Лекция 10. Линейные операторы

1. Функции задаются на многообразии. Примерами многообразий могут служить числовая ось х (одномерное пространство), трехмерное пространство чисел х, у, z, точки на поверхности сферы, конечный набор точек и т. д.

2. Функции можно интерпретировать как векторы в пространстве. При этом пространство может иметь конечное или бесконечное число измерений (гильбертово пространство).

3. Оператор.

В общем случае оператор О определяет правило получения функции из функции

Операциям возведения в степень, возведения в степень с последующим умножением на число, однократного и многократного дифференцирования, умножения на некоторую функцию и т. д. можно сопоставить соответствующие операторы. Тогда действие оператора О на функцию будет давать функции

Например:

Важно, что существует единичный, или тождественный, оператор, обозначаемый как 1 или 1, действие которого на функцию дает функцию, тождественно равную исходной:

т.е. единичный оператор оставляет функцию неизменной.

4. В квантовой механике важную роль играют линейные операторы, определяемые свойством

где постоянные коэффициенты.

Примерами линейных операторов могут служить:

единичный оператор:

оператор умножения на число

оператор умножения на функцию операторы дифференцирования:

Напротив, оператор, сопоставляющий некоторой функции ее куб, не является линейным оператором. Начиная с этого момента в дальнейшем будут рассматриваться только линейные операторы.

5. Сумма (разность) линейных операторов определяется как оператор действие которого на эквивалентно сумме (разности) результатов действия на операторов А и В:

Свойства коммутативности (перестановочности) в сложении

ассоциативности

и т.д., очевидно, присущи линейным операторам.

6. Умножение оператора на число эквивалентно умножению на это число результата действия оператора:

7. Произведение двух линейных операторов очевидно, обладает сочетательным (ассоциативным) свойством

и свойством дистрибутивности

Перестановочное свойство умножения в общем случае не имеет места:

т. е. два линейных оператора в общем случае не коммутируют. Например, оператор умножения на х, т. е. , и оператор однократного дифференцирования не коммутируют. В самом деле,

8. Коммутатор, или перестановочное соотношение, для операторов обозначается как

Коммутатору, очевидно, присуще следующее свойство:

В качестве примера можно взять играющее важную роль в квантовой механике перестановочное соотношение

в справедливости которого нетрудно убедиться непосредственно.

9. Степени операторов определяются как операторы, действие которых эквивалентно последовательному действию оператором-основанием на данную функцию столько раз, сколько указано в показателе степени:

например, для

Очевидны следующие свойства степеней операторов:

[Формула (10.13) означает, что любые две степени одного и того же оператора коммутируют между собой.]

10. Оператор, обратный А, обозначим как А~х.

Укажем свойства обратного оператора:

иначе говоря,

где — оператор тождественного преобразования (т. е. единичный оператор).

В тоже время т. е.

Из (10.15) и (10.16) вытекает, что

11. Функции операторов. Формальное определение: пусть имеются некоторая аналитически заданная функция [например, ] и оператор А. По аналогии с разложением в ряд Тейлора этой функции определим как

пользуясь тем обстоятельством, что понятия суммы и степени операторов уже были введены. Заметим, что это определение не всегда имеет смысл.

Пример 1. Для оператора разложение экспоненты имеет

отсюда

Таким образом, получается оператор сдвига аргумента функции. Пример 2. Для оператора (оператора умножения на

т.е. получается оператор умножения на

12. Функция двух (или более) операторов. Попытаемся обобщить равенство (10.18) следующим образом:

где

Это определение, однако, неоднозначно, если только операторы не коммутируют между собой: действительно, для некоммутирующих операторов

Иногда в случаях, подобных данному, можно произвести симметризацию произведений операторов, положив, например,