4.3. Слепая дереверберация

Попробуем разделить мультипликативно связанные сигналы. Речь пойдет о помехе в виде повторяющегося сигнала, такая помеха называется реверберационной.

Примем следующую математическую модель реверберационной помехи. Имеется первоначальный сигнал который повторяется через времена с амплитудами

которые могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Эта модель может быть усложнена введением изменения фазы, одинаковой для всех частот спектра Согласно этой модели принимаемый сигнал можно записать в следующем виде:

Выражение (4.3.1) является частным случаем следующего общего соотношения.

где представляет собою отклик некоторого линейного фильтра на импульсное воздействие в виде -функции. В нашем случае, при принятой нами модели сигнала, представляет собою следующую сумму -функций:

Из теории линейных фильтров следует, что спектр представляет собой произведение спектров что можно записать в виде

Здесь под спектром понимается результат комплексного преобразования фурье-функции, являющейся индексом На основании выражения (4.3.3) спектр будет выглядеть как

В формуле (4.3.5) сделано обещанное выше обобщение модели сигнала путем введения фазы задержанного сигнала одинаковой для всех значений .

Проблема состоит в том, чтобы выделить спектр чистого, не искаженного реверберацией сигнала, пользуясь лишь сигналом (4.3.1), не прибегая к другим измерениям (слепая дереверберация). Заметим, что рассмотренный выше способ разделения сигналов после их логарифмирования в данном случае неприменим, так как спектры логарифмов сомножителей (4.3.4) перекрываются.

Покажем, как можно отделить эти сомножители другим способом, основанным на принятой модели реверберации (4.3.1). Из соотношения (4.3.5) следует, что для определения значения частотной характеристики реверберации достаточно определить значения параметров

Прежде всего надо с максимальной точностью определить значения величин задержек сигналов - Эта операция производится путем логарифмирования выражения (4.3.4) с последующим спектральным анализом логарифма. данном случае этим приемом нельзя воспользоваться для разделения сигналов, гак как спектры перекрываются. Однако спектр одного из сомножителей состоит из дискретных составляющих, и этим можно воспользоваться. Логарифмируя модуль (4.3.4), с учетом (4.3.5) получим

Как следует из (4.3.6), в спектре (кепстре) от логарифма модуля спектра принятого сигнала должны наблюдаться спектральные линии на частотах (сачтотах),

равных величинам задержек сигналов. Хотя спектры слагаемых в (4.3.6) не разделяются, дискретный характер спектра (4.3.5) позволяет на фоне другого слагаемого этот спектр увидеть и определить его параметры. Необходимым условием для этого является достаточно большая длина реализации сигнала (4.3.6), подвергающегося спектральному анализу. Таким путем можно с необходимой точностью определить как факт существования дискретных задержек сигнала по наличию соответствующего максимума в спектре (4.3.6), так и времена задержек сигнала по положению этого максимума. При этом могут наблюдаться и ложные максимумы, принадлежащие первому слагаемому (4.3.6). Это выясняется на описываемом ниже этапе обработки сигнала при определении значений коэффициентов.

Значения коэффициентов определяются для каждой задержки в отдельности. С этой целью составляется ряд опорных функций. Поясним этот этап обработки на примере определения одного коэффициента . В качестве опорной берется следующая функция:

где А: - пока произвольное число, а - уже определенная ранее задержка сигнала.

В работе [30] показано, что логарифм спектра (4.3.7) не содержит частот (сач-тот) при условии достаточной малости амплитуд ревеберирующих сигналов и равенства нулю величины определяемой посредством соотношения

Придавая различные комплексные значения коэффициенту к, можно добиться того, что либо обратится в нуль, либо достигнет некоторого минимума по модулю. Таким образом, поочередно для каждой задержки находятся все параметры частотной характеристики реверберации, входящие в (4.3.5).

Определяющим условием применимости рассматриваемого метода является то, что условие малости амплитуд реверберирующих сигналов имеет резкую границу. Следуя [30], получим это определяющего условие численным методом. Используемая математическая модель, ход вычислений и их результат показаны в программе, приведенной на рис. 4.11. Основой для вычисления является выражение (4.3.7) при условии, что 5,, определяемое (4.3.8), равно нулю. При выполнении этого условия кепстр от (4.3.7) не должен содержать сачтоты задержки для которой (4.3.8) обращается в нуль. Моделировалось только одно слагаемое кепстра (4.3.8), которое не содержит спектра сигнала, содержит лишь параметры реверберации, которые задаются таблицами, приведенными в программе рис. 4.11. Спектр той задержки, для которой соотношение (4.3.8) равно нулю, выписан отдельно, а сумма спектров остальных задержек умножена на общий множитель который варьируется в широких пределах. Вычисляется кепстр (4.3.7) на одной сачтоте, соответствующей в зависимости от параметра Полученный результат показан на рис. 4.12. На нем вдоль горизонтали отложено значение параметра а по вертикали в логарифмическом масштабе в децибелах отложено значение кепстра (4.3.7) на одной сачтоте Из рисунка видно, что имеется резкая граница в значениях амплитуд задержек, меньше которой сигнал той сачтоты, для которой выполнено условие действительно отсутствует. То, что эта граница резкая, - весьма существенный факт, свидетельствующий о том, что малости величин задержек достаточно для правильного нахождения амплитуды и фазы задержек предлагаемым нами способом.

(кликните для просмотра скана)

Рис. 4.12. Уровень исключаемой сачтоты в зависимости от амплитуды реверберации

Для устранения реверберационных искажений спектр принятого сигнала следует поделить на частотную характеристику с подставленными в нее найденными параметрами задержанных сигналов, после чего сделать обратное преобразование Фурье. Окончательно убедиться, что задача решена правильно и полностью, можно опять с помощью кепстра. Кепстр восстановленного сигнала не должен содержать интенсивных дискретных компонент.

