Лекция 11. Собственные функции и собственные значения

Задача на собственные значения. Вообще говоря, эта задача заключается в том, чтобы исследовать и решить уравнение вида

где А — линейный оператор, а — число, функция, т.е. найти класс таких функций, действие данного оператора на которые сводится к умножению их на число. Эти функции называют собственными функциями данного оператора.

Обычно функция считается регулярной и однозначной. Типичное ограничение, накладываемое на такую функцию это требование конечности повсюду, в том числе и на бесконечности. В случае ограниченных полей — замкнутых систем (например, на сегменте) — граничное условие есть обращение функции в нуль на границе. Вообще говоря, решения уравнения (11.1) существуют только для специальных значений а, называемых собственными значениями оператора А:

где собственные значения, а соответствующие им собственные функции.

Пример. Не зависящее от времени уравнение Шредингера

приводит к задаче на собственные значения для оператора полной энергии которым соответствуют собственные функции

Вырождение. Собственные значения называются невырожденными, когда каждому из них соответствует (с точностью до постоянного множителя) лишь одна собственная функция . В противном случае собственные значения называются вырожденными (двухкратно, трехкратно и т. д.).

Ортогональность собственных функции. Пусть все собственные значения оператора А в (11.2) (количество совпадающих друг с другом собственных значений характеризует кратность вырождения). Далее, пусть соответствующие собственные функции. Согласно лекции 9, функции образуют ортогональную систему функций для уравнения (11.3), если в качестве А взять оператор полной энергии (гамильтониан) системы.

Определение 1. Скалярным произведением функций называется выражение

[Отметим, что Здесь знак интеграла в зависимости от характера функций означает либо просто интеграл по либо тройной интеграл по либо вообще сумму по всем точкам, в которых определены обе функции.

Определение 2. Функции ортогональны, если

Вопрос. При каких условиях собственные функции уравнения (11.2), соответствующие различным собственным значениям, будут ортогональны между собой?

Ответ. Для этого необходимо и достаточно, чтобы оператор А был эрмитов, именно:

Эрмитовы операторы.

Определение 3. Оператор А называется эрмитовым, если выполняется равенство

Примеры эрмитовых операторов:

(для реализации эрмитовости этих операторов, вообще говоря, необходимы соответствующие граничные условия).

Лемма. Если оператор А эрмитов, то форма вещественна.

Доказательство.

На основании свойства и определения (11.6) имеем

что и требовалось доказать.

Теорема 1. Если оператор А эрмитов, то все его собственные значения действительны.

Доказательство.

Исходим из уравнения обе части которого умножаем слева скалярно на

пользуясь теперь свойством (11.6), получаем:

что и требовалось доказать.

Теорема 2. Если оператор А эрмитов и собственные значения различны, то соответствующие собственные функции взаимно ортогональны.

Доказательство.

Следующие операции очевидны:

Левая часть полученного равенства равна нулю ввиду эрмитовости оператора А (то следовательно,

так что при

что и требовалось доказать.

Квазитеоремы.

Если произведение вещественно для всех функций то оператор А эрмитов [теорема, обратная лемме (11.7)].

Если все произведения равны нулю для всех то оператор А эрмитов [теорема, обратная теореме (11.9)].

Эти теоремы будут разъяснены позднее.

Нормированные ортогональные собственные функции.

Если А — эрмитов оператор, причем

то любая ортогональна любой при

Если же имеет место вырождение то следует применить процедуру, описанную в лекции 9 на стр. 47.

Нормировка. Общий метод нормировки функций состоит в следующем. Каждая функция делится на После того как все поделены, для новых справедливо равенство

Квазитеорема. Разложение «произвольной» функции по собственным функциям содержит в качестве коэффициентов произведения вида

иначе говоря, имеет место тождество

Справедливость этого утверждения будет показана позднее. Если тождество (11.15) верно для всех функций то систему функций (11.12) называют полной системой ортогональных нормированных функций (полной ортонормированной системой).

Полная система ортонормированных функций.

В конце лекции 9 уже говорилось о понятии полноты системы функций; к этому здесь следует добавить лишь соображения ортогональности и нормировки.

Определение. Среднее значение А оператора А относительно функции равно

Пример. Если а функция нормирована на 1, то

Следовательно, статистический вес, использованный при усреднении координаты х, равен

Теорема. Среднее значение эрмитова оператора представляет собой действительное число.

Доказательство следует из соотношений (11.7) и (11.16).

Квазитеорема. Если среднее значение оператора относительно всех функций вещественно, то этот оператор эрмитов.

Справедливость этой теоремы будет показана позднее; она просто следует из свойства (11.15).

Дополнение: «дельта»-функция Дирака. По определению, -функция Дирака обладает следующими свойствами:

когда интервал интегрирования включает точку в противном случае (рис. 8).

Рис. 8. Наглядное представление -функции Дирака. Площадь, ограниченная кривой, равна единице; высота пика бесконечна

Можно определить -функцию Дирака и с помощью предельных переходов

или

Эти определения отражают также свойство четности -функции.

Перечислим некоторые основные свойства -функции. Прежде всего

Взяв теперь производную от обеих частей равенства (11.21) по а, получим другое свойство:

Пользоваться осторожно!

Запишем теперь фурье-разложение -функции:

Нетрудно видеть, что фурье-образ этой функции равен 1. По правилу (11.15) разложим -функцию в ряд по собственным функциям некоторой задачи:

учитывая (11.21), получаем: