Глава 1. СПЕКТР И КЕПСТР

1.1. Ряд и интеграл Фурье

Разложение функций в ряд и интеграл Фурье является основой как линейных, так и нелинейных методов выделения сигналов. Важный аспект для дальнейших исследований - установление связи между тем, что известно о преобразовании Фурье из математики, и тем преобразованием Фурье, которое осуществляется численными методами. Этот вопрос нигде подробно не рассмотрен - в том объеме, который нам необходим для дальнейшего.

Ряд Фурье имеет бесконечное число членов, а при численном счете число членов этого ряда всегда конечно и равно числу дискретных значений задаваемой функции. Почему это так? Нет ли тут какой-либо неточности или приближения? Интеграл Фурье получается путем предельного перехода от ряда Фурье. Такой переход не может быть в точности выполнен численно. Тогда встает вопрос о соответствии результатов численного счета теоретическим формулам, основанным на интеграле Фурье. При численном счете наряду с действительным осуществляется комплексное преобразование Фурье. Откуда оно берется? Цель настоящего раздела книги - ответить на все эти и другие вопросы, которые будут возникать по мере изложения материала. Кроме того, этот раздел важен для выработки и понимания сущности терминологии, без чего немыслимо никакое продвижение и никакое понимание.

Вот пример интересной и важной особенности получения спектра численным методом. Возьмем функцию Применим к ней операцию которая означает численное комплексное преобразование Фурье. Функция, полученная в результате этого преобразования, показана на рис. 1.1. Это модуль спектра в логарифмическом масштабе. По горизонтали отложен аргумент преобразования, называемый частотой, по вертикали отложена интенсивность (дБ). Попробуем объяснить полученный результат, опираясь на известные читателю сведения о преобразовании Фурье. Известно, что фурье-преобразование от периодической функции, какой является косинус, должно иметь так называемый дискретный спектр. Это мы и видим на рис. 1.1. Спектр отличен от нуля всего в двух точках. Положение этих точек на оси без труда может быть объяснено на основе элементарных представлений о преобразовании Фурье.

Теперь слегка изменим заданную функцию. Под знаком косинуса стоит восьмизначное число. Округлим это число до четырех знаков и повторим операцию. Итак, на входе теперь стоит функция От того, что мы округлили значение множителя при аргументе, функция не перестала быть периодической. Согласно тем же элементарным представлениям о преобразовании Фурье она должна иметь спектр той же формы, какая показана на рис. 1.1 с чуточку (не заметным на графике) измененным

расположением максимумов. На самом деле это не так! Спектр косинуса с округленным значением частоты показан на рис. 1.2. Спектр резко изменился. Он уже не дискретен, а представляет собой непрерывную функцию. Почему? Каков смысл полученной непрерывной функции? Откуда взялось магическое число 1,2271846, делающее спектр дискретным? На эти и другие подобные вопросы нам предстоит получить ответы.

Рис. 1.1. Картина спектра функции

Рис. 1.2. Картина спектра функции

Начнем с напоминания известных сведений о ряде и интеграле Фурье, а по мере изложения будем уточнять одно из самых фундаментальных понятий спектрального анализа - понятие частоты.

Ряд Фурье формально математически служит только для представления периодических функций. Функция является периодической, если она при любом удовлетворяет следующему условию:

Здесь к - любое целое число, X- период функции. Частота функции при этом определяется как обратная величина ее периода:

Введем еще и циклическую частоту со:

В условии означает аргумент функции, которому можно придать различный физический смысл. В дальнейшем будем рассматривать в основном функции

пространства или времени и в зависимости от этого под будем понимать либо пространственную, либо временную координату.

Таким образом, мы уже ввели понятие частоты, определили его и дали понятие частоты циклической. Однако этим рассмотрение понятия частоты не заканчивается, а лишь начинается. Например, введенного нами понятия явно недостаточно, чтобы пояснить, что имеется в виду под словами частотная характеристика, фильтр низкой частоты, низкочастотный или высокочастотный сигнал и другие аналогичные часто употребляемые термины. Разберемся в этом подробнее.

