Комментарии

К стр. 10. Подставляя равенства в вариацию действия, получим:

Интегрируя первое слагаемое по частям, будем иметь:

Первый член справа обращается в нуль вместе с вариациями на концах отрезка интегрирования. Теперь выражение для вариации действия приобретает вид

В силу произвольности вариаций мы заключаем, что подынтегральное выражение должно быть равно нулю, откуда и имеем уравнение экстремали.

К стр. 15. В классической физике комплексные величины играют роль лишь способа одновременной записи двух независимых решений (что особенно полезно при исследовании линейных дифференциальных уравнений второго порядка с вещественными коэффициентами), причем мнимая единица не позволяет тогда этим решениям смешиваться друг с другом. Напротив, в квантовой механике роль комплексности волновой функции выходит за рамки простого технического приема, так как мнимая единица фигурирует в коэффициентах уравнений [например, тем самым вещественная и мнимая части оказываются нетривиальным образом «взаимосвязанными».

К стр. 15. Стационарным состояниям соответствуют определенные значения энергии системы. Прочие состояния можно представить как суперпозицию (смесь) различных стационарных состояний. В последнем случае волновая функция будет линейной комбинацией волновых функций стационарных состояний.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний называют также уравнением, не зависящим от времени, и хотя фактически время должно входить в его решение в форме (2.2), соответствующая экспонента часто не пишется.

К стр. Уравнение (2.7) — типичное уравнение непрерывности, аналогичное дифференциальному закону сохранения заряда в электродинамике. В согласии с интерпретацией, предложенной Борном, величину (2.8) следует понимать как отнесенную к единице объема вероятность найти частицу в окрестности данной точки. Тогда из уравнения (2.7) естественно следует интерпретация вектора (2.9) как плотности потока вероятности. Заметим, что в стационарном состоянии плотность вероятности не зависит от времени (распределение вероятности стационарно).

К стр. 16. Оператор Лапласа (лапласиан)

в сферических координатах имеет вид

Так как точка все время остается на сфере, то достаточно взять угловую часть лапласиана которую мы обозначим через

При этом В этих обозначениях следует записать (2.13).

К стр. Заметим, что ситуация (в смысле вероятности нахождения частицы в разных точках прямоугольной ямы) резко отличается от аналогичной ситуации в классической механике (мяч, упруго

скачущий между двумя стенками). Полезно для иллюстрации полученных выводов изобразить волновую функцию графически при различных

К стр. 37. Обсуждая атом водорода, Ферми в выражении для потенциальной энергии (8.1) и в последующих формулах употребляет величину так что все полученные им выводы годятся для -кратно ионизованного атома любого элемента заряд ядра, где порядковый номер элемента в периодической системе Менделеева). В частном случае эти выводы относятся к атому водорода.

К стр. 48. Говоря о полноте системы (набора) собственных функций, имеют в виду тот факт, что не существует функции, ортогональной (в смысле Гильберта) всем функциям системы и при этом не равной тождественно нулю.

Коэффициенты разложения в (9.17) имеют следующий физический смысл: квадрат модуля представляет собой относительную вероятность нахождения исследуемой системы в состоянии с энергией

К стр. 59. Существенно, что -функция Дирака (как и ряд других так называемых несобственных функций) не является функцией в обычном смысле, так как не может быть задана никаким обычным методом задания функций (аналитическим, графическим или табличным). Ее определение существенно опирается на операцию интегрирования, т.е. все ее свойства имеют чисто интегральный смысл. Записанные без связи с операциями интегрирования, как это часто делается, они приобретают символический характер.

В квантовой механике -функцию часто используют при нормировке собственных функций непрерывного спектра.

Подробно об аппарате -функции можно прочесть в книге Д. Д. Иваненко и А. А. Соколова «Классическая теория поля», (М., 1960).

К стр. 70. Доказательство формулы (13.6) (по курсу Э. Персико, стр. 110—119).

Возьмем волновую функцию в виде

Тогда центр спектральной линии (в смысле частот) или «центр тяжести» интенсивности можно определить как

где полная интенсивность спектра обозначена через

Полуширину спектральной линии следует определять по формуле, аналогичной формуле средней квадратичной погрешности в теории ошибок:

Совершенно аналогичным образом определим «центр одномерного волнового пакета»

где интеграл

очевидно, совпадает с (2) по определению волновой функции В качестве полуширины пакета возьмем величину, определяемую соотношением

По предположению о существовании пакета волн функция заметно отличается от нуля только внутри некоторой одномерной области и практически равна нулю за ее пределами.

