для того чтобы сделать запись троичных дробей однозначной, примем следующее соглашение: условимся не использовать представления дробей, в которых вслед за единицей идут одни только нули или двойки. Т. е., дробь $1 / 3=0,1$ следует предстаєлнть в виде $0,0(2)$, а дробь $2 / 3$ в виде 0,2 (но не $0,1(2)$ ).

В рамках этого соглашения все числа в открытом интервале $(1 / 3,2 / 3)$ – это те числа, которые в троичной системе имеют первым знаком после запятой единицу. Стирая их на пути к построению канторовой пыли, мы оставляем нетронутыми числа, троичная запись которых начинается либо с 0,0 , либо с 0,2 .

Аналогично, вторым стиранием (третья «строка» на рис. 10 в гл. 1), мы исключаем все числа, в которых единица стоит на втором месте после запятой (в троичной записи). В конце концов, уже получив канторову пыль, мы увидим, что все осгавшиеся у нас троичные дроби являются «правильными», т.е. единицы в них нет ни на каком месте, например, $0,0(2) ; 0,2 ; 0,2002$ и $0,(2002)$.

Элементы канторова множества образуют самоподобное множество в следующем смысле: возьмем любую строку на рис. 10 в гл. 1 , отбросим правую половину и увеличим оставшуюся часть в три раза. У нас получится предшествующая строка (расположенная непосредственно над той, с которой мы производили все манипуляции). Выражаясь более точно, канторово множество инвариантно по модулю 1 относительно преобразования подобия с ксэффициентом 3. В троичной системе счисления такое преобразование представляет собой всего лишь сдвиг запятой на один знак вправо и отбрасывание любой двойки, которая при этом выходит за запятую. Например, канторово число 0,202202 отображается в другое канторово число 0,02202 .

Троичная система счисления позволяет легко понять, почему канторово множество имеет меру нуль: вероятность того, что случайно выбранная дробь в интервале $[0,1]$ не содержит в своей троичной записи ни одной единицы, разумеется, равна нулю. Более точно, вероятность того, что $n$ троичных знаков после запятой не содержат ни одной единицы, равна $(2 / 3)^{n}$. При $n \rightarrow \infty$ эта величина стремится к нулю.

Троичная система счисления помогает, кроме того, показать, что никакие два канторовых числа не могут быть непосредственными соседями. Например, к канторову числу 0,2 ближе всего канторово число $0,20 \ldots 002$. Удлиняя последовательность нулей в этом «соседнем» числе, мы можем подойти сколь угодно близко к 0,2 , однако между 0,2 и, скажем, 0,20002 всегда есть неканторовы числа, например, 0,200012 .

Возникает вопрос: как же доказать, что элементы столь сильно разреженного множества, как канторово, все же настолько многочисленны, что даже не поддаются счету. (Заметим здесь, что целые, рациональные и даже алгебраические иррациональные числа счетны.) Причина несчетности заключается в том, что мы можем поставить элементы канторова множества, хоть оно и сплошь изрешечено дырами, во взаимно однозначное соответствие со всеми вещественными числами, заключенными в интервале $[0,1]$. Дабы совершить сей подвиг, мы с каждым канторовым числом отождествим двоичне число, получающееся заменой в данном канторовом числе всех двоек на единицы. Например, канторову числу 0,020222 поставим в соответствие двоичную дробь $0,010111(=23 / 64)$. Действуя таким образом, мы отобразим каждый элемент канторова множества в некоторое вещественное число и, наоборот, каждое вещественное число, заключенное между 0 и 1 , может быть отображено в некоторое канторово число. Тем самым мы доказываем, что мощность множества канторовых чисел совпадает с мощностью множества вещественных чисел.

Хорошо известный ныне факт, что вещественные числа образуют несчетное множество, был доказан Кантором с помощью так называемого диагонального метода, известного еще Галилею. Кантор использовал диагональный метод в непрямои доказательстве, которое приведено ниже.

Предположим, что все вещественные числа, заключенные между 0 и 1 , образуют счетное множество. Тогда их можно выписать одно за другим, так чтобы они составили перечисляющую последовательность.

