5.5. Неразрешимые задачи

В предыдущем разделе мы показали, что многие задачи достижимости и активности эквивалентны, но никакого результата относительно разрешимости этих задач еще не получили. Для того чтобы показать разрешимость, необходимо свести задачу для сетей Петри к задаче с известным решением, а для того, чтобы показать неразрешимость, нужно свести задачу, которая известна как неразрешимая, к задаче для сетей Петри. Первый важный результат такого рода был получен Рабином [26]. Он показал неразрешимость задачи: выполняется ли для двух сетей Петри — с маркировкой с маркировкой Позднее Хэк [114] показал, что неразрешимой является и задача: выполняется ли Доказательство этих утверждений основано на десятой проблеме Гильберта. Гильберт на конференции математиков в 1900 г. поставил 23 проблемы, и та, на которую опирался была десятой в списке.)

Определение 5.9. Дан полином от переменных с целыми коэффициентами; существует ли такой вектор целых что Уравнение называется диофантовым.

В общем оно представляет собой сумму членов:

Рис. 5.8. Сведения, показывающие, что задача равенства (и подмножества) длямножеств достижимости сетей Петри неразрешима.

Диофантовыми уравнениями являются

В 1970 г. Матиясевич доказал, что десятая проблема Гильберта неразрешима [70, 711: не существует общего алгоритма, определяющего, имеет ли произвольное диофантово уравнение корень (набор значений, для которых полином равен нулю). Этот результат служит основой доказательства того, что задача равенства множеств достижимости сетей Петри неразрешима. Стратегия его заключается в построении для диофантова полинома сети Петри, которая (в определенном смысле) вычисляет все значения полинома.

5.5.1. Задача включения графов полиномов

Доказательство неразрешимости задачи равенства состоит из трех частей (рис. 5.8). Сначала десятая проблема Гильберта сводится к задаче включения графов полиномов. Затем задача включения

графов полиномов сводится к задаче подмножества для множеств достижимости сетей Петри. Наконец, задача подмножества для множеств достижимости сетей Петри сводится к задаче равенства множеств достижимости сетей Петри. Это показывает, что десятая проблема Гильберта, известная как неразрешимая, сводится к задаче равенства, которая поэтому также должна быть неразрешимой.

Определение 5.10. Граф диофантова полинома с неотрицательными коэффициентами — это множество

Определение 5.11. Задача включения графов полиномов заключается в определении для двух диофантовых полиномов выполняется ли

Покажем сначала, что десятая проблема Гильберта сводится к задаче включения графов полиномов.

Теорема 5.8. Задача включения графов полиномов неразрешима. Доказательство:

1. Ограничим наше доказательство задачами с неотрицательными решениями. Если -решение для то решение для Следовательно, для определения того, является ли решением произвольного полинома, необходимо только проверить каждый из полиномов, получающихся в результате изменения знака у некоторого подмножества переменных для неотрицательного решения.

2. Аналогично, поскольку тогда и только тогда, когда необходимо рассматривать только полиномы, значения которых неотрицательны.

3. Сейчас можно разбить любой полином на Два полинома, такие, что помещая все члены с положительными коэффициентами в а все члены с отрицательными коэффициентами в Далее, поскольку (по п. 2), имеем, что тогда и только тогда, когда

4. Рассмотрим два графа полиномов:

Теперь тогда и только тогда, когда для всех неотрицательных из следует, что Это справедливо тогда и только тогдакогда не существует таких, что

Но из п. 3 следует, что поэтому а поскольку все величины целые,

что справедливо тогда и только Таким образом, мы убедились в том, что тогда и только тогда, когда не существует таких которых

5. Итак, для определения того, что уравнение имеет решение, необходимо показать только, что не выполняется

5.5.2. Слабое вычисление

Теперь нам необходимо показать, что сети Петри могут (в определенном смысле) вычислять значение полинома Мы осмотрительно ограничили полином до неотрицательных значений полинома, неотрицательных коэффициентов и неотрицательных значений переменных. Это позволяет нам представить значения переменных и значение полинома числом фишек в позициях сети Петри. Общая схема показана на рис. 5.9. Входные значения представляются фишками в для Первоначально фишка помещается также в позицию «действия». Выполнение сети будет закончено помещением фишки в позицию останова. В это время «выходная» позиция будет иметь у фишек, где

Эта сеть Петри слабо вычисляет значение Слабое вычисление означает, что вычисленное значение не будет превышать но может быть любым (неотрицательным) значением, меньшим Слабое вычисление обязательно для сетей Петри вследствие разрешающей природы запусков переходов: сеть Петри нельзя заставить остановиться. При определении графа полинома это особенно учитывалось.

Сейчас мы хотим показать, что можно построить подсеть, слабо вычисляющую функцию умножения (двух чисел). На ее основе мы можем построить составную сеть, которая слабо вычисляет значение каждого члена полинома путем последовательной композиции подсетей умножения. Выход подсети для каждого члена будет

помещаться в выходную позицию для полинома. Таким образом, число фишек в выходной позиции будет суммой выходов для каждого члена.

Подсеть умножения показана на рис. 5.10. Эта сеть слабо вычисляет произведение чисел х и у, представимых фишками в ее входных позициях, помещая множество фишек в свой выход. Действует сеть совсем просто.

Рис. 5.9. Базовая структура сети Петри, слабо вычисляющей значение полинома

Для вычисления произведения х и у сначала запускается переход перемещая одну фишку из Эта фишка разрешает запуск перехода который может теперь копировать у фишек из позиции помещая их в и вкладывая в выходную позицию фишек. Теперь можно запустить возвращая фишку из Это разрешает запуск который копирует у фишек из обратно в Весь этот процесс можно повторить точно х раз, помещая каждый раз в фишек. После этого маркировка становится нулевой и сеть останавливается. Общее число фишек в позиции равно произведению х и у.

Мы описали наилучший случай в том смысле, что число выходных фишек в точности равно Однако фишка в разрешает и переход и переход а переход можно запустить до того, как все у фишек будут скопированы из и добавлены в В этом случае число фишек, помещенных в будет меньше, чем Поскольку можно запустить не более у раз для каждого запуска можно запустить не более х раз, мы можем гарантировать, что число фишек в никогда не превысит но вследствие разрешающей природы запусков переходов мы не можем

Рис. 5.10. (см. скан) Подсеть умножителя. Эта подсеть слабо вычисляет произведение х и у.

гарантировать, что число фишек в будет в точности равно оно может быть меньше. Следовательно, эта сеть Петри слабо вычисляет произведение х и у. Теперь для того, чтобы слабо вычислить член являющийся произведением построим сеть Петри показанного на рис. 5.11 вида. Поскольку каждая подсеть слабо вычисляет произведение двух членов, вся подсеть слабо вычисляет значение члена

Далее на рис. 5.12 показано, как можно слабо вычислять полином Каждая подсеть имеет вид, изображенный на рис. 5.11, и слабо вычисляет значение одного члена полинома. Выходы подсетей для отдельных членов объединяются вместе, давая общее значение суммы.

Теперь для создания конкретных необходимых множеств достижимости вводится несколько управляющих переходов и позиций. Сначала необходимо обеспечить получение произвольного значения для каждой из переменных и запись этого значения в

Рис. 5.11. (см. скан) Сеть Петри, слабо вычисляющая член диофантова уравнения.

Каждый блок в сети имеет вид, изображенный на рис. 5.10.

позиции Для каждой создается переход с пустым входом и выходами в и всякую позицию, являющуюся входом, соответствующим в члене использующем Следовательно, в полиноме мы должны иметь переход с выходами в и во входы в двух членах: использующих будет иметь выходы в и во вход в члене

Эти переходы могут запускаться произвольное число раз, создавая любые значения в Следовательно, для всякого достижима маркировка (выход) Значение может быть достигнуто сначала запуском раз перехода помещая фишек в затем запуском Раз перехода пока не будет запущен раз переход Далее можно выполнить подсеть для каждого члена полинома, в результате чего значение полинома поместится в выходную позицию.

Рис. 5.12. (см. скан) Сеть Петри, слабо вычисляющая путем использования набора подсетей вида, изображенного на рис. 5.11.

Для сведения задачи включения графов полиномов к задаче подмножества выполним следующие шаги. Пусть мы хотим определить для полиномов А и 5, выполняется ли

1. Построим сеть Петли слабо вычисляющую и сеть Петри слабо вычисляющую

2. Если число позиций в этих сетях не равно, добавим позиции в ту сеть, где их меньше с тем, чтобы уравнять число позиций. Эти позиции не имеют начальной маркировки и не связаны с какими-либо переходами в сети.

3. Теперь мы должны устранить влияние всех внутренних позиций на множества достижимости. И в различимо множество из позиций — позиний, соответствующих значениям позиция, соответствующая выходу каждой сети. Все другие позиции являются внутренними, маркировка их

неважна. Однако может оказаться, что для внутренней позиции в и соответствующей позиции существуют неравные маркировки поскольку для всех в

Для того чтобы обойти это препятствие, введем по две новые позиции: в (получая ) и (получая ) В позиции не связаны с переходами и первоначально пуста, имеет одну фишку. Позиция служит позицией «действия». Она получает начальную маркировку, а каждый переход модифицируется с тем, чтобы включать в качестве входа и в качестве выхода. Следовательно, пока фишка остается в сеть может функционировать, как и прежде. Введем в новый переход, переводящий разрешающую фишку из запрещая все переходы и «замораживая» маркировку. Теперь для каждой внутренней позиции введем по два новых перехода.