После этих предварительных замечаний покажем, что «более компактному» одномерному волновому пакету должна соответствовать большая ширина спектральной линии, точнее: полуширина пакета и полуширина линии связаны неравенством

играющим весьма важную роль в волновой механике; оно следует из теоремы Фурье и выполняется независимо от конкретного физического смысла входящих в него величин.

Чтобы доказать это утверждение, введем функцию

Раскрывая это выражение, получаем:

Умножим последнее равенство на и проинтегрируем в бесконечных пределах. Заметим при этом, что Используя обозначения (5) и (2), можно записать

Если достаточно быстро стремится к нулю при то второй и четвертый члены обращаются в нуль, так что

Здесь второе слагаемое можно связать с А именно: используя (3) и (7), а также равенство

получаем

Меняя порядок интегрирования, просто найдем

Чтобы освобиться здесь от интегрирования по прежде всего заметим, что с помощью очевидного равенства

выражение (7) можно переписать в виде

дважды продифференцировав это равенство, получим

Подстановка полученного выражения в (9) дает:

Таким образом, здесь получается интеграл, уже знакомый нам по соотношению (8), которое теперь можно переписать в виде

Отсюда на основании неравенства следует соотношение (6). Произведение принимает минимальное значение при иначе говоря, при выполнении условия

Интегрируя последнее равенство, получаем:

или

(синусоида, модулированная кривой типа Гаусса с максимумом при

Интересно (и вполне закономерно), что фурье-амплитуда имеет при этом форму, аналогичную причем вместо в ней фигурируют, конечно,

Доказательство равенства (6) можно без труда распространить на случай трехмерной области. Учитывая, что получаем соотношение (13.6), что и требовалось доказать.

К стр. 77. При определении детерминантов удобно использовать символ Леви-Чивита - полностью антисимметричный аксиальный тензор ранга (валентности), совпадающего с размерностью рассматриваемого пространства, т. е. в данном случае с порядком матрицы, причем Тогда

или

Отсюда нетрудно получить алгебраическое дополнение к элементу матрицы А (т.е. взяв просто

Эти формулы позволяют автоматически получать ряд важных соотношений, используемых в «Конспектах».

К стр. 77. Элементы единичной матрицы можно записать в виде

Введенный таким образом тензор второго ранга носит название дельта-символа Кронекера. Его можно назвать «оператором замены индекса при суммировании» (в самом деле, точно так же, как -функцию Дирака — «оператором замены аргумента при интегрировании» [см. формулы (11.21)]. Более того, переходя от матрицы (14.29) к бесконечномерной матрице и тем самым к гильбертову пространству функций, мы непосредственно получим -функцию в матричной записи, причем сама единичная матрица переходит при этом в

матрицу -функции, умноженную на элемент объема соответствующего пространства.

К стр. 112. Векторное произведение двух векторов (операторов) удобно представить в форме и учесть соотношение трехмерный символ Леви-Чивита; по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1 до 3).

К стр. 115. Полезно заметить, что в релятивистской механике энергия представляет собой четвертую компоненту четырехмерного вектора импульса; ее сохранение следует из свойств однородности (симметрии по отношению к трансляциям) времени. Важно, что и структура сохраняющихся величин может быть получена при рассмотрении соответствующих свойств симметрии.

К стр. 117. Группой называется совокупность элементов произвольной природы, для которых определена групповая операция («умножение») и которые удовлетворяют следующим условиям:

1) Результат «умножения» двух элементов группы является также элементом этой группы: если то

2) Среди элементов группы должен быть единичный элемент Каждому элементу группы соответствует обратный ему элемент, содержащийся в этой же группе

4) Групповая операция подчиняется ассоциативному закону:

Заметим, что, вообще говоря, групповая операция некоммутативна, т. е.

Важным примером группы является совокупность всех неособенных квадратных -матриц; из них группу же образуют все унитарные матрицы (подгруппа предыдущей). Если между всеми элементами некоторой данной группы и соответствующими элементами группы унитарных -матриц можно установить однозначное соответствие, то исследование исходной группы сводится к исследованию группы унитарных матриц, и последняя называется представлением первой.