Например, в десятичной системе счисления наш перечень мог бы выглядеть так:
\[
\begin{array}{c}
0,91971 \ldots \\
0,29216 \ldots \\
0,36638 \ldots \\
0,55389 \ldots \\
\ldots
\end{array}
\]

Чтобы запись дробей в десятичной системе счисления была однозначной, условимся использовать только бесконечные дроби. Например, десятичную дробь 0,5 будем записывать в виде $0,499999 \ldots \ldots$

Запишем теперь число, первая цифра которого после запятой отлична от первой цифры первого числа в приведенном выше списке, вторая цифра отлична от второй цифры второго числа и т.д. Во избежание неоднозначности мы не будем при заменах использовать цифры 0 и 9. Получившееся в результате замен число, скажем,
\[
0,88578 \ldots \text {, }
\]

не значится в списке, так как от каждого стоящего там числа оно отличается по крайней мере в одном знаке. Следовательно, наш список не полон, и допущение о том, что вещественные числа образуют счетное множество, ложно.

Существует несколько способов доказать, что рациональные числа, напротив, счетны. Мне особенно нравится следующее доказательство [218]. Запишем рациональное число в виде $m / n$, где $m$ и $n$ – взаимно простые целые числа. Пусть $m=p_{1}^{e_{1}} p_{2}^{\epsilon_{2}} \ldots p_{k}^{e_{k}}$ и $n=q_{1}^{f_{1}} q_{2}^{f_{2}} \ldots q_{l}^{f_{l}}$ – разложения чисел $m$ и $n$ в произведения степеней простых чисел. Тогда интересующая нас считающая функция для рациональных чисел принимает вид $f(1)=1$ и
\[
f\left(\frac{m}{n}\right)=p_{1}^{2 e_{1}} \cdot p_{2}^{2 e_{2}} \cdot \ldots \cdot p_{k}^{2 e_{k}} \cdot q_{1}^{2 f_{1}-1} \cdot q_{2}^{2 f_{2}-1} \cdot \ldots \cdot q_{e}^{2 f_{e}-1} .
\]

Эта функция однозначно обратима. Например, рациональное число $2 / 3$ стоит на двенадцатом месте в списке рациональных чисел, а восемнадцатое место занимает рациональное число $3 / 2$.

Еще одно, совершенно неинтуитивное следствие канторовой теории множеств заключается в эквивалентности двумерных областей и одномерных линий. Два множества называются эквивалентными, если между ними существует взаимно однозначное соответствие. Например, единичный квадрат (двумерная область) и единичный отрезок прямой (линия) эквивалентны: каждой точке единичного квадрата соответствует одна и только одна точка единичного отрезка и наоборот. Сообщая об этом открытии своему другу Р. Дедекинду в Брунсвик (20 июня 1877 г.), Кантор писал: «Вижу, но не верю».

В действительности построенное Кантором отображение единичного квадрата на единичный отрезок почти тривиально. Например, точка квадрата с прямоугольными координатами $x=0,123$ и $y=0,456$ отображается в точку 0,142536 на единичном отрезке. Видите ли вы, что происходит, и верите ли своим глазам?

Пожалуй, не менее удивительно и то, что любое число из интервала $[0,2]$ представимо в виде суммы двух канторовых чисел, невзирая на чрезвычайную их разреженность в единичном интервале. Доказать это противное здравому смыслу утверждение арифметическим либо геометрическим путем мы предоставляем читателю. Возможно, процесс покажется ему поучительным (ил., по крайней мере, позабавит его).

Канторовы множества как множества инвариантные
Одной из областей математики, в которой канторовы множества чувствуют себя весьма привольно, являются так называемые инвариантные множества итерированных отображений. (Элемент инвариантного множества под действием отображения переходит в некоторый элемент того же множества. Все эти элементы вместе и образуют инвариантное множество.) Рассмотрим простое отображение, известное под названием «палатки» (см. рис. 1 ):
\[
x_{n+1}=1,5-3\left|x_{n}-0,5\right| .
\]

Поскольку угловые коэффициенты обоих скатов палатки по абсолютной величине всюду больше единицы, это отображение не имеет аттракторов за исключением $x=-\infty$. Две неподвижные точки $x=0$ и $x=0,75$ являются репеллерами: оказавшись в их окрестностях, точки уходят в бесконечность.

