И лился на землю дождь сорок дней и сорок ночей.
Книга Бытия, гл. 7, стих 12.
Наблюдаемый рост доходов должен способствовать подъему рынка на новую выcomy.
Э.Ф.ХАттон, брокерская фирма на Уолл-стрит. Из прогноза, выпущенного 19 октября 1987 г., незадолго до катастрофического падения курса ценных бумаг на бирже.
Среди многих областей, в которых пышно расцветают самоподобные степенные законы, весьма и весьма почетное место занимает статистика. Особую приверженность к простым однородным степенным законам вида $f^{-\beta}$ проявляют спектры мощности (квадраты амплитуд преобразования Фурье), часто называемые шумами. Среди шумов широкой известностью пользуется белый шум со спектральным показателем $\beta=0$. Иначе говоря, спектр мощности белого шума не зависит от частоты. Однако белый шум, т.е. шум с постоянным, или плоским, спектром мощности, представляет собой удобную абстракцию, так сказать, небольшую ложь во спасение. Подобно спектру белого света (отсюда и название – белый шум), спектр белого шума является плоским только в некотором конечном диапазоне частот. Тем не менее, белье спектры служат в высшей степени практической цели, позволяя моделировать бесчисленное множество процессов в широчайшем диапазоне научных дисциплин. К числу таких процессов принадлежат, в частности, инкременты броуновского движения и разные другие инновационные процессы (ученое название для любой последовательности неожиданностей и сюрпризов). На членство в этой «бело-шумной компании» претендуют электронный и фотонный дробовые шумы, тепловой шум и всякого рода шипящие звуки, издаваемые человеком или животными.

Проинтегрировав белый шум один раз по времени, мы получаем «коричневый» шум – нечто вроде проекции броуновского движения на одно пространственное измерение. Коричневый шум имеет спектр мощности, пропорциональный $f^{-2}$, в довольно широком диапазоне частот. Некоторые парадоксальные следствия подобных процессов, такие, как разорение игрока и «пылевидная» структура их изомножеств (множеств постоянного капитала), мы рассмотрим в гл. 6. Но белый и коричневый шумы далеко не исчерпывают все спектральные возможности: между ними располагается розовый шум со спектром $f^{-1}$, а за коричневым спектром маячит черный, пропорциональный $f^{-\beta}$, где $\beta>2$. На рис. 5 в гл. 4 (с. 161) показаны временные диаграммы белого, розового и коричневого шумов; на рис. 1 (уже в этой главе) вы видите временную диаграмму черного шума с $\beta=3$.
Рис. 1. Временная диаграмма «черного» шума с $\beta=3$.
Оказывается, и розовый, и черный шумы распространены весьма широко. Розовые процессы возникают во многих физических ситуациях и находят удивительные эстетические применения в музыке и других видах искусства.

Черные спектры описывают развитие во времени многих естественных и противоестественных катастроф, таких как разливы рек, засухи, рынки с тенденцией к понужению курсов и различные аварийные ситуации – например, перебои в подаче электроэнергии. Из-за своих черных спектров подобные неприятности нередко случаются по нескольку штук кряду. Вот уж действительно, как сказано в «Корабле дураков» Себастьяна Бранта, «И рек мудрец … беда в одиночку не ходит» [18].

Все вышеперечисленные явления имеют одну важную общую черту: в некотором достаточно широком диапазоне частот их спектры мощности представляют собой однородные степенные функции вида $f^{-\beta}$, где $\beta$ находится в интервале от 0 до 4 .

Такие однородные спектры, а также пространственные и временные сигналы, из которых они получены, демонстрируют простую масштабную инвариантность: если такой процесс сжать с постоянным коэффициентом подобия $s$, то соответствующий спектр Фурье растянется $^{1}$ в $1 / s$ раз. Однако изменение масштаба частот в любое (постоянное) число раз не изменяет частотной зависимости для степенных спектров: форму свою они сохраняют. Это можно великолепно продемонстрировать на акустическом примере. Если такой процесс записать на магнитофонную ленту (надлежащим образом изменив временной масштаб, чтобы исследуемый сигнал попал в область слышимых частот) и прослушать с увеличенной или уменьшенной скоростью, то звук не повысится и не понизится. Звук не изменится совсем, изменится только громкость! Следовательно, черные спектры самопдобны, а описываемые ими процессы статистически самоподобны или самоаффинны.

