5.9. Представление стационарных гауссовских процессов

Ансамбль временных функций называют гауссовским случайным процессом, если совместная плотность распределения вероятностей значений, принимаемых в любое конечное число моментов времени, есть гауссовская плотность. Гауссовский случайный процесс называется стационарным, если эти гауссовские плотности не зависят от выбора начала отсчета времени.

Как известно, -мериая гауссовская плотность распределения вероятностей случайных величин определяется как

где - детерминант ковариаций

алгебраическое дополнение Мы предположили, что среднее значение каждой из случайных величин равно нулю. Этого всегда можно достичь подходящим выбором

начала координат, относительно которого рассматривается каждая случайная величина.

Важным частным случаем формулы (5.166) является случай, когда все ковариации разных величии обращаются в нуль, т. е. когда

При этом детерминант ковариации

где — дисперсия а алгебраическое дополнение равно

В этих условиях соотношение (5.166) сводится к

т. е. сводится к произведению одномерных гауссовских плотностей распределения вероятностей. Следовательно, обращение в нуль ковариаций для каждой пары различных случайных величин означает, что эти гауссовских случайных величин — статистически независимы.

Обращению в нуль ковариаций можно дать полезное геометрическое истолкование. Если рассматривать случайные величины как декартовы координаты точки в -мерном пространстве, то выражение (5.168) означает, что координатные оси совпадают с главными осями квадратичной гиперповерхности, получающейся, когда экспонента в равенстве (5.166) приравнивается постоянной. Соответствующим поворотом декартовой системы координат, т. е. линейным преобразованием переменных, эту систему всегда можно совместить с любой другой декартовой системой координат. Из этого мы заключаем, что для любой заданной -мерной гауссовской плотности распределения вероятностей существует совокупность статистически независимых линейных комбинаций этих случайных величин.

Рассмотрим стационарный гауссовский случайный процесс и обозначим через некоторую реализацию этого процесса. Так как гауссовская плотность распределения вероятностей полностью определяется ковариациями, задаваемыми формулой (5.167), то стационарный гауссовский процесс полностью определяется своей корреляционной функцией

где значения, принимаемые в какие-либо два момента времени их совместная плотность распределения вероятностей. Эта корреляционная функция является обратным преобразованием Фурье спектральной плотности случайного процесса.

Разложим на временном интервале в ряд по ортонормальным функциям

где функции удовлетворяют выражению (5.114), а коэффициенты определяются из выражения

Теорема. Совместная плотность распределения вероятностей случайных величин определяемых равенством гауссовская.

Доказательство. Как хорошо известно, совместная плотность распределения вероятностей независимых линейных комбинаций гауссовских случайных величин является гауссовской. Поскольку линейная функция значений, принимаемых то их совместная плотность распределения вероятностей должна быть гауссовской. Более подробное доказательство этого утверждения см. в работе [3], разд. 8-4. Ч. Т. Д.

Теорема. Случайные величины определяемые формулой (5.174), статистически независимы, если ортонормальные функции удовлетворяют интегральному уравнению

где корреляционная функция, определяемая равенством соответствующие постоянные.

Доказательство. Поскольку рассматриваемые случайные величины, в силу предыдущей теоремы, имеют гауссовское распределение, нам достаточно показать, что их ковариации обращаются в нуль, когда ортонормальные функции удовлетворяют равенству (5.175). Используя соотношения (5.172) и (5. 174), имеем для ковариаций

Далее, подставляя правую часть равенства (5.175) в левую часть равенства (5.176) и принимая во внимание формулу (5.114), получаем

Ч. Т. Д.

Следующие два частных случая являются для нас особенно важными: в первом из них случайный процесс имеет постоянную спектральную плотность, а конечно; во втором случае бесконечно, а спектральная плотность процесса не обязательно постоянна. Две последующие теоремы относятся соответственно к этим двум частным случаям.

Теорема. Если случайный процесс имеет белый спектр, то для любого множества ортонормальных функций случайные величины определяемые равенством (5.174), статистически независимы. Если рассматриваемый случайный процесс имеет нулевое среднее, то каждая из этих случайных величин имеет нулевое среднее и дисперсию, равную

где средняя мощность случайного процесса на единицу ширины полосы (в герцах)

Доказательство. Корреляционная функция случайного процесса с белым спектром является импульсной функцией с амплитудой, равной значению спектральной плотности на нулевой частоте, если эта плотность рассматривается как функция частоты f (измеряемой в герцах) на всем бесконечном интервале Отсюда следует, что амплитуда этой импульсной функции равна и что условие (5.175) удовлетворяется при Наконец, поскольку функции ортонормированы [они удовлетворяют выражению (5.114)], то ковариации для любой пары случайных величин определяются из равенства (5.177). Ч. Т. Д.

Теорема. Коэффициенты Фурье

стационарного гауссовского процесса становятся статистически независимыми, когда стремится к бесконечности. Если этот случайный процесс имеет нулевое среднее, то каждая случайная величина имеет нулевое среднее, а ее дисперсия удовлетворяет соотношению

где

— спектральная плотность случайного процесса, а стремятся к бесконечности, так что их отношение, выражающее частоту в герцах, остается конечным, т. е.

Доказательство. Так как случайные величины имеют гауссовское распределение, то достаточно показать, что ковариация обращается в нуль для каждой пары различных случайных величин и что дисперсия каждой случайной величины удовлетворяет условию (5.180), когда стремятся к бесконечности в соответствии с предположением (5.182).

В условиях теоремы левая часть формулы (5.175) принимает вид

где Здесь были использованы соотношение (5.181) и тот факт, что корреляционная функция является четной функцией . С другой стороны, будучи функцией целого в пределе становится функцией частоты определяемой равенством (5.182). Следовательно, условие (5.175) можно удовлетворить, полагая

Это в свою очередь означает, что в пределе при стремящемся к бесконечности, условие (5.177) удовлетворяется и что дисперсия каждой случайной величины удовлетворяет условию (5.180), когда стремятся к бесконечности в соответствии с формулой (5.182). Ч. Т. Д.