6.6. Обсуждение результатов

Зависимость верхней границы вероятности ошибки от временного интервала пропускной способности канала С и скорости передачи задаваемая соотношениями (6.90), (6.91) и (6.92), заслуживает детального рассмотрения, поскольку она является типичной для поведения верхних границ и для многих других каналов. Некоторые из таких границ будут получены в следующих главах.

Множитель К в выражении (6.90) медленно убывает с возрастанием и является функцией Показатель в этом соотношении отрицателен при любом а при фиксированных его величина пропорциональна Отсюда следует, что для любого фиксированного вероятность ошибки с возрастанием стремится к нулю несколько быстрее, чем экспоненциально. Другими словами, не существует теоретического предела точности передачи, который может быть достигнут, если только скорость передачи меньше, чем пропускная способность канала С.

График коэффициента а в показателе, задаваемого формулой (6.92), представлен на рис. 6.3 как функция от Легко проверить, что тангенс угла наклона кривой непрерывен в точке т. е. в точке, где меняется вид функциональной зависимости а от

Для а линейно зависит от Продолжение этой прямолинейной части графика рис. 6.3 пересекает ось в

точке Для значение а непрерывно убывает с возрастанием и вместе с производной обращается в нуль для

Вероятность ошибки в основном определяется величиной Таким образом, одна и та же вероятность ошибки может быть получена как при сравнительно большом а и малом так и наоборот. С другой стороны, ясно, что относительно большое значение а влечет за собой относительно малое значение R/C, т. е. относительно неэффективное использование пропускной способности канала.

Рис. 6.3. График коэффициента а как функции R/С.

Обратно, относительно большое значение Т означает, что число сообщений относительно велико. Связь между числом сообщений и скоростью передачи легко исследовать, переписав выражение (6.90) в виде

где число двоичных символов, образующих сообщение. Зависимость от числа различных сообщений и скорости передачи информации выражается соотношением

График зависимости множителя в показателе от приведен на рис. 6.4.

Предположим, что произведение равно 10. Тогда для должно быть равным 10. Это означает, что число сообщений должно быть Соответствующая вероятность ошибки приближенно равна Для того чтобы сделать (что соответствует величина должна возрасти до 2,5. Это значение соответствует на рис. 6.4 значению что означает менее эффективное использование канала. Этот пример показывает, что число сообщений должно

быть довольно большим, для того чтобы была возможной эффективная передача с достаточно малой вероятностью ошибки. Кроме того, для фиксированного канала и фиксированной скорости передачи вероятность ошибки убывает, грубо говоря, экспоненциально с в то время как число сообщений возрастает экспоненциально с так что, грубо говоря, обратно пропорционально вероятности ошибки. Следовательно, эффективная передача с методами кодирования и декодирования, рассмотренными в этом разделе, требует чрезмерно сложного оконечного оборудования.

Рис. 6.4. График коэффициента как функции

В самом деле, кодер должен быть в состоянии порождать любую из различных временных функций, а декодер должен сравнить сигнал на выходе канала с каждым из входных сигналов, чтобы определить, какое сообщение имеет наибольшую апостериорную вероятность.

Всякий раз, когда критерий декодирования требует, чтобы некоторая функция от сигналов на входе и выходе канала, такая, как, например, апостериорная вероятность, была строго оптимизирована, можно ожидать примерно линейного роста сложности процесса декодирования с ростом Чтобы избежать такого линейного роста, строгая аппроксимация должна быть заменена некоторой приближенной оптимизацией порогового типа.

Помимо сложности самой операции декодирования, тот факт, что кодер и декодер должны иметь возможность порождать любой из различных сигналов (декодер должен затем сравнивать эти сигналы с сигналом на выходе канала), представляет серьезные практические трудности. Если сигнал хранится в соответствующем физическом устройстве, то емкость этого устройства должна быть пропорциональна произведению Эти технические трудности можно обойти, применяя входные сигналы, которые порождаются непосредственно, исходя из

двоичного представления передаваемого сообщения. Например, если ортонормальных сигналов предыдущего раздела представляют собой импульсы фиксированной амплитуды и ширины появляющиеся в различных моментов времени

то кодер может состоять просто из генератора импульсов, приводимого в действие соответствующим двоичным счетчиком.

Легко понять, однако, что для того, чтобы любой такой способ кодирования имел практический смысл, сигналы на входе должны быть представлены в виде последовательностей элементарных временных функций, выбранных из конечного (и достаточного малого) алфавита. Другими словами, входное пространство рассматриваемого канала с непрерывным временем должно быть сначала «квантовано» в дискретное пространство, состоящее из конечного числа различных временных функций, заданных, каждая, на некотором элементарном временном интервале Тогда сигналы, соответствующие сообщениям, образуются как последовательности таких временных функций на последовательных элементарных временных интервалах длины Такими элементарными временными функциями могут быть, например, импульсы фиксированной формы и различной амплитуды. Подобное «квантование» пространства сигналов на выходе канала часто оказывается необходимым практически, поскольку операции, выполняемые декодером, настолько сложны, что их лучше всего выполнять с помощью цифровой техники. Например, если входные элементарные временные функции являются импульсами различной амплитуды, а канал типа рассмотренного в предыдущих трех разделах, то усредненные значения выходных сигналов на каждом последовательном временном интервале можно проквантовать на конечное число уровней. Они могут быть положительными и отрицательными, и их число не обязательно равно числу допустимых амплитуд входных импульсов.

Например, если импульсы на входе канала с непрерывным временем и аддитивным стационарным белым гауссовским шумом различаются только полярностью и если декодер учитывает только полярность среднего значения выходного сигнала на каждом элементарном временном интервале, то канал становится двоичным симметричным каналом. Если величина входного импульса, спектральная плотность шума и

то пропускная способность двоичного канала оказывается равной

где С — пропускная способность канала с непрерывным временем.

На основании изложенного выше мы приходим к выводу, что при конструировании надлежащих кодера и декодера практические соображения почти всегда требуют, чтобы в качестве первого шага канал с непрерывным временем был сведен к дискретному каналу. Различные соображения, которые должны быть учтены при выборе дискретного канала, мы здесь не рассматриваем. Наиболее важным из них является, конечно, требование, чтобы пропускная способность этого дискретного канала не была значительно меньше пропускной способности исходного канала. В этой связи необходимо помнить, что если дискретная модель ограничивает входные сигналы на временном интервале То при помощи различных временных функций, то пропускная способность в секунду дискретного канала равна