Канторизм – это болезнь, от которой математике еще предстоит оправиться.
АнРи ПуАнКАРе
Фракталы неизмеримо расширили наши возможности описания природы. Абстрактные конструкуии, связанные с именами Бернарда Больцано (1781-1848), Георга Кантора и Джузеппе Пеано (18581932), снабдили нас моделями реальности гораздо более реалистичными, чем вся евклидова империя целочисленных показателей и гладких форм. Однако в физике, химии, геологии и в особенности при изучении роста кристаллов мы сталкиваемся со многими явлениями, требующими расширения понятия фрактала на сложные структуры с более чем одним показателем скейлинга. $К$ тому же, многие из таких структур характеризуются целым спектром показателей, и размерность Хаусдорфа – лишь один из них. Расширенные фракталы, созданные для таких случаев, принято называть мультифракталами. Они находят применение при изучении широкого круга явлений – от распределения плотности населения или концентрации минералов до рассеяния энергии в турбулентности или во фрактальных резистивных цепях. Ограниченная диффузией агрегация, образование вязких языков, распределение сбоев в компьютерных сетях или примесей в полупроводниках и тому подобные явления хорошо моделируются мультифракталами – равно как и некоторые азартные игры. Многие странные аттракторы нелинейных динамических систем также обладают ярко выраженной мультифрактальной структурой. Именно с помощью мультифракталов «фрактальной геометрии природы» удалось одержать верх над классической «гладкой» геометрией в битве за владычество в естественных науках.

Распределение: концентрация руды и плотность населения

Золото есть повсюду на Земле. В одних, весьма редких, местах оно встречается в виде богатых жил; существуют тысячи других, более бедных месторождений, где можно добывать золото с некоторой прибылью. Кроме того, известны миллионы мест, где золото есть, но в таких малых количествах, что его добыча не окупит себя. Золото не только повсюду вокруг нас, оно имеется и внутри нас. Запасы золота в мировом океане оцениваются в миллиарды тонн, но концентрация его составляет менее 6 частей на 1 триллион частей морской воды. Таким образом, в распределении золота на Земле, похоже, нет абсолютно пустых мест.

Такая же картина наблюдается и в отношении других минералов. Как мудро заметил однажды голландский геолог Х. Й. де Вис, ни один минерал не бывает сосредоточен исключительно в рудных жилах: он может находиться и между жил, хотя и в значительно меньших концентрациях. Впрочем, характеристические вариации концентрации наблюдаются и в самих рудных жилах [45]. Вообще, всякий раз, когда некоторый объем руды расщеплнется вдоль жилы, относительные количества минерала в двух половинах объема составляют, соответственно, $p$ и $1-p$. Интересно отметить, что максимальное значение параметpa $p$, характеризующего изменчивость концентрации минерала, остается примерно постоянным от одного рєсщепления к другому. Но можно ли считать, что подобная закономерность справедлива только для руд?

Как распределяется плотность населения на больших пространствах суши (например, в Евразии или в обеих Америках)? Если некоторую обширную территорию разделить на две равные по площади части, то может оказаться, что, скажем, $70 \%$ населения живет по одну сторону нашей демаркационной линик, а остальные $30 \%$ – по другую. В общем случае доля населения по одну сторону от линии может составить $p$ (причем, $p>0,5$ ), а доля живущих по другую сторону – всего лишь $1-p$. В нашем примере $p=0,7$. Разумеется, размер избыточной доли $p$ зависит от того, как проведена линия. Предположим, что она проведена так, чтобы максимизировать величину $p$.

Если теперь продолжить деление и разделить более густонаселенную половину на четверти, следя за тем, чтобы раздел и на этот раз обеспечил максимум численности населения в одной из четвертей, то может оказаться, что доли населения составят $p^{2}$ и $p(1-p)$. Аналогично, проводя линию по менее населенной половине, мы получим две рав-

Рис. 1. Построение самоподобного распределения с помощью повторения операции деления пополам [200].

ные по площади территории с плотностями населения, соответственно, $(1-p) p$ и $(1-p)^{2}$.

Итерация такого разделяющего процесса приводит к асимптотически самоаффинному распределению (рис. 1). Мы начинаем с однородного распределения вероятностей в пределах единичного интервала (рис. 1A). После однократного деления интервала пополам находим две вероятности $1-p$ и $p$ для двух половин единичного интервала. При $1-p<p$ получается одноступенчатое распределение, представленное для $p=2 / 3$ на рис. 1Б. Повторное деление приводит к четырем интервалам и распределению вероятностей, приведенному на рис. 1В. Результат третьего деления можно видеть на рис. 1Г. В пределе, после бесконечно многих делений, получаем самоаффинное распределение вероятностей: левая половина распределения, растянутая с коэффициентом 2 в горизонтальном направлении и с коэффициентом $1 /(1-p)$ в вертикальном, воспроизводит распределение в целом [200].

Если мы условимся считать, что вероятность $p=0,7$ характерна для населения всего земного шара, то после 18 делений всей суши у нас останутся два отшельника, живущие на площади 576 км $^{2}=$ $=24$ км $\times 24$ км в самом малонаселенном районе планеты, где-нибудь, скажем, посреди Сибири, в то время как на такой же территории в каком-нибудь мегалополисе будут тесниться 8 миллионов человек. Согласно такой простейшей модели деления, большинство людей ( 3,5 миллиарда человек) живут в 60000 сообществ, каждое из которых насчитывает от 20000 до 300000 человек.

Сказанное о рудах и людях можно отнести и к фотонам. Возьмите пучок света, испускаемый старомодной лампой накаливания, и разделите его на две равные части. Число фотонов в половинных пучках будет неодинаковым, как не будет одинаковым и число фотонов в четвертных пучках, и т.д. Или рассмотрим электромагнитное излучение в полости, возникающее при нагреве ее стенок до определенной температуры. (Проделайте в стенке такой полости крохотное отверстие, и вы получите знаменитое излучение черного тела, описываемое формулой Планка.) Число фотонов в одной фазовой ячейке или число колебательных мод резонатора находится в соответствии с геометрическим распределением: добавьте один фотон, и соответствующая вероятность уменьшится в постоянное число раз, равное $m /(m+1)$, где $m$ – среднее число фотонов (задаваемое распределением Бозе-Эйнштейна). Дисперсия такого распределения $\sigma^{2}$ равна $m^{2}+m$, где первое слагаемое $\left(m^{2}\right)$ происходит от случайных флуктуаций классического электромагнитного поля, индуцированных нагретыми стенками. Второе слагаемое ( $m$ ) отражает «корпускулярность» энергии, обусловленную эйнштейновскими фотонами – частицами света, существование которых он вывел из добавочного $m$ в выражении $\sigma^{2}=m^{2}+m$. (Эта корпускулярность первоначально была введена Планком, чтобы согласовать теоретические выводы с экспериментальными данными.)

