Глава 2. ФИЛЬТРАЦИЯ ПОМЕХ И ЛОКАЦИЯ НА ПРОСВЕТ

2.1. Устранение узкополосной помехи

Помехой мы условимся называть такой сигнал, который нам не нужен, не интересен, но такой, который своим присутствием затрудняет обнаружение или измерение параметров интересующего нас сигнала. Первое, что при этом мешает, - это отсутствие установившейся терминологии. И то, что интересно, - это сигнал, и то, что мешает, - это тоже сигнал. Такая ситуация с терминами в кепстральном анализе успешно решилась сменой названия второй операции спектрум на кепструм. К сожалению, в проблеме помехоустойчивости такой четкой терминологии нет. Иногда можно вместо слов "мешающий сигнал" употреблять "шум". Так это и делается в тех случаях, когда сигнал помехи широкополосен. В нашем случае помеха представляет собою узкополосный сигнал, к которому термин "шум" применим со слишком большой натяжкой, Чтобы не запутаться в терминологии, условимся тот сигнал, который только мешает, называть просто помехой, стараясь не употреблять к такому сигналу термин "сигнал". Пусть это будет именоваться помехой и только помехой.

Поясним, как возникает такая помеха. Один из самых распространенных путей - это модуляция сильного сигнала слабым. Такая модуляция происходит, когда сильное излучение, распространяющееся в виде волны, испытывает рассеяние на неоднородностях среды, в результате возникают, большей частью, весьма слабые волны иных направлений. Сигналом в данном случае является только рассеянное поле, а вызывающее это рассеяние сильное поле является помехой. Этот пример демонстрирует происхождение помехи и ее роль. Сигнал возникает только благодаря тому, что есть помеха. Нельзя в данном случае бороться с помехой в ее источнике, так как, прекратив излучать помеху, мы полностью потеряем сигнал. В приведенном примере помеха может иметь узкий пространственный спектр, а сигнал может обладать широким пространственным спектром, лежащим как вне, так и в области спектра помехи. Однако, каким бы узким ни был спектр помехи, он может занять весь спектральный диапазон.

Насколько узкополосной может быть помеха? Допустим, что мы можем влиять на спектр помехи. В подавляющем большинстве случаев устранять помеху тем легче и тем эффективнее, чем уже ее спектр. Сделаем помеху такой, чтобы ее спектр занимал всего одну отсчетную точку. Это условие определяет вид помехи однозначно, так как форма спектра однозначно определяет функцию, чей спектр задан. В этом случае помеха имеет вид экспоненты от мнимого аргумента:

где

- величина общего массива данных; - частота, являющаяся непременно целым числом. Это число, как уже отмечалось выше, определяет номер той единственной отсчетной точки спектра, которой принадлежит помеха. С такой помехой очень просто бороться, если она чему-то мешает. Надо просто исключить из рассмотрения одну точку спектра сигнала, приняв значение спектра в этой точке равным нулю. Помеха при этом исчезнет полностью, а спектр сигнала в остальных отсчетных точках останется нетронутым. Такой способ устранения узкополосной помехи является идеальным. Его применению мешают два фактора, один из которых устраним, а другой устранить не удается.

Начнем с первого. Этот устранимый фактор состоит в том, что частота может являться одним, но необязательно целым числом. К чему это приводит, видно из программы, показанной на рис. 2.1, где приведены результаты спектрального представления функций вида (2.1.1) с частотами 450 - целое число и 450,457 - нецелое число. Спектр функции, содержащей целую частоту, занимает всего одну отсчетную точку 450. Более ничего нет. Если эту единственную точку исключить, то от помехи не останется ничего. Иное дело, если частота представлена тоже всего одной цифрой, но эта цифра содержит дробь. Тогда заняты все точки спектра. Исключить такой сигнал путем исключения одной точки невозможно, так как во всех иных точках помеха останется и может мешать обнаружению и измерению слабого сигнала.

Как устранить влияние этого фактора и исключить монохроматическую помеху, если она имеет дробную частоту? Частоту помехи можно изменять путем умножения ее на экспоненту вида (2.1.1), что приводит к смещению всех частот спектра. Таким путем, сместив частоту всего спектра на дробную часть величины помехи, можно привести помеху, содержащую нецелую частоту, к виду, в котором частота целая, и исключить ее.

Для этого сначала надо определить частоту помехи с точностью до целого числа. Это можно сделать при условии, что интенсивная помеха всего одна, на основе спектра помехи по положению максимума спектра. В случае единственного сильного сигнала положение максимума его спектра является несмещенной оценкой его частоты. Дробная часть частоты помехи может быть определена путем подбора такого смещения спектра, в результате которого частота становится целым числом. Такой способ универсален и годится в случае, если помеха не одна, можно поочередно исключить ряд помех. Если же помеха одна, то определение ее частоты и последующее исключение можно осуществить автоматически, ничего не подбирая, посредством следующих операций.