Приведем известное классическое выражение для так называемого ряда Фурье, которым можно представлять периодические функции, удовлетворяющие условию (1.1.1):

Здесь

Так выглядит классическое выражение для ряда Фурье. Нашей ближайшей задачей будет являться обобщение понятия ряда Фурье на случай произвольных (практически произвольных) непериодических функций. Такое обобщение приводит к так называемому интегралу Фурье. Для того чтобы подойти к нему, преобразуем выражение для ряда Фурье, ничего не изменяя в нем по сути.

Прежде всего, запишем (1.1.4) в виде

где

В формуле (1.1.7) сделаем еще одно тождественное преобразование. Запишем косинус в виде суммы двух комплексно сопряженных экспонент:

Теперь следует самое важное тождественное преобразование. Изменим знак у к во второй сумме (1.1.10), благодаря чему обе экспоненты в (1.1.10) примут одинаковый вид. Тогда (1.1.10) можно будет записать в виде одной суммы, распространив суммирование в ней не только на положительные, но и на отрицательные числа к. Ряд Фурье будет выглядеть так:

Это еще не окончательное соотношение, необходимое нам. Чтобы его получить, надо вместо ввести следующий комплексный коэффициент Фурье:

Тогда получим следующее окончательное выражение для ряда Фурье:

Формулы (1.1.5), (1.1.12) и (1.1.13) полностью тождественны классическим выражениям (1.1.4), (1.1.5), (1.1.6). Однако мы придали этим выражениям вид, удобный для обобщения этого преобразования на произвольные непериодические функции. Для этого следует произвести всего одно действие, включающее предельный переход. Устремим период нашей функции X к бесконечности. Любая непериодическая функция может рассматриваться как функция с бесконечно большим периодом. При таком переходе сумма (1.1.13) перейдет в интеграл, называющийся интегралом Фурье:

Выражение (1.1.12) как было интегралом, так им и останется, но пределы в этом интеграле будут бесконечными:

Выражение (1.1.5) вообще теряет силу, формально стремясь к нулю. Это учитывается при переходе суммы (1.1.13) к интегралу.

Итак, мы видели, как обобщается выражение для ряда Фурье на случай непериодических функций. Осталось выяснить, как быть с частотой. Обратим внимание на то, что теперь для частоты не годится определение, что частота - это обратная величина периода. Частотой теперь будем называть ту новую переменную со, которая появилась в формулах (1.1.14) и (1.1.15). Слова "частотная зависимость" и другие аналогичные термины означают зависимость функции от .

Пара получившихся интегральных уравнений - (1.1.14) и (1.1.15) - называется преобразованием Фурье. Две функции, связанные этим преобразованием, называют функциями, сопряженными по Фурье. Это преобразование принято обозначать специальным символом. Например, вместо (1.1.14) и (1.1.15) можно написать

Соотношение (1.1.16) принято называть частотным спектром функции Это соотношение, позволяющее получить частотный спектр функции, называется прямым преобразованием Фурье. Оно преобразует заданную функцию в другую функцию - спектр.

Соотношение (1.1.17), позволяющее восстановить функцию по ее частотному спектру, называется обратным преобразованием Фурье.

Преобразования Фурье обобщаются на случай многих переменных. Например, в случае двух переменных преобразование Фурье может быть выполнено по обеим переменным, получается так называемый двумерный спектр. Можно совершить преобразование Фурье только по одной переменной, оставив вторую переменную нетронутой. Это случай зависимости спектра от параметра. Параметром служит переменная, не затронутая преобразованием.

В заключение вернемся еще раз к понятию частоты. В том случае, когда переменная означает пространственную координату, соответствующая ей частота называется пространственной частотой. В случае, если переменная означает время, то соответствующая ей частота называется просто частотой. Понятие временная частота мало употребительно.

Значение преобразования Фурье во многом связано с его интереснейшими математическими свойствами, к обсуждению которых мы переходим.