Что меня действительно интересует, так это вопрос, имел ли Господь Бог при сотворении мира хоть какой-нибудь выбор?
АЛЬБЕРТ ЭЙНШТЕЙН
Подобие не только господствует в планиметрии (о чем свидетельствует предложенное Эйнштейном доказательство теоремы Пифагора, приведенное в гл. 1), но и лежит в основе значительной части алгебры. Возьмите однородную степенную функцию
\[
f(x)=c x^{\alpha},
\]

где $c$ и $\alpha$ – постоянные. При $\alpha=1$, например, мы получаем частный случай $f(x)=c x$, который при $c<0$ описывает восстанавливающую силу линейной пружины. При $\alpha=-2$ (и по-прежнему отрицательном $c$ ) наше уравнение становится законом всемирного тяготения Ньютона $f(x)=c x^{-2}$. Эти простые степенные законы, во множестве встречающиеся в природе, являются, в действительности, самоподобными: если подвергнуть $x$ преобразованию подобия (умножив его на некоторую константу), то функция $f(x)$ по-прежнему будет пропорциональна $x^{\alpha}$, хотя и с другим коэффициентом пропорциональности. Как мы увидим в дальнейшем, степенные законы с целочисленными или дробными показателями представляют собой один из наиболее плодоносных и изобильных источников самоподобия.

Размеры городов и метеоритов
Количественное распределение многих «разноразмерных» объектов как функция от их размера подчиняется в широком диапазоне размеров самоподобным степенным законам. Это утверждение справедливо и для объектов, которые растут (города, например), и для объектов, разбитых на куски (раздробленные камни) [177]. Единственное непременное условие для того, чтобы в некотором диапазоне размеров выполнялся самоподобный закон, – отсутствие у данного вида объектов внутреннего масштаба. (Конечно же, ни в одном городе на Земле число жителей не бывает меньше 1 или больше 1000000000 , и ни один камень на Земле не может быть меньше атома или больше континента.)

Рис. 1. Частота столкновений метеоритов с Землей как функция от диаметра частиц (по данным Э. Шумейкера, Геологическая служба США).

Один из наиболее безотказных механизмов дробления действует не на Земле, а в космическом пространстве: средняя частота, с которой различные виды межпланетных обломков («падающие звезды» или более крупные метеориты) врезаются в земную атмосферу, обратно пропорциональна квадрату диаметра падающего тела, причем данное соотношение выполняется в диапазоне, охватывающем более 10 порядков величины (рис. 1). Если частицы диаметром менее 1 мкм бомбардируют космический корабль-челнок с частотой 1 частица каждые 30 микросекунд ( $10^{12}$ частиц в год), то метеориты диаметром в 100 м и более (вроде того, что «вырыл» кратер в Аризоне) ожидаются (слава Богу!) лишь раз в $10^{4}$ лет. А очередная «падающая звезда» «астрономического» диаметра 10000 м (такая однажды упала на Садбери, штат Онтарио) не должна столкнуться с Землей в ближайшие $10^{8}$ лет.

Луис Альварес, о котором мы уже говорили, когда рассказывали об охоте за подводными лодками во время второй мировой войны (см. гл. 1, с. 63-63), и его сотрудники использовали данные, представленные на рис. 1, чтобы подкрепить выдвинутую Альваресом теорию, объясняющую внезапное исчезновение динозавров 65 миллионов лет назад. Согласно Альваресу, причиной явилось падение гигантского метеорита, которое подняло в воздух огромнсе количество пыли, закрыв солнечный свет и тем самым лишив динозавров необходимой для выживания зелени $[5]$.

Рис. 2. Число видов сухопутных животных как функция от длины их тела $[168]$.

Говоря о динозаврах, нельзя не вспомнить о распределении размеров в животном мире. На рис. 2 представлено примерное распределение количества видов сухопутных животных как функция от длины тела животного. И снова мы обнаруживаем степенной закон с показателем -2 , справедливый в диапазоне, охватывающем четыре порядка величины – от 1 мм до 10 м [168].

Пятое взаимодействие
Один из самых первых законов физики, оказавшийся самоподобным, восходит к наблюдению Галилея, заметившего, что и большие, и маленькие камни, брошенные с Пизанской башни, падают с одинаковой (почти) скоростью ${ }^{1}$. Если пренебречь аэродинамическим сопротивлением, то время падения $t$ прямо пропорционально квадратному корню из высоты $h$, с которой падает камень, и не зависит от массы камня: $t \sim h^{1 / 2}$. На справедливость этого закона никак не влияет масштаб входящих в него величин – почти никак, потому что если подняться на астрономические высоты (или хотя бы взобраться на высокую гору), то притяжение Земли станет меньше. Таким образом, $c y$ ществует естественный предел, ограничивающий масштабную инвариантность или самоподобие галилеевского закона $t \sim h^{1 / 2}$, а именно, радиус Земли. Здесь можно говорить только о приближенном самоподобии. С аналогичной ситуацией мы столкнемся еще не раз: самоподобие царит беспредельно, но лишь в ограниченных областях.