При больших $m$ можно считать, что $\sigma^{2} \approx m^{2}$. Деление объема резонатора пополам приводит в этом случае к ожидаемой доле фотонов $p$ в одной его половине и $1-p$ – в другой. Если деление произведено так, чтобы максимизировать $p$, то $p \approx 0,6$, причем независимо от числа фотонов. При больших $m$ геометрическое распределение масштабноинвариантно, или самоподобно, так как $\sigma \sim m$. Таким образом, повторные деления объема продолжают распределять имеющиеся фотоны с самоподобным коэффициентом ветвления $p /(1-p) \approx 1,5$ до тех пор, пока их число не уменьшится настолько, что отношение $\sigma / m$ не будет более постоянным, а существование отдельных фотонов нарушит строгое самоподобие.

В случае лазерного излучения фотоны подчиняются распределению Пуассона с $\sigma^{2}=m$. Следовательно, масштаб распределения $\sigma \sim \sqrt{m}$ не пропорционален его среднему $(m)$, и самоподобия не возникает.

Самоаффинные фракталы без пустот
Многократное деление пополам и умножение приходящихся на каждую половину долей на $1-p$ для левой и на $p$ для правой половины интервала, т.е. то, чем мы занимались в предыдущем разделе, представляет собой частный случай мультипликативного случайного процесса. Бесконечные итерации такого процесса приводят к самоаффинному распределению плотностей (см. рис. 1, на котором представлены первоначальная постоянная плотность на единичном интервале и результаты первых трех итераций.)

После $n$ итераций вероятность в открытом интервале $m \cdot 2^{-n}<x<(m+1) \cdot 2^{-n}$ определяется выражением $p^{k}(1-p)^{n-k}$, где $k$ – число единиц в первых $n$ двоичных знаках числа $x$. Например, если $n=6$ и $x=1 / 5=0,00110011 \ldots$, то $k=2$; вероятность равна $p^{2}(1-p)^{4}$ и остается таковой на всем интервале $0,001100=$ $=12 / 64<x<0,001101=13 / 64$ длиной $2^{-6}$, содержащем $x=1 / 5$. После шестой итерации имеем $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}6 \\ 2\end{array}\right)=15$ интервалов с таким значением плотности – те 15 интервалов, в которых числа $x$ имеют ровно по 2 единицы в первых шести знаках своей двоичной записи. Наиболее распространенная при $n=6$ плотность соответствует $k=3$ : она встречается $\left(\begin{array}{l}6 \\ 3\end{array}\right)=20$ раз, причем самый левый из этих интервалов начинается в точке $x=0,000111=7 / 64$. Причина, по которой двоичное представление числа $x$ описывает распределение такого рода, состоит в том, что каждый нуль в двоичной записи $x$ соответствует левой половине интервала, а каждая единица – его правой половине.

Отметьте зачатки самоаффинности, присущие этой рекурсивной конструкции: правая половина каждого распределения (см. рис. 1) равна его левой половине, умноженной на $p /(1-p)$, а все распределение целиком стремится остаться инвариантным при растягивании его левой половины в 2 раза по горизонтали и в $1 /(1-p)$ раз по вертикали.

В пределе при $n \rightarrow \infty$ распределение $P(x)$ на всем единичном интервале равно распределению на левой половине интервала, растянутому по горизонтали в 2 раза и по вертикали в $1 /(1-p)$ раз:
\[
P(x)=\frac{1}{1-p} P\left(\frac{x}{2}\right) .
\]

С этим функциональным уравнением мы еще встретимся, рассматривая одну интригующую стратегию для азартной игры (см. с. 275-279). Множители 2 и $1 / p$ представляют собой два коэффициента подобия для получающегося самоаффинного фрактала.

Как еще можно охарактеризовать эту фрактальную функцию? От обычной размерности Хаусдорфа $D$, как предела при $r \rightarrow 0$ величины $\ln N / \ln (1 / r)$, в данном случае мало проку. После $n$ итераций число отрезков $N$ составляет $2^{n}$, а длина $r$ каждого из них равна $2^{-n}$. Поэтому $D=1$, как и следовало ожидать, поскольку фрактал на рис. 1 не содержит пустот.

С другой стороны, сосредоточив внимание на долях и их распределениях, мы обнаружим, что после $n=2 m$ итераций вероятность на большом количестве, а именно $\left(\begin{array}{l}n \\ m\end{array}\right)$, отрезков равна $(1-p)^{m} p^{m}$. На единичном интервале им соответствуют как раз все те полуоткрытые интервалы длиной $2^{-n}$, абсцисса $x$ которых содержит одинаковое число нулей и единиц среди первых $n$ знаков двоичного представления $x$. Например, при $n=4$ эти $\left(\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right)=6$ особых интервалов задаются значениями $x=0,0011 \ldots$ (интервал $(3 / 16,4 / 16)), x=0,0101 \ldots, x=$ $=0,0110 \ldots, x=0,1001 \ldots, x=0,1010 \ldots$ и $x=0,1100 \ldots$ (Многоточия здесь означают все возможные комбинации нулей и единиц, указывая на то, что речь идет об интервале, а не об отдельном значении.)

В общем случае существует $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)$ отрезков длиной $2^{-n}$ с плотностью $(1-p)^{k} p^{n-k}$, что соответствует полной вероятности
\[
P_{k / n}=\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right)(1-p)^{k} p^{n-k}\left(2^{-n}\right) .
\]

Заметим, что
\[
\sum_{k=0}^{n} P_{k / n}=1 .
\]

Используя формулу Стирлинга для факториалов и опуская несущественный множитель $\left(n / 2 \pi k(n-k !)^{1 / 2}\right.$, можно записать
\[
\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right) \approx\left(\frac{k}{n}\right)^{-k}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{k-n}=2^{n H(k / n)},
\]

где $H$ – энтропийная функция, хорошо известная из термодинамики и теории информации, т.е.
\[
H(\xi)=-\xi \log _{2} \xi-(1-\xi) \log _{2}(1-\xi)
\]
(график энтропийной функции $H$ представлен на рис. 2).

