Лекция 2. Уравнение Шредингера

Получим основное уравнение квантовой механики — уравнение Шредингера. Выражение для фазовой скорости волны было найдено в предыдущей лекции:

Такая монохроматическая волна удовлетворяет уравнению

частное решение которого имеет вид

здесь по смыслу монохроматичности необходимо брать постоянную частоту

Функция представляет собой произведение двух функций: и, зависящей от пространственных координат, и экспоненты, зависящей только от времени. Подставив решение (2.2) в волновое уравнение получим:

или с учетом (2.1):

Заменяя с помощью соответствия

мы приходим к зависящему от времени уравнению Шредингера,

Перепишем его несколько иначе:

Заметим, что комплексная функция.

В случае решения (2.2) мы имеем уравнение для стационарных состояний

Это уравнение имеет смысл только для состояний с фиксированной энергией

Уравнение непрерывности. Уравнению (2.4) можно сопоставить соответствующее уравнение непрерывности. Для этого запишем уравнение, комплексно сопряженное (2.4):

Умножим (2.4) на на и вычтем из первого второе:

Представляется естественным дать следующее истолкование фигурирующим в уравнении (2.7) величинам:

Нормировка. С точки зрения интерпретации величины (2.8) функцию следует определить так, чтобы

Это в свою очередь приводит к следующим условиям:

а) вблизи сингулярной точки возрастает медленнее, чем

б) на бесконечности стремится к нулю быстрее, чем Исключения из правила будут рассмотрены позднее.

Обобщения. Рассмотрим ряд специальных случаев уравнения Шредингера.

Точка на линии (одномерная задача):

или в стационарном случае [уравнение (2.5)]

Вращение вокруг неподвижной оси (А — момент инерции):

или (стационарный случай) (2.12)

Точка на сфере (или «гантели») с фиксированным центром тяжести:

где угловая часть лапласиана в сферических координатах. Получаем:

или (стационарный случай)

Здесь А — момент инерции (в случае точки

Система материальных точек. Волновая функция берется в виде

или (стационарный случай) (2-15)

Общий случай динамической системы. Для такой системы кинетическая энергия (в обобщенных координатах) записывается в виде

(по одинаковым индексам подразумевается суммирование). Определим матрицу тпгк, обратную матрице то, следующим образом:

где при при Как известно,

где в числителе стоит алгебраическое дополнение элемента а в знаменателе — детерминант матрицы В дальнейшем обозначим

В таких обозначениях запишется как

а элемент объема — как

Уравнение Шредингера в этом случае принимает вид

или (стационарный случай)