Существуют ли здесь точки, не уходящие в бесконечность, т.е. такие точки, образы которых навсегда остаются в единичном интервале? Чтобы ответить на этот вопрос, запишем $x_{n}$ в троичной системе счисления. Тогда из отображения на рис. 1 видно, что при $x_{n} \leqslant 0,5$ каждую следующую итерацию $x_{n+1}$ можно получить простым сдвигом вправо

Рис. 1. Отображение «палатка». Инвариантное множество этого отображения представляет собой канторово множество (см. также рис. 10 в гл. 1).

запятой в числе $x_{n}$. Если $x>0,5$, то, прежде чем произвести сдвиг вправо, необходимо каждую цифру дополнить, т. е. заменить 0 на 2,2 на 0 , а все единицы оставить единицами.

Если где-то в первоначальном разложении числа $x_{0}$ имеется единица, то в конце концов эта единица окажется на первом месте слева от троичной запятой. Начиная с этой итерации, число $x_{n}$ и все его последующие образы превосходят единицу и расходятся, т.е. удаляются в бесконечность (за исключением тех случаев, когда дробь на единице обрывается).

Но предположим, что в троичном разложении начального значения $x_{0}$ нет ни одной единицы, т. е. $x_{0}$ – канторово число. Тогда все его образы также будут канторовыми числами $(0 \rightarrow 0$ или $2,2 \rightarrow 2$ или 0 , не забыли?). Все образы такого числа навсегда останутся в единичном интервале. Чтобы убедиться в этом, предположим, что $x_{n}=0,2022 \ldots$, т. е. больше 0,5 . Следуя нашему алгоритму, мы должны сначала дополнить $x_{n}$ (и получить $0,0200 \ldots$ ), а затем сдвинуть запятую на один знак вправо – получим $0,2 \ldots$, что меньше 1 ). Если же первой цифрой числа $x_{n}$ является 0 , то $x_{n+1}$ также будет меньше единицы. Таким образом, канторовы числа (и только они) всегда находятся в пределах единичного интервала и неизменно остаются канторовыми числами. Именно поэтому мы и говорим, что они образуют инвариантное множество отображения «палатка» $x_{n+1}=1,5-3\left|x_{n}-0,5\right|$.

Отображение, аналогичное рассмотренному выше, но ограниченное единичным интервалом, было описано Бо-Сен Ду [54].

Символическая динамика и детерминированный хаoc

Отображением, с которым мы познакомились в предыдущем разделе, можно проиллюстрировать ещє один важный момент. Вместо подробного описания последовательности образов (которая называется opбитой) путем указания точных величин $x_{n}$, последние часто квантуют лишь на два значения. Например, если $x_{n}$ меньше 0,5 , т. е. лежит слевa от 0,5 , то мы представляем такие значения $x_{n}$ одним символом $L$ (от англ. left – левый). Если же $x_{n}$ больше 0,5 , то мы заменяем его символом $R$ (от англ. right – правый).

Любопытно отметить, что для любого данного начального значения $x_{0}$, принадлежащего инвариантному множеству, мы можем сразу же предсказать последовательность символов $L$ и $R$, которая называется символической динамикой его образов. Например, начальное значение $x_{0}=0,022020002 \ldots$ имеет символическую динамику $L R L R R R L L R .$. , которую можно получить, записывая символ $L$ всякий раз, когда какая-либо цифра в числе $x_{0}$ совпадает с ближайшей слева цифрой, и символ $R$ в противном случае. Символическая динамика описывает эволюцию во времени некоторой динамической системы – например, детских качелей или распределения голосов политически активного населения.