Рис. 2. Энтропийная функция.
Фрактальная размерность множества всех этих подынтервалов с общей вероятностью $(1-p)^{k} p^{n-k}$ имеет вид
\[
\widetilde{f}(\xi)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right)}{n \ln (1 / r)},
\]

где $\xi=k / n$. При $r=1 / 2$, учитывая приближение в соотношении (2), получаем
\[
\tilde{f}(\xi)=H(\xi) .
\]

Таким образом, в зависимости от значения параметра $\xi$, представляющего собой некоторую заданную вероятность, мы получаем различные фрактальные размерности для носителя этой вероятности. Более того, значение $\widetilde{f}(\xi)$ изменяется от 0 для. наименьших ( $\xi=0$ ) и наибольших $(\xi=1)$ плотностей до 1 при $\xi=0,5$. В этом заключается одна из причин появления названия мультифракталы. Заметим, что подмножества единичного интервала, соответствующие данной фрактальной размерности $\widetilde{f}(\xi)$, рассеяны по всему интервалу и тесно «переплетены» с подмножествами других размерностей – еще одна характерная особенность мультифракталов. Так, при $\xi=0,25$ фрактальная размерность $\tilde{f}(\xi)$ приближенно равна 0,811 , и соответствующими подмножествами являются все те точки единичного интервала $0 \leqslant x \leqslant 1$, в координатах $x$ которых, представленных в двоичном виде, $25 \%$ всех цифр составляют нули, а $75 \%$ – единицы. Укажем для примера одну из несчетного множества этих точек: $x=0,0(111)=7 / 15$. Опять же, фрактальная размерность такой «канторовоподобной» пыли равна $0,811 \ldots$

Установив фрактальную размерность $\tilde{f}(\xi)$ носителя мультифрактала, уместно выяснить, как изменяются при $n \rightarrow \infty$ вероятности $(1-p)^{k} p^{n-k}\left(2^{-n}\right)$ из соотношения (1). С этой целью введем показатель Липшица-Гёльдера $\alpha(\xi)$, который определим с таким расчетом, чтобы произведение $p^{k}(1-p)^{n-k} r^{-n \alpha(\xi)}$ не сбращалось бы в нуль и не удалялось бы в бесконечность при $n \rightarrow \infty$. Таким образом, показатель Липшица-Гёльдера, характеризующий сингулярности вероятностей, задается соотношением
\[
\alpha(\xi)=\frac{\xi \ln p+(1-\xi) \ln (1-p)}{\ln r},
\]

где, как и прежде, $\xi=k / n$, а величина $r$ для интересующего нас процесса равна $1 / 2$.

Как показывает соотношение (5), $\alpha(\xi)$ есть линейная функция от $\xi$, монотонно возрастающая при $p<0,5$. При $\xi=0$ имеем $\alpha=\alpha_{\min }=$ $=-\log _{2}(1-p)$, а если $\xi=1$, то $\alpha=\alpha_{\max }=-\log _{2} p$. Так, при $p=0,3$ показатель Липшица-Гёльдера $\alpha$ принимает значения от $\alpha_{\min }=0,51$ до $\alpha_{\max }=1,74$. Значение $\alpha_{\min }$ характеризует наименее вероятную часть мультифрактала, а $\alpha_{\max }$ – его наиболее вероятную часть.

Хотя фрактальные подмножества мультифрактала абсолютно детерминистичны (в отличие от случайных фракталов), они обнаруживают гораздо меньшую геометрическую правильность, чем оригинальное канторово множество. Например, на двенадцатой стадии построения троичное канторово множество состоит из $2^{12}$ отрезков длиной $3^{-12} \approx 2^{-19}$, образующих правильный геометрический узор. Напомним, что размерность Хаусдорфа для канторова множества $D \approx 0,631$.

Мультифрактал без пустот, имеющий примерно такую же размерность Хаусдорфа ( $D \approx 0,629$ ), характеризуется двоичными дробями, доля единиц в которых составляет $3 / 19$. На девятнадцатой стадии его построения имеем $\left(\begin{array}{c}19 \\ 3\end{array}\right)=969$ отрезков длиной $2^{-19}$, как и в случае троичного канторова множества. Однако эти отрезки расположены весьма нерегулярно, как того требуют девятнадцатизначные двоичные дроби с тремя единицами; а вот не содержащие единиц троичные дроби, описывающие троичное канторово множегтво, дают вполне упорядоченное расположение отрезков.

Еще одна нерегулярность нашего мультифрактала проявляется в количестве его элементов. Если размерность Хаусдорфа для мультифрактала оценивать по числу элементов на девятнадцатой стадии построения, то мы в результате получим $\widetilde{D}=\ln 969 / \ln 2^{19} \approx 0,522$, что значительно меньше асимптотического значения $D \approx 0,629$. Даже на 190 -й стадии построения, когда число отрезков достигает $7,74 \cdot 10^{34}$, расчетное значение $D=0,610$ все еще на $3 \%$ не дотягивает до окончательной размерности Хаусдорфа. На примере таких подмножеств мультифракталов мы можем убедиться, как медленно сходятся оценки фрактальных размерностей, если фрактал не самоподобен, пусть даже породившая его структура идеально самоаффинна (рис. 1).

Рис. 3. Последовательные этапы построения подмножества с наивысшей вероятностью, принадлежащего мультифракталу, изображенному на рис. 1.

В качестве иллюстрации нерегулярности таких мультифракталов на рис. 3 показаны последовательные этапы построения подмножества с $k=\lfloor n / 2\rfloor$, принадлежащего мультифракталу, изображенному на рис. 1.

Мультифрактальный спектр: турбулентность и ограниченная диффузией агрегация

В большинстве случаев нельзя получить прямого доступа к переменной $\xi[66]$. Более того, эта переменная зачастую несущественна, поскольку относится к весьма специфическому процессу. Важными параметрами описания мультипликативных случайных процессов, аналогичных рассмотренному в предыдущих разделах, являются фрактальная размерность носителя $\widetilde{f}$, показатель Липшица-Гёльдера для распределения плотностей $\alpha$ и связывающее их соотношение $f(\alpha)=$ $=\tilde{f}(\xi(\alpha))$, называемое «силой сингулярности» параметра $\alpha$, т. е. размерностью Хаусдорфа для его носителя, или просто мультифрактальным спектром. В нашем примере, где $\alpha$ есть линейная функция от переменной $\xi$, спектр $f(\alpha)$ представляет собой просто-напросто растянутый и смещенный вариант функции $\tilde{f}(\xi)$ (рис. 4).

Рис. 4. Мультифрактальный спектр мульгипликативного случайного процесca.

Функция $f(\alpha)$ достигает максимума при $\xi=0,5$. Согласно соотношению (5), соответствующее значение $\alpha$ равно $\alpha_{0}=-(1 / 2) \log _{2} p(1-$ $-p)=\left(\alpha_{\min }+\alpha_{\max }\right) / 2$. Значение мультифрактального спектра при $\alpha_{0}$ равно $f\left(\alpha_{0}\right)=1$, т. е. размерности Хаусдорфа для единичного (или любого другого) интервала. В случае мультипликативных случайных процессов на фрактале (а не на интервале) с размерностью Хаусдорфа $D$ наибольшее значение $f(\alpha)$ равно $D$. Иначе говоря, максимум мультифрактального спектра $f(\alpha)$ совпадает с размерностью Хаусдорфа для носителя процесса.

