Лекция 28. Сложение векторов момента

В лекции 26 были введены

- оператор орбитального момента

— оператор спина или собственного момента 5, (28.1)

- оператор полного момента

Пусть, как было показано, имеют место перестановочные соотношения

тогда, как нетрудно показать,

Таким образом, можно построить две системы операторов, таких, что внутри каждой операторы коммутируют между собой:

Очевидно, это обстоятельство можно использовать для классификации состояний физических систем (см. лекцию 20).

Взяв первую систему, следует пользоваться таким представлением, в котором ее операторы диагональны; тогда в основу классификации кладутся собственные значения

где

причем принимают как целые, так и полуцелые значения. Если I — результирующий орбитальный момент, то I должно быть целым. Если результирующий спин, то должно быть целым в случае четного числа электронов и полуцелым в случае нечетного числа электронов. В классификации (28.5) и (28.7) собственная функция системы имеет вид

В общей сложности число таких собственных функций («собственных векторов» гильбертова пространства) равно (

Перейдем теперь от этого представления к представлению (и, соответственно, к другой классификации), использующему вторую систему операторов — (28.6).

В этом случае операторы системы (28.6) диагональны, а их собственные значения равны

где целое или полуцелое число, (28.9)

Собственная функция системы во второй классификации записывается как

Вопрос: какие значения может принимать число при данных

Ответ:

Правило векторной модели:

Набросок доказательства:

Для нахождения учтем также, что тогда наименьшее из наибольших положительных значений также (28.12)] будет равно так что Остается показать, что реализуются все возможные значения, указанные в (28.11). Многократно действуя на волновую функцию

оператором

получаем последовательно функции

В полученной совокупности имеется собственных функций типа (28.10), причем значению магнитного квантового числа могут соответствовать две функции:

либо

Совокупность функций (28.14) уже содержит одну линейную комбинацию функций (28.15), другие же линейные комбинации получаются при многократном действии оператора на следующие собственные функции типа (28.10):

Коэффициенты Клебша—Гордана. Указанный выше метод позволяет показать, что

при

Кроме того, с его помощью можно получить численные значения величин т.е. указать коэффициенты разложения функций одного представления по функциям другого представления (сравнение классификаций). Коэффициенты такого разложения называют коэффициентами векторного сложения или коэффициентами Клебша-Гордана. Общие формулы этих коэффициентов имеют весьма сложный вид. В важных, частных случаях [см. (26.31) и (26.32)] они могут быть записаны следующим образом:

(см. скан)

Другие подобные формулы можно найти в книге Кондона и Шортли.

Значение произведения равно

что следует из соотношений

Заметим, что результат (28.20) не зависит от Это обстоятельство можно выразить следующим более общим образом:

Теорема. Если собственные функции задаются в классификации и А есть некоторый оператор, инвариантный относительно поворотов (что означает то

Эта теорема тесно связана с теоремой Вигнера (28.15).

Теоремы о величине матричных элементов векторного оператора А:

если только не выполняются условия

кроме того,

На основании этих теорем можно сформулировать следующие

Правила отбора для оптических переходов:

Разрешены переходы

Переход запрещен.

Правила отбора по четности:

При разрешенных переходах четность меняется,

(Это обстоятельство связано с тем фактом, что электрический момент является полярным, а не аксиальным вектором.)

Темы для обсуждения:

1. Правила отбора для электрического квадрупольного, магнитного дипольного и других переходов.

Матричные элементы компонент некоторого вектора выражаются через произведение функций вида на некоторый множитель, зависящий от и от того, какая компонента вектора была взята.

Укажем единственные отличные от нуля матричные элементы компонент некоторого вектора

В различных случаях они следующим образом зависят от квантовых чисел:

Переход

Переход

Переход

Внимание! Не следует забывать, что коэффициенты пропорциональности во всех формулах различны (это отражено знаком Заметим, что во всех трех приведенных случаях сумма

не зависит от магнитного квантового числа Таким образом, от не зависят соответствующие вероятности переходов (в качестве А можно было бы взять вектор электрического момента), и, следовательно, время жизни относительно спонтанного перехода для возбужденных состояний при различных значениях одинаково.