Помеха в сумме с сигналом умножается на комплексно сопряженную экспоненту вида (2.1.1), в которой в качестве частоты/взята частота помехи, определенная с точностью до целого числа. В результате такого умножения получается функция, которую назовем Е. Она по-прежнему имеет вид суммы, основное самое большое по модулю слагаемое которой имеет вид экспоненты (2.1.1) с частотой равной лишь дробной части частоты помехи. Величина этой дробной части определяется по аргументу экспоненты, входящей в Е. Аргумент этой экспоненты меньше единицы, а следовательно, и меньше . Поэтому при вычислении аргумента можно не применять приемов исключения скачков фазы, описанных в разделе 1.6 и в программе, изображенной на рис. 1.8.

(кликните для просмотра скана)

Определив значение дробной части спектра по наклону фазы, можно произвести сдвиг всего спектра на величину этой дробной части в такую сторону, чтобы спектр помехи принял целочисленное значение. После этого помеха исключается. Как конкретно совершаются все эти операции, показано в программе, приведенной на рис. 2.2. Прежде чем переходить к описанию этой программы, сделаем одно замечание. Вычисление аргумента функции Е проводится с целью исключения влияния на результат слагаемого, содержащего сигнал. Функцию Е нельзя непосредственно использовать для сдвига всего спектра на величину дробной части спектра помехи, так как в эту функцию входит сигнал. Нелинейная операция по взятию аргумента исключает влияние слабого сигнала на сдвиг спектра. Это тоже показано в программе.

На рис. 2.2 в качестве примера показана программа, которая автоматически определяет частоту, приводит ее к ближайшему целому числу и убирает помеху.

Первая строчка программы содержит массив данных, диапазонную переменную и ряд параметров. Среди них - безразмерное время и дробное число, определяющее положение помехи среди точек отсчета ее спектра. Далее идет усиление вводимого сигнала. Фактически это не усиление, а ослабление, так как множитель много меньше единицы. Затем приведена частота сигнала.

Анализируемая функция обозначена буквой А. Она представляет собой сумму двух экспонент, одна из которых представляет собою помеху, а вторая - слабый сигнал. Спектр анализируемой функции - его логарифм, нормированный на максимальное значение. На графике, помещенном внизу, показан вид функции В. Дробная частота приводит к тому, что спектр помехи занимает все точки отсчета и с таким уровнем, что сигнала на этом графике не видно совсем. Далее следует программа, автоматически приводящая дробное значение частоты к целому числу путем сдвига всего частотного спектра на величину дробной части частоты помехи. Этому предшествует программа, определяющая дробную часть частоты и состоящая из 4 операций, расположенных в одной строке программы. Строится опорная функция представляющая собой экспоненту целой частоты, которая определяется автоматически по положению максимума спектра А. Программа нахождения этого максимума помещена строчкой выше, она использует встроенную функцию Ф, значения которой равны нулю для отрицательных значений ее аргумента и единице для нуля и всех положительных значений. В данном случае аргументом функции Ф является разность между значениями функции и ее максимумом, разность обращается в нуль только в той точке, в которой ее значение достигает максимума, во всех остальных очках значение аргумента отрицательно. Поэтому функция Ф от аргумента, указанного в программе, равна единице в точке максимума функции, а в иных точках она равна нулю. В программе функция Ф умножается на значение аргумента, поэтому значение Ф, равное в точке максимума единице, умножается на значение, равное координате максимума. Это значение является максимальным, так как во всех остальных точках функция Ф равна нулю. Следующим действием определяется максимум в который входит произведение Ф на координату. Этот максимум представляет собою координату максимума спектра Программа спектрального анализа в пакете Mathcad 6.0 plus устроена так, что наш сигнал попадает во вторую часть спектра, в которой представлены положительные частоты. Поэтому для сопоставления полученного значения координаты максимума спектра с заданной координатой требуется взять разность между полученным значением координаты максимума и длиной всего массива данных что и сделано в программе.

(кликните для просмотра скана)

Итак, мы сформировали опорную функцию частота которой равна ближайшему целому числу к заданной дробной частоте Далее проводится умножение комплексно сопряженной опорной функции на анализируемую. В результате мы получаем функцию в нее входит экспонента от мнимого аргумента, которым является разность аргументов анализируемой и опорной функции, пропорциональная дробной части частоты помехи. С учетом того, что коэффициентом пропорциональности является безразмерное время следующим действием, показанным на рисунке, определяется дробная часть частоты помехи.