Еще любопытнее то, что по (дискретной!) символической динамике мы можем однозначно определить точное начальное значение $x_{0}$ (если оно принадлежит инвариантному множеству). Например, орбита с символической динамикой $R L R L L L R R L \ldots$ исходит из начальной точки $x_{0}=0,220000200 \ldots$ Не может ли уважаемый читатель объяснить, почему я так решил?

Ясно, что инвариантные множества (и их дополнения) играют решающую роль в динамических системах в целом, поскольку они способны сообщить нам о любом начальном состоянии то, что мы более всего хотим узнать – какая судьба ожидает это состояние в конечном итоге: будут ли образы его оставаться в определенных пределах или они окажутся неустойчивыми и удалятся в бесконечность, а также какой будет его орбита – периодической или апериодической?

Как видно из вышеприведенных примеров, инвариантные множества могут представлять собой (и часто так оно и бывает) самоподобные канторовы множества, т.е. несчетные множества меры 0 , обладающие масштабной инвариантностью. Для канторова множества коэффициент подобия равен 3 , что соответствует сдвигу запятой в троичной записи числа на один знак вправо.

Представление эволюции динамической системы во времени с помощью сдвигов запятой вправо в соответствующей системе счисления выявляет еще одно важное свойство систем, которые допускают такое представление: независимо от того, с какой точностью известно начальное состояние $x_{0}$ некоторой координаты, точность эта всегда остается конечной, т.е. стоящие справа от последнего известного знака цифры числа $x_{0}$, неизвестны. По мере того, как динамическая система эволюционирует во времени, эти неизвестные цифры сдвигаются влево, т.е. значимоеть их растет; рано или поздно они достигнут запятой и станут тем самым определять поведение системы. А поскольку все эти цифры неизвестны, система становится полностью непредсказуемой. Возникающее в результате движение называется хаотическим. Чтобы подчеркнуть, что такого рода хаос порожден строго причинными, детерминированными правилами, его называют детерминированным хаосом. Как мы можем видеть, нет никакого противоречия между полным детерминизмом и хаосом. Более того, детерминированный хаос весьма широко распространен в природе – от турбулентности до динамики численности населения.

Проведенный выше анализ позволяет также понять, почему так редко сбываются предсказания погоды. Причина заключается в том, что описывающие погоду уравнения являются уравнениями хаотической системы. Чтобы надежно предсказать погоду хотя бы на один лишний день, необходимо знать начальные состояния температуры, давления воздуха, скорости ветра и других величин в огромном количестве точек на Земле с точностью, намного превышающей современные возможности метеорологии, не говоря о трудностях сбора и обработки всей этой огромной массы данных. Впрочем, появившиеся в последнее время на горизонте суперкомпьютеры, вэполняющие крупномасштабную параллельную обработку информации, обещают более надежное предсказание погоды на чуть больший период времени.

Чертовы лестницы и китайский бильярд
Одно из наиболее интересных построений на основе канторовых множеств называется чертовой лестницей. Возьмем исходное канторово множество, получающееся при стирании средних третей, и построим график относительного веса $y$ множества лежащих слева от $x$ чисел, как функции от $x$ на единичном интервале. На первой стадии построения $y$ возрастает от 0 до $1 / 2$ по мере того, как $x$ проходит отрезок от 0 до $1 / 3$. Затем до точки $x=2 / 3$ функция $y$ остается постоянной. После этого плато $(y=1 / 2)$ функция $y$ снова возрастает от $1 / 2$ до 1 по мере того, как $x$ проходит отрезок от $2 / 3$ до 1 . На второй стадии построения на графике появляются еще два плато – $y=1 / 4$ и $y=3 / 4$ (рис. $2 \mathrm{~A}$ ).

В пределе ступенчатая функция $y(x)$ имеет плато почти всюду, но несмотря на это умудряется возрастать от 0 до 1 при несчетно многих значениях $x$ (на рис. 2Б можно видеть чертову лестницу на довольно продвинутой стадии построения).