Розовый шум
Розовый шум, называемый также $1 / f$-шумом, или фликкер-шумом, обладает одинаковой мощностью в полосах частот шириной в октаву или в любых постоянных интервалах в логарифмической частотной шкале. Благодаря этому свойству он находит множество применений. Например, розовый шум является одним из излюбленных тестовых сигналов в исследованиях слуха и акустических исследованиях в целом, поскольку он близок к многим естественным шумам. Розовый шум обладает также свойством возбуждать на приблизительно равных по длине участках основной перепонки в нашем внутреннем ухе равные по амплитуде колебания, тем самым стимулируя постоянное количество окончаний слуховых нервов, передающих звуковые сигналы в мозг (см. гл. 3, с. 130-131). Таким образом, розовый шум представляет собой психоакустический эквивалент белого шума.
${ }^{1}$ Фундаментальное свойство преобразования Фурье, лежащее в основе принципа неопределенности (см. с. 162-165) и многих других реалий физики, не имеющих столь красивого названия.

Розовый шум встречается также в самых различных физических системах, в том числе в полупроводниковых устройствах. Одной из причин вездесущности $1 / f$-шумов явгяется то, что их порождают параллельные релаксационные процессы, в изобилии встречающиеся в природе [1]. В релаксационном процессе (представьте себе электроны, запертые между стенок потенциальной ямы в полупроводнике) запертая частица переходит в возбужденное согтояние, в котором и остается в течение экспоненциально распределенного интервала времени с временем релаксации $\tau$. Спектр мощности (т. е. квадрат амплитуды преобразования Фурье) такого процесса $P_{\tau}(f$ ) есть не что иное, как хорошо нам знакомая лоренцева резонансная кэивая, центрированная на частоте 0 (инженер-электрик назвал бы такой спектр характеристикой первого порядка фильтра низких частот):
\[
P_{\tau}(f)=\frac{4 \tau P_{0}}{1+(2 \pi f \tau)^{2}} .
\]

Полная мощность $P_{0}$ релаксационного процесса, т.е. интеграл от $P_{\tau}(f)$ по всему диапазону положительных частот, не зависит от $\tau$.

Многие физические, химические или биологические системы имеют не одно релаксационное время $\tau$, а целый спектр таких времен, зависящих от значений энергии пэтенциальных барьеров $E$, которые в течение некоторого времени удерживают запертую в потенциальной яме систему в возбужденном состоянии. Отношение между временем релаксации $\tau$ и энергией барьера $E$ – знаменитый закон, названный в честь Сванте Августа Аррениуса (1859-1927) – имеет следующий вид:
\[
\tau=\tau_{0} e^{E / k T},
\]

где $T$ – абсолютная температура, а $k$ – постоянная Больцмана. Предположим, что эти энергии равномерно распределены в интервале $\left[E_{1}, E_{2}\right]$. Тогда распределение времени релаксации $p(\tau)$ может быть получено из соотношения (2) с помощью элементарных правил преобразования вероятностей. Оно оказнвается гиперболическим по $\tau$ :
\[
p(\tau)=\frac{k T}{E_{2}-E_{1}} \cdot \frac{1}{\tau}, \quad \tau_{1} \leqslant \tau \leqslant \tau_{2},
\]

где $\tau_{1,2}=\tau_{0} \exp \left(E_{1,2} / k T\right)$.
Наложение большого числа независимых релаксационных процессов на спектры мощности типа (1) и времена релаксации, распределенные по формуле (3), приводит к спектру
\[
P(f)=\frac{2 k T P_{0}}{\pi\left(E_{2}-E_{1}\right) f}\left[\operatorname{arctg}\left(2 \pi f \tau_{2}\right)-\operatorname{arctg}\left(2 \pi f \tau_{1}\right)\right],
\]

где разность в квадратных скобках, несмотря на несколько громоздкий вид, практически постоянна в интервале частот
\[
\frac{1}{\pi \tau_{2}}<f<\frac{1}{4 \pi \tau_{1}} .
\]

Здесь необходимо подчеркнуть, что интервал частот (4) может быть очень широким и в многочисленных ситуациях действительно бывает весьма широк. Допустим, к примеру, что значения энергии потенциального барьера разделены интервалом шириной $7 k T$; тогда $\tau_{2} / \tau_{1} \approx 10^{3}$. Соответствующие частоты, для которых $1 / f$-закон $P(f) \sim f^{-1}$ выполняется с точностью до 3 децибел (дБ), заполняют в 1200 раз более широкий диапазон.