За этим следует сдвиг всего спектра на величину дробной части частоты помехи, в результате чего спектр помехи приводится к целому числу. Рядом - операция, в которой для смещения частоты спектра используется комплексно сопряженная функция Эта операция в данной программе не задействована, о чем говорит маленький прямоугольник, стоящий рядом с обозначением соответствующего действия. На рис. 2.3 прямоугольник с этой операции убран, что привело к тому, что эта операция совершается, а против операции смещения спектра такой прямоугольник поставлен. Это означает, что программа, показанная на рис. 2.3, использует функцию для сдвига частоты спектра, во всем остальном эта программа полностью совпадает с программой, показанной на рис. 2.2.

Помеха исключается вычитанием ее из анализируемого сигнала. Для этого определяется значение коэффициента ряда Фурье (по тем же формулам, которые использует пакет Mathcad 6.0 plus для выполнения операции ) на частоте помехи, приведенной к целому числу. Далее, из всей функции вычитается часть, формирующая один член ряда Фурье, который и соответствует помехе. Таким путем из всего спектра анализируемой функции удаляется спектральная составляющая помехи.

Окончательный результат показан на графике (см. рис. 2.2) пунктирной линией. На этом рисунке видна высокая эффективность данного метода. Вывод можно сделать такой: чисто монохроматическая помеха, даже очень интенсивная, не опасна, ее можно убрать.

На рис. 2.3 окончательный результат несколько иной. Он отличается тем, что сигнал имеет смещенный спектр. Чтобы избежать такого смещения спектра сигнала, надо действовать по программе, показанной на рис. 2.2.

Приведенной выше программой нельзя воспользоваться для последовательного, поочередного исключения ряда монохроматических помех, потому что спектр каждой монохроматической помехи, если она не целочисленная, занимает все точки отсчета. При помехах одинаковой интенсивности достаточно, чтобы оценки положения частот по положению максимумов получались смещенными. Смещения оценок приводят к неточностям, устранение которых возможно лишь путем подбора правильных значений. Приведенная выше программа в случае ряда помех может быть использована с целью сокращения области подбора правильных значений. Примером такой узкополосной множественной помехи является помеха одной частоты, заданная в виде действительной функции синуса или косинуса, каждая из которых в спектре содержит не одну, а две экспоненты. Эти две экспоненты взаимно влияют на положение максимумов спектра так, что устранить одну составляющую спектра полностью автоматически не удается, действуя по приведенной выше программе.

Перейдем теперь к главному неустранимому фактору, которым является немонохроматичность помехи. Помеха может быть исключительно узкополосной. Ее спектр может быть существенно уже расстояния между точками отсчета спектра, однако он все-таки шире одной точки. В этом случае в спектре всегда присутствует нецелая частота, и сдвиг спектра помехи не приводит к появлению целочисленной частоты при любом сдвиге. Убедимся, что это действительно серьезный фактор, влияние которого нельзя устранить вышеописанными приемами.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

На рис. 2.4 показано действие программы, успешно подавившей помеху на рис. 2.2, сформированную по программе рис. 1.15 так, чтобы эта помеха имела узкополосный, а не монохроматический спектр. Как следует из этого рисунка, в этом случае программа малоэффективна.

Как же исключить не монохроматическую, но узкополосную помеху? Попробуем сначала усовершенствовать программу, показанную на рис. 2.4. Уберем помеху не в одной точке, а в целом ряде точек, исключая те, в которых может быть сигнал. Может быть, мы потеряем 32 точки, но спасем остальные! Не спасем, и иллюстрацией этому служит программа, показанная на рис. 2.5. Опишем ее только в той части, в которой она не повторяет программу рис. 2.4. Это всего лишь две строчки, которые следуют после текста: "Формирование широкого фильтра". Фильтр строится точно так же, как тот, который применен для исключения одной спектральной компоненты на рис. 2.4. Разница состоит в том, что в программе рис. 2.5 таких компонент не одна, а 10. Результат такого действия очевиден и неутешителен. Те компоненты помехи, которые маскировали сигнал, остались нетронутыми и по-прежнему маскируют сигнал. Возникает вопрос: "А можно ли вообще что-либо предпринять в такой ситуации, когда помеха маскирует сигнал на его собственной частоте?"

Оказывается, можно. Это осуществляется путем обработки смеси сигнала и помехи методом, называемым нами "методом темного поля".

Рис. 2.6. Устранение узкополосной помехи методом темного поля. Сверху показан результат обычного спектрального анализа, внизу - результат анализа этого же сигнала методом темного поля.

Пример такой обработки смеси сигнала и шума, использованной в программе и показанной на рис. 2.5, приведен на рис. 2.6, на котором отчетливо виден сигнал, расположенный близко от помехи, и существенно очищенный от помехи спектр, что заметно по поведению шума. На рис. 2.6 отчетливо просматриваются минимумы шумов, в то время как на графике программы 2.5 этого нет.