Лекция 35. Электрон Дирака в электромагнитном поле

Введем обозначения:

Взаимодействие электронов и позитронов с электромагнитным полем может быть включено в уравнение Дирака (34.12) или (34.20)-(34.21), если воспользоваться заменой

( полная энергия частицы с зарядом ) или эквивалентно

При этом получаются следующие эквивалентные формы уравнения для электрона в электромагнитном поле:

или

или, наконец,

где гамильтониан есть

Уравнение (35.8) эквивалентно системе четырех уравнений, подобной (34.22):

Введем две двухкомпонентные переменные

и спиновые операторы Паули

Тогда уравнения (35.10) примут вид

Исключим из уравнении (35.13) переменную используя операцию квадрирования:

здесь вектор электрической напряженности. Если теперь принять во внимание, что

то получим окончательно:

где — вектор магнитной индукции. Только левая часть этого уравнения приводит к уравнению Клейна-Гордона; правая дает искомые поправки к нему. Пренебрегая в дальнейшем членами порядка приведем выражение для энергии к виду

где кинетическая энергия. Тогда из второго уравнения (35.13) в наинизшем приближении следует:

Это выражение достаточно точно с точки зрения его подстановки в уравнение (35.14), так как дает в нем порядок Используя равенство

приведем уравнение (35.14) к виду

где приближенный гамильтониан

Первые два члена (35.18) представляют собой классический гамильтониан заряженной частицы, находящейся в электромагнитном поле. Следующий член — не зависящая от спина релятивистская поправка. Интересны, однако, лишь последние два слагаемых; одно из них равно

и имеет смысл энергии взаимодействия спинового магнитного момента электрона

с внешним магнитным полем другое слагаемое

представляет собой энергию взаимодействия спинового магнитного момента электрона с эффективным магнитным полем:

уже автоматически уменьшенную в два раза (поправка Томаса; см. лекцию 26).