Другой существенно важной точкой спектра $f(\alpha)$ является $f\left(\alpha_{1}\right)$, в которой его угловой коэффициент $d f / d \alpha$ равен 1. Из равенства
\[
\frac{d f}{d \alpha}=\frac{d \widetilde{f}}{d \xi} \cdot \frac{d \xi}{d \alpha}=\frac{\ln \xi-\ln (1-\xi)}{\ln p-\ln (1-p)}
\]

очевидно, что при $d f / d \alpha=1$ соответствующее значение $\xi_{1}=p$. Подставив его в соотношение (5), получим $\alpha\left(\xi_{1}\right)=\alpha_{1}=H(p)$, что, согласно соотношению (4), равно $\widetilde{f}(p)=f\left(\alpha_{1}\right)$. Отсюда, $f\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{1}$; в то же время точка $f\left(\alpha_{1}\right)$ лежит на касательной к $f(\alpha)$ с угловым коэффициентом 1 , проходящей через начало координат. Значение $f\left(\alpha_{1}\right)$ совпадает с информационной размерностью $D_{1}$ ісм. с. 269-275).

На рис. 5 показан мультифрактальный спектр рассеяния энергии в полностью развитой турбулентностя вдоль одномерной прямолинейной траектории в турбулентном потоке $[159,161]$. Турбулентные области являются носителями мультифрактала. Экспериментальные точки заимствованы из различных физических реализаций турбулентности (атмосферная турбулентность, турбулентность в пограничном слое, турбулентность в следе за круговым цилиндром или проволочной решеткой). Заметьте, что все эти экспериментальные точки хорошо ложатся на одну-единственную кривую $f(\alpha)$, причем наилучшее согласие достигается при $p=0,3$. Похоже, турбулентность и в самом деле хорошо моделируется мультифракталами, как первоначально и предполагал Мандельброт [159].

Рис. 5. Мультифрактальный спектр в применении к турбулентности [178].
Другим красивым примером мультифрактальных явлений может служить ограниченная диффузией агрегация (ОДА), которую Микин и его сотрудники подвергли всестороннему разбору $[174,173]$. При ОДА отдельные молекулы после некоторых случайных блужданий «оседают» на агрегате, порождая красивые случайные фракталы (рис. 6), напоминающие об определенных моделях биологического роста и о «фигурах Лихтенберга» (которые можно наблюдать при электрическом разряде на изолирующей поверхности) (рис. 7 [184]). Для таких узоров характерна древовидная структура с многочисленными «фьордами»на многих размерных масштабах. Причина образования подобных структур при ОДА заключается в том, что блуждающая молекула оседает,

Рис. 6. Рост кристаллов посредством ограниченной диффузией агрегации (ОДА) [107].

как правило, вблизи выступа фрактала, а не в глубине фьорда; вероятность проникновения в глубокий фьорд, не «застряв» где-нибудь по пути, просто чрезвычайно мала. Таким образом, в различных точках на границе фрактала вероятности роста различны: высокие у выступов, они уменьшаются по мере углубления в фьорды. В точности по такому рецепту и «пекутся» мультифракталы.

Рис. 7. Фигура Лихтенберга – электрический разряд. Фрактальная размерность $D \approx 1,7[184]$.

На рис. 8А вы видите двумерный кластер ОДА, а на рис. 8Б точки его границы с относительно высокой вероятностью роста. Как и следовало ожидать, точки наибольшей вероятности роста явно предпочитают выступы кластера. Экспериментальный мультифрактальный спектр $f(\alpha)$, охватывающий диапазон от $\alpha_{\min } \approx 0,5$ до $\alpha_{\max }>5$, достаточно хорошо воспроизводит спектр теоретический (см. обзор Стэнли и Микина и приведенный там список литературы [247]).

Рис. 8. (А) Кластер ОДА. (Б) Места на нем с высокой вероятностью дальнейшего роста [173].

На рис. 9 представлен результат одной из первых попыток компьютерного моделирования ОДА Уиттеном и Сандером. Как обнаружилось, фрактальная размерность для двумерной ОДА лежит вблизи 1,7. Это означает, что масса агрегата возрастает как $L^{1,7}$, где $L$ – линейный размер, а средняя плотность изменяется как $L^{1,7} / L^{2}=L^{-0,3}$, т. е. убывает, в полном соответствии с внешним видом подобных форм роста. Для трехмерной ОДА фрактальная размерность обычно находится вблизи $2,5[279]$.

Внешнее сходство между фигурами Лихтенберга и формами ОДА не случайно. Оба процесса описываются уравнением Лапласа из теории потенциала, причем градиент потенциала соответствует полю диффузии в ОДА, а поверхность кластера ОДА – эквипотенциальной поверхности. При таком подходе к ОДА можно предположить, что частицы будут с большей охотой прилипать к тем местам кластера, где высок градиент потенциала, т.е. вблизи выступов.

Рассматривая молнии, фигуры Лихтенберга и тому подобные электрические пробои, мы, разумеется, должны будем воспользоваться электрическим потенциалом. «Рост» молнии или разряда происходит как правило в направлении наибольшего градиента потенциала. Глубокие же «фьорды» нашего узора хорошо заэкранированы и поэтому либо

草
Рис. 9. Фрактальный кластер, выращенный с помощью компьютерного моделирования ограниченной диффузией агрегации [279].

растут весьма слабо, либо не растут вовсе. Такое соответствие между теорией потенциала и фрактальным ростом было полностью подтверждено тщательными измерениями и численными решениями потенциального уравнения [184].

Образование вязких языков

Аналогичную проблему представляет образование вязких языков, которое удобнее всего наблюдать на границе раздела двух жидкостей, заключенных между двумя стеклянными пластинами. В случае двух смешиваюшихся жидкостей – например, воды и желатина – при вторжении одной жидкости в другую возникает структура, аналогичная ОДА (рис. 10A). Этот процесс является результатом гидродинамической неустойчивости между жидкостями. Как и в случае ОДА, любой «бугорок» на поверхности раздела имеет тенденцию к росту, причем рост происходит, как правило, у выступов, поскольку градиент давления, обусловливающий этот рост, достигает наибольшей величины именно у выступов.

Рис. 10. Образование вязких языков на границе раздела двух жидкостей. Форма «языков» зависит от степени взаимной смешиваемости жидкостей. (А) В жидкий желатин впрыснуто через канюлю (черная полоса на рисунке) некоторое количество подкрашенной воды (вода и желатин очень хорошо смешиваются). (Б) Вместо воды в желатин впрыснут концентрированный раствор сахара (смешиваемость хуже).

В случае несмешивающихся жидкостей, например, глицерина и нефти, языки гораздо шире, потому что поверхностное натяжение между этими двумя жидкостями препятствует образованию тонких дендритов, т.е. выступов с большой кривизной (рис. 10Б). Когда в нефтесодержащий пласт под большим давлением закачивают воду, то изза этой особенности образования вязких языков много нефти остается в земле. Повышая поверхностное натяжение воды с помощью специальных добавок, вязкие языки можно еделать более округлыми, уменьшив тем самым их фрактальную размерность и увеличив количество нефти, которое можно извлечь до появления воды.

