§ 2. УЧЕТ ТЕПЛОТЫ ТОМСОНА В ЭНЕРГЕТИЧЕСКОМ БАЛАНСЕ ТЕРМОЭЛЕМЕНТА

Как следует из (34) и (35), наилучшими для полупроводниковых термоэлементов являются вещества, в которых коэффициент термоэдс постоянен:

а концентрация носителей меняется по закону

В теории, изложенной в гл. I и II, рассмотрены эти идеальные условия, при которых коэффициент Томсона

На практике же, как упоминалось выше, в качестве матерое для ветвей термоэлементов используются обычные

полуметаллы, т. е. вещества, в которых концентрация носителей постоянна, и термоэдс увеличивается с ростом температуры. В этом случае коэффициент Томсона отличен от нуля и выражается следующим образом:

Мы должны теперь учесть влияние теплоты Томсона на тепловой баланс термоэлемента. Это влияние скажется прежде всего на распределении температур вдоль ветвей термоэлемента. До сих пор мы предполагали, что градиент температуры вдоль ветвей термоэлемента постоянен и плотность теплового потока на холодный спай термоэлемента в соответствии с этим выражается формулой

Влияние теплоты Джоуля на распределение температуры учитывалось приближенно; полагалось, что половина ее поступает на горячий спай термоэлемента и половина — на холодный. Для тога чтобы решить задачу более строго, следует найти распределение температуры вдоль ветви термоэлемента с учетом теплоты Джоуля и Томсона и затем — плотность теплового потока по точной формуле:

Направим ось вдоль ветви термоэлемента и совместим начало координат с холодным спаем термоэлемента; тогда (48) примет следующий вид:

Для вычисления согласно (49) нам нужно узнать распре деление температуры вдоль ветви термоэлемента:

При этом по-прежнему не будем учитывать температурную зависимость теплопроводности и электропроводности, заменяя их истинные значения как функции температуры среднимрг значениями в рабочем интервале температур. В термоэлектрогенераторе и электроны, и дырки движутся от горячего спая к холодному; здесь во всем объеме ветви термоэлемента в дополнение к теплоте Джоуля выделяется теплота Томсона; в термоэлектро-холодильниках и электроны, и дырки движутся в обратном направлении, и поэтому теплота Томсона вычитается из теплоту Джоуля. Следовательно, условие стационарности для единицы

объема ветви термоэлемента в рассматриваемом нами случае будет иметь вид

где плотность тока.

Решение дифференциального уравнения (50) при учете граничных условий при при имеет вид

где введены следующие обозначения: Следовательно, согласно (49) и (51), поток тепла на холодный спай

Разлагая экспоненту в выражении (52) в ряд и ограничиваясь в разложении двумя первыми членами, лолучим

Мы, таким образом, доказали, что действительно в первом приближении половина теплоты Джоуля поступает на холодный спай; с помощью (53) можно теперь учесть влияние теплоты Томсона на холодильный коэффициент термоэлемента Выражение (14) для холодопроизводительности термоэлемента с учетом (53) примет следующий вид:

где значение коэффициента термоэдс при температуре Т. Следовательно, выражение (54) может быть переписано так:

где введено обозначение

Покажем, что а равно среднему значению коэффициента термоэдс в интервале температур

Согласно второму соотношению Томсона

Подставляя (57) в (56), получим

С той же степенью точности можно считать электродвижущую силу

Следовательно, выражение (16) для холодильного коэффициента термоэлемента с учетом (58) и (65) примет вид

Выражение (59) - имеет тот же вид, что и (16), с той лишь разницей, что коэффициент термоэдс а, который мы раньше считали не зависящими от температуры, заменен его средним значением в рабочем интервале температур. Следовательно, не повторяя выкладок, которые были приведены выше, мы вправе написать выражение для максимального холодильного коэффициента:

где

Можно также показать, что температурная зависимость электропроводности и теплопроводности может быть в первом приближении учтена заменой в выражении для произведения его средним значением в рабочем интервале температур:

где