Лекция 33. Теория столкновений

Рассеяние на короткодействующем центральном потенциале. В этом случае естественно задаться следующим асимптотическим (при видом волновой функции:

где

Первый член (33.1) описывает плоскую падающую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси эта волна соответствует первоначальному потоку частиц, обладающих определенным значением импульса Второе слагаемое, имеющее вид радиально расходящейся волны, соответствует потоку рассеянных частиц.

Формула (33.1) приводит к следующему выражению для дифференциального сечения:

Разложим падающую волну в (33.1) в ряд по сферическим функциям:

Этот прием напрашивается ввиду центральной симметрии рассеивающего поля; вместе с тем ввиду существования выделенного направления (в падающей волне к на картину рассеяния накладывается аксиальная (цилиндрическая) симметрия, ответственная в разложении (33.4) за появление функций Бесселя

энергию), то в «море» возникнет «дырка» с и зарядом, противоположным заряду электрона (позитрон) (рис. 29). Импульсу и энергии позитрона соответствуют дырочного состояния. Тогда волновые функции

с импульсом и энергией а волновые функции

с импульсом — и энергией

Рис. 29

Если задана функция

где четырехкомпонентный спинор, то полезно сконструировать также два оператора операторы проектирования — так, чтобы произведение содержало только обычные электронные волновые функции, а только электронные волновые функции отрицательной энергии, соответствующие позитронным состояниям.

Операторы проектирования спиноров определяются равенствами

Эти свойства однозначно определяют вид операторов и Заметим, что

где

Здесь есть с-вектор (т.е. вектор, все компоненты которого с-числа), гамильтониан (34.21). Тогда

Момент импульса электрона. Особый интерес представляет метод введения момента импульса электрона. Используя гамильтониан (34.21), можно записать

следовательно, для свободного дираковского электрона обычная комбинация не постоянна во времени. Однако легко проверить, что величина

коммутирует с гамильтонианом Поэтому ее следует интерпретировать как компоненту вектора момента импульса. Оператор же вектора момента может быть тогда записан в виде

где первый член справа представляет собой орбитальную часть момента, а второй — спиновую часть, описываемую матрицами

Здесь бросается в глаза сходство -матриц а с уже известными -матрицами Паули Действительно, можно записать

Действуя матрицей а на спинор и, получим:

т. е. операторы спина Паули действуют при этом по отдельности на первую и вторую пары компонент -спинора; следовательно, каждой паре компонент могут соответствовать оба значения спина .