5.7. Временные функции с ограниченной полосой частот

До сих пор мы рассматривали только каналы с дискретным временем, т. е. каналы, в которых события на входе и выходе происходят в дискретные моменты времени. Между тем многие каналы, представляющие практический интерес, оказываются непрерывными во времени в том смысле, что точки, представляющие в соответствующих пространствах входные и выходные события могут изменяться непрерывно во времени. В предыдущем разделе мы назвали такие каналы каналами с непрерывным временем. Хотя сигналы на входе и выходе каналов с непрерывным временем являются непрерывными (в противоположность дискретным) временными функциями, обычно они подвергаются ограничениям, которые делают их представимыми на любом конечном временном интервале, некоторым дискретным и конечным множеством переменных. Например, спектр напряжения на входе канала электросвязи всегда ограничен конечной полосой частот либо во избежание взаимных помех с другими каналами, либо из-за того, что энергия сигнала вне этой полосы будет сильно ослаблена. Ниже мы увидим, что при надлежащей математической интепретации этих ограничений семейство временных функций, ограниченных полосой частот ширины герц и временным интервалом длины секунд, можно представить независимыми переменными. Такое представление сводит анализ каналов с непрерывным временем к анализу каналов с дискретным временем.

Пусть некоторая функция времени, определенная на временном интервале - полное множество функций, ортонормальных на том же временном интервале, т. е. таких, что

Тогда, при достаточно общих условиях, мы можем написать, что на интервале

где коэффициенты задаются выражениями

Интеграл

есть среднее по времени от Если представляет собой изменение во времени напряжения или тока, то пропорционально энергии, рассеиваемой таким напряжением или током на некотором сопротивлении за время Ввиду этого мы будем считать 5 средней мощностью и

Выберем в качестве ортонормальных функций тригонометрические функции

где есть целое число, а

угловая частота, соответствующая периоду Тогда правая часть равенства (5.115) становится рйдом Фурье. (Использование в качестве ортонормальных функций сумм синусов и косинусов, а не отдельно синусов и косинусов или комплексных экспоненциальных функций позволяет упростить обозначения без введения комплексных временных функций.) Коэффициент представляет собой среднее значение

а коэффициенты задаются соотношением

Сумма двух членов, соответствующих одному и тому же значению а именно

есть компонента частоты Амплитуда этой компоненты равна

и ее вклад в среднюю мощность равен поэтому

Обратим теперь внимание на частотный спектр Чтобы задать частотный спектр, должно быть определено как вне интервала так и внутри него. Для наших целей удобно положить функцию вне этого интервала равной нулю. Тогда функция времени, определенная на более длинном временном интервале, может рассматриваться как сумма различных функций определенных на последовательных интервалах длины это же свойство аддитивности имеет место для преобразований Фурье, рассматриваемых временных функций.

Частотный спектр задается преобразованием Фурье

где (о — угловая частота. В свою очередь есть обратное преобразование Фурье от

Подставляя в выражение (5.124) разложение в ряд Фурье, получаем после перестановки операций суммирования и интегрирования

и с помощью выражения (5.122) получаем:

Первое слагаемое в правой части равенства (5.127) представляет собой спектр прямоугольного импульса амплитуды и ширины Каждое последующее слагаемое является спектром синусоидального импульса частоты с прямоугольной огибающей амплитуды и ширины Иными словами, слагаемые этой суммы являются спектрами синусоидальных компонент задаваемых выражениями (5.122), которые обращаются в нуль вне интервала

Рис. 5.4. Форма спектральных компонент синусоидального импульса частоты и ширины

Спектр прямоугольного импульса амплитуды имеет центр симметрии в точке Спектр каждого синусоидального импульса частоты состоит из двух компонент одинаковой формы с центрами симметрии в точках и (см. рис. 5.4). Каждая из этих спектральных компонент приближенно заключена в полосе частот ширины

между частотами, где интенсивность равна от ее пикового значения. Точнее, в такой полосе заключено 78% энергии каждой компоненты.

Рассмотрим временную функцию такую, что ее коэффициенты отличны от нуля только при где два неотрицательных целых числа. Тогда спектр можно считать заключенным в полосе частот

ширина которой в герцах равна

Временную функцию с этим свойством, называют «частотно-ограниченной», и, по определению, она полностью задается

коэффициентами Фурье

Другими словами, временная функция с полосой, ограниченной в указанном выше смысле, имеет две степени свободы на единицу ширины полосы и на единицу времени.

Согласно данному определению, спектр частотно-ограниченной временной функции ограничен конечной полосой частот лишь приближенно. В действительности, как хорошо известно, временнйя функция не может быть строго ограниченной одновременно и во времени и по частоте. Но с другой стороны, из равенства (5.128) и рис. 5.4 ясно, что сжатость каждой спектральной компоненты, а следовательно, ограничение полосы увеличивается с увеличением . В пределе, когда стремится к бесконечности, спектр частотно-ограниченной временной функции вне полосы частот ширины задаваемой формулами (5.129), полностью исчезает.

К определению и представлению ограниченной во времени и ограниченной по полосе частот временной функции можно подойти также другим путем. Спектр функций определенной на временном интервале от до может быть строго ограничен конечной полосой частот. Можно показать, что если спектр вне полосы равен нулю, то функцию можно представить в виде

где есть целое число,

Поскольку

коэффициенты задаются формулой

т. е. они равны значениям, принимаемым в момент При этом каждый последующий момент времени отстоит от предыдущего на секунды. Таким образом, для однозначного определения временной функции со спектром, ограниченным полосой достаточно иметь ее равноотстоящих отсчетов в секунду.