Распределения времени релаксации по широким диапазонам значений наблюдались во многих физических и биологических явленинх [161]. Например, падение со временем электрическог напржения на лейденской банке, одном из самых первых аккумуляторов, не подчиняется экспоненциальному закону с одним-единственным временем релаксации. Скорее, процесс разрядки лейденской банки имеет гиперболический характер, который подразумевает широкий диапазон времен релаксации [133]. Утечка внутреннего заряда в вездесущем электретном микрофоне (современном аналоге лейденской банки) происходит по сходному закону [235].

Приведем еще один пример. Как установил Джерри Леттвин, значения времени восстановления нейрона после возбуждения колеблются в диапазоне от долей миллисекунд до часов и суток. А когда Вильгельм Вебер по совету Карла Фридриха Гаусса измерил удлинение эластичных шелковых нитей, используемых в сконструированном им приборе, он обнаружил, что приложенная нагрузка вызывает не только мгновенное растяжение, но и устойчивое последействие – непрерывное растяжение нити, подчиняющееся гиперболическому закону от времени, истекшего с момента нагружения [132].

Гиперболическое затухание наблюдается даже в концертных залах с недостаточно сильным рассеянием звука. В результате затухание звука в таких залах не может быть охарактеризовано одним временем реверберации даже на одной частоте [226]. По-видимому, куда бы мы ни смотрели или что бы мы ни слушали, мы увидим или услышим, что экспоненциальное поведение встречается гораздо реже, чем принято думать.

Позднее мы встретимся еще с одним механизмом гиперболического поведения, порождающего широкодиапазонные $1 / f$-спектры. Я имею в виду перемежаемость, возникающую при касательной бифуркации в логистической параболе и других итерированных нелинейных отображениях. Недавно Т.Гайзель [79] представил на суд публики генератор типичного $1 / f$-шума в хаотических гамильтоновых системах, этакого заложника самоподобной иерархии «кантор-торов».

Если генерировать коричневый шум довольно легко (нужно лишь суммировать независимые случайные числа), то получить розовый шум несколько сложнее. Сравнительно простой метод генерирования розового или $1 / f$-шума на компьютере состоит в том, чтобы сложить несколько релаксационных процессов со спектрами мощности типа (1) (характеристика фильтра низких частот первого порядка) и со значениями времени релаксации $\tau$, образующими самоподобную прогрессию с коэффициентом подобия 10 (или меньше – для лучшей сходимости). При таком подходе достаточно всего лишь трех значений времени релаксации для того, чтобы покрыть частотный дианазон шириной почти в три десятичных порядка (рис. 2).

Релаксационный процесс с дискретными значениями времени $x_{n}$ можно задавать с помощью имеюшегося в компьютере генератора случайных чисел, который позволяет получать независимые случайные числа $r_{n}$ (нулевой меры), подстав.інемые затем в рекуррентное соотношение
\[
x_{n+1}=\rho x_{n}+\sqrt{1-\rho^{2}} r_{n}, \quad x_{0}=0 .
\]

Здесь $\rho$ – требуемый коэффициент корреляции между соседними случайными значениями. С временем релаксации $\tau$ этот коэффициент связан соотношением $\rho=\exp (-1 / \tau)$. Таким образом, для набора значений времени релаксации, каждое из которых в 10 раз превосходит предыдущее $(\tau=1,10,100, \ldots)$, коэффициенты корреляции получаются вычислением последовательных корней десятой степени (т.е. $\rho=$ $=0,37 ; 0,90 ; 0,99 \ldots)$.

Если не требуется высокая точность, то генераторами случайных чисел могут послужить три игральные кости: первую кость бросаем для каждого нового значения розового шума, вторую кость бросаем через раз, а третью – через три раза на четвертый. Этой остроумно азартной идеей мы обязаны Рихарду Фоссу [76]. Сумма очков, выпавших на всех трех костях, образует случайную величину со средним зна-

Рис. 2. Розовый шум, порождаемый релаксационными процессами. Сплошной кривой дано наложение трех релаксєционных процессов, штриховой линией – наложение значений, выпавших на трех игральных костях.

чением 10,5 и дисперсией (мощностью шума) 8,75, что является грубым приближением розового шума в ограниченном диапазоне частот.

В таком игровом варианте генерации розового шума различные времена релаксации имитируются тем, что число очков, выпавшее на каждой из трех костей, сохраняется в течение различного времени (в нашем случае период времени каждый раз увеличивается вдвое): на первой кости оно изменяется (или по крайней мере может измениться) при каждом бросании, на второй кости сохраняется вдвое дольше, на третьей – в четыре раза дольше. Однако метод трех игральных костей (штриховая линия на рис. 2) совсем не дает такого же хорошего приближения $\kappa 1 / f$-прямой, как метод наложения трех релаксационных процессов (сплошная кривая на рис. 2).