Мультифракталы на фракталах
Принимая во внимание благоговейный трепет, который мультифракталы вызвали в определенных кругах, можно лишь удивляться, насколько простым оказывается обобщение, ведущее от фракталов к мультифракталам. Рассмотрим мультифракталы с фрактальным носителем. Возьмем единичный интервал, из которого удалено несколько открытых интервалов, и от которого осталось несколько отдельных отрезков длины $r_{i}$, разделенных пустотами. Поставим в соответствие каждому отрезку $r_{i}$ значение веса, или вероятности, $p_{i}$. Итерируя этот обобщенный процесс удаления открытых интервалов и приписывания вероятностей оставшимся интервалам, мы приходим к обобщению канторова множества, причем каждой «пылинке» поставлена в соответствие некоторая вероятность. Это и есть тот самый прототипический мультифрактал на фрактальном носителе, изучением которого мы займемся в настоящей главе.

Сопоставление каждому отрезку $r_{i}$ вероятности $p_{i}$ позволяет моделировать процессы фрактального роста, при котором различные отрезки соответствуют различным точкам роста. Вероятности же $p_{i}$ представляют собой различные скорости роста в этих точках, как при ограниченной диффузией агрегации (см. с. 259-265). Применяя наше построение к странным аттракторам, мы увидим, что отрезки $r_{i}$ сходятся к различным значениям, которые может принимать динамическая переменная (множество таких значений называется носителем аттрактора), в то время как вероятности $p_{i}$ моделируют частоты, с которыми «посещаются» эти отрезки.

Если самоподобное канторовское множество, порожденное сегментами одинаковой длины, характеризуется одним показателем скейлинга, а именно, размерностью Хаусдорфа $D$, то мультифракталы описываются деумя показателями скейлинга – один для фрактального носителя и другой для вероятностей.

Введем эти два показателя. Для этого нам понадобится вспомнить определение размерности Хаусдорфа. Размерность Хаусдорфа $D$ для множества задается пределом выражения $\ln N / \ln (1 / r)$ при $r \rightarrow 0$, где $N$ – наименьшее число элементов диаметра $r$, необходимое для того, чтобы полностью покрыть множество:
\[
D=\lim _{r \rightarrow 0} \frac{\ln N}{\ln (1 / r)} .
\]

Размерность Хаусдорфа $D$ можно также задать в следующем неявном виде:
\[
\lim _{r \rightarrow 0} N r^{D}=c, \quad 0<c<\infty,
\]

где $c$ – некоторая постоянная. Соотношение (2) демонстрирует одно важное свойство размерности Хаусдорфа: это тот самый показатель, при котором произведение $N r^{D}$ остается конечным и отличным от нуля при $r \rightarrow 0$. Стоит изменить $D$, пусть даже на ничтожно малую величину, как произведение $N r^{D}$ либо обратится в 0 , либо уйдет в $\infty$.

При рекуррентном построении самоподобного множества число частей $N$ после $n$ итераций равно $N_{G}^{n}$, где $n_{G}$ – число частей генератора. Аналогично, $r$ равно $r_{G}^{n}$, где $r_{G}$ – длина отрезка генератора. (Предполагается, что на данном этапе эти отрезки имеют одинаковую длину.) Тогда вместо соотношения (2) мы можем записать
\[
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(N_{G} r_{G}^{D}\right)^{n}=c,
\]

что, разумеется, верно лишь при
\[
N_{G} r_{G}^{D}=1,
\]

или
\[
D=\frac{\ln N_{G}}{\ln \left(1 / r_{G}\right)} .
\]

Следовательно, в случае строго самоподобного множества нет необходимости вычислять предел при $r \rightarrow 0$, как в соотношении (1). Достаточно воспользоваться параметрами генератора $N_{G}$ и $r_{G}$.

Если отрезки генератора $r_{i}$ имеют различную длину, соотношение (3) принимает вид
\[
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{i=1}^{N} r_{i}^{D}\right)^{n}=c,
\]

что подразумевает
\[
\sum_{i=1}^{N} r_{i}^{D}=1 .
\]

Для обобщенного генератора с прямолинейными частями $r_{i}$ и вероятностями $p_{i}$ введем два показателя: показатель $\tau$ для интервалов носителя $r_{i}$ и показатель $q$ для вероятностей $p_{i}$. Таким образом, вместо предела в соотношении (5) рассмотрим предел
\[
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{i=1}^{N} p_{i}^{q} r_{i}^{\tau}\right)^{n}
\]

и найдем такие значения $q$ и $\tau$, при которых выражение (7) остается конечным; иначе говоря, такие значения $q$ и $\tau$, которые удовлетворяют уравнению
\[
\sum_{i=1}^{N} p_{i}^{q} r_{i}^{\tau}=1
\]

Из уравнения (8) ясно, что пара значений $q$ и $\tau$ не единственна. Существует сплошной диапазон показателей $\tau=\tau(q)$, соответствующий, как мы увидим, континууму фракгальных размерностей.

В случае оригинального канторова множества ( $N=2, r_{i}=1 / 3$ ) уравнение (8) принимает при $p_{i}=1 / 2$ следующий вид:
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^{q}\left(\frac{1}{3}\right)^{\tau}+\left(\frac{1}{2}\right)^{q}\left(\frac{1}{3}\right)^{\tau}=1
\]

и имеет решение $\tau=(1-q) \ln 2 / \ln 3$. Учитывая, что размерность Хаусдорфа для оригинального канторова множества равна $D=\ln 2 / \ln 3$, можно также записать это решение в виде $\tau=(1-q) D$.

Полученное соотношение между $\tau$ и $D$ подтверждается также сравнением предела (7) с соотношением (5): при $q=0$ показатель $\tau$ соответствует $D$ в полном согласии с соотношением $\tau=(1-q) D$. Это сравнение наводит на мысль, что величина $\tau /(1-q)$ может играть роль некоей обобщенной размерности $D_{q}$, которая совпадает с размерностью Хаусдорфа при $q=0$, но может отличаться от нее при других значениях $q$.

Другой метод образования новых размерностей мы рассмотрим в следующем разделе.

