Лекция 17. Наблюдаемые

Наблюдаемая есть функция состояния системы.

1. В квантовой механике каждой наблюдаемой ставится в соответствие линейный оператор (также обозначаемый через

Если значения наблюдаемой представляют собой существенно действительные числа, то соответствующий ей оператор эрмитов.

2. Измерение наблюдаемой величины может дать только одно из собственных значений оператора

где собственное значение оператора соответствующая собственная функция оператора

3. Состояние системы описывается функцией (обычно нормируемой на единицу — нормирующий множитель не играет принципиальной роли).

4. Как определить

При измерении находят Отсюда, если собственное значение невырожденное, заключают, что

Если вырожденное собственное значение, то волновая функция равна линейной комбинации всех собственных функций, соответствующих этому значению (вектор принадлежит подпространству При этом уравнение

определяет подпространство

Чтобы определить внутри подпространства, выберем новую наблюдаемую такую, чтобы она коммутировала с

Теорема. Если т. е. если принадлежит подпространству то также принадлежит подпространству т. е. (17.5)

Доказательство.

Рассмотрим как оператор в подпространстве Число соответствующих собственных значений и собственных функций равно числу измерений подпространства задаваемого совместными решениями уравнений

где собственное значение оператора в подпространстве Система уравнений (17.6) определяет под-подпространство Если это под-подпространство имеет только одно измерение, то система (17.6) определяет (с точностью до множителя). В противном случае сводится к под-подпространству. В таком случае вводят в рассмотрение третью наблюдаемую такую, что

Оператор действует в под-под-подпространстве, определяемом системой уравнений

Если это под-под-подпространство обладает лишь одним измерением, то функция определена. Если же нет, то следует продолжать процедуру до тех пор, пока не будет получено одномерное подпространство.

5. Если волновая функция известна, то при измерении наблюдаемой А вероятность получить равна

6. Изменение «вектора состояния» во времени. Пусть оператор гамильтониан (разумеется, эрмитов, поскольку энергия — действительная величина). Тогда уравнение Шредингера с временной частью записывается в виде

таким образом,

Теорема. Величина (т.е. норма волновой функции) есть константа, не зависящая от времени. Тем самым, если волновая функция нормирована в начальный момент времени, то она, также нормирована и в любой другой момент времени.

Доказательство.

отсюда, учитывая (17.9) и (17.10), имеем:

что и требовалось доказать.

7. Имеет место следующее соответствие между классическим гамильтонианом и квантовомеханическим оператором Н:

Если классически то для получения квантовомеханического оператора полной энергии следует заменить

Однако эта операция не всегда дает однозначный результат.

Введенные операторы действуют на функции вида

Каждый из индексов у величины представляет собой сокращенную запись даже сколь угодно большого набора индексов сокращенная запись всех индексов).

8. Переход к матричной записи. Часто удобно преобразовать операторы к матричному виду в ортонормированном базисе, выбрав в качестве базисных векторов собственные функции какого-либо часто используемого оператора, например гамильтониана или невозмущенного гамильтониана. Будем для простоты рассматривать систему, имеющую только одну обобщенную координату и положим

Систему ортонормированных базисных функций запишем как

Унитарная матрица преобразования [см. (16.9)] имеет вид

Матрица вдвойне бесконечна! Действительно, число строк и столбцов бесконечно, причем номера столбцов могут быть дискретными, а могут быть и непрерывными; все значения «номеров» строк обычно образуют бесконечное непрерывное множество. Работая с матрицей (17.14), необходимо быть осторожным в выкладках!

«Вектор-функция» обладает коэффициентами разложения

где

Оператор А переходит в причем

Если А — эрмитов оператор, то

— матричный элемент оператора А между состояниями

В другой записи

Пример. Волновые функции гармонического осциллятора (4.17)

являются собственными функциями оператора (17.18)

После унитарного преобразования (17.14) матрица гамильтониана приводится к диагональному виду

Определим матрицу х и матрицу Из (17.18) и перестановочного соотношения получим:

или (17.20)

Аналогичным образом из перестановочного соотношения

следует, что

Отсюда после очевидных преобразований имеем:

Следовательно, только при

Найдем величину Прежде всего из (17.18), (17.19) и (17.22) имеем:

Отсюда

Учитывая произвольность выбора фазы в рассматриваемых комплексных выражениях, возьмем

Эти результаты удобно изобразить в виде матриц как

Читателю предлагается, исходя из представления (17.24), вновь проверить равенство

Важные линейные комбинации:

здесь неэрмитовы операторы (операторы уничтожения и порождения частиц в квантовой теории поля).

Предлагаем читателю проверить перестановочные соотношения для операторов