Самоподобные тенденции на фондовой бирже
Одним из мест, где степеннь́е шумы правят бал, а в головах и бумагах царит хаос, является Уолл-стрит, США. При покупке и продаже ценных бумаг и товаров в игру вступает самоподобие во многих масштабах. Пожалуй, лучшей иллюстрацией этому может служить допущенная мной однажды ошибка: я случайно перепутал график поминутных средних колебаний биржевого курса (рис. 3) с графиком ежедневных флуктуаций. Меня бы не удивило самоподобие между дневными, недельными и месячными ценами, но я никогда не подозревал, что такого же рода флуктуации наблюдаются вплоть до 30 -тисекундных интервалов, о чем свидетельствуют графики, отражающие «поминутные» колебания биржевого курса.

Рис. 3. Кривая поминутных средних колебаний биржевого курса очень похожа на кривую ежедневных колебаний, поскольку процесс изменений биржевого курса является самоаффинным.

Разумеется, время от времени в данных о колебаниях биржевого курса происходит нехарактерный скачок, такой, например, какой произошел в октябре 1987 г. (рис. 4), когда компьютеры, ведавшие торговыми операциями, вдруг впали в неистовство (не по своей вине, paзумеется). Специалисты называют такие скачки цен, помимо прочего, «инновационными процессами» – хорошенькая инновация; не думаю, что она утешит несчастного торговца, нетерпеливо ожидающего, когда его брокер возьмет трубку! Однако после того, как сгладится «очарование новизны», флуктуации цен возвращаются к своему обычному течению. ${ }^{1}$
${ }^{1}$ Речевые сигналы, отличающиеся высокой избыточностью (независимо от свое-

Рис. 4. «Обвал» рынка ценных бумаг в октябре 1987 г.
Тенденции и флуктуации биржевых курсов были в свое время чрезвычайно подробно проанализированы с точки зрения таких понятий теории информации, как перекрестная энтропия и взаимная информация. Говорят, что Клод Шеннон, отец теории связи (как он предпочитает называть теорию информации), обзавелся небольшим состоянием, применяя свою теорию на фондовой бирже. Ныне анализ состояния рынка, наряду с другими экономическими приложениями энтропийных принципов, принадлежит к числу наиболеє разработанных разделов теории информации. А поскольку биржевые операции производятся сейчас на быстродействующих и бездушных машинах, управляемых мгновенной обратной связью, возникла необходимость в серьезном переосмыслении правил всеми заинтересованными сторонами: правлением биржи, аналитиками и незадачливыми инвесторами.

При рассмотрении биржевых курсов в первом приближении можно счесть, что их реальные уровни складываются под влиянием независимых приращений. Получающийся в результате «ценовой шум» обладает спектром мощности, обратно пропорциональным квадрату частоты. Такие случайные процессы часто называют броуновскими (или коричневыми) шумами из-за их сходства с броуновским движением – хаотическим мельтешением взвешенных в воде частиц цветочной пыльцы,

го семантического содержания), также могут быть сведены к инновационным последовательностям (с помощью линейного предсказания по предыдущим выборочным значениям). Затем эти «отходы предсказания» можно подвергнуть квантованию и кодировать одним двоичным битом каждые четыре выборочных значения из речевого сигнала, что составляет 0,25 бита на выборку без потери качества [231]. Обычно речевые сигналы требуют 8 битов на выборку, а при записи на компактдиски сигнал кодируется 16 битами на канал.

открытым под микроскопом шотландским ботаником Броуном. (В броуновском движении инновационный процесс состоит из независимых толчков, получаемых взвешенными частицами со стороны молекул той жидкости, в которой они плавают.)

Другим, еще более чистым примером коричневого шума могут служить флуктуации капитала игрока, для которого роль инновационного процесса выполняют независимые броски игральных костей. Предположим, что при каждом броске вероятность выиграть 1 доллар равна $p$ (а вероятность проиграть 1 доллар равна, соответственно, $1-p$ ). Какой же оптимальной стратегии рекомендует придерживаться теория информации? Ответ: если ваши шансы на выигрыш не превышают $50 \%$, то лучше не играть вообще! (Еще один пример того, как наука подтверждает обычный здравый смысл.)