Теория групп широко используется в теоретической физике, особенно в квантовой механике и в теории элементарных частиц. Прежде всего, как мы сейчас видели, симметрия относительно групп преобразований связана с законом сохранения физических величин. Эти законы сохранения в их групповой интерпретации полезны при классификации элементарных частиц и их взаимодействий. Естественно, что и в квантовой механике состояния систем удобно классифицировать на групповой основе (см. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, «Квантовая механика», М., 1963, § 96). Если симметрия, свойственная невозмущенному гамильтониану (в теории возмущений, см. лекции 21-23), нарушается при наложении возмущения, то снятие исходного вырождения уровней можно определить, исходя из поведения возмущающего гамильтониана относительно рассматриваемых групп преобразований.

Наконец, эта же связь законов сохранения с группами преобразований определяет вероятности допустимых квантовых переходов между различными состояниями физических систем, т. е. позволяет просто получать правила отбора и оценивать матричные элементы, соответствующие этим переходам.

Из теории представлений групп следуют, с другой стороны, трансформационные свойства волновых функций, описывающих частицы и системы частиц, и простейшие формы дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять эти функции. Так можно, например, прийти (исходя из группы Лоренца) к уравнению Дирака (другой подход к которому см. в лекции 34) и к спинорам. Этот аспект проблемы, конечно, тесно связан и с законами сохранения; он в равной мере существен в теории квантованных полей и элементарных частиц.

Для изучения этих вопросов читателю следует рекомендовать следующие книги: Б. Л. Ван-дер-Варден «Метод теории групп в квантовой механике» (Ижевск, 1999), Г. Я. Любарский, «Теория групп и ее применение в физике», М., 1957; В. Хейне, «Теория групп в квантовой механике», ИЛ, 1963, и Е. Вигнер, «Теория групп и ее приложения к кванто-вомеханической теории атомных спектров», ИЛ, 1961, где можно найти более полное перечисление соответствующей литературы.

К стр. 124. В задаче многих тел где число тел) количество неизвестных равно (число степеней свободы); однако нетрудно упростить эту задачу, снизив число неизвестных на 3. Именно, переходя к системе центра масс, заметим, что координаты центра масс системы являются циклическими переменными (см. стандартные курсы

классической механики), и их можно отбросить, не нарушая общности рассмотрения. Отсюда следует универсальность использования относительных координат частиц, составляющих рассматриваемую изолированную физическую систему, и практическая предпочтительность системы центра масс.

К стр. 124. Здесь энергия взаимодействия заряженной частицы с кулоновским центром. Таким образом, выражение (21.25) представляет собой гамильтониан одной бесспиновой частицы, движущейся в магнитном и центральном кулоновском полях.

Раскрывая квадрат необходимо иметь в виду, что оператор вообще говоря, не коммутирует с вектором А. Однако при этом стоящую справа величину А в статическом случае можно обратить в нуль с помощью градиентного преобразования, что здесь и используется.

К стр. 136. Несколько замечаний по поводу «правил отбора», характеризующих возможные переходы между различными энергетическими уровнями; вспоминая, что эволюция системы (т.е. изменение -функции во времени) описывается -матрицей (см. лекцию 19), можно без труда заключить, что переход между состояниями возможен, если только . В противном случае переход запрещен. Правила, по которым должны изменяться квантовые числа при разрешенных переходах и называются правилами отбора. Поскольку эволюция системы рассматривается в рамках теории возмущений, в первом порядке достаточно ограничиться членом разложения -матрицы, пропорциональным первой степени гамильтониана Разрешенными будут, таким образом, те переходы, для которых матричные элементы гамильтониана отличны от нуля. На основании гамильтониана (24.1) и свойств ортогональности волновых функций легко найти соответствующие правила отбора:

К стр. 139. Выражение (23.11) для вероятности перехода системы, очевидно, характеризует распределение конечных

энергетических состояний в зависимости от времени . С другой стороны, согласно соотношению неопределенностей Между этими обстоятельствами существует следующая взаимосвязь (которую и предлагает на обсуждение читателю Ферми): границы центрального (соответствующего наименьшим изменениям энергии) максимума функции (23.11) определяются равенством или подобным же образом определяются и границы побочных максимумов вероятности перехода. С ростом времени эти области постепенно суживаются, концентрируясь около исходной энергии что соответствует смыслу соотношения неопределенностей (13.7).

К стр. 139. Так как то на основании формулы (11.22) для фурье-образа функции имеем При подстановке в интеграл (23.20) получим при этом

К стр. 151. В однородном магнитном поле вектор спинового магнитного момента должен, естественно, прецессировать, но в случае неоднородного поля кроме пары сил имеется еще сила, приводящая к поступательному движению. Именно это обстоятельство привело к известным результатам опыта Штерна и Герлаха, правильно интерпретированным Уленбеком и Гаудсмитом (см. курс Д. И. Блохинцева «Основы квантовой механики», М., 1961, стр. 24, 196 и далее).

