4.10. Свойства периодических марковских источников с конечным числом состояний

Неразложимые периодические источники обладают свойством, аналогичным свойству, выраженному равенством (4.104).

Теорема. Если период неразложимого источника с конечным числом состояний, то эти состояния можно разбить на подмножеств так, что переход за один шаг переводит источник из состояния, принадлежащего в состояние из (в состояние из если Пусть целое положительное число и -вероятность того, что источник достигнет состояния из состояния за шагов. Тогда

если принадлежат одному и тому же подмножеству и

если принадлежат разным подмножествам. Числа удовлетворяют системе уравнений

где суммирование ведется всем состояниям подмножества Существование приемлемых решений системы линейных однородных уравнений обосновывается как и в случае равенства (4.105).

В случае периодического источника представляет собой асимптотическое значение условной вероятности того,

что источник, отправляясь из состояния, принадлежащего после одношаговых переходов окажется в состоянии принадлежащем тому же подмножеству. Тогда, если вероятность того, что начальное состояние принадлежит и -целое число, то предельное значение вероятности нахождения источника в состоянии принадлежащем после однсшаговых переходов задается формулами

где

Таким образом, последовательности состояний, принимаемых источником, и последовательности порождаемых им символов, приближаются к состоянию «периодического» статистического равновесия. Если вероятности начальных состояний пропорциональны то вероятности являются с самого начала периодическими функциями от

В случае неразложимых периодических цепей с конечным числом состояний энтропия на букву асимптотически становится периодической функцией от числа ранее порожденных букв. Из выражения (4.118) мы получаем

где задается (4.119), целое и