Один из этих переходов, вводимых для каждой внутренней позиции маркировка которой неважна, имеет в качестве входов позиции а в качестве выхода — только (уменьшая при запуске на 1 маркировку в другой переход в качестве входа имеет а в качестве выхода и (увеличивая при запуске на 1 маркировку в Эти переходы благодаря соответствующей последовательности прибавляющих или убавляющих запусков обеспечивают каждой внутренней позиции возможность иметь произвольную маркировку.

4. Описанная конструкция показана на рис. 5.13. Для двух сетей Петри с начальной маркировкой соответственно, тогда и только тогда, когда имеют следующие множества достижимости:

Рис. 5.13. Сеть Петри, построенная для проверки включения графов полиномов.

Следовательно, если то и, обратно, если

Таким образом, мы показали справедливость следующего. Теорема 5.9. Задача включения графов полиномов сводима к задаче подмножества для множеств достижимости сетей Петри. Доказательство взято из [114, 116].

5.5.3. Задача равенства

Теперь нам осталось только показать, что задача подмножества для множеств достижимости сетей Петри сводится к задаче равенства.

Предположим, что имеются две сети Петри А и 5, и определить, выполняется ли (задача подмножества). Покажем сейчас, что можно определить такие две сети Петри что тогда и только тогда, когда Основой построения доказательства служит тот факт, что тогда и только тогда, когда строятся из общей подсети С. Сеть С представляет множества достижимости для получения их объединения.

Рис. 5.14. (см. скан) Построение сетей Петри из используемое для доказательства сводимости задачи подмножества для множеств достижимости к задаче равенства.

Конструкция иллюстрируется рис. 5.14. Позиции действуют или как позиции сети А, или как позиции сети В. Первоначально они не имеют маркировки. Вводятся две новые позиции гл и служащие позициями действия для сети А и сети В соответственно. Все переходы сети модифицируются с тем, чтобы включать в качестве входа и выхода а все переходы сети В модифицируются с тем, чтобы включать в качестве входа и выхода

Далее вводятся еще одна позиция и два новых перехода, Начальная маркировка всей сети (включая как подсети с общими позициями; позиции переходы определяется одной фишкой в и нулем в остальных. Переход имеет в качестве входа а выход его порождает начальную маркировку сети А плюс фишку в переход в качестве входа также имеет а выход его создает начальную маркировку сети В плюс фишку в Следовательно, если запустится то подсеть А приобретает

свою начальную маркировку, и все ее переходы могут запускаться, как обычно, поскольку в имеется фишка. Подсеть однако, полностью запрещена, поскольку фишки в нет. Если первым запустится то сможет действовать подсеть В, а подсеть А будет запрещена. Тогда множество последовательностей для С — это любая последовательность вида

или любая последовательность вида

Сеть получается из С введением одного нового перехода имеет в качестве входа позицию выход его пуст. Заметим, что может запуститься, только если первым был запущен переход если же первым запустится переход то будет пустой и не сможет запуститься.

Сеть строится из добавлением нового перехода Он в качестве входа имеет позицию выхода не имеет. Переход может запуститься, только если первым был запущен Подчеркнем, что сеть строится из а не (непосредственно) из С. Поэтому имеет и переход и переход

Рассмотрим теперь множества достижимости сетей Петри Множество достижимости С — это все маркировки вида:

Сеть Петри добавляет к этому множеству один новый класс маркировок:

Сеть Петри добавляет еще один класс:

Теперь, если то последний класс в (маркировки вида где включен в последний класс (маркировки вида ), где Поскольку все другие маркировки совпадают, то если Аналогично, если так как для всякой маркировки где должна существовать такая же маркировка в Но все маркировки с имеют вид где поэтому

Таким образом, на основе этой конструкции доказано следующее.

Теорема 5.10. Задача подмножества для множеств достижимости сетей Петри сводима к задаче равенства для множеств достижимости сетей Петри.

Последние три теоремы приводят к следующему результату.

Теорема 5.11. Следующие задачи неразрешимы:

1. Задача включения графов полиномов.

2. Задача подмножества для множеств достижимости сетей Петри.

3. Задача равенства для множеств достижимости сетей Петри.

Эти теоремы и их доказательства принадлежат Хэку [114, 116].