Но как быть и что делать, если $p \geqslant 0,5$ ? Такая ситуация не столь нереальна, как может показаться на первый взгляд. Игрок может получить побочную информацию (легальную или нет) о механической статистике рулеточного колеса. В этом случае теория информации дает еще один полезный совет: делайте сгавку, но не ставьте все свои деньги! Чтобы максимизировать прирост вашего капитала, ставьте $2 p-1$ от тех денег, что имеютсн у вас в наличии [127]. В этом случае лю’арифмическая скорость прироста капитала достигнет наивысшего значения, задаваемого шенноновской информационной емкостью $C(p)=1-H(p)$ двоичного симметричного канала с вероятностью ошибки $p$. Здесь $H(p)$ энтропия, или энтропийная функция $H(p)=-[p \ln p+(1-p) \ln (1-p)]$. Например, в случае $p=0,6$ игроку при каждом запуске рулетки следует делать ставку в размере $20 \%$ от своего текущего капитала. Взяв логарифмы по основанию 2 , мы получим энтропию $H(p)=0,97$ бита на каждый запуск рулетки и $2^{C}=1,02$. Таким образом, хорошо информированный игрок может ожидать, в среднем, двухпроцентной прибыли на каждую ставку, что гораздо больше, чем те облагаемые налогом $2 \%$ годовых, которые без зазрения совести предложил автору один крупный европейский банк.

Более робкий игрок, ставящий только $5 \%$ своего капитала, выигрывает в среднем менее $1 \%$ на ставку. После 200 ставок его прибыль составит всего лишь одну десятую выигрыша «оптимального» игрока, должным образом использующего теорию информации.

И наоборот, жадный игрок, который всегда ставит половину своего текущего капитала, проигрывает в среднем $3,5 \%$ своих денег при каждом запуске рулетки и, в конце концов, после 200 ставок проиграет практически все свои деньги $(99,9 \%$ ). Что касается беспечного игрока, который каждый раз ставит все имеющиеся у него деньги, полностью разорится после, в среднем, двух таких ставок. (См. также гл. 6, c. 206- 208.)

Броуновское движение содержит несколько весьма тонких статистических самоподобий, и в последующих разделах и в гл. 6 мы еще вернемся к броуновской теме, в том числе к азартным играм и к вопросу о построении интересных топографических картин по шуму.

Черные шумы и разливы Нила
Если игрок сочтет, что броуновский шум для него недостаточно хорош, он может обратиться к процессам со спектром мощности, пропорциональным $f^{-\beta}$, где $\beta>2$, которые мы назвали черными шумами. Диффузионный процесс с независимыми приращениями $\Delta x$ расходится, но только как квадратный коренє из времени, прошедшего от его начала:
\[
\left\langle x^{2}\right\rangle^{1 / 2} \sim t^{1 / 2} \text {. }
\]

Чтобы охарактеризовать черные процессы, нам потребуется новая мера расходимости. И такая мера была предложена Харольдом Эдвином Херстом (1900-1978) [111] и Бенуа Мандельбротом [161].

Величина, о которой идет речь, называется нормированным размаxом $R / S$ и по существу представляет собой размах $R(\Delta t)$ данных на временном интервале $\Delta t$ (после вычитания любого линейного тренда), деленный на стандартное отклонение выборки $S(\Delta t)$. Для белого гауссова шума отношение $R / S$ при больших $\Delta t$ стремится к постоянной. В некотором смысле и $R$, и $S$ служат мерой размаха данных, но $R$ «рассматривает» данные линейно, а $S$ – после возведения в квадрат. Для некоторых процессов нормированный размах $R / S$ не дает новой информации и асимптотически стремится к постоянной, т.е. пропорционален $\Delta t^{0}$. Однако в случае многочисленных геофизических записей, относящихся к разливам рек, и множества других, столь же мрачных, данных отношение $R / S$ ведет себя иначе.

Для броуновской функции (спектр мощности которой пропорционален $f^{-2}$ ) величина $R / S$ пропорциональна $\Delta t^{0,5}$, что отражает кроющуюся за коричневыми процессами долговременную зависимость, называемую устойчивостью. Статистика колебаний уровня воды в Рейне (во всяком случае там, где сходятся границы Швейцарии, Франции и Германии, недалеко от Базеля) вот уже на протяжении весьма долгого срока демонстрирует тенденцию к аналогичному поведению с $R / S \approx \Delta t^{0,55}$ (рис. $5 \mathrm{~A}$ ).

Рис. 5. (А) Гидрологическая статистика по Рейну. (Б) Колебания минимального уровня воды в Ниле [164].

Однако есть и другие реки, не такие смирные и ручные, как Рейн [164]. Например, минимальные уровни воды в Ниле по записям за период с 622 по 1469 г. (панически боясь засух, египтяне, должно быть, весьма усердно вели свои записи на папирусе!) образуют зависимость $R / S \sim \Delta t^{0,9}$ (рис. 5Б); показатель 0,9 отражает высокую степень устойчивости, отмеченную еще в Библии, в душераздирающей истории Иосифа (книга Бытия, гл. 41).