Фрактальные размерности, получаемые из обобщенных энтропий

Пытаясь обобщить понятие энтропии распределения вероятностей, венгерский математик А. Реньи ввел следующее выражение, основанное на моментах $q$-го порядка вероятностей $p_{i}$ :
\[
S_{q}=\frac{1}{q-1} \ln \sum_{i=1}^{N} p_{i}^{q},
\]

где $q$ не обязательно должно быть целым числом [211]. При $q \rightarrow 1$ определение (1) приводит к хорошо известному выражению для энтропии
\[
S_{1}=-\sum_{i=1}^{N} p_{i} \ln p_{i}
\]

дискретного распределения вероятностей. Таким образом, величину, определяемую соотношением (1), можно считать (для чего Реньи все это и затеял) обобщенной энтропией.
Взяв пример с Реньи, определим обобщенные размерности как
\[
D_{q}=\lim _{r \rightarrow 1} \frac{1}{q-1} \frac{\ln \sum_{i=1}^{N} p_{i}^{q}}{\ln r},
\]

где $p_{i}$ – вероятность того, что случайная величина попадет в «корзинку» шириной $r$. Параметр $q$ принимает значения от $-\infty$ до $+\infty$. Заметим, что для самоподобного фрактала с равными вероятностями $p_{i}=1 / N$ определение (3) дает $D_{q}=D_{0}$ при всех значениях $q$. Для таких фракталов необходимость в переходе к пределу при $r \rightarrow 0$ отпадает, и мы получаем обобщенную размерность
\[
D_{q}=\frac{1}{q-1} \frac{\ln N(1 / N)^{n}}{\ln r}=\frac{\ln N}{\ln (1 / r)},
\]

не зависящую от $q$.
Очевидно, что при $q=0$ определение (3) совпадает с определением размерности Хаусдорфа $D$. Именно поэтому мы называем величины $D_{q}$ обобщенными размерностями в надежде, что они станут еще одним полезным инструментом для описания мультифракталов. И наши надежды вполне оправдываются. Более того, обобщенные размерности $D_{q}$, как оказалось, однозначно соотносятся с парой показателей $q$ и $\tau$ общего мультифрактала.

Соотношение между $D_{q}$ и показателями $q$ и $\tau$ можно легко получить из предела (7), если ввести $N$ «корзинок» постоянного размера $r_{i}=$ $=r$, что при $n \rightarrow \infty$ никак не влияет на значения $\tau$ и $q$, при которых этот предел сходится:
\[
\tau=\tau(q)=-\lim _{r \rightarrow 0} \frac{\ln \sum_{i=1}^{N} p_{i}^{q}}{\ln r}
\]

и, учитывая определение (3),
\[
\tau(q)=(1-q) D_{q} .
\]

Для самоподобных фракталов размерности $D_{q}$ можно получить непосредственно из величин $p_{i}$ и $r_{i}$ генератора, используя соотношения (8) и (4):
\[
\sum_{i=1}^{N} p_{i}^{q} r_{i}^{(1-q) D_{q}}=1
\]

При $q=1$ получаем $\tau(q)=0$, и $D_{q}$ определяется выражением
\[
D_{1}=-\left.\frac{d \tau}{d q}\right|_{q=1},
\]

которое с учетом соотношения (8) имеет вид
\[
D_{1}=\frac{\sum_{i=1}^{N} p_{i} \ln p_{i}}{\sum_{i=1}^{N} p_{i} \ln r_{i}}
\]

или, в случае $N$ равных вероятностей $p_{i}=1 / N$,
\[
D_{1}=\frac{N \ln N}{\sum_{i=1}^{N} \ln (1 / r)} .
\]

При $q \rightarrow 1$ из определения (3) получаем
\[
D_{1}=\lim _{r \rightarrow 0} \frac{S_{1}}{\ln r},
\]

где $S_{1}$ – энтропия вероятностей $p_{i}$, задаваемая соотношением (2).

Энтропия $S_{1}$ и величина $D_{1}$, называемая также информационной размерностью, играют важную роль в анализе нелинейных динамических систем, особенно в описании потерь информации при эволюции хаотической системы во времени. В этом контексте энтропия $S_{1}$ называется энтропией Колмогорова.

При $q=2$ формула (3) дает так называемую корреляционную размерность
\[
D_{2}=\lim _{r \rightarrow 0} \frac{\ln \sum_{i=1}^{N} p_{i}^{2}}{\ln r},
\]

которая является еще одной важной фрактальной размерностью в дополнение к $D_{0}$ и $D_{1}$. Ее главное практическое преимущество состоит в том, что в случае «практических» фракталов ее можно сравнительно легко определить (см. гл. 10). Теоретическая значимость размерности $D_{2}$ обусловлена ее тесной связью с таким фундаментальным понятием, как корреляция. Как мы увидим в гл. 10 , размерность $D_{2}$ определяется непосредственно «корреляционной функцией» фрактального множества, т.е. вероятностью найти на расстоянии $r$ от данного элемента множества другой элемент того же множества. Таким образом, измерение корреляционной размерности $D_{2}$ сводится к простому счету.

В принципе, обобщенные размерности $D_{q}$ могут быть определены для всех $q$ в соответствии с (3). Однако на практике при $q>0$ иногда встречаются трудности, так как положительные показатели $q$ уменьшают члены с малыми $p_{i}$ (соответствующие «редко посещаемым» частям фрактала). В результате предел при $r \rightarrow 0$ сходится очень медленно. Этот недостаток можно преодолеть, если числитель в соотношении (3) вычислять сразу для $r$ и $r / 2$, требуя при этом, чтобы при $r \rightarrow 0$ их отношение было равно 1 (см. [96]).

Соотношение между мультифрактальным спектром $f(\alpha)$ и показателями массы $\tau(q)$

В предыдущих разделах мы ввели для описания мультифрактала две различные функции:
– мультифрактальный спектр $f(\alpha)$, который задает фрактальную размерность $f$ подмножества с данным показателем массы Липшица-Гёльдера $\alpha$, и
– обобщенные фрактальные размерности $D_{q}$ или, что эквивалентно, показатели $\tau(q)=(1-q) D_{q}$.

Так как обе эти функции ( $f(\alpha)$ и $\tau(q)$ ) описывают одни и те же аспекты мультифрактала, они должны быть как-то связаны друг с другом. Такая взаимосвязь действите.тьн существует и имеет вид
\[
\tau(q)=f(\alpha)-q \alpha
\]

где $\alpha$ как функция от $q$ определяется из решения уравнения
\[
\frac{d}{d \alpha}(q \alpha-f(\alpha))=0 .
\]

И наоборот, если известна фрактальная размерность $D_{q}$ (или показатель $\tau(q)$ ), то мультифрактальный спектр может быть найден по формуле
\[
f(\alpha(q))=\tau(q)+q \alpha(q)
\]

где
\[
\alpha(q)=-\frac{d}{d q} \tau(q)
\]

что подразумевает, учитывая соотношение (3),
\[
\frac{d f}{d \alpha}=q .
\]

Соотношения (3) и (4) задают кривую $f(\alpha)$ параметрически (как функцию от параметра $q$ ). Эти два уравнения представляют собой преобразование Лежандра от переменных $q$ и $\tau$ к переменным $\alpha$ и $f$. Такие преобразования играют важную роль в термодинамике, позволяя переходить, например, от энергии как функции от объема и энтропии к свободной энергии как функции от объема и температуры.