Рис. 5.5. Ипмульс, используемый для построения временной функции со спектром, ограниченным полосой

Легко проверить, что временные функции в правой части равенства (5.131) образуют множество, ортонормальное на бесконечном временном интервале, и что их обращаются в нуль вне указанной полосы частот.

Слагаемые суммы в равенстве (5.131) можно рассматривать как импульсы, тождественные по форме и различные по амплитуде, возникающие через каждые секунд. Каждый из этих импульсов простирается во времени от до но основная его часть заключена на временном интервале ширины (см. рис. 5.5). Точнее, в этом интервале содержится 78% энергии импульса. Таким образом, если коэффициенты отличны от нуля только для где натуральные числа, то в основном заключена на временном интервале длины

Такая строго ограниченная по полосе частот функция является приближенно ограниченной во времени в том же самом смысле, в каком строго ограниченная во времени функция может быть приближенно ограничена по полосе частот. Сравнение соотношений (5.127) и (5.131) показывает, что характер приближения в этих двух случаях один и тот же.

Разложение (5.131) для строго ограниченной по полосе частот временной функции можно обобщить на случай произвольной полосы частот ширины герц, имеющей своим центром некоторую угловую частоту т. е. на случай временной функции со спектром, отличным от нуля для Можно показать, что, как указывается ниже, при этих условиях можно представить в виде

где и временные функции со спектрами, отличными от нуля только для которые, следовательно, можно разложить в соответствии с формулой (5.131) в ряды

Коэффициенты равны значениям, которые принимают соответственно при Таким образом, мы снова имеем два коэффициента на единицу ширины полосы (в герцах) и на единицу времени. По терминологии, принятой в технике связи, два члена в правой части равенства (5.135) получаются при модуляции с подавлением несущей, когда две квадратные несущие модулируются сигналами и соответственно. В соответствии с известным свойством преобразований Фурье, спектр функции связан со спектрами функций соотношением

Таким образом, если отличны от нуля только при то может быть отлично от нуля только при

Эти результаты, касающиеся строго ограниченных по частоте временных функций, известны как теорема отсчетов. Вывод

равенства (5.131) аналогичен выводу равенства (5.127). Так как, по предположению, спектр вне интервала обращается в нуль, его можно представить рядом Фурье с периодом в -области (а не во временной области). Обратные преобразования Фурье полученных при этом синусоидальных компонент спектра (линейной комбинации для каждого целого являются членами суммы в правой части равенства (5.131). Вывод формулы (5.135) аналогичен, если не считать того, что для представления требуются два отдельных ряда Фурье.

Основной результат, полученный в этом разделе, можно резюмировать в следующем виде.

Теорема. Временную функцию, строго ограниченную по времени и приближенно по полосе частот или строго по полосе частот и приближенно по времени, можно воспроизвести с помощью двух независимых переменных на единицу времени и единицу полосы частот (в герцах). За независимые переменные можно взять в первом случае коэффициенты разложения временной функции в ряд Фурье, а во втором — значения, принимаемые временной функцией или двумя ее квадратурными компонентами в равноотстоящие моменты времени.

Два приводимых ниже представления для ограниченных во времени и для ограниченных по частоте временных функций имеют каждое свои взаимно дополняющиеся преимущества и недостатки. Представление, основанное на строгом ограничении полосы частот, весьма привлекательно с точки зрения наглядности, поскольку оно позволяет рассматривать временную функцию, как дискретную последовательность равномерно сдвинутых импульсов. Однако, с другой стороны, эти импульсы ограничены во времени только приближенно и, строго говоря, простираются во времени от до Представление, основанное на строгом ограничении времени, лучше согласуется с физической реальностью, поскольку сигналы связи часто бывают строго ограниченными по времени и лишь приближенно по частоте. Но, с другой стороны, представление временной функции как суперпозиции синусоидальных импульсов с прямоугольными огибающими не так удобно, поскольку соответствующие независимые переменные, а именно амплитуды синусоидальных импульсов, не могут быть упорядочены во временную последовательность. Мы увидим, однако, что последнее представление обычно более полезно из-за того, что оно более непосредственно связано с спектральными характеристиками временных функций.

Так как временная функция, ограниченная, по крайней мере приближенно, временным интервалом и шириной полосы

может быть определена при помощи независимых переменных, то она может быть представлена точкой в евклидовом пространстве измерений. Обозначим через временную функцию, а через независимые переменные. Удобно нормировать эти переменные так, чтобы средняя мощность временной функции могла быть выражена в виде

В случае представления (5.115) ортонормальные функции нормированы таким образом, что коэффициенты разложения уже удовлетворяют этому требованию. В представлении (5.131) коэффициенты надо разделить на так как энергия каждого члена суммы равна Аналогично коэффициенты в разложении (5.135) должны быть разделены на поскольку отдельные слагаемые этих двух сумм имеют энергии, равные и

Независимые переменные можно рассматривать как декартовы координаты точки, представляющей Тогда, если мы обозначим через и вектор, соединяющий начало координат с этой точкой, то средняя мощность задается выражением

Иначе говоря, средняя Мощность временной функции равна квадрату расстояния соответствующей точки от начала координат -мерного пространства. Аналогично скалярное произведение двух векторов представляющих разные временные функции

равно взаимной корреляции двух временных функций. В остальной части этой главы и в следующих главах мы будем широко пользоваться векторным представлением временных функций.