Метод проверен как в численном, так и в натурном эксперименте. Результат численного эксперимента, проведенного в 4 этапа, показан на рис. 4.13. На первом этапе решается задача численного моделирования экспериментальных данных, которые могут включать не целочисленные значения задержек. По разд. 1 программы видно, что такая задача "в лоб" не решается. Формально в математические формулы программы можно подставлять не только целочисленные значения, но и дробные, так как сигнал моделируется в спектральном виде по формуле (4.3.4). Если все сделать таким образом (что и проделано в программе), то ожидаемого результата не получается. Дробная задержка не может существовать в приготовленном для нее массиве данных. Это редкий случай, когда компьютер не выполняет требуемой команды и не бьет по этому поводу никакой тревоги. Уникальный случай. Программа правильная, в этом можно убедиться, если взять целочисленное значение задержки, программа правильно моделирует сигнал с реверберацией. В следующем разд. 2 программы приводится обходной маневр, позволяющий построить математическую модель сигнала с реверберацией при дробной задержке в первоначальном массиве данных. Реальные данные тоже могут иметь дробную задержку, и этот факт нельзя не учитывать. В программе видно, как это сделано. Взят новый массив данных, который настолько больше первоначального массива, что задержка в нем получается целой. В этом массиве данных никаких проблем с моделированием сигнала не возникает. После этого можно перейти к старому массиву данных путем простого исключения части отсчетных точек. После этой операции мы получаем сигнал с реверберацией при дробной задержке. Дальнейшая работа производится именно с этим сигналом, являющимся математической моделью эксперимента.

В 3-м разделе программы определяются параметры реверберации вслепую, т. е. только по сигналу с реверберацией без привлечения других данных. Сначала определяется величина задержки сигнала. Для этой цели в программе используется кепстр модуля сигнала. Задержка определяется по максимуму кепстра модуля. Если задержек много, то каждой из них соответствует свой максимум. Так могут быть определены все задержки, но в программе участвует только одна. Далее определяется амплитуда задержанного сигнала в единицах основного сигнала с помощью опорной функции (4.3.7). Чтобы построить эту функцию, введена специальная программа, осуществляющая сдвиг данной последовательности вправо на любое число отсчетных точек.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Построение опорной функции для дробной задержки требует дополнения спектра функции нулями, что уже было сделано выше. Далее измеряется величина к, обращающая формулу (4.3.8) в нуль. Эта операция осуществляется тоже с помощью кепстра. Программа повторяет с опорной функцией все те действия, которые совершались с реверберирующим сигналом для определения величины задержки, но до определенного момента. В зависимости от величины к в формуле (4.3.8) значение кепстра определяется на сачтоте задержки. Этот минимум получается при значении к в (4.3.8), равном искомому значению амплитуды сигнала реверберации, выраженной в единицах основного сигнала.

В заключительной части программы производится устранение реверберации с помощью фильтрации сигнала фильтром с найденными значениями параметров.

На рис. 4.14 приведена программа, повторяющая программу, показанную на рис 4.13, за одним исключением, состоящим в методике численного моделирования сигнала с реверберацией. Метод численного моделирования, использованный в программе на рис. 4.13, позволяет моделировать только такие задержки, которые содержат добавки к значениям интервала квантования, выражающиеся формулой в которой - интервал квантования, и - непременно целые числа. В программе, показанной на рис. 4.14, применен принцип моделирования, позволяющий вводить значения задержек, содержащие любые доли интервала квантования. Это сделано (и возможно) для моделирования реверберации путем задания исходного сигнала в виде математического выражения, записанного в программе так, что она позволяет определить значения функции в любых точках этой функции. Заметим, что представление функции в виде ряда Котельникова (1.3.6) дает возможность вводить любые задержки через значения функции в дискретных точках.

Натурный эксперимент проведен по шуму излучателя, буксируемого в глубоком море в условиях многолучевого распространения звука. В этом опыте на основе реализации принятого шума методом, изложенным выше, были определены параметры 7 задержанных сигналов, два из которых оказались с противоположными фазами, а остальные - в фазе с наиболее быстрым и интенсивным сигналом. Амплитуды задержанных сигналов были в пределах 20-30% от амплитуды максимального сигнала. В результате применения фильтра, обратного реверберации, удалось существенно ослабить наблюдаемую интерференционную картину.

Текущий спектр шума излучателя в координатах частота - время представлен на рис. 4.15. На текущем спектре (рис. 4.15, а) видны интерференционные полосы, свидетельствующие о том, что имеется реверберация. На рис. 4.15, б приведен кепстр (логарифм модуля спектра) этого же сигнала (по оси ординат отложено время, а по оси абсцисс - сачтота в пределах от 0 до 100 мс), где четко видны линии, соответствующие временам запаздывания прихода сигналов относительно того, который приходит первым.

Рис. 4.15. Текущий спектр (а) и кепстр (б) сигнала

На рис. 4.16 приведены спектр и кепстр сигнала после операции по его дереверберации. На рис. 4.17 приведены сечения спектров, показанных на рис. 4.15 (до обработки - толстая линия) и рис. 4.16, а (после обработки - тонкая линия).

Рис. 4.16. Текущий спектр (а) и кепстр (б) сигнала после устранения отраженных сигналов

Рис. 4.17. Спектр сигнала, показанный на рис. 4.15, усредненный по времени (толстая линия) и спектр сигнала, показанный на рис. 4.16 (а), усредненный по времени (тонкая линия).

Показанные на вышеупомянутых рисунках результаты подтверждают возможность осуществления слепой дереверберации описанным способом в условиях натурного эксперимента.