Показатель Херста, определяемый как $H=\ln (R / S) / \ln (\Delta t)$, служит удобной мерой устойчивости статистического явления. В случае полного отсутствия устойчивости (белый шум) показатель $H=-0,5$, тогда как при несомненном ее наличии (коричневый шум) $H=0,5$.

Интересно, что между показателем Херста $H$ и спектральным показателем $\beta$ существует простое соотношение: $\beta=2 H+1$. Следовательно, «нильский шум» имеет спектр мощности, пропорциональный $f^{-\beta}=$ $=f^{-2,8}$, что, как и большой показате.ь Херста $H=0,9$, предполагает долгосрочную устойчивость, при которой для сдерживания наводнений и предотвращения разрушительных последствий необходимо сооружать необычайно высокие преграды (такие: как Большая плотина в Асуане).

Угроза глобального потепления
Процессы с ярко выраженной статистической устойчивостью ставят перед нами головоломнейшие задачи, и предлагаемые интерпретации таких процессов часто оказываются неверными. То и дело поднимается крик о нависшей над нами етрашной опасности, стоит только какому-нибудь паникеру столкнуться с данными, которые, на его взгляд, свидетельствуют о какой-то угрозе, но беспристрастный анализ, как правило, не обнаруживает ничего более угрожающего, чем статистический артефакт.

Рассмотрим шум, напоминающий колебания уровня воды в Ниле, со спектром мощности, затухающим при больших частотах $f$ как $f^{-3}$. При малых частотах мы, разумеется, наблюдали бы расходимость спектра, что означало бы бесконечную энергию процесса. Однако сколь бы катастрофичными ни были реальние катастрофы, их энергия всегда конечна. Даже при отсутствии других причин, конечные значения времени наблюдения $T$ поставили бы предел возможным эксцессам. Так, реалистический спектр мощности $P(f)$ с асимптотической зависимостью $f^{-3}$, построенный по данным за период $T$, мог бы выглядеть следующим образом:
\[
P(f)=\frac{T^{4} f}{1+T^{4} f^{4}} \quad(f>0) .
\]

График этого спектра для периода наблюдений $T=1$ (например, 1 год) представлен на рис. 6 .

А теперь предположим, что наблюдения продолжаются в течение двух лет. «Новый» спектр мощности, построенный по расширенным наблюдениям, изображен на рис. 6 штриховой линией. Таким образом, весь этот «роковой» избыток мощности, изображенный на рис. 6 темным цветом, образуется с помощью простого продления периода наблюдений с 1 года до 2 лет.

В качестве примера из реальной жизни можно взять наблюдаемые на протяжении 50 лет годичные вариации количества животных

Рис. 6. Зависимость измеренного спектра от времени наблюдения $T$.
в большой сухопутной популяции. По данным экологов, флуктуации за 20-летний период примерно вдвое больше тех, что зарегистрированы за период наблюдений продолжительностью в 2 года, и это несмотря на относительную стабильность размера данной популяции в течение полувека [210].

Поэтому, делая мрачные прогнозы на основе необычайно жаркого лета 1988 года на Среднем Западе США, не следует забывать о Херсте и его показателе, равно как и о сильной зависимости экстремальности величины от продолжительности наблюдений. Вполне возможно, что «парниковый эффект», выражающийся в глобальном потеплении климата, является суровой реальностью, но для подтверждения этого нам необходимо набраться гораздо больше терпения (требуемое количество углекислого газа мы, пожалуй, уже набрали [72, 272]).

С другой стороны, минимальные способные к выживанию популяции видов, которым грозит вымирание, должны быть значительно многочисленнее, чем это следует из существующих ныне оценок, основанных на наблюдениях, производившихся в течение ограниченного времени [142]. (Относительно других парадоксов, связанных со степенно́й статистикой см. гл. 6.)

Дробное интегрирование – современный инструмент математического анализа

Броуновское движение возникает и при суммировании независимых приращений. Суммирование (или интегрирование) приращений преобразует спектр из $f^{0}$ (инновационные процессы) в $f^{-2}$ (проинтегрированный процесс). Возникает вопрос: нельзя ли получить с помощью интегрирования и процессы с $f^{-1}$ ? Оказывается, можно, только прежде мы должны заново изобрести дробное интегрирование, а для этого нам придется его определить ${ }^{1}$.