Вообще говоря, аналогии между мультифракталами и статистической механикой простираются гораздо дальше, чем замена переменных с помощью преобразования Лежандра. Физики могут по достоинству оценить тот факт, что равенство (8) выглядит в точности как функция распределения, которую придумал знаменитый физик-теоретик и химик Дж. Уиллард Гиббс (1839-1903). Следуя этой математической аналогии, некоторые из наших параметров можно считать формально эквивалентными таким термодинамическим понятиям, как энергия ( $\alpha$ ), свободная энергия $(\tau / q)$, энтропия $(f)$ и температура $(1 / q)$.

Странные аттракторы как мультифракталы
Странные аттракторы принадлежат к числу наиболее важных реализаций мультифракталов. Аттрактором отображения $x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)$ является отдельная точка или неразложимое ограниченное множество точек, к которым сходятся при $n \rightarrow \infty$ итерации начальных значений из «области притяжения» аттрактора. Странным называется аттрактор, итерации $x_{n}$ которого чувствительно зависят от начального значения $x_{0}$, т. е. сколь угодно близкие начальные значения при достаточно больших $n$ расходятся на макроскопические расстояния. Странный аттрактор – это фрактальная пыль с фрактальной размерностью меньшей, чем евклидова размерность пространства вложения.

Прототипом странного аттрактора может служить логистическая парабола (см. гл. 12), определяемая квадратичным отображением $f(x)=r x(1-x)$. При $r<r_{\infty}=3,5699456 \ldots$ итерации $f^{(n)}(x)$ отображения $f(x)$ имеют периодический характер на интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$ с длиной периода $2^{m}$. Но при $r=r_{\infty}$ итерации становятся апериодическими и сходятся к странному аттрактору. Этот странный аттрактор имеет структуру канторова множества, которое асимптотически хорошо модслирустсл гепсратором с двумл иптсрвалами длиной $r_{1}=0,408$ и $r_{2}=r_{1}^{2}$ и двумя равными весами $p_{1}=p_{2}=0,5$.

Размерность Хаусдорфа $D=D_{0}$ для такого модельного аттрактора определяется из уравнения (5) при $q=0$ :
\[
r_{1}^{D}+r_{2}^{D}=1,
\]

которое при $r_{2}=r_{1}^{2}$ имеет решение
\[
r_{1}^{D}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=0,618 \ldots
\]

Таким образом, $D=D_{0} \approx \ln 0,618 / \ln 0,408 \approx 0,537$.
Информационная размерность определяется соотношением (7). При $N=2$ и приведенных выше значениях $r_{i}$ получаем $D_{1}=0,575$. При всех остальных значениях $q$ и $p_{1}=p_{2}=0,5$ соотношение (5) принимает следующий вид:
\[
r_{1}^{\tau}+r_{1}^{2 \tau}=2^{q}
\]

откуда
\[
D_{q}=\frac{\ln \left[\frac{1}{2}\left(\sqrt{1+2^{q+2}}-1\right)\right]}{(1-q) \ln r_{1}}, \quad q
eq 1 .
\]

Из этой формулы при $r_{1}=0,408$ получаем $D_{-\infty}=1 / \log _{2} r_{1}=$ $=0,773, \ldots, D_{-1}=0,561, D_{0}=0,537, D_{2}=0,497, D_{3}=0,482, \ldots$, $D_{\infty}=-1 / \log _{2} r_{1}^{2}=0,387$.

Рис. 11. Мультифрактальный спектр итераций квадратичного отображения в предельной точке удвоения периода [96].

Весь мультифрактальный спектр $f(\alpha)$, вычисленный по $D_{q}$, представлен на рис. 11. Так как производная $d f(\alpha) / d \alpha$ равна $q$, максимум функции $f(\alpha)$ равен $D_{0}=0,537$, в то время как $f(0)$ соответствует $d f(\alpha) / d \alpha= \pm \infty$, что дает значения $\alpha_{\min }=D_{\infty}=0,387$ и $\alpha_{\max }=$ $=D_{-\infty}=0,774$; это с точностью до $2,5 \%$ согласуется с лучшими результатами численных расчетов [96]. Расхождение, хотя оно и мало, отражает тот факт, что, вопреки нашему предположению, аттрактор последовательности удвоения периода не обладает точным самоподобием.

Алгоритм жадного игрока при неблагоприятных шансах на выигрыш

В гл. 6 (см. с. 206-208) мы в общих чертах наметили оптимальную стратегию для азартной игры при благоприятных шансах на выигрыш. Там же мы порекомендовали воздержаться от игры при шансах неблагоприятных. Тем не менее для тех, кто стойко выдерживает удары судьбы и готов рискнуть всем, существует небольшой шанс разбогатеть – при условии, что они будут придерживаться одного простого правила, основанного исключительно на жадности: алгоритма жадного игрока, или поглощающего алгоритма.

Предположим, что у игрока имеется начальный капитал $K$ долларов, капитал банка составляет $B$ долларов и вероятность выиграть одну игру равна $p$, где $p<0,5$. Конечно же, разумный человек, решительно настроенный на положительную среднюю прибыль, вообще не должен играть, если вероятность выигрыша меньше 0,5 . Но допустим, что наш игрок желает рискнуть всем своим капиталом в надежде на малый шанс сорвать банк. Из форму.ы (2) в гл. 6 мы знаем, что вероятность достичь желанной цели при постоянной ставке в 1 доллар равна
\[
p_{K}=1-q_{K}=\frac{r^{K}-1}{r^{B}-1},
\]

где $r=(1-p) / p>1$. Если колесо рулетки идеально отрегулировано и имеет 36 секторов с положительными числами и один нулевой сектор («зеро»), то для «равных» шансов $p=18 / 37$, а $r=19 / 18$. В более общем смысле, $K$ в соотношении (1) есть гервоначальный капитал игрока, деленный на величину ставки, а $B$ – капитал банка, также деленный на величину ставки.

Предположим, что первоначальный капитал игрока составляет 1000 долларов $(K=1000)$, а в банке находится 10000 долларов ( $B=$ $=10000$ ). Тогда из соотношения (1) следует, что вероятность $p_{K}$ сорвать банк равна примерно $10^{-211}$. Иначе говоря, шансы игрока проиграть все свое состояние почти неотличимы от неизбежности.

Менее робкий игрок может отважиться сделать ставку в 10 долларов на игру. В этом случае $K$ в соотношении (1) становится равным 100 , а $B=1000$. Это «повышает» шансы игрока на выигрыш 10000 долларов до $p \approx 10^{-21}$. Еще более отчаянный игрок, который каждый раз ставит 100 долларов ( $K=10, B=100$ ), вознаграждается неслыханным повышением вероятности до $p_{K} \approx 0,0025$. Получается, что чем выше ставка, тем больше у игрока шансов на выигрыш.

