Лекция 24. Испускание и поглощение излучения

Здесь будет рассмотрено дипольное излучение, появляющееся уже в первом порядке теории возмущений, когда -матрицу можно считать пропорциональной гамильтониану (см. лекцию 19). Будем предполагать, что на атом действует возмущение в форме электромагнитной волны, описываемое гамильтонианом

где В — амплитуда напряженности возмущающего поля. Пусть в момент атом находится в состоянии и под действием возмущения может перейти на более высокий уровень (рис. 17). Согласно (23.10),

где величина называемая воровской частотой перехода между энергетическими уровнями тип, положительна:

Рис. 17

Заметим, что

Когда частота возмущающей волны приближается к частоте перехода в этом выражении существенно только второе слагаемое. В таком случае (24.2) принимает вид

Вероятность того, что в момент времени атом окажется на энергетическом уровне равна

Здесь обнаруживается интересное обстоятельство: при вероятность перехода достигает максимума; тогда говорят о резонансном вынужденном переходе.

Энергия электромагнитной световой волны равна рассматривая поглощение в случае, когда падающая волна имеет непрерывный спектр в окрестности резонансной частоты следует принять,

Подставив это выражение в (24.3) и интегрируя по о; с учетом тождества получим: циклическая частота, а не телесный угол!). Итак,

В случае изотропного излучения следует ввести объемную плотность энергии тогда (24.5) приобретает вид

(множитель возникает при усреднении по всем возможным направлениям поляризации).

Связь между излучением и поглощением можно было бы вывести методами квантовой электродинамики, однако проще воспользоваться методом коэффициентов Эйнштейна Скорость вынужденного перехода из состояния в состояние

Здесь число атомов в состоянии Естественно предположить, что скорость обратного перехода из состояния в состояние равна

где коэффициент спонтанного (самопроизвольного) перехода, а — коэффициент вынужденного перехода

Рис. 18. На более высокий уровень возможны лишь вынужденные переходы, а на более низкий — как вынужденные, так и спонтанные

Установим связь между коэффициентами и Числа атомов соответственно в состояниях пит равны Из (24.6) следует, что

При термодинамическом равновесии система атомов подчиняется распределению Больцмана, так что

(к — постоянная Больцмана).

По самому смыслу равновесия скорость перехода должна быть равна скорости обратного перехода следовательно,

По формуле Планка

подставляя (24.10) в (24.9), получаем:

Это равенство должно выполняться при любой температуре так что

Отсюда следуют соотношения Эйнштейна

Используя значение коэффициента (24.7) для спонтанных (самопроизвольных) переходов, находим:

где среднее время жизни возбужденного состояния по отношению к спонтанным переходам.

Результат (24.12) можно обобщить на случай системы многих частиц с помощью замены

(суммирование проводится по всем частицам); таким образом,

Итак, поток энергии спонтанного излучения пропорционален квадрату матричного элемента радиус-вектора (для одного электрона) или квадрату электрического момента (24.13) для системы заряженных частиц.

Темы для обсуждения:

1. Границы применимости формулы (24.12) (размеры атома «С А), т.е. длины волны излучения.

2. Квадрупольное излучение (следующее приближение теории возмущений).

Случай центральных сил. Правила отбора. Вспоминая результаты лекции 7, выпишем некоторые тождества для сферических

функций:

Из этих тождеств следует, что в центрально-симметричном поле матричные элементы координат отличны от нуля только тогда, когда

Эти условия называют правилами отбора, они определяют возможность того или иного акта излучения и поглощения и налагают так называемые «запреты» на переходы, не удовлетворяющие условиям (24.17). Исходя из правил (24.17), можно записать следующие выражения для матричных элементов:

Здесь

Из формул (24.18) следует, что

так что скорость перехода из состояния в состояние

Отметим, что как соотношения (24.20), так и скорость перехода в (24.21) не зависят от магнитного квантового числа что проявляется в одинаковой яркости спектральных линий.

Аналогично скорость перехода из состояния в состояние равна

Пример. Время жизни 2р-состояния водорода. Согласно правилам отбора, возможен лишь спонтанный переход в состояние следовательно,

Скорость перехода

здесь — постоянная тонкой структуры, или константа электромагнитного взаимодействия;

Темы для обсуждения:

(см. скан)