Лекция 12. Операторы материальной точки

Простейшей физической системой является материальная точка. Ниже рассматриваются некоторые операторы для этого случая.

Запишем шесть операторов, действующих на функцию ф(х,

все шесть операторов эрмитовы. Выясним, как они действуют на волновую функцию системы.

Рис. 9. Волновой пакет

А. Средние значения. Предположим, что описывает «малый» волновой пакет (рис. 9)

Усреднив значения операторов по правилу (11.16), имеем:

Замечание. Для координат этот результат вполне очевиден. Для компонент импульса, например для

поскольку для рассматриваемой функции

Из определения средних величин (12.2) ясно, что операторы (12.1) должны быть как-то связаны с координатами и компонентами импульса в их привычном классическом понимании. Убедимся в этом.

Б. Дальнейшее подтверждение. Запишем сумму потенциальной и кинетической энергий материальной точки:

Истолкуем записанное таким образом выражение для полной энергии материальной точки как функцию операторов (12.1). Эта операторная функция определяется также по правилу (10.21), но в данном случае определение вполне однозначно. Итак,

Следовательно, оператор, соответствующий энергии (очевидно, эрмитов), может быть записан в виде

Применяя этот оператор к функции получаем:

Член имеет смысл обычного умножения функции координат на волновую функцию Оператор называют оператором полной энергии или оператором Гамильтона (гамильтонианом). Из предыдущих примеров (особенно из рассмотрения линейного осциллятора и атома водорода) следует, что

Собственные значения оператора представляют собой энергетические уровни системы.

В. Напрашивающиеся обобщения. Постулаты. Рассмотрим классические функции состояния системы (например, у-координату,

-компоненту импульса, кинетическую энергию -компоненту момента и т.п.). Все эти функции выражаются в классической физике как функции переменных Образуем соответствующие операторные функции:

Замечание. Все эти операторы должны быть выбраны эрмитовыми, так как иначе их средние и собственные значения не будут вещественными.

Постулат 1. Единственно возможными результатами измерения функции, зависящей от координат и импульса,

являются собственные значения соответствующего этой функции эрмитова оператора.

Постулат 2. Квантовомеханическое состояние системы определяется волновой функцией Функция изменяется во времени таким образом, как того требует зависящее от времени уравнение Шредингера.

Вопрос. Как следует выбирать начальные значения функции

Ответ. Измеряется некоторая величина Результат этого измерения должен совпадать с одним из собственных значений оператора например с Если является невырожденным собственным значением, то функция непосредственно после измерения и будет собственной функцией оператора соответствующей данному собственному значению. Если же имеет место вырождение, то необходимо большее число измерений, как выяснится позднее.

Задача на собственные значения:

где эрмитов оператор, зависящий от его собственное значение (число); собственная функция. Разложим по

собственным функциям

здесь коэффициенты разложения (числа), а определяет состояние системы в момент времени

Постулат 3. При измерении величины вероятность получить значение, равное пропорциональна

Отсюда следует

Утверждение 1. Если нормированная функция, то

Доказательство.

Таким образом,

Если функция нормирована на единицу, то вероятность получить при измерении число

Поэтому среднее значение возможных результатов измерения величины (волновая функция нормирована на единицу) равно

знаменатель в силу нормировки равен с (11.16)]. Отсюда следует

Теорема. Среднее значение оператора в смысле определения (11.16) равно взятому с весовыми множителями среднему значению всех возможных результатов измерения соответствующей физической величины

Усложнения. Случай непрерывного множества собственных значений оператора

Пример 3. Рассмотрим операторное уравнение для оператора координаты х

где число. Решение этого уравнения имеет вид

соответствующая х собственная функция]. Функция не нормируема.

Однако если суммирование типа (12.8) заменить интегралом:

то отсутствие обычной нормировки компенсируется бесконечно малым множителем и все формулы становятся корректными.

Таким образом, плотность вероятности того, что значение координаты материальной точки есть равна

Знакомый результат! Среднее значение координаты х определяется как

(функция нормирована на единицу).

Пример 4. Рассмотрим импульс материальной точки; ему соответствует оператор

Уравнение для собственных значений имеет вид оператор, число)

или (12.14)

Запишем общее решение уравнения (12.14):

Это собственная функция, соответствующая собственному значению которое может быть любым:

В этом случае снова возникает некоторое затруднение при нормировке, так как функция (12.15) непосредственно не нормируема. В таких случаях суммы типа (12.8) нужно преобразовать следующим образом:

теперь

[отметим множитель он вводится ради полноты, см. (11.23) и (11.22)].

Вероятность того, что импульс системы имеет величину в интервале равна нормирована)

или

Замечание. Отсюда непосредственно следует вывод, что искомая вероятность пропорциональна квадрату модуля коэффициента фурье-разложения. Полезно убедиться, что полная вероятность равна единице, как следует из (12.17) и (12.18) и нормировки

Среднее значение импульса. Для среднего значения импульса можно указать два выражения:

1) вытекающее из (12.18)

2) вытекающее из определения среднего (см. стр. 62-63) при учете нормировки

(интеграл вычислялся по частям). Рекомендуется самостоятельно доказать, что равенства (12.19) и (12.20) эквивалентны.

[Указание: записать правую часть (12.19) в виде двойного интеграла по координатам и использовать (12.17) и 12.18).]