Поскольку интегрирование привсдит к умножению спектра мощности на $f^{-2}$, определим полуцелое интегрирование как операцию, которая умножает спектр мощности на $f^{-1}$. Относительно сопряженной переменной Фурье (времени, скажем, или пространственной переменной) такая операция представляет собой свертку, ядро которой равно обратному Фурье-преобразованию функции $|f|^{1 / 2} \cdot \exp (i \phi(f))$, где $\phi(f)-$ соответствующим образом выбранная фаза.

Вообще говоря, можно определить $
u$-дробное интегрирование через операцию умножения спектра мощности на $f^{-2
u}$. Соответствующее ядро свертки пропорционально $t^{
u-1}[59]$.

Дробное интегрирование и дифференцирование уже довольно давно с пользой применяются в квантовой механике и других областях науки. Теперь они могут, кроме того, послужить удобными средствами для автоматизированного построения фрактальных ландшафтов и других самоподобных структур. Хотя вычисление свертки по временной или
${ }^{1}$ Поразительно, но факт: как было уже отмечено, Лейбниц размышлял над дробными производными и интегралами еще триста лет назад, едва успев заложить основы традиционного дифференциального и интегрального исчисления. Сдается мне, что этот поразительный Лейбниц изобрел и канавки под шляпками гвоздей для лучшего их сцепления с материалом.

пространственной области может потребовать немалых затрат машинного времени и значительных объемов памяти, альтернативный подход (синтез Фурье по заданному спектру) может привести к наложению паразитных (не существующих в действительности) периодичностей на образующийся в результате построения фрактал.

Броуновские горы
Можно ли обобщить броуновскую функцию $B(t)$ и представить ее в виде функции двуx переменных $B\left(t_{1}, t_{2}\right)$ ? Иначе говоря, мы хотим воздвигнуть над плоскостью $\left(t_{1}, t_{2}\right)$ броуновскую гору $B\left(t_{1}, t_{2}\right)$ так, чтобы любое сечение такой горы плоскостью, перпендикулярной плоскости $\left(t_{1}, t_{2}\right)$, было типичной броуновской функцией $B(t)$. Интересно отметить, что решение этой задачи, как будет показано в следующем разделе, связано с компьютерной томографией и, что столь же неправдоподобно, с получением изображений с помощью вращающихся цилиндрических линз.

Прежде всего напомним, что функция $B(t)$ имеет спектр мощности, пропорциональный $f^{-2}$. Следовательно, ее амплитудный спектр пропорционален $|f|^{-1}$. В двумерном случае нам необходим амплитудный спектр, пропорциональный $|\boldsymbol{f}|^{-1}$, где $\boldsymbol{f}$ – вектор частот $\left(f_{1}, f_{2}\right.$ ) с компонентами $f_{1}$ (соответствует «временной» переменной $t_{1}$ ) и $f_{2}$ (соответствует $\left.t_{2}\right)$. Длина вектора частот равна $|\boldsymbol{f}|=\left(f_{1}^{2}+f_{2}^{2}\right)^{1 / 2}$.

Таким образом, один из методов построения броуновской горы $B(\boldsymbol{t})$, где $\boldsymbol{t}$ – вектор «времени» $\left(t_{1}, t_{2}\right)$, состоит в том, чтобы взять достаточно много независимых (одинаково распределенных и случайно выбранных) точек на квадратной решетке в плоскости частот, умножить их на $|f|^{-1}$ и, проделав преобразование Фурье, перевести произведение на временную плоскость. Разумеется, для настоящих гор «временная» плоскость представляет собой «пространственную» равнину и измернется в квадратных километрах.

Альтернативный метод построения $B(t)$ заключается в том, чтобы начать с выбора независимых точек на временно́й плоскости и выполнить над ними операцию, эквивалентную умножению на $|f|^{-1}$ на плоскости частот. Эта эквивалентная олерация представляет собой свертку с обратным преобразованием Фурье функции $|f|^{-1}$, которое в двух измерениях совпадает с функцией $|t|^{-1}$ (с точностью до не представляющего интереса постоянного множителя). Иначе говоря, функции $|f|^{-1}$ и $|\boldsymbol{t}|^{-1}$ образуют пару Фурье для двумерного преобразования Фурье. (Другим, более известным случаем, когда функция подобна своему преобразованию Фурье, является гауссово распределение. Причем для гауссова распределения это подобие сохраняется при любом количестве измерений.)

