Лекция 21. Стационарная теория возмущений. Метод Ритца

Первый шаг теории возмущений — представление оператора Гамильтона системы и форме

где малая, не зависящая явно от времени добавка (возмущение) к невозмущенному оператору Собственные значения и собственные функции невозмущенного гамильтониана определяются из уравнения

где собственные функции гамильтониана (ортонормированные). Из соображений удобства будем писать в дальнейшем

где постоянная А считается малой; этот прием позволит более наглядно разделить уравнения различных приближений, причем в конечном результате Разложим собственные функции и собственные значения полного гамильтониана Я в ряд по степеням А:

тогда уравнение для собственных функций собственных значений полного гамильтониана

примет вид

или

Приравнивая коэффициенты при в соответствующих степенях, получаем систему уравнений

[Уравнение (21.7) совпадает с уравнением (21.2) и тем самым подтверждает

Разложим функции в ряд по собственным функциям и

Штрих в суммах означает, что суммирование ведется по всем значениям кроме значения

Подставив эти разложения в (20.8) и (20.9) и, использовав (21.2) или (21.7), получим:

Матричный элемент возмущающей добавки равен

Найдем добавку первого порядка к энергии этого умножим уравнение (21.11) слева на и, использовав свойство ортогональности системы функций нулевого приближения

получим

Вывод. Член первого порядка теории возмущений для собственных значений энергии равняется среднему значению оператора по функциям невозмущенного состояния.

Далее, умножая (21.11) слева на получим выражения для коэффициентов разложения

отсюда собственные функции первого приближения равны

Аналогичным образом из уравнения (21.12) получим:

Пример 3 (Линейный осциллятор, возмущаемый постоянной силой Возмущение гамильтониана имеет вид

Матричные элементы равны

согласно соотношениям (17.23) записываем:

Итак, в первом порядке теории возмущений поправка для энергии равна нулю:

Во втором порядке

Таким образом, энергии всех состояний уменьшаются по сравнению с невозмущенными значениями на величину

Проведем непосредственную проверку полученного результата. Для этого произведем тождественное преобразование полного гамильтониана:

Этот гамильтониан отличается от невозмущенного лишь смещением положения равновесия (координаты на величину не изменяющим величины энергии, и добавочным постоянным слагаемым представляющим собой уже полученную поправку.

Пример 4 (Эффект Зеемана для частиц со спином нуль). В качестве невозмущенной системы рассматривается заряженная бесспиновая частица, движущаяся в кулоновском центральном поле (см. лекцию 8, где также не учитывался спин электрона). Чтобы учесть в волновом уравнении взаимодействие с внешним магнитным полем, используется обычная замена где А — электромагнитный вектор-потенциал (магнитная индукция При этом полный гамильтониан принимает вид

(Членом, квадратичным по А, в дальнейшем пренебрегаем.)

Коммутатор в статическом случае равен нулю. Пусть вектор индукции магнитного поля В будет параллелен оси так что

Тогда

где, очевидно,

Собственные функции невозмущенного гамильтониана Но, как было установлено в лекции 8, имеют вид

В этом случае расчет по теории возмущений осуществляется тривиально, так как собственные функции (21.28) одновременно являются и собственными функциями гамильтониана (21.27). Получим

так что

Рис. 12. Эффект Зеемана без учета спина электрона при различных значениях орбитального квантового числа I

Из (21.19) видно, что в результате наложения внешнего магнитного поля вырождение по то снимается и энергетические уровни атома водорода расщепляются (это расщепление показано на рис. 12). Напомним, что спин электрона здесь не учитывался.

Темы для обсуждения:

1. Правила отбора и принцип соответствия.

2. Роль констант движения в предельной форме невозмущенных собственных функций, входящих в суммы теории возмущений.

Магнетон Бора. Запишем возмущающий гамильтониан в форме энергии взаимодействия орбитального магнитного момента с внешним

магнитным полем, т. е. подставим в выражение (21.27) в качестве величину

где орбитальный магнитный момент, а орбитальный механический момент, выраженный в единицах действия

Интерпретация. Каждой единице орбитального момента соответствует единица магнитного момента

«Квант» магнитного момента называют магнетоном Бора.

Темы для обсуждения:

1. Доказательство формулы (21.31), исходя из классических представлений о движении электрона по непрерывной орбите.

2. Доказательство формулы (21.31) с помощью представления о плотности тока. Плотность тока как следует из уравнения непрерывности (2.7) и определения (2.9), есть

Кроме того, учтем, что

Отсюда без труда получим:

Метод Ритца. Волновая функция соответствующая уравнению (21.2), аппроксимирует точную функцию с возможной ошибкой первого порядка малости. В стационарной теории возмущений выражение

дает значения энергии с точностью до величин второго порядка. Это обстоятельство служит основанием для приближенного вариационного метода Ритца.

Эскиз практической процедуры: берется пробная волновая функция Вычисляется значение

Приближение по энергии оказывается более точным, чем приближение по волновой функции Изложим это более подробно.

Теорема. Вариационная задача на минимум при условии приводит к уравнению Шредингера.

Доказательство.

Выполняя варьирование, получаем:

или

откуда следует уравнение

т. е. уравнение Шредингера с

Коэффициент А выполняет здесь роль лагранжева неопределенного множителя, обычного для задач на условный экстремум.

Вывод. Решая задачу на экстремум (минимум) (21.37), получаем в качестве минимального значения функционала наименьшее собственное значение энергии; экстремальным же значениям вообще соответствуют все другие собственные значения энергии.

Практическое приложение теоремы (метод Ритца): выберем разумную пробную волновую функцию где подлежащие варьированию (подгоночные) параметры. Вычислив величину

найдем такие значения параметров при которых

Это минимальное значение будет близко к низшему энергетическому уровню, если пробная функция является хорошим приближением к точной собственной функции, соответствующей этому уровню.

Пример. Рассмотрим задачу о гармоническом осцилляторе с точки зрения метода Ритца. Гамильтониан имеет вид

(здесь приняты единицы

Обозначим пробную волновую функцию через и зададим ее в форме «треугольника» с высотой 1 и основанием 2а (рис. 13).

Рис. 13. Вид пробной функции

Здесь всего один варьируемый параметр а. Простые выкладки дают

Минимум «энергии» соответствует значению

это с погрешностью не более 10% (достаточно хорошо для первого приближения!) совпадает с точным наименьшим собственным значением, равным 0,500000.

Темы для обсуждения:

1. Доказать следующее утверждение. Величина даваемая формулой (21.29), удовлетворяет неравенству

где низшее собственное значение энергии рассматриваемой системы.

Указание. Функцию следует разложить по собственным функциям гамильтониана

2. Обсудить практическое применение доказанного утверждения.