И даже только что упомянутый универсальный закон всемирного тяготения Ньютона (который в полной записи выглядит как $f(x)=$ $=G M x^{-2}$, где $G$ – гравитационная постоянная, а $f(x)$ – сила притяжения, создаваемая массой $M$ на расстоянии $x$ от нее) в наши дни поставлен под сомнение (не дожидаясь появления теории квантовой гравитации, которая сплавит воедино постоянную Ньютона $G$ с постоннной Планка $h$ ). Критический анализ старых экспериментальных данных по гравитации и тщательно проведенные новые измерения, повидимому, обнаружили некую неудовлетворяющую маситабной инвариантности поправку к закону Ньютона, которую некоторые наделенные богатым воображением исследователи окрестили «пятым взаимодействием» (плюс к четырем уже известным взаимодействиям – гравитационному, электромагнитному и двум ядерным, сильному и слабому). Пятое взаимодействие, какова бы ни была его природа (и реально ли оно) зависит, очевидно, от расстояния $x$ по закону $\exp \left(-x / x_{c}\right) \cdot x^{-2}$, который не является однородным степенным законом и поэтому не обладает самоподобием: в него входит характеристический размер длина обрезания $x_{c}$, поскольку экспоненциальная функция требует безразмерного аргумента.

Какой же смысл может иметь пороговая длина $x_{c}$, порядок величины которой равен 100 м? В современной физике принято считать, что силы действуют через посредство частиц-переносчиков с массой покоя $h / c x_{c}$, где $h$ – постоянная Планка, а $c$ – скорость света. В случае сил с бесконечным радиусом действия ( $x_{c}=\infty$ ), например, электро-
${ }^{1}$ В действительности Галилей скатывал шары по наклонным плоскостям, однако легенда о падающей башне живет с некоторых пор своей собственной жизнью, и ей нет дела до исторических фактов.

магнитных полей, масса покоя соответствующей частицы равна нулю. Считается, что именно такую масеу имеет частица электромагнитного поля, обычно называемая фотоном. Скажем больше, все надежды на определение верхнего предела массы покоя фотона связаны, в первую очередь, с отысканием радиуса действия электромагнитного поля. То же относится и к массе покоя нейтрино – причем если эта масса окажется отличной от нуля, то потенциальные последствия для общей массы Вселенной (и ее окончательной судьбы) трудно даже вообразить.

Важность масштабной инвариантности при изменении расстояния (или, точнее, неинвариантности) была с особой наглядностью продемонстрирована, когда в 30-х годах японский физик Хидеки Юкава (1907-1981), размышляя о конечной пороговой длине ядерных сил $\left(x_{c} \approx 10^{14} \mathrm{M}\right.$ ), пришел к заключению о том, что в природе должна существовать частица с массой около 240 масс электрона, которую он назвал мезоном. Немного позже такая частица действительно была обнаружена (в ливнях частиц, «изгивающихся» на Землю из космоса), но она оказалась всего лишь тяжелой «сестрицей» обычного электрона; теперь ее называют мюоном (масса мюона в 207 раз больше массы электрона) ${ }^{1}$. Поиски гипотетического мезона Юкавы продолжались, и, наконец, он и впрнмь был обнаружен, причем масса новой частицы, получившей название пи-мезон или пион, оказалась равной 270 массам электрона.

Какая же частица служит переносчиком пятого взаимодействия? При $x_{c} \approx 100$ м масса такой частицы должна быть меньше, чем $10^{-13}$ масс электрона, а масса электрона и сама чрезвычайно мала. Возможно, что видимый радиус действия пятой силы является результатом сложения двух (или более) новых сил, почти полностью компенсирующих друг друга. Не исключено также, если учесть подобие масс и последние экспериментальные данные, что пятого взаимодействия вообще не существует $[255,25,118]$.

Независимые от естественных масштабов
Как мы уже говорили, однородные функции обладают интересным свойством масштабной инвариантности: при изменении масштаба они воспроизводят сами себя. Такая инвариантность может пролить свет на некоторые темные уголки физики, биологии и других наук и даже помочь объяснить особенности нашего восприятия музыки. заданный им по поводу новой, абсолютно «никому не нужной» частицы.

Масштабная инвариантность обусловлена тем, что однородные степенные законы не имеют естественных масштабов; в них нет места характерной единичной мере (такой, как единичная длина, единица времени или единичная масса). Поэтому такие законы называют масштабно-независимыми, или, что несколько парадоксально, «истинными для всех масштабов». Разумеется, последнее утверждение справедливо в строгом смысле только для математических моделей. Реальная пружина не растягивается линейно вне зависимости от масштаба длины: при некоторой характеристической длине растяжения наступает разрыв. Даже закон всемирного тяготения Ньютона, если его надлежащим образом проквантовать, несомненно, породит какую-никакую характеристическую длину ${ }^{1}$.

