5.7. Кепстральный метод оценки флуктуаций запаздывания сигналов

Акустические методы успешно используются для определения ряда океанологических параметров. В предыдущих разделах приведены примеры использования таких методов для решения актуальных задач гидроакустики и сейсмической томографии. В этом разделе приводится пример обработки с использованием кепстра. Благодаря применению кепстральной обработки удается преобразовать в сумму произведение некоторых характеристик систем. Разделяемыми характеристиками могут быть частотная характеристика системы и спектр входного сигнала (на выходе системы они перемножаются). Другим примером разделяемых характеристик могут быть полезный сигнал и помеха при их мультипликативном взаимодействии. Здесь мы рассмотрим пример устранения влияния флуктуирующей частотной (импульсной) характеристики системы, на измерение времени следования импульсных сигналов. Такая задача возникает (как уже мы отмечали) в рамках решения проблемы АТОК.

Круг задач, решаемых путем измерения времени распространения акустического сигнала, существенно зависит от точности его оценки. В работе [50] рассмотрены неточности, вызываемые многолучевостью акустического канала. Чтобы избежать ошибок, вызванных многолучевостью, предлагается увеличить временное разрешение сигналов путем расширения эффективной полосы частот, в которой производятся измерения. Определяется оптимальная с точки зрения точности степень сглаживания частотной характеристики сигнала с учетом аддитивного шума.

Здесь, как и в [50], решается задача повышения точности оценки времени распространения импульса в условиях многолучевого канала. Мы полагаем достаточно высоким отношение сигнал/шум, при котором определение положения импульса возможно с точностью, намного превышающей обратную ширину спектра импульса. Большое превышение сигнала над шумом позволяет получать оценки положений максимума сигнала с точностью, превосходящей интервал дискретизации сигнала во времени. В этих условиях актуальной становится задача не борьбы с многолучевостью, а нахождения пути уменьшения ошибок в определении положения импульса в условиях многолучевого распространения. Основным источником таких ошибок является изменение формы импульса, вызванное небольшими флуктуациями времени распространения сигнала по различным лучам интерферирующих сигналов. Здесь показана возможность исключения ошибок, вызванных флуктуациями формы импульса, путем переноса измерений из временной области в кепстральную. При отсутствии флуктуаций временное и кепстральное определения времени распространения сигнала полностью эквивалентны. Иначе обстоит дело в условиях многолучевого канала.

Поясним суть используемого кепстрального метода. Пусть имеем два почти идентичных сигнала а и задержанных один относительно другого. Спектр сигнала, взятый на интервале, включающем оба сигнала, запишем как

Здесь - спектры каждого из сигналов в отдельности, взятые на том же интервале, что и их общий спектр, в которых выделено положение каждого из сигналов на оси времени

Преобразуя (5.7.1), вынеся за скобку параметры сигнала , получим

где

Из выражения (5.7.2) следует, что разница форм сигналов а и (или их спектров) оказывает влияние при измерении спектра лишь на коэффициент а, который характеризует подобные изменения и не содержит информации о задержке сигналов. Точнее, изменение флуктуаций может приводить к отличию измеренной задержки сигналов от лишь при наличии в мнимой части, пропорциональной . Наличие такого члена в не является ошибкой, это следствие флуктуаций положения сигнала. Поэтому мы имеем все основания выделить его из а и внести его в измеряемую т. При измерении временного положения сигналов а и b по положению их максимумов интерференция сигналов, пришедших по разным каналам, будет вызывать неконтролируемые деформации формы сигнала.

Для повышения точности измерения запаздывания необходимо разделить амплитудные и временные факторы в соотношении (5.7.2), чтобы измерения величины от амплитудных характеристик сигнала не зависели. Методом,

позволяющим это сделать, является кепстральный анализ. Запишем логарифм модуля (5.7.2):

который содержит два слагаемых. Первое - логарифм модуля спектра одного импульса, фурье-образ которого состоит практически из низкочастотных составляющих. Спектр второго слагаемого содержит гармонические члены с частотами кратными т. Таким образом, фурье-преобразование от (5.7.3) (кепстр) содержит низкочастотные составляющие и гармонический ряд с периодом т. По положению гармоник этого ряда определяется задержка между импульсами. Спектральный анализ должен быть произведен для достаточно длинного интервала частот. Чем больше частотное окно, тем точнее в кепстре (5.7.3) определяются максимумы частоты (сачтота) т. Для того чтобы определить величину с точностью, превышающей величину интервала квантования сигнала, функцию (5.7.3) следует дополнить нулями прежде, чем брать от нее спектр (кепстр).