Чтобы узнать высоту лестницы для любого заданного значения $x$, необходимо записать $x$ в виде троичного числа и превратить его затем в двоичную дробь, заменяя каждую цифру 2 вплоть до первой единицы (при чтении слева направо) на единицу. Первую единицу (если таковая имеется) оставляем в покое, а все стоящие справа от нее цифры заменяем нулями. Например, число
\[
x=0,20210012 \ldots=\frac{1652}{2187}
\]

отображается в
\[
y=0,1011000 \ldots=\frac{11}{16} .
\]

Таким образом, каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$.

Чтобы вернуться от данного значения $y$ к соответствующему значению (или значениям) $x$, необходимо записать $y$ в виде двоичной дроби и заменить все единицы, кроме последней (если таковые имеются), двойками, а каждый нуль, расположенный правее последней единицы, заменить одной из трех цифр – ғулем, единицей или двойкой. В результате проделанных манипуляций мы получим некоторый интервал.

Рис. 2. Второй (А) и более продвинутый (Б) этапы построения чертовой лестницы. Видны все плато с более ранних этапов построения.

Например, число
\[
y=0,1011=0,1011(0)=\frac{11}{16}
\]

перейдет в
\[
x=0, \begin{array}{r}
1000 \ldots \\
2021111 \ldots,
\end{array}
\]

что соответствует всем числам из открытого интервала $(0,2021(0)$, $0,2021(2))$ или, в десятичной системе счисления, $(61 / 81,62 / 81)$. Иначе говоря, $y=11 / 16$ соответствует одному из плато чертовой лестницы с шириной ступени $1 / 81$.

В общем случае любое значение $y$ со знаменателем (предполагается, что числитель и знаменатель дроби взаимно просты), равным $n$-й степени двух, лежит на плато шириной $3^{-n}$. Все остальные значения $y$ (т.е. все бесконечные двоичные дроби) соответствуют единственным значениям координаты $x$. Функция $y(x)$ отличается поистине дьявольскими свойствами: она почти всюду постоянна (т.е. не возрастает), однако несчетное количество бесконечно малых разрывов позволяет ей «прокрасться» от 0 до 1.
Рис. 3. Китайский бильярд Энона.
Чертовы лестницы могут служить превосходными моделями многочисленных сложных ситуаций в реальном мире (равно как и в не столь реальном мире математической физики). Мишель Энон однажды изобрел нечто вроде китайского бильярда (рис. 3), символическую динамику которого при любом начальном положении $x_{0}\left(0<x_{0}<1\right)$ можно получить посредством вычисления чертовой функции $y\left(x_{0}\right)$, как это только что делали мы с вами 103]. Если значение $y\left(x_{0}\right)$ попадает на плато чертовой лестницы, то шарик удаляется в плюс или в минус бесконечность. Т.е. плато чертовой лестницы являются интерваламиловушками от аттракторов, расположенных в бесконечности. Однако если $x_{0}$ – канторово число, то $y\left(x_{0}\right)$ окажется не на плато, и орбита шарика навсегда останется «запертой» в интервале $[0,1]$. В этом случае его символическая динамика определяется значением $y\left(x_{0}\right)$, записанным в виде двоичной дроби, где каждый нуль трактуется как символ $L$, т. е. сопоставляется левой половине единичного интервала ( $x_{n}<1 / 2$ ), а каждая единица – как символ $R$, т.е. сопоставляется правой половине единичного интервала ( $\left.x_{n}>1 / 2\right)$. Это очень похоже на отображение «палатка», приведенное на рис. 1. (Энон, однако, заверил меня, что между отображением «палатка» и «бильярдом с наклонностями», как он назвал свое построение, имеются также и существенные различия).

Если бы конструкция Энона былє компьютерной игрой, имеющей целью удерживать шар в постоянном движении в заданных пределах, то выигрышная стратегия состояла бы в выборе в качестве начального положения шара канторова числа. Это напоминает игру сэра Пинского, рассмотренную нами в гл. 1 (с. 46-52): там выигрышные точки принадлежали ковру Серпинского (двумерному канторову множеству).

Рис. 4. Функция распределения для случайной величины с канторовой плотностью вероятности.