Концепция независимости от масштаба является одной из центральных тем настоящей книги. Говорят, что (причем первым, кто высказал это достаточно громко, был Мандельброт) горные ландшафты интересны только тогда, когда их характерные особенности (скалы, расщелины, пики и долины) повторяются во многих масштабах длины. Это касается и музыки: неважно, в каком ключе написано то или иное произведение – приятным для слуха оно будет только в том случае, если в нем присутстуют измененин тональности во многих масштабах частот и изменения ритма хотя бы в нескольких временны́х масштабах. Именно так сочиняли музыку представители семейства Бахов (И.С. и другие), пусть даже они никому об этом ничего не говорили.

Иоганн Себастьян Бах: композитор, независимый от масштаба

Когда Иоганн Себастьян Бах (1685-1750) сочинял свои Бранденбургские концерты, он (несомненно, сам того не ведая) использовал при выборе нот однородные степенные функции [269]. Спектр мощности (квадрат амплитуды преобразования Фурье) $f(x)$ относительных частотных интервалов $x$ между последовательными нотами может быть аппроксимирован в довольно широком диапазоне однородной степенной функцией с показателем -1 :
\[
f(x) \approx c x^{-1},
\]
${ }^{1}$ Гейзенберг провозгласил появление новой постоянной в фундаментальных законах физики – характеристической длины – более 50 лет назад, но дебют ее так до сих пор и не состоялся. (Планковская длина $\left(G \hbar / c^{3}\right)^{1 / 2} \approx 10^{-35}$ м, «управлявшая» Большим Взрывом, который, возможно, создал нашу Вселенную, — всего лишь производная величина.)

которая называется также гиперболическим законом (потому что ее график похож на гиперболу). Взяв логарифм от обеих частей равенства, получим
\[
\ln f(x)=\text { const }-\ln x,
\]

где $x$ измеряется в полутонах. Таким образом, в двукратно-логарифмической системе координат $(\ln f$ от $\ln x$ ) данные ложатся на прямую с наклоном $-45^{\circ}$.

Рис. 3. Спектр вариаций амплитуды для Первого Бранденбургского концерта Баха [269].

Однородному степенному закону следует не только спектр частотных интервалов, но и спектр амплитуд (или мгновенных значений «громкости») музыки Баха, причем и в том, и в другом случае показатель оказывается одинаковым (рис. 3). Амплитуду музыки получают посредством временно́го сглаживания ${ }^{1}$ величины давления звука, записанного вблизи оркестра. Интересно отметить, что временная шкала для амплитуды или вариаций огибающей простирается до 100 с, что соответствует 0,01 Гц.
${ }^{1}$ Искажения результата при сглаживании можно избежать, если воспользоваться преобразованием Гильберта и вычислить так называемую гильбертову огибающую. По определению, гильбертова огибающая функции представляет собой огибающую семейства функций, образующихся при оазовом сдвиге преобразования Фурье данной функции на все углы в интервале от 0 до $2 \pi$.

Почему же Бах придерживался при сочинении музыки простого гиперболического степенного закона? Прежде всего надо сказать, что ни Бах, ни бесчисленное множество других композиторов ничего такого не делали. Создавая музыкальное произведение, композитор стремится к тому, чтобы оно было интересным для слушателя. Так что, нам следовало бы спросить: «Почему спектры частотных интервалов и амплитуд интересных музыкальных произведений (некоторых, по крайней мере) являются гиперболическими?»

Эстетическая теория Биркгофа
Частичный ответ на вопрос, поставленный в конце предыдущего раздела, может дать «теория эстетической ценности», предложенная американским математиком Джорджем Дэвидом Биркгофом (18841944). Суть этой теории сводится вкратце к тому, что произведение искусства приятно и интересно лишь при условии, что оно не слишком правильно и предсказуемо и в то же время не таит в себе слишком много сюрпризов. Переведя сказанное на язык математических функций, основную идею Биркгофа можно интерпретировать в следующем смысле: спектр мощности «эстетической» функции не должен вести себя ни как утомительно однообразный «коричневый» шум с зависимостью от частоты $f^{-2}$, ни как совершенно непредсказуемый белый шум с зависимостью $f^{0}$.