К стр. 158. Векторная модель. Можно сформулировать простые и удобные правила для определения основных характеристик (квантовых чисел) сложных систем, содержащих несколько электронов. Прежде всего проекции результирующих векторов моментов должны быть кратными причем кроме целых коэффициентов (квантовых чисел), как при сложении орбитальных моментов, в случае участия спиновых моментов электронов возможны также полуцелые числа. Это соответствует дискретным допустимым поворотам векторов моментов

в пространстве. Например, при сложении моментов двух электронов с соответственно получается следующая совокупность возможных результирующих значений и 5. Для каждого из этих состояний по отдельности значения магнитного квантового числа определяются обычным образом. Этот способ нахождения результирующих квантовых чисел можно связать с теорией групп; он значительно проще, чем использование в вычислениях модулей соответствующих векторов [например, и ] с последующим требованием, чтобы взаимная ориентация этих векторов соответствовала целым значениям результирующего I и целым, либо полуцелым, значениям результирующего Вместе с тем оба подхода полностью эквивалентны.

Применяя метод векторной модели, удобно пользоваться наглядными диаграммами [не отражающими, однако, непосредственно реальной ориентации соответствующих векторов в пространстве и даже не учитывающими правильного определения модуля этих векторов (типа На таких вспомогательных диаграммах в качестве длины новых (вспомогательных) векторов принимаются значения проекции соответствующих, реальных физических векторов на выделенную ось. (См., например, книгу Семата «Введение в атомную физику», гл. 6. § 84).

К стр. 160. Здесь Ферми, по-видимому, привлекла наглядность интерпретации «в -состоянии следовательно, -взаимодействие равно нулю». Помня результат строгого расчета он записал Более точный расчет дает и в результате [см., например, формулу (42.21) у Шиффа для

При вообще говоря, получается не нулевое значение если учесть контактное взаимодействие [см. книгу А.А. Соколова, Ю. М. Лоскутова и И.М. Тернова «Квантовая механика» (М., 1962), стр. 338-339, формулы (20.10) и (20.15)]. Однако этот подход все же можно применять при если одновременно так как расходимость типа 1/1 компенсируется тогда линейной зависимостью числителя от I [см. формулы (39.4) и (39.5) у Шиффа].

К стр. 162. Приведенные в этой лекции выводы не являются последовательными с точки зрения полного синтеза релятивистской теории и теории, учитывающей спин электрона. Даже в такой теории учет

спин-орбитального взаимодействия приводит к белее полным результатам, если использовать некоторые простые следствия теории представлений групп (см. лекцию 29), после рассмотрения которых тем не менее полезно оглянуться на выводы этой лекции.

С более детальной теорией эффекта Зеемана можно ознакомиться, например, по учебнику Д. И. Блохинцева.

К стр. 169. В микромире частицы одного «сорта» тождественны не только в том смысле, что их свойства (масса покоя, заряд и пр.) в точности совпадают между собой, но и ввиду принципиальной невозможности проследить эволюцию индивидуальной частицы в системе (вследствие соотношений неопределенности не существует траектории частиц!).

К стр. 184. Полученный вывод очень просто вытекает из теоремы Вигнера (28.15). В самом деле, так как кеты то), взятые в качестве базисных векторов, при различных или то приводят к разным неприводимым представлениям группы поворотов (или, как говорят чаще, но менее точно, вращений), то матричные элементы оператора А, коммутирующего со всеми операторами этой группы, должны быть равны нулю при и

Следующие теоремы и их следствия вытекают из теоремы (28.22).

К стр. 179. Квантовая статистика представляет собой обширный раздел науки. Здесь мы приведем лишь несколько основных понятий и результатов этой теории. Хорошее систематическое изложение квантовой статистики можно найти в монографии А.Я. Хинчина «Математические основания квантовой статистики», М., 1951; вопросы, затронутые в этой части лекций Э. Ферми, у Хинчина излагаются в гл. III, (§§ 3 и 5).

