Лекция 8. Атом водорода

В задаче об атоме водорода естественно пренебречь движением ядра; тогда вместо приведенной массы можно взять массу электрона то.

Волновое уравнение. Кулоновская потенциальная энергия электрона в поле ядра имеет вид

где для атома водорода. Запишем в этом случае уравнение (7.7) для радиальной волновой функции:

Введем новые переменные

Уравнение (8.2) тогда приводится к виду

где для берется знак а для знак Выражение в скобках удобно обозначить как

Графический анализ. Поведение изображено на рис. 6. В случае решение имеет при асимптотику вида Ввиду требования конечности волновой функции при мы должны отбросить решение из этого дополнительного требования вытекает, что возможны только дискретные значения

Рис. 6. График функции

В случае решение при поэтому дополнительных условий не требуется и, следовательно, возможны любые значения

Случай (дискретные значения энергии). Уравнение (8.4) в этом случае имеет вид

Будем искать его решение в форме

где неизвестная пока функция, которую надлежит определить. Подставив (8.6) в уравнение (8.5), имеем:

Это уравнение имеет два решения, причем их асимптотика следующая:

Второму при соответствует этом случае нормировка расходится в начале координат при и такое решение неприемлемо. Решения этого типа при также должны

быть отброшены, ибо в этом случае содержит в начале координат сингулярность типа

(Потенциальная энергия не имеет такой сингулярности!)

Итак, берем Решение уравнения (8.7) имеет вид

После подстановки его в уравнение (8.7) получим рекуррентную формулу для коэффициентов разложения (8.8):

В общем случае (8.8) представляет собой бесконечный ряд, слишком быстро расходящийся на бесконечности: т. е. при При этом функция ненормируема ни при каких значениях А, кроме

где целое число. В этом случае бесконечный ряд вырождается в полином. Из (8.10) и (8.3) находим:

или в случае собственно водородного атома

где

Решение волнового уравнения выражается через полиномы Лагерра.

Полиномы Лагерра. Полином порядка задается общей дифференциальной формулой

Например,

Дифференциальное уравнение Лагерра. Обозначим тогда (8.12) запишется как

Очевидно соотношение дифференцируя его к раз, получаем уравнение

Но, согласно определению (8.12а), подстановка в наше уравнение дает:

Это и есть дифференциальное уравнение Лагерра.

Нормировка. Производная порядка от формы (8.12) равна

Дифференцируя раз уравнение (8.14), получаем уравнение второго порядка для функции (8.15):

Отсюда следует правило нормировки таких функций:

Итак, решение радиального уравнения (7.7) найдено. Вернемся теперь к задаче об атоме водорода.

Нормированные собственные функции. Полученное решение выражается через шаровые функции и полиномы Лагерра. Частное решение имеет вид

где

(массу ядра при этом считают бесконечно большой). Выпишем в явном виде несколько собственных функций:

Замечание. Функции -волны (состояния с единственные, для которых Для них

Полезно обсудить качественно спектр водорода и водородоподобных ядер (рис. 7) и характер вырождения энергетических уровней.

Рис. 7. Дискретный и непрерывный спектры атома водорода

Каждое состояние атома, характеризуемое определенными значениями энергии и момента, помечают индексами . В общем случае каждому уровню с фиксированным главным квантовым числом соответствует состояний, различающихся квантовыми числами Такое вырождение характерно лишь для случая кулоновского поля.

Каждое состояние с определенным I вырождено раз, так как ему соответствуют различные значения магнитного квантового числа . Таким образом, общая кратность вырождения стационарного состояния с данным квантовым числом равна

Модифицированный кулоновский потенциал. Рассмотрим случай «модифицированного» кулоновского потенциала, имеющего вид

Уравнение для радиальной волновой функции соответствующее уравнению (8.5), при потенциале (8.22) имеет вид

Если ввести обозначение

то это уравнение перейдет прямо в (8.5) (но вместо целого числа I здесь фигурирует, вообще говоря, не целое число Соответствующие

собственные значения определяются величиной

целое). Формула (8.11) записывается при этом следующим образом:

Отсюда ясно, что отклонения формы поля от кулоновской, вообще говоря, снимают вырождение (в рассмотренном случае лишь частично, так как наряду с зависимостью от появляется зависимость энергии от I, но не от то).

Область положительных энергий. Рассмотрим собственные функции водородного атома в области Радиальное уравнение в этом случае имеет вид

и имеет решения

Подстановка (8.25) в уравнение (8.24) дает уравнение для

где использовано обозначение

Решения уравнения (8.26) суть гипергеометрические функции

Определение и свойства их приведены на следующей странице.

Асимптотические выражения для

Для например,

где

Гипергеометрические функции. Первые члены разложения гипергеометрической функции в степенной ряд имеют вид

Определение. В общем случае гипергеометрические функции по определению удовлетворяют уравнению вида

Асимптотика. Если целое число, чисто мнимая величина, то асимптотика записывается следующим образом: