Лекция 34. Теория свободного электрона Дирака

Релятивистское волновое уравнение. Общее уравнение Шредингера (зависящее от времени) для частицы массой

в высшей степени несимметричным образом включает координаты х, Это обстоятельство явно противоречит традиционным требованиям частной теории относительности, и в целях обобщения нерелятивистского уравнения Шредингера на случай частиц больших (сравнимых с с) скоростей проведем следующее исследование: попытаемся найти такое релятивистское уравнение для электрона, которое включало бы производные только первого порядка по х, Введем стандартные обозначения:

В последней строке использовано операторное выражение Итак, вместо трехмерных векторов

введем четырехмерные векторы -векторы)

Если бы волновая функция была скаляром, то простейшее уравнение первого порядка имело бы вид (коэффициенты считаются постоянными):

здесь и далее используется правило суммирования Эйнштейна по повторяющимся индексам от 1 до 4. Оказывается, однако, что волновую функцию необходимо выбрать такой, чтобы она имела несколько компонент (именно четыре.) Вместо записанного уравнения для тогда следует составить другое уравнение:

Уравнение Дирака. Матрицы Дирака. В матричных обозначениях представляет собой вертикальный столбец, состоящий из четырех элементов, а матрица квадратная и состоит из четырех строк и четырех столбцов -матрица).

Таким образом, получаем матричное линейное дифференциальное уравнение первого порядка (по суммирование):

называемое уравнением Дирака. Дифференциальные операторы

действуют на волновую функцию-столбец зависящую от всех координат а матрицы следует толковать как операторы, относящиеся к внутренней переменной, подобной спиновой переменной Паули, однако имеющей, как выяснится, четыре компоненты.

Следовательно, матрицы должны коммутировать с операторами -импульса и с координатами

Из равенства (34.5) следует, что

или [символически опуская используя соотношения (34.1), (34.6) и очевидное равенство

Последнее соотношение можно отождествить с известным релятивистским соотношением между импульсом и энергией

если постулировать, что

Как можно показать, наиболее низкий порядок матриц, при котором выполняются условия (34.8), равен 4. Ограничиваясь -матрицами, можно построить много вариантов набора 71, 72, 73, 74, по существу эквивалентных. Выберем «стандартную» систему:

и

Тройка 7з во многих отношениях ведет себя как компоненты вектора; удобны обозначения:

В этих обозначениях уравнение (34.5) принимает вид

Умножим это уравнение слева на матрицу и используем свойство получим эквивалентное уравнение

(другая запись уравнения Дирака), где введена тройка матриц

Здесь

Свойства введенных матриц (проверяемые непосредственно):

т.е. квадраты матриц равны единичным матрицам;

матрица и все матрицы а антикоммутируют друг с другом;

матрица и все матрицы а эрмитовы.

Можно показать, что физические следствия, вытекающие из уравнения (34.13), не зависят от способа выбора системы матриц

и имеющих в частном случае вид (34.15) и (34.10). Иными словами, все следствия, вытекающие из теории, останутся прежними при переходе к другой системе -матриц, если только матрицы новой системы также имеют свойства (34.18). В частности, с помощью унитарного преобразования можно прийти к такому представлению, в котором прежние четыре матрицы поменяются ролями. Таким образом, их различие является лишь кажущимся.

Рекомендуется проверить, что собственные значения каждой из матриц

равны +1 и —1, причем оба эти значения дважды вырождены. Уравнение (34.13) можно записать в виде

где

Оператор должен, очевидно, интерпретироваться как гамильтониан:

Не зависящее от времени уравнение Шредингера для спинорной волновой функции

распадается на четыре «зацепляющихся» уравнения

Нетрудно записать также уравнение Шредингера с зависимостью от времени, воспользовавшись заменой

Решение с плоской волной. Волновая функция свободного электрона должна, очевидно, представлять собой плоскую волну:

где спинорные компоненты постоянны, а компоненты вектора просто числа.

Подставим функцию (34.23) в уравнение (34.22); разделив левую и правую части на общий множитель получим систему алгебраических уравнений

однородную относительно четырех неизвестных постоянных Такая система имеет решения, только если детерминант из коэффициентов при неизвестных равен нулю. Детерминант (34.24) приводится к виду

откуда следуют дважды вырожденные собственные значения Е:

Таким образом, каждому данному значению импульса соответствует дважды вырожденное значение и дважды вырожденное значение