Соответственно свойствам симметрии волновых функций систем частиц следует говорить о статистике Бозе- Эйнштейна (симметричная статистика) и о статистике Ферми-Дирака (антисимметричная статистика). Принцип Паули и дальнейшее обсуждение, приведенное Э. Ферми, достаточно хорошо характеризуют основные утверждения указанных альтернативных статистик. Таким образом, в статистике Бозе-Эйнштейна одинаковые частицы симметричны в отношении занимаемых ими положений (в широком смысле, включая как просто координаты, так и всевозможные внутренние характеристики в совокупности) и не «мешают» друг другу занимать одинаковые физические

состояния. Напротив, в статистике Ферми-Дирака одинаковые частицы в указанном смысле антисимметричны, и действует принцип исключения Паули. Здесь существенно подчеркнуть принципиальную неразличимость рассматриваемых одинаковых частиц. Если же из понятия «неразличимости» исключить хотя бы соображения принципа неопределенности Гейзенберга, то мы пришли бы (в симметричном варианте) к известной из классической теории статистике Больцмана («полная статистика», по терминологии Хинчина). Однако с другой точки зрения можно говорить, что в некотором смысле статистика Больцмана лежит между двумя альтернативными квантовыми статистиками, и по сравнению с ней статистика Бозе-Эйнштейна более благоприятствует накоплению одинаковых частиц в одном и том же физическом состоянии, а статистика Ферми-Дирака соответствует своего рода «расталкиванию».

Для различных статистик характерны различные определения статистических весов состояний физических систем. Именно: каждому конкретному набору чисел заполнения (при данном числе частиц в системе и данной полной энергии) соответствует, вообще говоря, несколько конфигураций. Иначе говоря, каждое состояние должно браться с некоторым статистическим весом, который нетрудно вычислить для каждой конкретной статистики.

В статистике Больцмана (неразличимости нет!) статистический вес состояния, задаваемого конкретными значениями равен

и определяется как число различных способов, с помощью которых можно расставить группу из одинаковых (но различимых) -элементов, распадающуюся на подгруппы из элементов.

В статистике Бозе-Эйнштейна все частицы неразличимы (рассматриваются частицы одного и того же сорта, например фотоны или -мезоны), а волновые функции симметричны по всем частицам. Тогда при попытке переставить частицы (как в статистике Больцмана) мы в противоположность статистике Больцмана вовсе не получим нового состояния системы. Следовательно, в статистике Бозе-Эйнштейна статистический вес любого реализуемого состояния всегда равен единице:

В статистике Ферми-Дирака статистический вес может принимать два значения: 0 и 1. Первое (нуль) — в том случае, когда хотя бы одно число заполнения больше 1; второе (единица) — во всех остальных случаях (когда все числа заполнения равны либо 0, либо 1:

Для знакомства с основами квантовой статистики можно также рекомендовать книгу Э. Ферми, «Молекулы и кристаллы», ИЛ, 1947, ч. III.

К стр. 189. Следует заметить, что пара- и ортосостояния атома гелия в некотором смысле изолированы друг от друга, так как существует запрет перехода от одних к другим (соответствующие матричные элементы в низшем порядке теории обращаются в нуль). Этот запрет, конечно, не абсолютен, и существует возможность интеркомбинаций состояний, характеризуемая, однако, весьма большим временем, так что соответствующие линии в спектре гелия очень слабы (Зоммер-фельд, «Строение атома и спектры», т. II, стр. 529).

К стр. 194. Переходы между пара- и ортосостояниями молекул водорода [как и между пара- и ортогелием (см. лекцию запрещены, так что эти состояния не «смешиваются». Так как полный ядерный спин параводородного атома равен нулю, ему соответствует лишь одна (нулевая) проекция на выделенную ось; в случае ортоводорода возможны три проекции и —1), так как полный ядерный спин в этом случае равен единице. Таким образом, с точки зрения равновероятности статистического распределения по состояниям можно заключить, что в условиях термодинамического равновесия молекулы пара- и ортоводорода представлены в пропорции Это обстоятельство приводит к важным следствиям, отлично подтверждаемым экспериментом. Именно таково, например, соотношение интенсивностей соответствующих линий вращательных спектров молекулярного водорода. Только таким распределением удается объяснить также поведение вращательной теплоемкости газообразного водорода при низких температурах. Эти эффекты представляют собой весьма наглядные макроскопические проявления таких своеобразных квантовых законов, как принцип Паули, запреты переходов и, наконец, наличие спина у протона. Конечно, и здесь существует (весьма малая) вероятность переходов между пара- и ортосостояниями, приводящая к появлению слабых спектральных линий. По этим вопросам и в связи с полосатыми спектрами двухатомных

молекул см. монографию А. Зоммерфельда, «Строение атома и спектры» (т. I, стр. 488 и далее, т. II, стр. 553), а также книгу Э. Ферми, «Молекулы и кристаллы».