Итак, если обозначить через $W$ ( $\boldsymbol{t}$ двумерный массив независимых, одинаково распределенных и случайно выбранных точек на временной плоскости, то броуновская гора определяется выражением
\[
B(\boldsymbol{t})=W(\boldsymbol{t}) *|\boldsymbol{t}|^{-1},
\]

где * означает операцию взятия интеграла свертки. На рис. 7 изображен горный ландшафт, полученный таким способом. Другие методы построения фрактальных ландшафтов и других самоаффинных фракталов описаны Рихардом Фоссом [268] и Дитмаром Заупе в книге «Наука о фрактальных изображениях» [196].

Преобразование Радона и компьютерная томография

Каю продсмопстрировал Б. Юлсс, получспис изобраяспил объскта в $t$-плоскости с помощью вращающейся цилиндрической линзы после усреднения по времени эквивалентно свертке с функцией $|\boldsymbol{t}|^{-1}$ [124]. То же верно и для томографии (здесь для получения изображения используется рентгеновское или какое-либо другое отбрасывающее тень излучение) [220]. Преобразование в уравнении (1), описывающее эти «расплывчатые» методы получения изображений, называется также преобразованием Радона. На рис. 8 приведено изображение буквы А, полученное с помощью вращающейся цилиндрической линзы и усреднения по времени.

Для того чтобы восстановить резкое изображение $W(\boldsymbol{t})$ из «размытой картинки» $B(\boldsymbol{t})$, необходимо подвергнуть функцию $B(\boldsymbol{t})$ обратному преобразованию Радона. Причем мы уже знаем, как это делается. Применим преобразование Фурье к данным функции $B(\boldsymbol{t})$ (вычисления лучше производить на компьютере – ведь это компьютерная томография). Умножим полученный результат на $|f|$, чтобы сократить множитель $|\boldsymbol{f}|^{-1}$, и, снова применив преобразование Фурье, отобразим функцию обратно на плоскость $t$, в результате чего получаем резкое изображение $W(\boldsymbol{t})$. Не так уж и сложна эта компьютерная томография, если не вдаваться в ее унылые и смертельно скучные подробности!

Рис. 7. Броуновская гора, полученная с помощью компьютера [161].
Горы юные и старые
Поверхность броуновской горы со спектром мощности $|f|^{-2}$ имеет размерность Хаусдорфа $D=2,5[267]$, поэтому такая гора выглядит с геологической точки зрения очень молодой: время еще не успело сгладить ее многочисленные расщелины и острые пики (рис. 9A).

Для того чтобы наши горы стали более гладкими – такими, например, как Скалистые горы в Северной Америке (за исключением ГрандТетонс) – их спектр мощности должен спадать быстрее, чем $|f|^{-2}$. Хороший правдоподобный горный ландшафт получается при умножении массива случайно выбранных точек на плоскости частот на $|f|^{-\gamma}$, где $\gamma>1$. Последующее преобразование Фурье дает горы с фрактальной размерностью поверхности $D=3,5-\gamma$. Спектральный показатель $\beta=$ $=2 \gamma$ в этом случае равен $\beta=7-2 D$.

На рис. 9Б изображен горный ландшафт с $D_{M}=2,1$ и спектром мощности, пропорциональным $|\boldsymbol{f}|^{-2,8}$.

Береговая линия многих горных озер (например, на рис. 9A) имеет размерность Хаусдорфа $D_{c}=D-1$. В броуновском случае $(\beta=2)$

Рис. 8. Образ буквы $\mathrm{A}$, полученный с помощью вращающейся цилиндричеспой линзы. $D_{c}=1,5$, а при $\beta=2,8-D_{c}=1,1$ (рис. 9Б). Это несколько меньше фрактальной размерности западного побережья Британии $\left(D_{c} \approx 1,25\right)$.

На рис. 10 показана береговая линия с $D_{c} \approx 1,33$, построенная пространство, его фрактальная размерность $D$ вычисляется по формуле
\[
D=E+\frac{3-\beta}{2} .
\]

Существует также соотношение между $D$ и введенным ранее показателем Херста $H$ (см. с. 182-184). Так как $\beta=2 H+1$, мы можем записать
\[
D=E+1-H \text {. }
\]

Поскольку многие образования в природе (например, горы и облака) имеют фрактальную размерность $D \approx E+0,2$, то значение показателя Херста, близкое к 0,8 , является превосходным и универсальным выбором при генерации таких естественных форм. В настоящее время фрактальные ландшафты, построенные с помощью компьютера, широко используются при создании художественных и мультипликационных фильмов.

Рис. 9. (А) Броуновская гора с фрактальной размерностью поверхности 2,5. (Б) Гора с размерностью 2,1[268].