Главная > Теория графов. Алгоритмический подход
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2. Основная задача о максимальном потоке (от s к t)

Рассмотрим граф с пропускными способностями дуг источником и стоком Множество чисел определенных на дугах , называют потоками в дугах,

если выполняются следующие условия:

и

Уравнение (11.1) является уравнением сохранения потока. Оно утверждает, что поток, втекающий в вершину, равен потоку, вытекающему из вершины, за исключением вершин, являющихся источником и стоком (вершин для которых существуют сетевые вытекания и приток величины соответственно. Соотношения (11.2) указывают просто на то, что пропускные способности ограничены для каждой дуги графа Задача состоит в нахождении такого множества потоков по дугам, чтобы величина

была максимальной. Здесь записаны для потоков из вершины и из соответственно.

Алгоритм расстановки пометок, предложенный Фордом и Фалкерсоном [12] для решения этой задачи, основан на следующей теореме (определение понятия разреза см. в гл. 9).

Теорема 1. (Теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе Величина максимального потока из равна величине минимального разреза отделяющего от

Разрез отделяет от если Величиной такого разреза называется сумма пропускных способностей всех дуг начальные вершины которых лежат в а конечные в т.е.

Минимальный разрез это разрез с наименьшим таким значением.

Доказательство. Здесь дано конструктивное доказательство теоремы о максимальном потоке и минимальном разрезе, и используемый метод непосредственно приводит к алгоритму расстановки пометок, излагаемому ниже.

Совершенно очевидно, что максимальный поток из не может быть больше, чем так как всякая цепь, ведущая из в проходит хотя бы через одну дугу данного разреза. Поэтому достаточно установить существование потока с таким значением. Допустим теперь, что поток задается n-мерным вектором и определим разрез рекурсивным применением нижеуказанного шага Начать, полагая

Если кроме того, или то включить в множество и повторять этот шаг до тех пор, пока множество нельзя будет расширять дальше.

Теперь могут возникнуть два случая в зависимости от того, будет ли или

Случай В соответствии с шагом отношение означает следующее: существует такая «неориентированная» цепь, ведущая из вершины в вершину что для каждой дуги используемой цепью в прямом направлении (прямой дуги), Для каждой дуги используемой цепью в обратном направлении, т. е. в направлении от (обратной дуги), (Такая цепь (из дуг), ведущая из будет называться аугменталъной цепью потока.)

Пусть

и

Если теперь величину прибавить к потоку во всех прямых дугах и вычесть во всех обратных дугах цепи, то в результате получится новый допустимый поток, на единиц больший, чем предыдущий. Это очевидно в силу того, что прибавление величины к потоку в прямых дугах не может привести к превышению ни одной из пропускных способностей этих дуг (так как а вычитание из потока в обратных дугах не может сделать поток в этих дугах отрицательным (так как

Используя новый исправленный поток, можно затем повторить шаги и определив новый разрез повторить предыдущие рассуждения.

Случай (т. е. ). В соответствии с шагом Для всех Для всех

Следовательно,

и

т. е. величина потока, а именно

равна величине разреза

Так как в случае (I) поток все время увеличивается по крайней мере на единицу, то при целочисленности всех максимальный поток получим за конечное число шагов — как только возникнет случай Этот поток будет равен тогда величине текущего разреза который, следовательно, должен тогда быть равным минимальному разрезу. Теорема доказана.

Конструктивный метод, использованный при доказательстве теоремы о максимальном потоке и минимальном разрезе, позволяет сразу же получить алгоритм вычисления максимального потока из данной вершины в данную вершину в графе с известными пропускными способностями. Такой алгоритм будет сейчас описан.

Алгоритм начинает работу с произвольного допустимого потока (можно взять и нулевой поток), затем стремятся увеличить величину потока с помощью систематического поиска всех возможных аугментальных цепей потока от Поиск аугментальной цепи осуществляется с помощью расстановки пометок в вершинах графа. Пометки указывают, вдоль каких дуг может быть увеличен поток и на сколько. Как только найдена одна из таких цепей, поток вдоль нее увеличивают до максимального значения, все пометки в вершинах стираются и вновь полученный поток используется в качестве исходного при новой расстановке пометок. Алгоритм заканчивает работу и дает максимальный поток, если нельзя найти ни одну аугментальную цепь. Алгоритм применяется следующим образом.

1
Оглавление
email@scask.ru