К стр. 205. Рассмотренные выше соотношения касаются одно-частичного состояния, хотя нетрудно было бы рассмотреть случай системы частиц. Тогда было бы полезно вновь ввести числа заполнения, с помощью которых удобно дать предварительное определение понятия физического вакуума. В этом смысле вакуумом можно назвать такое состояние, при котором все числа заполнения, соответствующие реальным частицам, равны нулю. Читатель заметит осторожность выражения «реальные частицы»; дело в том, что состояния с отрицательными энергиями не имеют непосредственного физического смысла, и Дирак предложил считать электроны с принципиально ненаблюдаемыми. Говоря о различных значениях чисел заполнения, мы апеллируем уже к теории с переменным числом частиц — к квантовой теории поля (вторичное квантование!), где и дается наиболее полное определение понятия физического вакуума (см., например, Н.Н. Боголюбов и Д.В. Ширков, «Введение в теорию квантованных полей», М., 1957, стр. 75; С. Швебер, «Введение в релятивистскую квантовую теорию поля», ИЛ, 1963, стр. 135, 216, 245, 616).

Если, следуя Дираку, считать ненаблюдаемыми все электроны отрицательных энергий, то, во-первых, устраняется трудность, связанная с принципом минимума энергии. Именно, если бы состояния с были свободны, а с имелось хотя бы одно занятое состояние, то электрон стремился бы перейти оттуда в состояние с причем [см. (34.25)], и мы пришли бы к бессмысленному результату (самоускорению электронов!). Следует заметить, что в классической теории указанная трудность отсутствует, так как между уровнями существует свободный интервал а дискретные скачки энергии в классических системах невозможны. С другой стороны, возможно (затратив соответствующее количество энергии) «вырвать», например, один электрон из состояния с и придать ему положительную энергию, так что он станет наблюдаемым. (Здесь содержится неявное предположение о «косвенной» наблюдаемости и электронов с отрицательной энергией ввиду существования взаимодействия, переводящего их на положительные энергетические уровни.) Одновременно на фоне вакуума появится «дырка», которая будет вести себя во всех отношениях как частица с но

знака заряда, противоположного знаку заряда электрона (см. рис. 32). Электрон и «дырка» могут снова встретиться и электрон вновь попадет на уровень с став тогда ненаблюдаемым (аннигиляция); при этом будет излучен фотон (к тому же не один, а по крайней мере два или три), унося затраченную вначале энергию.

К стр. 215. «Море» ненаблюдаемых электронов Дирака с отрицательной энергией. В нем изображена одна «дырка» — позитрон: в области положительной энергии виден один электрон, вырванный из ненаблюдаемого состояния (пара электрон-позитрон).

К стр. 211. Здесь полезно воспользоваться свойством где -мерный символ Леви-Чивита (см. комментарии к стр. 77 и 112).

К стр. 218. Здесь существенно предположение о независимости матриц Дирака от выбора системы отсчета. Другая формулировка теории Дирака была предложена А. Зоммерфельдом (см. «Строение атома и спектры», т. II, стр. 220 и далее).

К стр. 218. Мы изменили выражение чтобы сохранить форму дальнейших рассуждений автора, однако ниже в аналогичном случае формула, предшествующая (37.32) и последующие формулы оставлены без изменений, так как это не отражается на полученных результатах.

К стр. 227. Последний результат важен для квантовой теории поля и является основой альтернативы «дырочной» интерпретации позитрона. Тогда оказывается, что последовательный учет статистики Ферми-Дирака приводит к положительно определенной энергии электронно-позитронного поля, в то время как знак заряда этого поля становится неопределенным (без учета принципа Паули все было бы наоборот!). Поэтому уже нет необходимости вводить гипотезу о «море» ненаблюдаемых электронов отрицательной энергии.

Лагранжиан свободного электронно-позитронного поля имеет вид

Для учета взаимодействия с электромагнитным полем к нему следует добавить лагранжиан взаимодействия

Варьируя полный интеграл действия, получим уравнение (37.1) и сопряженное ему. Легко проверить, что в силу этих уравнений полный лагранжиан электронно-позитронного поля обращается в нуль.

Последние вопросы, рассмотренные Ферми в его лекциях, чаще излагаются в курсах квантовой теории поля, с которой связано и все их дальнейшее развитие (см. многочисленные курсы и монографии по квантовой электродинамике и квантовой теории поля).