Лекция 20. Законы сохранения и сохраняющиеся величины

В этой лекции будет предполагаться, что гамильтониан (20.1) не зависит явным образом от времени

То же предположение примем относительно других операторов

Согласно (19.15), в рассматриваемом случае

Это закон сохранения энергии.

Аналогичным образом из (19.14) следует, что физическая величина А сохраняется, если

Это равенство означает, что измерение А в данный или любой последующий момент времени дает один и тот же результат.

Преобразования симметрии. Классические законы сохранения импульса и момента связаны со свойствами симметрии физического пространства, именно:

сохранение импульса — с симметрией относительно трансляций (сдвигов) системы координат;

сохранение момента импульса — с симметрией относительно поворотов системы координат.

Обратно, из наличия законов сохранения можно сделать заключение о свойствах симметрии системы. В связи со сказанным полезно ввести преобразования симметрии для физических систем. Примеры преобразований симметрии:

1. Преобразование трансляции (сдвиг) координат (симметрия имеет место лишь в случае чисто внутренних сил).

2. Преобразование ротации (поворот) координат (симметрия имеет место лишь в случае чисто внутренних сил или в случае центральных внешних сил, если поворот совершается вокруг источника сил).

3. Поворот вокруг выделенной оси (аксиальная симметрия также требует определенных условий).

4. Отражение относительно плоскости симметрии.

В каждом из этих случаев можно ввести оператор определяемый равенством

Пример. Отражение относительно плоскости для функции двух частиц:

Теорема. Оператор преобразования симметрии является унитарным: (20.6)

Доказательство самоочевидно, так как явно сохраняет нормировку волновой функции

Теорема. Оператор преобразования симметрии коммутирует с гамильтонианом

Доказательство.

При рассмотрении одного собственного значения оператора Я, определяющего вектор подпространства (одной или более) собственных функций гамильтониана , соответствующих этому значению заметим, что оператор действует внутри этого подпространства. Это означает, что матричные элементы оператора в представлении Гейзенберга равны нулю при что эквивалентно утверждению теоремы.

Теорема. Эрмитово сопряженный оператор преобразования симметрии коммутирует с гамильтонианом Н:

Доказательство сводится к тому соображению, что представляет собой также преобразование симметрии (обратное преобразованию

Теорема. Собственные функции унитарной матрицы преобразования симметрии ортогональны (подобно собственным функциям эрмитовой матрицы), а модули их собственных значений равны единице.

Доказательство.

Матрицы эрмитовы и коммутируют друг с другом; следовательно, они имеют общую систему собственных функций, причем эти функции ортогональны. Очевидно, эти же функции являются собственными функциями оператора (первая часть теоремы доказана). Возьмем теперь собственные векторы этих функций в качестве базиса и приведем матрицу к диагональному виду. Тогда из равенства следует, что диагональные элементы исследуемой матрицы по модулю равны единице (тем самым доказана и вторая часть теоремы). Таким образом,

Все четыре собственных значения соответствуют одной и той же волновой функции

Все четыре матрицы (20.9) коммутируют друг с другом и с гамильтонианом Следовательно, они не меняются во времени, а их собственные функции могут быть выбраны так, что совпадут с собственными функциями оператора энергии (гамильтониана).

Определения. Группой симметрии называется совокупность всех преобразований, соответствующих определенному свойству симметрии. Например, все повороты вокруг осей образуют группу вращений.

Представлением группы называется совокупность унитарных матриц, соответствующих всем преобразованиям группы (20.11) и обладающих общей алгеброй.

