7.5. Краткое содержание и выводы

В этой главе мы рассмотрели кодирование сообщений для передачи по двоичному симметричному каналу, т. е. по простейшему каналу, в котором входной сигнал не определяется однозначно по выходному. Для этого канала найдены верхняя и нижняя границы вероятности ошибки, которые могут быть достигнуты. Было показано, что для любой скорости передачи, меньшей, чем пропускная способность канала, обе эти границы убывают экспоненциально с ростом числа символов в канале на сообщение. Для скоростей, больших некоторой критической скорости зависящей от вероятности искажения коэффициенты в показателях степеней, на которые умножается в обеих границах, оказываются равными, так что эти две границы обеспечивают довольно точную оценку возможной вероятности ошибки. Однако величины коэффициентов в показателях в выражениях для этих границ различны для скоростей передачи, меньших чем Используя верхнюю границу, удалось, в частности, сделать вывод, что Для фиксированной скорости передачи, меньшей пропускной способности канала, вероятность ошибки может быть сделана сколь угодно малой.

Затем мы рассмотрели коды с проверкой на четкость, и в частности специальный класс кодов с проверкой на четность, известные как сверточные коды. Сверточные коды представляют особый интерес, поскольку они однозначно определяются двоичными символами, где число символов канала, приходящихся на одно сообщение. Это означает, что кодер и декодер должны обладать сравнительно небольшим объемом памяти для хранения необходимой информации об используемой

схеме кодирования. Для сверточных кодов мы оказались в состоянии доказать, что верхняя граница вероятности ошибки тождественна верхней границе вероятности ошибки, полученной ранее для произвольных двоичных кодов. Следовательно, преимущества сверточных кодов могут быть использованы без заметной потери возможностей передачи.

Не были рассмотрены никакие специфические методы построения двоичных кодов, так как не известна какая-либо операция, гарантирующая вероятность ошибки, меньшую чем верхняя граница, данная в выражении (7.119), для всех значений для которых меньше пропускной способности канала. Различные коды с проверкой на четность, дающие приемлемую вероятность ошибки для значений в ограниченных пределах, рассмотрены в работе [3]. Ввиду отсутствия какого-либо удовлетворительного общего метода кодирования очень существенно, что в силу теоремы, содержащей соотношение (7.89), весьма вероятно, что случайно выбранный сверточный код даст вероятность ошибки, лежащую в окрестности верхней границы (7.119).

Блок-схема сверточного кодера, изображенная на рис. 7.5, ясно показывает, что для любой фиксированной скорости передачи сложность такого кодера возрастает пропорционально числу символов в канале на сообщение. Следовательно, конструирование кодера не приводит к каким-либо серьезным практическим трудностям. С другой стороны, сложность декодера, построенного согласно методу декодирования, описанного в разд. 7.4, будет возрастать примерно экспоненциально с изменением В последние годы были предложены три различных метода декодирования, сложность которых растет лишь немного быстрее, чем линейно, с ростом Первый из них, разработанный Д. М. Возенкрафтом, основан на методе последовательного кодирования сверточного типа. Он рассмотрен в работе [4]. Там же приведены и экспериментальные результаты, полученные моделированием на цифровой электронной машине всего процесса связи. Второй метод, недавно предложенный Галаджером [5], ограничен кодами с проверкой на четность с весьма малыми проверочными множествами. Третий метод, разработанный также весьма недавно У. Питерсоном [3], строго ограничен частным классом кодов с проверкой на четность, которые дают приемлемую вероятность ошибки для значений только в ограниченных областях. В этой книге мы не будем рассматривать указанные методы декодирования, поскольку имеются превосходные изложения их в других публикациях.

Все результаты, представленные в этой главе, включая и относящиеся к сверточным кодам, могут быть легко обобщены

на каналы типа, определяемого формулой (5.23). Некоторые, но не все из них, будут обобщены в гл. 9 на произвольный дискретный постоянный канал.

7.6. Избранная литература

(см. скан)