8.2. Перекос распределений вероятностей

Нас будут интересовать в первую очередь последовательности из статистически независимых событий

где каждое событие любая точка ансамбля А и каждое событие подчинено одному и тому же распределению вероятностей т. е.

Если для каждого из событий случайные величины определены с помощью одной и той же функции, т. е.

то такие случайные величины будут статистически независимы и одинаково распределены, ибо сами события статистически независимы и имеют одинаковое распределение.

Обозначим через произведение ансамблей, образованное всеми возможными последовательностями и через

сумму значений, принимаемых случайными величинами для событий некоторой последовательности Производящую функцию моментов случайной величины определенную на произведении ансамблей можно получить из производящих функций моментов, связанных с отдельными событиями а. Так как случайные величины статистически независимы и одинаково распределены, то последовательное применение выражения (8.12) дает для искомой производящей функции моментов

и для ее логарифма

где определяются выражениями (8.1) и (8.6).

Из соотношений (8.9), (8.10) и (8.18) непосредственно получаем первую и вторую производные по

Эти производные опять представляют собой среднее значение и дисперсию относительно перекошенного распределения вероятностей.

где

определяется выражением (8.7).

Распределение вероятностей случайной величины относительно перекошено по сравнению с ее распределением вероятностей при в том же смысле, в каком распределение вероятностей относительно перекошено по сравнению с ее распределением вероятностей относительно И опять величина перекоса возрастает с возрастанием величины а его направление зависит от знака Этот факт можно использовать следующим образом для оценки хвостов распределения вероятностей относительно

Пусть множество последовательностей для которых где произвольное число. Функция распределения случайной величины относительно есть, по определению,

Аналогично функция распределения той же случайной величины относительно равна

Из выражения (8.21) следует, что дифференциалы этих двух функций распределения связаны соотношением

Если - сумма статистически независимых случайных величин с конечными первым и вторым моментами, то, согласно центральной предельной теореме, ее распределение вероятностей при стремящемся к бесконечности, сходится к гауссовскому. Однако эта сходимость недостаточно быстрая, чтобы привести к асимптотически правильным оценкам истинного распределения вероятностей при отклонениях от среднего, пропорциональных т. е. как раз к тем оценкам, которые нам будут нужны. С другой стороны, для отклонений,

пропорциональных пропорциональных стандартному отклонению, можно получить хорошие оценки. Этот недостаток оценок, основанных просто на центральной предельной теореме, можно обойти с помощью перекашивания распределений вероятностей.

Распределение вероятностей величины относительно как и относительно сходится с ростом к гауссовскому распределению. С другой стороны, разность между средними значениями этих двух распределений равна

т. е. линейно возрастает с при фиксированном значении Иначе говоря, отклонение среднего значения перекошенного распределения от среднего значения неперекошенного распределения возрастает линейно с Итак, поскольку с помощью центральной предельной теоремы можно получить хорошие оценки для перекошенного распределения в окрестности его среднего значения, то соответственно хорошие же оценки можно с помощью равенства (8.25) получить для неперекошенного распределения. В следующих разделах выводятся простые верхняя и нижняя границы функции распределения, определенной выражением (8.23). Более точные оценки даны в работе [1].