Чертовы лестницы встречаются и в теории вероятности. На рис. 4 вы видите кумулятивное распределение случайной величины $x$, определяемой соотношением
\[
x=3 \sum_{j=1}^{\infty} \sigma_{j} \beta^{j}, \quad \beta=\frac{1}{4},
\]

где $\sigma_{j}$ – независимые равновероятные +1 и -1 . Легко заметить, что $x$ никогда не сможет попасть внутрь интервалов $(-1 / 2,1 / 2)$, $(-7 / 8,-5 / 8),(5 / 8,7 / 8)$ и т. д. Это влечет за собой большие плато на графике кумулятивного распределения (рис. 4). Аналогичные распределения типа чертовой лестницы, почти всюду постоянные и возрастающие только на канторовом множестве значений $x$, можно получить для любого положительного $\beta<1 / 2$.

Синхронизация мод в качелях и часах
Одно из наиболее распространєнных колебательных явлений в природе известно под названием синхронизации мод, затягивания частоты, синхронизации фаз, или просто синхронизации двух осцилляторов. И здесь чертовы лестницы играют весьма заметную роль. В применении к синхронизации высота чертовой лестницы соответствует отношению частот двух осцилляторов, а плато представляют собой фиксированные отношения частот, причем фиксированные на любом из рациональных чисел (а не только на конечных двоичных дробях, как в случае чертовой лестницы, построенной по первоначальному канторову множеству). Кроме того, самоподобие в случае синхронизации может быть только асимптотическим, а не точным.

Рассмотрим в качестве примера детские качели. У них имеется собственная частота, с которой они раскачиваются, когда ребенок, приседая и распрямлянсь, перемещает свой центр тяжести вверх и вниз с частотой, равной удвоенной собственной частоте качелей – нужную частоту ребенок быстро находит опытным путем задолго до того, как впервые услышит о параметрических усилителях.

Но гачели моюст раскачать и тсрпсливый родитсль, подталгивал их извне с некоторой частотой, не обязательно равной собственной частоте качелей. Если внешняя сила достаточно «прочно» связана с качелями, то они начинают двигаться в такт с этой внешней силой, т.е. синхронизируются с внешней частотой при некоторых значениях задающих частот.

Первым описал подобный феномен синхронизации голландский физик, математик и астроном Христиан Гюйгенс (1629-1695) – тот самый Гюйгенс, который сформулировал носящий ныне его имя принцип распространения волн. В письме из Парижа к отцу он описал, как двое маятниковых часов, висевших по разные стороны одной стены, разделявшей две комнаты, синхронизируют свой ход и начинают вскоpe тикать совершенно согласованно (см. книгу Гюйгенса «Horologium Oscillatorium» [112]). Каю показывает этот пример, даже самая малая связующая сила может «подчинить» один осциллятор другому, при условии что отношение их собственных частот близко к рациональной дроби с небольшими целыми числителем и знаменателем (такой, например, как $1 / 1$ ).

Еще одно давнее наблюдение синхронизации, на этот раз в космическом пространстве, относится к 1812 г., когда Гаусс открыл, что период обращения астероида Паллада связан с периодом обращения Юпитера неизменным и точным отношением $7 / 18$. Числа 7 и 18 представляют собой два числа Люка $L_{n}$, удовлетворяющие тому же рекуррентному соотношению, что и числа Фибоначчи, а именно $L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}$, но с другими начальными условиями ( $L_{1}=1$ и $L_{2}=3$ ). Гаусс так и не опубликовал свое эпохальное отнрытие, если не считать краткой заметки – и той в зашифрованном виде! – в Gelehrte Anzeigen, оперативном бюллетене Гёттингенской Академии. Впрочем, он все же поведал об этом поразительном наблюдении 5 мая 1812 г. своему близкому другу астроному Фридриху Вильгельму Бесселю (1784-1846), взяв с того слово хранить сообщение в тайне «некоторое время». По-видимому, Бессель полностью сдержал свое обещание, потому что Гаусс так и не получил за свое открытие никаких почестей. Более того, впоследствии «принц математиков», явно позабыв о своем первоначальном намерении хранить открытие в тайне, был немало раздосадован таким поворотом событий. (Почему Гаусс так противился тому, чтобы мир узнал о Палладе и Юпитере? Может быть, он опасался, что обнаружил случайно некое божественное вмешательство в «часовой механизм» нашей планетной системы? Нет, Гаусс отлично знал, что обнаруженная им связь – это всего лишь простоє следствие из законов нелинейной механики и ничего больше. Возможно, он опасался, что новость слишком взбудоражит умы, как в случае с открытой им неевклидовой геометрией, которую он держал «в столе» на протяжении десятилетий.)