В «белом» процессе любое значение переменной величины (например, последовательные значения частоты мелодии) совершенно не зависит от своего прошлого – оно всегда неожиданно (рис. 4A). Напротив, в «коричневой» музыке (броуновское движение – это тоже «коричневый» шум; см. также сноску на с. 64) только инкременты не зависят от своего прошлого, в результате чего мелодия получается утомительно однообразной (рис. 4Б). Очевидно, что большинству слушателей (и не только во времена Баха) больше понравится такая музыка, в которой последовательность нот не слишком предсказуема и не слишком неожиданна, иначе говоря, спектр, изменяющийся по закону $f^{\alpha}$, где показатель $\alpha$ заключен в интервале между 0 и -2 . Как обнаружил Рихард Фосс, показатели, встречающиеся в большинстве музыкальных произведений, находятся как раз посредине этого интервала: $\alpha=-1$, что дает гиперболический степенной закон $f^{-1}$ (рис. 4В) [269]. Как сказал однажды Бальтазаар ван дер Поль о музыке Баха: «Это великая музыка, потому что она неотвратима [подразумевая $\alpha<0$ ] и вместе с тем не-

Рис. 4. (А) «Белая» музыка, составленная из независимых нот; (Б) «коричневая» музыка, составленная из нот с независимыми инкементами по частоте; (В) «розовая» музыка – частоты и продолжительность звучания нот определяются $1 / f$-шумом (розовым шумом) [269].

ожиданна $[\alpha>-2]$ ». (Я обнаружил это высказывание в захватывающе интересной автобиографии Марка Каца «Загадки случая» [125].)

На рис. 5Б представлен образец шума с гиперболическим степенным спектром $f^{-1}$. Такие функции известны также под названием розового шума, потому что они занимают промежуточное положение между коричневым (броуновским) ( $f^{-2}$ ) и белым шумом $\left(f^{0}\right)$ (см., соответственно, рис. 5В и 5А). Поскольку спектр мощности любого шума, подчиняющегося однородному степенному закону $\left(f^{\alpha}\right)$, самоподобен, соответствующая временная диаграмма также должна быть самоподобна. Действительно, если масштаб вдоль оси частот изменить в $r$ раз, то по закону взаимности Фурье масштаб вдоль оси времени соответствующей временной диаграммы изменится в $1 / r$ раз. Разумеется, в случае шума (и других вероятностных явлений) самоподобие носит лишь статистический характер: увеличенный фрагмент не является точной детерминированной копией формы сигнала до изменения масштаба.

Кроме того, чтобы сохранить мощность при изменении масштаба частот, амплитуды должны измениться в $r^{-\alpha / 2}$ раз. Поэтому, строго говоря, такие стохастические процессы самоаффинны, т.е. имеют более одного масштабирующего множителя: $r$ для частот (или, что эквивалентно, $1 / r$ для значений времени) и $r^{-\alpha / 2}$ для амплитуд.

Вообще говоря, розовый (а также белый и коричневый) шум является идеальным образчиком статистически самоподобного процесса. Явления, спектры мощности которых представляют собой однородные степенные функции ${ }^{1}$, не имеют собственных масштабов времени и частоты: они масштабно-независимы. Здесь нет таких понятий как характеристическое время или характеристическая частота: то, что происходит в одном временном или часто:ном интервале, происходит при любом масштабировании времени или частоты. Если такие шумы записать на магнитную ленту и проиграть на различных скоростях, то звучать они будут одинаково (в отличие от человеческого голоса, который при проигрывании с удвоенной скоростью становится похож на голос Дональда Дака). Существуют даже такие самоподобные тоны, которые звучат ниже при воспроизведении их записи с удвоенной скоростью (см. гл. 3, с. 142-144). Мы еще вернемся к разноцветным шумам и продолжим их исследование в гл. 5.
${ }^{1}$ В оригинале автор дает здесь сноску о многозначности английского слова power и возникающих в этой связи интересных совпадениях. Действительно, слово роwer можно перевести и как «мощность» (power spectrum «спектр мощности»), и как «степень» (рower law «степенной закон»); среди других его значений «сила», «энергия», «власть» и т. д. – Прим. перев.

Рис. 5. Временные диаграммы шумов: (А) белый шум с $f^{0}$-спектром мощности; (Б) «розовый» шум с $1 / f$-спектром; (В) «коричневый» шум с $1 / f^{2}$ спектром.

Гиперболический принцип неопределенности Гейзенберга

Гиперболические законы распространены настолько широко, что нередко их даже трудно признать, особенно если они записаны в виде произведения, равного некоторой постоянной. Именно так обстоит дело со знаменитым соотношением неопределенности Гейзенберга в квантовой механике:
\[
\Delta q \cdot \Delta p \geqslant \hbar,
\]

где $q$ и $p$ – две «канонически сопряженные» (в квантовомеханическом смысле) переменные, например, координата и импульс (или энергия и время), а $\hbar$ – постоянная Планка, деленная на $2 \pi .^{1}$ Принцип неопределенности гласит, что чем меньше погрешность (в смысле статистического среднеквадратичного отклонения) при определении одной переменной, тем больше погрешность при определении сопряженной переменной. Следовательно, если некто пожелает, в порядке Gedankenэксперимента (т.е. мысленного), измерить с очень высокой точностью положение, скажем, электрона, то для этого ему придется воспользоваться фотонами (частицами света) с очень короткими длинами волн, т. е. с очень большими импульсами. После того, как фотоны отразятся от несчастного электрона, его состояние можно будет охарактеризовать лишь весьма неопределенным импульсом. Последнее утверждение часто формулируют в более качественном виде: «Любое наблюдение возмущает наблюдаемую систему».

Но как бы его ни формулировали, принцип неопределенности есть не что иное, как следствие из хорошо известного обратного соотношения для преобразования подобия, получаемого из теории Фурьепреобразований для пары переменных Фурье. (Однако тот факт, что преобразование Фурье и гильбертовы пространства являются естестодин из участников физической конференции у соседа. По-видимому, планковскому «кванту действия» потребуется больше времени (или энергии), чтобы проникнуть в общественное сознание. Печально, но это относится и к сознанию некоторых вполне профессиональных физиков. Многотерпеливая кафедра Гёттингенского Коллоквиума по общей физике однажды оказалась свидетелем следующего диалога: некий докладчик заметил (как бы мимоходом), что затвор камеры, прерывая поток мёссбауэровских гамма-квантов во времени, приводит (ну, разумеется) к расширению их энергетического спектра. На что один из специалистов по мёссбауэровской спектроскопии (!) возразил, что затвор, движущийся поперек пучка квантов, никак не может изменить их энергию. Что ж, как заметил Ричард Фейнман в 1967 г.: \&умаю, можно смело сказать, что в квантовой механике никто ничего не понимает! »

венными математическими образами для квантовых систем, сам по себе отнюдь не тривиален. Осознание его говорит о все более глубоком проникновении человеческого разума в тайны природы.)

Наибольшая возможная точность по $p$ и $q$ достигается, если распределение обеих переменных соответствует гауссовскому нормальному распределению вероятностей: в этом случае в предыдущем соотношении имеем знак равенства:
\[
\Delta q=\frac{\hbar}{\Delta p} .
\]

Хотя это соотношение минимальной неопределенности обычно не рассматривается как гиперболический закон, однако, раз уж оно записано в таком виде, напрашивается вопрос: какова область его применимости? Ответ на этот вопрос является, возможно, одним из самых устрашающих во всей физике: несмотря на многократные проверки и перепроверки соотношения $\Delta q \geqslant \hbar / \Delta p$ в широчайших диапазонах энергии, времени, координаты и импульса, так и не было обнаружено ни малейшего его нарушения. У физиков не осталось и тени сомнения в том, что, подобно относительности, неогределенность имеет абсолютно фундаментальную природу, не допускающую никаких исключений. Теории приходят и уходят, но «аш перечеркнутое» всегда остается с нами.

Сам размер атома представляет собой одно из фундаментальных следствий принципа неопределенности (не будь неопределенности, атом просто схлопнулся бы в бесконечно малую точку). Вообще говоря, можно вычислить радиус самого легкого атома, атома водорода, непосредственно из соотношения неопределенности: потенциальная энергия атома $U$ обратно пропорциональна его радиусу. Следовательно, при уменьшении радиуса величина потенциальной энергии увеличивается. По теореме вириала (см. гл. 2, с. 105-108), это порождает пропорциональное увеличение кинетической энергии атома $T$, а это значит, что атом должен увеличиться в размерах. Минимальный размер атома (боровский радиус) $r_{\mathrm{Bohr}}$ определяется из соотношения неопределенности со знаком равенства, $\Delta x \cdot \Delta p=\hbar$; нам остается лишь отождествить $r_{\mathrm{Bohr}}$ с $\Delta x$, а импульс, соответствующий кинетической энергии, – с $\Delta p$. Точные соотношения для потенциальной и кинетической энергии ( $U=e^{2} / r 4 \pi \varepsilon_{0}$ и $T=p^{2} / 2 m_{e}$, где $е$ и $m_{e}$ – заряд и масса электрона, а $\varepsilon_{0}$ – диэлектрическая проницаемость вакуума) позволяют одним махом, без обычных трудоемких вычислений, получить правильное значение для боровского радиуса. Этот радиус, называемый также атомной единицей длины,
можно представить в виде комбинации четырех фундаментальных физических постоянных:
\[
r_{\mathrm{Bohr}}=\frac{4 \pi \varepsilon_{0} \hbar^{2}}{m_{e} e^{2}},
\]
т. е. $5,3 \cdot 10^{-11}$ м. Отсюда, диаметр атома водорода, $2 r_{\mathrm{Bohr}}$, равен примерно $10^{-10}$ м, или 1 ангстрему ( $\AA$ ).

Впечатляющей иллюстрацией необычайно широкого диапазона, в котором истинно соотношение неопределенности, может служить большая длина когерентности лазерного излучения, имеющая важное значение в голографии и уточнении теории относительности. При относительной неопределенности энергии $\Delta E / E=10^{-7}$ «неопределенность длины» $\Delta x$ (т.е. длина когерентности) для гелий-неонового лазера с длиной волны $\lambda=630$ нм достигает величины $\Delta x=\lambda E / \Delta E \cdot 2 \pi$, т. е. около $1 \mathrm{~m}$ – макроскопическая длина, которая более чем в $10^{10}$ раз превышает боровский радиус, выведенный из того же самого принципа.