Неприводимым представлением называется такое представление, все матрицы которого не могут быть одновременно приведены к виду

Свойства. Неприводимые представления однозначно определяются абстрактной структурой группы. (20.13)

Полезный прием состоит в том, чтобы выбрать такую систему базисных векторов

что она распадается на подсистемы

каждая из которых (система I) под действием всех преобразований группы симметрии переходит сама в себя. Такое разделение на подсистемы, не зацепляющиеся друг за друга при преобразованиях, соответствует явному нахождению неприводимых представлений рассматриваемой группы

Теорема (Вигнера). Если величина А (например, гамильтониан коммутирует со всеми преобразованиями группы, то матричные элементы при выборе базисных векторов (20.14) равны нулю, коль скоро векторы соответствуют различным неприводимым представлениям. Иначе говоря,

где — число, причем

Приложение 1 (Трансляционная симметрия и закон сохранения импульса). Для замкнутой системы (действуют лишь внутренние силы, что означает однородность физического пространства) имеет место симметрия относительно сдвига (трансляции), описываемого преобразованием

Замечание. Все операторы соответствующие различным векторам (сдвигам) а, а и т. д., коммутируют между собой, а также, конечно, и с гамильтонианом (образуя тем самым так называемую абелеву группу). Именно поэтому целесообразно выбрать такое представление, в котором и все описываются диагональными матрицами. Тогда, обозначая волновую функцию через можно записать

На основании заключаем, что

где k — постоянный для данной волновой функции вектор. Для другой волновой функции вектор к — другой. Отсюда

Вывод. Величина есть импульс системы. (20.19)

Доказательство.

Возьмем бесконечно малый сдвиг вдоль оси тогда

и

с другой стороны,

Сравнивая эти выражения, находим:

Здесь суммирование проводится по всем материальным точкам. Волновые функции, зависящие от имеют вид

вектор, компоненты которого есть числа, а не операторы; эти компоненты — собственные значения операторов

Часто используются преобразования к движущейся системе отсчета (преобразование Галилея или преобразование Лоренца); например, чтобы перейти к системе центра масс (центра инерции). В такой системе отсчета

Системы центра масс важны и с более общей точки зрения.

Приложение 2 (Симметрия относительно поворотов и закон сохранения момента импульса). Рассматриваемый случай реализуется, когда на систему действуют только внутренние силы (замкнутая система) или когда внешние силы обладают центральной симметрией. В последнем случае центр вращения должен совпадать с источником внешних (центральных) сил. Пусть

Т - оператор поворота на бесконечно малый угол вокруг оси этот оператор дает преобразование

так что

Образуем эрмитов оператор

Аналогичным образом можно построить эрмитовы операторы и оператор

Следовательно,

Физические величины (наблюдаемые) являются константами движения.

Это закон сохранения момента импульса.

Из определения операторов (20.25) следуют также перестановочные соотношения:

т. е.

Полученные для системы частиц перестановочные соотношения имеют в точности тот же вид, что и соотношения для одиночной материальной точки

Можно показать, что матричная структура (20.15), отраженная в серии равенств и (18.18), следует только из перестановочных соотношений, и тем самым доказать в общем случае теорему (20.15), но со следующим важным отличием: в лекции 18 было показано, что орбитальное квантовое число I принимает целые значения; в общем случае, однако, оказываются допустимыми также полуцелые значения Последнее обстоятельство особенно важно в квантовой теории спина.

Например, преобразование соответствующее повороту на угол а вокруг некоторой оси при действии на свою собственную функцию дает

если использовать представление, в котором матрицы диагональны, то будет целым или полуцелым числом.

Приложение 3 (Симметрия относительно отражения (инверсии) и закон сохранения четности). Если в физической системе действуют лишь внутренние и центральные внешние силы, то можно постулировать существование симметрии относительно отражения (инверсии) координат. В этом случае преобразование соответствует замене

и представляет собой отражение относительно начала координат. (Источник центральных сил, как обычно, помещается в начале координат.)

Условие симметрии относительно отражения физически означает эквивалентность правой и левой систем координат.

Из данного определения следует, что

Свойства преобразования инверсии. Нетрудно видеть (применив преобразование дважды), что

Кроме того, оператор инверсии координат коммутирует с операторами (20.25) и, конечно, с гамильтонианом

За основу обычно берут собственные функции операторов и (все они коммутируют между собой). Из равенства (20.29) следует, что собственные значения оператора инверсии [в общем случае даваемые формулой (20.9)] равны

Это обстоятельство позволяет ввести следующую классификацию состояний физических систем:

Состояние

Четность есть свойство системы, сохраняющееся пока и поскольку на систему действуют только центральные внешние силы и произвольные внутренние силы.