Почему же так получается? Очевидно, что игрок, делающий очень небольшие ставки, например, в 1 или 10 долларов, должен сыграть очень много партий, прежде чем сумма его выигрыша достигнет 10000 долларов (если такое событие вообще произойдет), а всякий раз, делая ставку, он тем самым испытывает судьбу. Это позволяет нам утверждать, что при неблагоприятных шансах на выигрыш оптимальная стратегия состоит в том, чтобы поставить все имеющиеся в наличии деньги. Выражаясь более конкретно, пока $x=K / B$ меньше $1 / 2$, ставить нужно весь капитал; в случае выигрыша вы его удвоите. Следовательно, обозначив через $P(x)$ вероятность того, что используя наш «жадный» алгоритм, игрок в конце концов все же выиграет, получим следующее функциональное рекуррентное соотношение:
\[
P(x)=p P(2 x)+(1-p) \cdot 0, \quad 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2} .
\]

Разумеется, если $x>1 / 2$, то чтобы выиграть $B$ долларов, необходимо каждый раз ставить $B-x B$ долларов. Тогда даже в случае проигрыша у игрока останется $K-(B-K)=2 K-B$ долларов, чтобы продолжать игру $[24]$. Отсюда,
\[
P(x)=p \cdot 1+(1-p) P(2 x-1), \quad \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1 .
\]

Остается только один вопрос: как найти функцию $P(x)$ из уравнений (2) и (3)? Конечно, при $0<p<1 / 2$ из уравнения (2) следует, что $P(0)=0$, а из уравнения $(3)-$ что $P(1)=1$. Что касается остальных значений $x$, то нетрудно заметить, что функция $P(x)$ должна быть самоаффинной. Действительно, из уравнения (2) видно, что, подвергнув $x$ сжатию в 2 раза и умножив $P$ на $p$, мы получим левую половину функции $P(x)$.

По правде говоря, нам уже приходилось встречаться с функцией $P(x)$ (в этой же главе; правда, вместо $p$ там было $1-p-$ см. рис. 1 и соотношение (1)). Но, подобно многим другим самоподобным или самоаффинным функциям, $P(x)$ не отличается добронравным поведением: ее производная обращается в нуль везде, кроме точек, абсциссы $x$ которых образуют канторово множество. Иначе говоря, функция $P(x)$ представляет собой чертову лестницу (см. рис. 12 , где изображен график $P(x)$ для случая $p=0,25)$.

Чтобы вычислить $P(x)$, запишем $x$ в виде двоичной дроби. Если эта дробь бесконечна, оборвем ее после $n$-го знака. В нашем примере $x=1 / 10$ в двоичной записи имеет вид бесконечной периодической дроби $x=0,0(0011)$, которую можно аппроксимировать конечной дробью $\widetilde{x}=0,00011=3 / 32$. Величина $P(\widetilde{x})$ задается следующим выражением:
\[
P(\widetilde{x})=p_{0} p_{0} p_{0} p_{0} p_{0}+p_{0} p_{0} p_{0} p_{0} p_{1}+p_{0} p_{0} p_{0} p_{1} p_{0},
\]

где $p_{0}=p$ и $p_{1}=(1-p)$. Три поеледовательности индексов соответствуют всем двоичным дробям с $n=5$ знаками, меньшим $\widetilde{x}=0,00011$, т.е. 0,$00000 ; 0,00001$ и 0,00010 . Таким образом, если $p_{0}=18 / 37$ и $p_{1}=$ $=19 / 37$, то $P(\widetilde{x})=p_{0}^{4}\left(p_{0}+2 p_{1}\right) \approx 0,084$. Так как $\widetilde{x}<x$, а $P(x)-$ неубывающая функция, значение $P(x)$ в действительности несколько

Рис. 12. Интегральная вероятность выигрыша при игре с использованием «жадного» алгоритма: самоаффинная чертова лестница.

больше 0,084. По сравнению с вероятностью выигрыша $p_{K^{n}}=0,0025$ при постоянной ставке в 100 долларов налицо весьма ощутимое повышение шансов. Даже постоянная ставка в 1000 долларов дает лишь $p_{K}=0,077$.

Три слагаемых в соотношении (4) отражают три различных пути к успеху (с использованием нашего «жадного» алгоритма) при условии, что игра прекращается после пяти ставок. Например, третье слагаемое $p_{0} p_{0} p_{0} p_{1} p_{0}$ означает, что игрок зыиграл три раза подряд, затем один раз проиграл, после чего снова выиграл. Капитал игрока при этом составил, соответственно, $1,2,4,8,6$ и 10 тысяч долларов. Второму слагаемому в соотношении (4) – $p_{0} p_{0} p_{0} p_{0} p_{1}$ – соответствует последовательность капиталов в 1, 2, 4, 8, 10 и 10 тысяч долларов. Такую же последовательность демонстрирует и первое слагаемое $p_{0} p_{0} p_{0} p_{0} p_{0}$, так как достигнув конечной цели (выигрыша 10000 долларов), игрок прекращает игру.

Если игрок не разоряется после 5 ставок, то он, разумеется, может продолжить игру и повысить свои шансы сорвать банк. В этом случае дробь $x$ в $P(x)$ следует обрывать дальше, чем после пятого знака. Например, дробь 51/512 является превосходной аппроксимацией дроби $1 / 10$ и дает $P(51 / 512)>0,09$. При иррациональных $x$, выражаемых апериодическими двоичными дробями, вычисление $P(x)$ представляет собой бесконечный процесс. Однако при рациональных $x$, выражаемых периодическими двоичными дробями, существует замкнутая формула, открыть которую мы предоставляем читателю. Итак, чему же равно значение $P(1 / 10)$ ?

И какова ожидаемая продолжительность игры до момента, когда либо разорится игрок, либо лопнет банк (под тяжестью жадного алгоритма)? Как и $P(x)$, эта продолжительность должна представлять собой самоаффинную функцию и быть меньше, чем ожидаемая продолжительность игры с любой постоянной ставкой [70]:
\[
D_{K}=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{p(r-1)}\left[K-B \frac{r^{K}-1}{r^{B}-1}\right], & r
eq 1, \\
\frac{1}{p} K(B-K) . & , \quad r=1 .
\end{array}\right.
\]

При $p=18 / 37, r=19 / 18$ и ставке в 1 доллар $K=1000$ долларов, $B=$ $=10000$ долларов, а ожидаемая продолжительность игры $D_{K}$ составляет 37000 раундов. При ставке в 100 долларов $K=10, B=100$, продолжительность игры сокращается до 358 раундов. При ставке 1000 долларов $K=1, B=10$, игра продлится только 25 раундов. Таким образом, используя алгоритм жадного игрока, можно ожидать средней продолжительности игры менее, чем 25 раундов.