В мёссбауэровской спектроскопии нам приходится иметь дело с еще меньшими относительными неопределенностями энергии $\left(10^{-14}\right.$ и менее), однако принцип неопределенности Гейзенберга остается в силе.

Хотя время когерентности (неопределенность времени) $\Delta t$ для лазерного излучения, составляющее, скажем, около $10^{-9}$ c, не слишком велико, нейтронная спектроскопия производит измерения энергии с невероятно малой неопределенностью $\Delta E=2 \cdot 10^{-36}$ ватт-секунд (Вт сс), возможной благодаря макроскопическому времени когерентности для нейтронных волн (50 c!). И здесь гиперболическое соотношение неопределенности выполняется незыблемо, охватывая более 10 порядков величины.

Вероятно, самым поразительным следствием неопределенности стало исключение из нашей картины мира понятия «ничто», которое мы невинно называли вакуумом. Вакуум в его классическом понимании не содержит ни материи, ни энергии. Но нулевая энергия значит точно определенная энергия, а это запрещено принципом неопределенности. Поэтому в современном квантовомеханическом вакууме имеются конечные флуктуации энергии, в соответствии с предписаниями Гейзенберга, – и согласно тому же закону размеры наименьшего атома в состоянии с наименьшей энергией конечны.

Реальность флуктуаций энергии в вакууме стала ныне неотъемлемой частью квантовой физики и повлекла за собой многочисленные следствия, которые подтверждаются экспериментально с величайшей точностью (к числу таких следствий относится, например, сверхтонкая структура атомных спектров). Существуют вполне респектабельные теории, которые объясняют происхождение Вселенной гигантской «взбесившейся» вакуумной флуктуацией [101]. Как писал еще в 1550 г. Томас Кранмер, архиепископ Кентерберийский, «природа не терпит пустоты». 1

Насколько нам известно, область применимости принципа неопределенности неограничена. С другой стороны, любой однородный степенной закон, определяющий энергию как функцию от частоты (такая функция называется спектром), должен, конечно же, иметь либо верхний, либо нижний предел (либо оба сразу), за которыми однородная степенная зависимость перестает выполняться. Белый шум, например, имеет плоский спектр мощности лишь до некоторой, возможно даже весьма высокой, частоты. А розовый шум должен непременно иметь $u$ верхнюю («ультрафиолетовую»), и нижнюю («инфракрасную») частоты перехода, пусть даже и отдаленные друг от друга, за пределами которых гиперболический закон нарушается, поскольку в противном случае полная мощность сигнала (интеграл, взятый по всему спектру) стала бы бесконечной. (Разумеется, физики все равно пользуются степенными законами (ведь они так хорошо масштабируются), а потом жалуютсн на ультрафиолетовые и инфракрасные «катастрофы».)

Дробные показатели
Степенные законы отнюдь не ограничены целочисленными показателями, как в случае белого, розового и коричневого шумов. В природе в изобилии встречаются и дробные показатели. Самоподобию, в конце концов, все равно, целочисленный у нас показатель или нет. Нередко дробный показатель содержит важный ключ к решению запутанной головоломки. Часто дробные показатели законов, описывающих совершенно разные явления (например, плавление и магнетизм), оказываются похожи, что служит указанием на существование аналогичных «универсальных» механизмов, лежащих в основе этих явлений.

Простым примером проявления в природе самоподобного закона с дробным показателем может служить соотношение между плотнос-

$1_{\text {«Naturall reason abhorreth vacuum» – точная цитата, приведенная в «Oxford }}$ English Dictionary» [30]. Не следует путать ее с более современным высказыванием Джона Робинсона Пирса по случаю рождения транзистора в 1948 г. (он же и крестил младенца): «Природе отвратительны вакуумные лампы».

тью излучения $\rho_{r}$ и плотностью вещества $\rho_{m}$ в расширяющейся Вселенной, существовавшее вскоре после ее рождения:
\[
\rho_{r} \sim \rho_{m}^{4 / 3}
\]

Из этого простого соотношения Альфер и Герман сумели еще в 1948 г. вывести нынешнюю плотность излучения во Вселенной [6]. Опираясь на другие, хотя и неполные, данные, они предсказали существование излучения черного тела (этого последетвия Большого Взрыва, давшего некогда жизнь Вселенной, а теперь «купающего» ее (точно младенца?) в «теплом» фоновом излучении), соответствующего температуре около $5 \mathrm{~K}$ (т.е. $5^{\circ}$ выше абсолютного нуля). Впоследствии Арно Пензиас и Роберт Вильсон, «настраивая» микроволновые антенны, обнаружили космическое фоновое излучение (с температурой $2,7 \mathrm{~K}$ ), и в 1978 г. были удостоены Нобелевской премии за открытие этого реликтового «следа» юной Вселенной.