Аналогичную синхронизацию можно наблюдать в некоторых радиоприемниках и телевизорах с автоматической подстройкой частот: пользуясь регулятором (если таковой еще сохранился), можно вручную сместить настройку приемника на некоторую величину, и, тем не менее, он будет принимать выбранный канал. Еще одним примером может служить синхронизация с помощью внешнего сигнала горизонтальной (или временной) развертки осциллографа или телевизора. Внутренний генератор развертки синхонизируется с внешней частотой в пределах некоторого частотного интервала, а затем скачкообразно перемещается к другому рациональному отношению частот, предпочитая отношения с малыми числителем и знаменателем (такие, например, как $1 / 2$ или 3/4). Частотные интервалы, перескакивая через которые две частоты синхронизируются в рациональное отношение, очень часто зависят от величины целых чисел в числителе и знаменателе (особенно от знаменателя). Например, в данном случае частотный интервал, в пределах которого происходит синхронизация, при отношении частот $1 / 1$ шире, чем при отношениях $1 / 2,1 / 3$ или $2 / 3$.

Интересно отметить, что такого рода интервалы синхронизации обладают весьма высокой степенью универсальности и встречаются в бесчисленных и, на первый взгляд, никак не связанных между собой явлениях (например, осцилляции суперионных проводников [166] и сердцебиение периодически раздражаемых куриных зародышей). Более того, все эти явления могут быть смоделированы асимптотически самоподобными фракталами, размерность Хаусдорфа для которых во многих случаях оказывается одинаковой и равной $D=0,86 \ldots$ К разговору о периодических, апериодических и хаотических колебаниях мы еще вернемся в гл. 14 .

Незадачливый манхэттенский пешеход

Этот весьма настойчивый пешеход, совершая время от времени вылазки в Большое Яблоко (известнсе также под названием Нью-Йорк), испытывает на себе последствия одной из самых «очаровательных» ситуаций, связанных с синхронизацией. Проходя по одной из авеню Манхэттена, он вынужден останавливаться на каждом перекрестке, потому что, стоит лишь ему приблизиться, как зеленый сигнал светофора неизменно сменяется красным.

Предположим, что скорость пешехода лишь немногим меньше двух третей «скорости» светофора (т.е. расстояния между соседними перекрестками, деленного на продолжительность одного полного цикла смены сигналов – зеленый/желтый/красный). Тогда красные сигналы заставят несчастного пешехода ожидать на каждом перекрестке и уменьшат его скорость наполовину.

Предположим для простоты, чго зеленый сигнал (знак того, что пешеход может безопасно переходить улицу) горит на протяжении ровно половины цикла, и что все сигналы идеально синхронизированы (что заведомо неверно для улицы с односторонним движением). Тогда, при условии, что скорость пешехода находится в интервале $1 / 2 \leqslant s \leqslant 2 / 3$ сигналы светофора заставляют его двигаться с эффективной скоростью $v=1 / 2$. В общем случае, если скорость пешехода находится в интервале
\[
\frac{1}{n+1} \leqslant s<\frac{2}{2 n+1},
\]

где $n=1,2,3, \ldots$, пешеход вынужден двигаться с эффективной скоростью $v=1 /(n+1)$. Однако можно заставить пешехода двигаться и с другими, более рациональными, скоростями (хотя ему они могут и не показаться таковыми). Действительно, если
\[
\frac{2(k-1)}{2(k-1) n+1} \leqslant s<\frac{2 k}{2 k n+1},
\]

где $k=2,3,4, \ldots$, эффективная скорость движения пешехода оказывается равной нижнему пределу $s$.

