Главная > Теория графов. Алгоритмический подход
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2. Некоторые теоремы и оценки, относящиеся к хроматическим числам

В разд. 4 гл. 3 было введено понятие кликового числа графа (как наибольшего числа вершин в полном порожденном подграфе графа и было отмечено, что поскольку между кликами графа и максимальными независимыми множествами дополнительного графа существует взаимно однозначное соответствие, то справедливы равенства

2.1. Нижние оценки для ...

Очевидно, поскольку по крайней мере цветов требуется для раскраски соответствующей клики графа (той самой клики, которая «определяет» кликовое число графа что является

Рис. Граф

нижней оценкой хроматического числа, т. е.

Более того, Зыков [26] доказал, что эта оценка — точная и что разность может быть сколько угодно большой. В действительности Татт [22] показал, что можно построить граф который не содержит даже полного подграфа третьего порядка (т. е. и который будет иметь произвольно большое заданное значение хроматического числа. На рис. 4.2 изображен граф с и

Поскольку число равно мощности наибольшего множества попарно несмежных вершин графа то оно совпадает также с мощностью наибольшего множества вершин в которые могут быть окрашены в один цвет, и, следовательно,

где число вершин графа обозначает наибольшее целое число, не превосходящее числа х.

Если через обозначить хроматическое число дополнения графа то можно записать следующие два неравенства, полученные Нордхаузом и Гаддумом [19]:

и

где означает наименьшее целое число, которое не меньше х. Еще одна нижняя оценка для предложена Геллером [8]:

Майерс и Лин [18] показали, что оценка из (4.1) равномерно мажорирует приведенную выше, и, следовательно, единственное преимущество оценки (4.5) состоит в том, что ее проще вычислять, чем оценку (4.1).

2.2. Верхние оценки для ...

Нижние оценки хроматического числа безусловно более интересны, чем верхние, поскольку (если они достаточно близки к истинному значению) они могут быть использованы в процедуре вычисления включающей дерево поиска. В то же время верхние оценки хроматического числа подобного применения не находят. Тем не менее в литературе приводятся формулы для вычисления верхних оценок хроматического числа; так Бруксом [3] предложена следующая легко вычисляемая оценка:

Другие достаточно точные верхние оценки, также использующие степени вершин графа, можно найти у Уэлша [23] и Вилфа и Секереша [21].

Верхние оценки, связывающие значения и приводятся у Нордхауза и Гаддума [19]:

и

Оценки, даваемые формулами (4.3), (4.4), (4.7) и (4.8), являются наилучшими в том смысле, что можно построить графы, на которых эти оценки достигаются. В большинстве случаев, однако, они столь неточны, что не имеют никакой практической значимости.

2.3. Гипотеза четырех красок

Граф, который можно так изобразить на плоскости, что никакие два его ребра не пересекаются между собой, называется планарным. Планарные графы важны как с теоретической, так и с практической точек зрения и обладают рядом таких свойств, связанных с раскраской, о которых следует упомянуть.

Теорема о пяти красках [13]

Каждый планарный граф можно так раскрасить, используя пять цветов, что любые две смежные вершины будут окрашены в разные цвета, т. е. если планарный граф, то

«Теорема» о четырех красках (недоказанная)

Каждый планарный граф можно так раскрасить, используя 4 цвета, что любые две смежные вершины будут окрашены в разные цвета, т. е. если планарный граф.

Впервые примерно в 1850 г. о гипотезе четырех красок речь шла в беседах Августа де Моргана и его ученика Гутри. Затем о ней говорилось в письме де Моргана сэру Вильяму Рауэну Гамильтону, датированном 23 октября 1852 г. Поскольку тогда довольно быстро нарастал поток «доказательств», «контрдоказательств», гипотез и теорем, относящихся к этой тематике, то накопилась громадная литература по гипотезе четырех красок, и эта «теорема» стала, по-видимому, самой знаменитой нерешенной задачей в математике. Мы не будем здесь подробно обсуждать гипотезу четырех красок и интересующегося ею читателя отсылаем к замечательной работе Оре [2].

1
Оглавление
email@scask.ru