8.5. Нижние границы для полиномиальной функции распределения

Последняя теорема предыдущего раздела будет использована для вывода нижних границ для функции распределения, определяемой выражением (8.81), и для ее дополнения. С этой целью мы используем метод перекашивания распределений, рассмотренный в разд. 8.2, и примем, что логарифм производящей функции моментов случайной величины и его первая и вторая производные конечны внутри интервала содержащего

Теорема. Функция распределения, определяемая выражением (8.81), случайной величины определяемой выражением (8.80), и ее дополнение удовлетворяет неравенству

где

и

Вспомогательное распределение вероятностей и функции определены в выражениях (8.7), (8.6) и (8.9).

Доказательство. Пусть множество последовательностей для которых

Из выражений (8.18), (8.21) и (8.81) имеем

где композиция последовательности, для которой

и последний множитель в правой части неравенства (8.119) является вероятностью такой композиции, вычисленной относительно перекошенного распределения вероятностей Выберем отрицательное значение параметра для которого

Так как — среднее значение случайной величины относительно распределения вероятностей то теорема, содержащая формулу (8.109) с заменой на устанавливает, что существует совокупность целых чисел для которой

Далее, подстановка левой части неравенства (8. 122) и правой части неравенства (8.123) в неравенство (8.119) дает

что совпадает с частью формулы (8.116), соответствующей Другая часть этой формулы, соответствующая получается аналогичным образом для положительных значений Соотношение (8.117) следует из соотношений (8.36), (8.37) и (8.38). Ч. Т. Д.

Важно заметить, что асимптотика нижних границ в неравенстве (8.116) и верхних границ в соотношениях (8.27) и (8.39) имеет одинаковый характер для больших Следовательно, асимптотика, устанавливаемая коэффициентом в показателе, задаваемом выражением (8.117), является точной асимптотикой

Нижние границы в неравенстве (8. 116) могут быть распространены на случаи, в которых с событиями, образующими последовательности связаны разные распределения вероятностей и разные случайные величины. Верхние границы для двух хвостов распределения вероятностей в этом более общем случае даются при помощи теоремы, содержащей формулы (8.68) и (8.69). Рассмотрим К разных распределений вероятностей и соответствующих случайных величин и обозначим через число событий, подчиненных одному и тому же распределению вероятностей и с которыми связаны одинаковые случайные величины Примем опять, что -логарифм производящей функции моментов случайной величины и его первая и вторая производные по конечны для

Теорема. Пусть есть сумма значений случайных величин, связанных с событиями последовательности Функция распределения случайной величины и ее дополнение удовлетворяют неравенству

где

и

Доказательство. Обозначим через число событий в некоторой последовательности подчиненных распределению вероятностей и равных и через

сумму значений, принимаемых случайными величинами, связанными с событиями, подчиненными одному и тому же распределению вероятностей Используя ту же терминологию, что и в разд. 8.3, из выражений (8.65), (8.66) и (8.67) получаем

где А — множество последовательностей для которых

Перекошенное распределение вероятностей для последовательности задается формулой

Занумеруем значения случайной величины в порядке их возрастания, т. е. так, чтобы

Среднее значение случайной величины по перекошенному распределению вероятностей равно

Тогда теорема, содержащая формулу (8.109), с подстановкой вместо устанавливает, что существует совокупность из целых чисел удовлетворяющих условию

для которых

где

Далее, складывая неравенства (8.138) для 1 получаем нижнюю границу вероятности появления множества последовательностей, композиция которых определяется совокупностью целых чисел

Это неравенство удовлетворяется независимо от того, выберем ли мы для любого совокупность целых чисел, соответствующих верхней или нижней части соотношения (8.138). Однако значение случайной величины зависит от того, какая из двух совокупностей выбрана для каждого Если для всех выбрана верхняя совокупность, то из неравенства (8.139) находим, что

Наоборот, если для всех используется нижняя совокупность целых чисел в выражении (8.138), то из неравенства (8.140) находим, что

Промежуточные значения можно получить, выбирая числа из верхней совокупности для некоторых значений и числа из нижней совокупности для оставшихся значений. Очевидно, последовательные промежуточные значения различаются не более чем на величину определяемую выражением (8.130). Следовательно, мы приходим к выводу, что существует множество целых удовлетворяющих условиям (8.137) и (8.142), для которых

Наконец, нижнюю границу для получим, выбирая отрицательное значение для которого

и пренебрегая в сумме в правой части выражения (8.132) всеми слагаемыми, кроме последовательностей удовлетворяющих условию (8.145). Тогда подстановка вместо нижней границы неравенства (8.145) и вместо -нижней границы неравенства (8.142) дает для

Из этого неравенства немедленно вытекает верхняя часть неравенства (8.125). Нижнюю часть можно получить аналогичным образом для положительных значеннй Соотношение (8.126) следует из соотношения (8.76). Ч. Т. Д.

И снова асимптотический характер нижних границ, данных в выражении (8.125), идентичен асимптотическому характеру соответствующих верхних границ, данных в выражениях (8.68) и (8.69).