Лекция 15. Эрмитовы матрицы. Задача на собственные значения

Определение. Квадратную -матрицу называют эрмитовой (или самосопряженной), если каждый из ее элементов комплексно сопряжен элементу, симметричному данному относительно главной диагонали; иначе говоря, матрица А эрмитова, если

Отсюда: эрмитова матрица тождественно равна своей эрмитово сопряженной и наоборот (самосопряженность):

Например, все следующие матрицы:

— эрмитовы (самосопряженные). Следует заметить, что

Диагональные элементы эрмитовых матриц есть либо действительные числа, либо нули:

Из предыдущих определений очевидным образом вытекает:

Теорема. Если эрмитовы матрицы и если действительные числа, то комбинация

также есть эрмитова матрица.

Теорема. Если матрица А эрмитова, то возведение ее в любую степень дает эрмитову матрицу:

Доказательство.

Теорема. Если матрица А эрмитова, то

Доказательство.

Теорема. Если матрица А эрмитова, то обратная ей матрица также эрмитова:

Доказательство.

Из этих теорем вытекает следующая

Важная теорема. Пусть вещественная функция вещественной переменной х, такая, что ей можно сопоставить матрицу т.е. определенную функцию от матрицы А в соответствии с (10.18). Тогда если матрица А эрмитова, то и эрмитова:

Доказательство.

В самом деле, разложение функции в ряд содержит лишь действительные коэффициенты и справедливы теоремы (15.5) и (15.4):

Существенны следующие

Два свойства эрмитовых матриц:

Если матрицы эрмитовы, то их произведение в общем случае не является эрмитовым, но симметризованное произведение эрмитово: (15.9)

Доказательство.

Свойство (15.9) позволяет во многих случаях определить матрицу являющуюся функцией двух (или более) матриц, таким образом, что:

Если символ означает действительную функцию своих (15.10) переменных и если матрицы эрмитовы, то

Такую матричную функцию особенно легко определить, если эрмитовы матрицы коммутируют: основанием для этого служит следующая

Теорема. Пусть эрмитовы матрицы и тогда произведение или другие подобные произведения также являются эрмитовыми:

Доказательство.

Записав выражение для последовательно переставляем в нем сомножители, пользуясь условиями, указанными в посылке теоремы, пока не получим равенство Укажем теперь одно важное

Свойство. Определение эрмитовых операторов (11.16) находится в согласии с определением эрмитовых матриц (11.1). Действительно, если то (15.12)

Задача на собственные значения. Рассмотрим вопрос о собственных значениях эрмитовых матриц-операторов. Пусть Тогда задачу на собственные значения можно в операторной форме записать следующим образом:

где а — собственное значение. В матричной форме записи задача формулируется в виде системы уравнений

где коэффициенты щи — элементы матрицы А. Однородная система уравнений (15.136) разрешима, если детерминант ее равен нулю:

(Это детерминант, но не матрица!) Уравнение (15.14) представляет собой алгебраическое уравнение степени для собственного значения а (секулярное уравнение). Вообще говоря, такое уравнение имеет корней (некоторые из них могут совпадать между собой в случае вырождения). Важно, что все корни действительны [доказательство подобно (11.8)].

Следовательно, эрмитова матрица-оператор имеет действительных собственных значений, причем некоторые из них могут совпадать между собой. Собственным значениям соответствуют собственные функции

Теорема. Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны:

Доказательство аналогично доказательству теоремы (11.9).

Теорема. Если все корней секулярного уравнения обладают кратностью 1, то каждому собственному значению соответствует единственная собственная функция (с точностью до постоянного множителя).

Доказательство этой теоремы дается в алгебре детерминантов.

Правило построения Подставим в секулярный детерминант вместо а. Тогда алгебраических дополнений любой строки детерминанта будут пропорциональны компонентам вектора

Задачи.

1. Построить собственные векторы матрицы-оператора

и нормировать их на единицу.

2. Проделать то же самое для матриц

Случай вырождения. Рассмотрим вопрос о вырождении в случае эрмитовых матриц-операторов.

Собственное значение, являющееся решением секулярного уравнения и обладающее кратностью соответствует линейно независимым собственным функциям. Этот вывод следует из алгебры детерминантов. Такие собственные функции могут быть выбраны ортогональными и нормированными на единицу.

Полезно обсудить геометрическую аналогию (с эллипсоидом).

Выберем ортонормированную систему собственных функций

в качестве базиса векторного пространства. Разложим произвольную функцию в ряд по этим собственным функциям:

В результате мы получили уже известное выражение (11.14) или (11.15), «доказав» тем самым соответствующую квазитеорему лекции 11; все остальные квазитеоремы этой лекции могут быть также просто доказаны путем сведения их к простым алгебраическим свойствам матриц.

Построим теперь аналог формулы (11.23) для случая дискретных собственных значений. Положим в (15.21)

где а — фиксированный, переменный индексы:

Следовательно,

Иначе можно записать:

где 1 — единичная -матрица (матрица тождественного преобразования).

Вывод. Матрица-оператор полностью определяется заданием своих собственных векторов и соответствующих собственных значений. Действительно, при этом правая сторона уравнения

определяется однозначно, что и соответствует определению оператора.