В последующих главах мы поговорим и о других простых степенных законах с дробными показателями, демонстрирующих масштабную инвариантность с далеко идущими последствиями в самых разнообразных явлениях реального мира – от разливов Нила до разорения игрока и распределения галактик во Вселенной. Вообще говоря, на удивление часто сложные функции двух и более переменных ведут себя вблизи «критических точек» как простые степенные законы. Например, функцию двух переменных $f(x, y)$ очень часто можно представить в следующем общем виде:
\[
f(x, y)=x^{\alpha} g\left(y / x^{\beta}\right),
\]

где функция $f(x, y)$ заменена функцией только одной переменной $g$. Для любого интервала переменных, на котором функция $g$ постоянна, функция $f(x, y)$ приближенно представима простым степенным законом от $x$.

Такого рода представление – через степенные законы и их показатели – оказывается необычайно плодотворным при анализе критических явлений от перколяции (см. гл. 15) до ферромагнетизма и сверхпроводимости.

Необычное распределение первого знака
В тех случаях, когда самоподобные данные приводятся в числовом виде, степенные законы, или соотношения вида $f(x) \sim x^{\alpha}$, приводят к асимметричным, неравномерным распределениям первого (самого левого) знака этих чисел. При показателе $\alpha=-1$ вероятность $p_{m}$ того, что самая значащая цифра числа рявна $m>0$, определяется из формулы
\[
p_{m}=\log _{b}\left(1+\frac{1}{m}\right),
\]

где $b$ – основание используемой системы счисления [201, 207]. Для десятичных данных эти вероятности имеют следующие приближенные значения: $p_{1}=0,301 ; p_{2}=0,176 ; p_{3}=0,125 ; \ldots ; p_{9}=0,046$. Заметьте, что $p_{2}+p_{3}=p_{1}$, как и должно быть, потому что цифры 2 и 3 охватывают тот же относительный диапазон данных, что и цифра 1.

Приведенные вероятности $p_{m}$ (свидетельствующие в пользу того, что первая значащая цифра с наибольшей вероятностью равна 1) получаются при интегрировании функции $x^{\alpha}$, где $\alpha=-1$, от $m$ до $m+1$. При других значениях $\alpha$ такое интегрирование дает
\[
p_{m}=\frac{m^{\alpha+1}-(m+1)^{\alpha+1}}{1-b^{\alpha+1}}, \quad \alpha
eq-1,
\]

где $b$ – снова основание системы счисления, используемой для записи самоподобных данных. Например, при $b=10$ и $\alpha=-2$ вероятности оказываются следующими: $p_{1}=0,(5) ; p_{2}=0,(185) ; p_{3}=0,0(925) ; \ldots$; $p_{9}=0,(012345679)$.

Разумеется, любые реальные данные никогда не бывают в точности масштабно-инвариантными, хотя бы из-за «концевых эффектов». Ни в одной настоящей деревне не живет меньше 1 человека или больше, чем, скажем, 100 миллионов человек (за исключением пресловутой «всемирной деревни»). Самые последние данные относительно первой значащей цифры можно найти в работе П. Диакониса [49].

Кроме того, нельзя забывать и о том, что существует огромное количество немасштабируемых «данных», таких, например, как телефонные номера или номера машин, к которым наши асимметричные распределения знаков неприменимы.

Асимметричные распределения чисел (а не знаков) существуют также в непрерывных дробях. Как показал Карл Фридрих Гаусс (17771855 ), для большинства иррационатьных чисел асимптотическая вероятность того, что некоторый член $a_{n}$ в разложении непрерывной дроби равен $k$, определяется выражением
\[
\operatorname{prob}\left(a_{n}=k\right)=\log _{2} \frac{(k+1)^{2}}{k(k+2)}, \quad n \rightarrow \infty .
\]

Исключительные иррациональные числа, такие как золотое сечение $\gamma=$ $=(\sqrt{5}-1) / 2$, для которых $a_{n}=1$ при любом $n$, имеют меру нуль.

И снова, как и в случае самоподобных степенных законов, число 1 имеет наибольшую вероятность: $\operatorname{prob}\left(a_{n}=1\right) \approx 0,415$.

В главах 5 и 6 мы рассмотрим взаимосвязь между степенными законами и статистикой более подробно.

Показатели при поперечных сечениях: деревья, реки, артерии и легкие

Рассмотрим ствол дерева диаметром $d$, который разделяется на две главные ветви с диаметрами $d_{1}$ и $d_{2}$. Существует ли некоторое устойчивое соотношение между этими диаметрами по мере того, как мы продвигаемся от ствола дерева ко все более тонким ветвям вплоть до черенков листьев?

Леонардо да Винчи считал, что д.я беспрепятственного движения соков вверх по дереву, поперечные сечения двух главных ветвей в сумме должны быть равны поперечному сечению ствола [217]. Иначе говоря, Леонардо полагал, что $d^{2}=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}$. Его гипотеза выдержала проверку временем и ныне воплощена в «трубчатой модели» биологической структуры дерева [284]. Трубчатая модель опирается на идеализированное представление о том, как сок поступает от корней дерева к листьям по многочисленным неветвящимся сосудам («трубкам»), занимающим определенную долю сечения каждой ветви.
То же самое соотношение, а именно
\[
d^{\Delta}=d_{1}^{\Delta}+d_{2}^{\Delta},
\]

где $\Delta=2$, выполняется в месте слияния двух рек ( $d, d_{1}$ и $d_{2}$ – ширина рек). Установлено, что ширина $d$ реки пропорциональна квадратному корню из количества воды $Q$, переносимого рекой: $d \sim Q^{0,5}[144]$. Однако глубина реки $t$, как правило, изменяется в соответствии с законом $t \sim Q^{0,4}$. Возникающая разница восполняется за счет увеличения скорости течения $v$, которая пропорциональна $Q^{0,1}$. Иначе говоря, река, образовавшаяся от слияния двух притоков одинаковой величины и несущая, таким образом, вдвое больший объем воды в секунду, обычно в 1,4 раза шире каждого из своих пригоков, но лишь в 1,3 раза глубже их. Скорость же течения реки приблизительно в 1,1 раза больше, чем скорость течения притоков. Разумеетен, $1,1 \times 1,3 \times 1,4 \approx 2$ (с достаточно высокой точностью), как и должно быть, учитывая, что вода при слиянии никуда не теряется и ниоткуда не добавляется.

Как однажды заметил Мандельброт, невозможно оценить масштаб карты, если ширины всех рек нанесены в соответствии с этим масштабом. А если изгибы русла реки еще и самоподобны, то на всем своем протяжении от истока до устья река не дает никаких «зацепок» для оценки масштаба карты.

И наоборот, сливающиеся или разветвляющиеся дороги, не обладающие – в отличие от рек – глубиной, должны иметь ширину, удовлетворяющую соотношению (1), где показатель $\Delta=1$, при условии, что транспортный поток, выраженный в количестве машин, проносящихся по одной полосе за минуту, одинаков для всех дорог. Здесь полосы движения играют ту же роль, что и сосуды с древесными соками в трубчатой модели дерева.

Артерии и вены в сосудистой системе млекопитающих также удовлетворяют степенному закону (1) в диапазоне, охватывающем примерно 20 бифуркаций от сердца до капиллярных сосудов. Оценки показателя $\Delta$ дают значения около $2,7[253$. Эта величина выглядит вполне разумно для результата биологической эволюции, учитывая требование о том, чтобы артерии и вены доходили до каждой точки тела, нуждающейся в питании и избавлении от отходов. Идеальное для этих целей значение $\Delta=3$, конечно же, недостижимо, так как сосудистан система, заполняющая все пространство, оставляет слишком мало места для других задач.

В отличие от сосудистой системы бронхи легкого достигают скейлингового показателя, очень близкого к $\Delta=3$, – такое значение показателя имеет фрактал, заполняющий трехмерное пространство. И действительно, на протяжении 15 бифуркаций бронхиальное дерево остается почти самоподобным (рис. 6) [37].

Показатель $\Delta=3$ можно вывести из предположения, что геометрия бронхиального дерева определяется требованием минимального сопротивления потоку воздуха во всей бронхиальной системе [256]. Это требование подразумевает существование постоянного коэффициента ветвления $d / d_{1}=d / d_{2}=2^{1 / 3}$. Учитывая соотношение (1), показатель $\Delta$ должен быть равен $3[276]$.

Однако Мандельброт привел гораздо более убедительный аргумент, не требующий внесения коэффициента ветвления $d / d_{1}$ в генетический код $[161]$. Он предположил наличие простого самоподобного процесса роста на пренатальной стадии развития легких: «Рост начинается с почки. Из почки вырастает трубка, на которой образуются две новых почки, каждая из которых ведет себя вышеописанным образом».
Итерации по этим правилам образуют структуру легкого в виде

Рис. 6. Самоподобное бронхиальное дерево [37].
самоподобного дерева. Таким образом, эмпирически наблюдаемое самоподобие достигается не потому, что самоподобная структура оптимальна, а потому, что оно следует кратчайшей программе управления ростом: каждая стадия повторяет предыдущую, но в меньшем масштабе. Следовательно, геометрия легких полностью определяется двумя параметрами: отношением шириня/длина ветвей бронхов и показателем при диаметре $\Delta$. В вышеописанной модели значение $\Delta \approx 3$ получается просто вследствие того, что большое число бифуркаций должно заполнить почти все пространство, не вытесняя друг друга.