Рис. 5. Продвижение незадачливого манхэттенского пешехода как иллюстрация синхронизации.

Ступенчатая функция, соответствующая таким интервалам синхронизации, представлена на рис. 5. Хотя график $v$ как функции от $s$ не обладает точным самоподобием, схема распределения «ступенек» синхронизации в интервале $1 / 2 \leqslant s<1$ приближенно повторяется в других масштабах в интервалах $1 /(n+1) \leqslant s<1 / n$. Следует также отметить, что плато синхронизации становятся все меньше по мере того, как возрастают знаменатели в неравенствах (1) и (2) из предыдущего абзаца. Вообще говоря, интервалы эффективной скорости равны двойке, деленной на произведение двух знаменателей.

Затронутая нами тема интервалов синхронизации, связанных обратной зависимостью со знаменателями некоторых приведенных дробей, выходит далеко за рамки повествования о злополучном пешеходе из Манхэттена. Более того, скоро мы встретимся с такими ступенча-

Рис. 6. Сатанинская лестница, плато которой расположены на всех рациональных высотах.

тыми функциями, которые, в отличие от чертовой лестницы на рис. 5 , имеют несчетное множество ступеней.

Языки Арнольда

Плато чертовых лестниц, встречавшихся нам до сих пор, располагались на высотах $y=(2 k-1) / 2^{n}$, где $k, n=1,2,3, \ldots$ Существуют, однако, еще более сатанинские лестницы, плато которых располагаются на любой рациональной высоте в интервале [0,1]. В то время как чертова лестница, построенная на основе канторова множества, обладает точной самоаффинностью (с коэффициентами подобия 3 по оси $x$ и 2 по оси $y$ ), этого нельзя сказать о дьявольских лестницах, одна из которых приведена на рис. 6. Строятся подобные лестницы на основе так называемого отображения окружности:
\[
\theta_{n+1}=\theta_{n}+\Omega-\frac{K}{2 \pi} \sin \left(2 \pi \theta_{n}\right),
\]

позволяющего моделировать многие явления синхронизации мод (см. гл. 14). Здесь $K$ – параметр силы связи, управляющий степенью нелинейности, а $\Omega$ – отношение частот, известное под названием формального числа вращения. Эта величиня может представлять собой отношение частоты вынуждающей силы и резонансной частоты осциллятора (вспомним о различного рода ритмических колебаниях, в том числе и исполняемых на танцевальной площадке, или об отношениях частот обращения планет и спутников вокруг своих центральных тел и вокруг собственных осей).

В отсутствие связи ( $K=0$ ) так называемое реальное число вращения $w$, определяемое как предел при $n \rightarrow \infty$ отношения $\left(\theta_{n}-\theta_{0}\right) / n$, совпадает с формальным числом вращения $\Omega$. Однако при $K>0$ реальное число вращения $w$ синхронизируется с рациональными отношениями частот, предпочитая отношения с небольшими знаменателями.

На рис. 7 показаны некоторые области синхронизации частот на плоскости $(\Omega-K)$. Темные области называются языками Арнольда в честь открывшего их русского математика В. И. Арнольда. (Ни фрактальные небеса, ни фрактальная преисподняя, по-видимому, не испытывают недостатка в значащих терминах).
Рис. 7. Языки Арнольда: интервалы синхронизации частот.
В применении к другим явлениям реальное число вращения $w$ может представлять собой, скажем, относительное число направленных вверх спинов в модели антиферромагнетика Изинга или относительным содержанием данного элемента (или молекулярной структуры) в кристалле или квазикристалле (см. гл. 13).

При критическом значении параметра связи $K=1$ бесконечно большое количество частотных интервалов синхронизации, соответствующих всем рациональным реальным числам вращения $w$ от 0 до 1 в буквальном смысле слова покрывает весь диапазон формальных чисел вращения $\Omega$. Иррациональные значения $w$ соответствуют несчетно бесконечному множеству нулевой меры, состоящему из значений $\Omega$ иначе говоря, канторовой пыли.