Увеличение частотного окна путем дополнения его нулями не увеличивает разрешающей способности метода - это лишь необходимый прием численного счета. Дело в том, что при численных расчетах ось задержек состоит из ряда дискретных значений. Интервал дискретизации есть предел временного разрешения. Однако при больших отношениях сигнала к шуму временное положение импульса (без применения каких-то особых приемов) получается с гораздо большей точностью. Чтобы воспользоваться этой возможностью, необходимо увеличение числа точек на оси задержек. Этого можно достичь путем увеличения частотного окна, дополняя его нулевыми значениями.

Форма получающегося при этом кепстра будет иметь вид, изображенный на рис. 5.15. Если формула (5.7.3) нулями не дополняется, то расстояние между отсчетными точками кепстра функции на рис. 5.15 будет соответствовать расстоянию между отсчетами этой функции. В результате измерить величину можно лишь с погрешностью равной периоду квантования исследуемых импульсов. Дополняя (5.7.3) нулями, мы вводим в кепстр дополнительные отсчеты в количестве, пропорциональном дополняемому числу нулей. Естественно, что таким образом мы можем определить положение максимума со сколь угодно высокой точностью. Однако положение максимума в действительности смещено относительно запаздывания сигналов измеряем именно запаздывание, а не положение максимума) присутствием шумов. Поэтому увеличивать до бесконечности число дополняемых нулей нецелесообразно. Препятствием точному определению по положению максимума функции, представленной на рис. 5.15, являются аддитивные шумы в функции (5.7.3). Чем меньше уровень шума, показанного на рис. 5.15 в виде отрезка тем точнее может быть определено запаздывание т. Величина определяет то число нулей, которое целесообразно вставлять в (5.7.3). Исходя из того, что график рис. 5.15 в окрестности максимума имеет вид близкий на рис. 5.16 приведем график отношения числа целесообразно дополняемых нулей к длине исходного спектра в зависимости от уровня шума в (5.7.3). Этот уровень шума приведен в децибелах по отношению к модулю с учетом выигрыша

Рис. 5.15. Форма кепстрального отклика при дополнении спектра нулями.

при спектральном анализе 1024 точек спектра (30 дБ). Из графика видно, что увеличивать длительность спектра в 16 раз, дополняя его нулями, целесообразно уже при превышении импульсом уровня шума на 20 дБ и более. Это означает, что такой важный параметр, как положение импульса по отношению к импульсу опорному, можно определить с точностью до 1/16 расстояния между точками отсчета на временной оси. Расстояние между отсчетными точками, как правило, много меньше интервала разрешения сигналов, определяемого как обратная величина ширины полосы сигнала.

Рис. 5.16. Зависимость отношения числа целесообразно дополняемых нулей к длине исходного спектра в зависимости от уровня шума в спектре.

Отметим два важных обстоятельства. Первое - здесь нет никакого "сверхразрешения". Для "сверхразрешения" надо спектр сигнала дополнять не нулями, а значениями его подлинного спектра, получаемого за счет хитрым образом сделанных оценок или априорных предположений [51]. Мы просто уточняем положение обычным образом полученного максимума кепстра, как это показано на рис. 5.15. Второе обстоятельство заключается в том, что рис. 5.15 и 5.16 являются лишь иллюстрацией возможностей, а не основой их осуществления. Осуществимость используемого здесь метода выясняется непосредственно при его осуществлении на основе формы реально наблюдаемого спектра (5.7.3) (кепстра). Для осуществимости метода форма кепстра должна иметь в окрестности максимума гладкую форму, близкую к показанной на рис. 5.15.

Комплексный коэффициент а оценивается на основе уже определенной величины т. Приведем для примера два таких способа.

Способ первый. Составим соотношение, в которое входят как а, так и

где - вид исходного сигнала, содержащего оба сигнала - - некий произвольный комплексный множитель. В (5.7.4) в определенный момент совмещаются оба импульса: прямой, умноженный на к, и задержанный, и можно наблюдать их интерференцию. Минимум амплитуды этого совмещенного импульса будет наблюдаться при условии Исходя из этого условия, при минимуме совмещенного импульса определяются действительная и мнимая части .

Способ второй. Запишем следующее соотношение:

При условии переходит в

Поэтому спектр (5.7.5) (кепстр будет достигать минимума на сачтоте при условии Этот способ является интегральным. Ему следует отдавать предпочтение при желании исключить или ослабить влияние локальных изменений формы сигналов. Он работает при условии, что знаменатель (5.7.5) нигде не обращается в нуль. Если это происходит, то следует исключить из рассмотрения эти точки.

Для того чтобы показать применимость вышеописанной методики к измерениям в области гидроакустики, мы применили ее для обработки данных натурного гидроакустического эксперимента THETIS-II

Как уже отмечалось, предварительная обработка включала оценку трансформации масштаба времени вследствие эффекта Доплера из-за дрейфа судна. Для оценки трансформации сигнала измерялась автокорреляция принятого сигнала и по первому существенному максимуму на ненулевой задержке (близкой к периоду следования М-последовательностей) оценивалось среднее изменение периода следования и соответствующее доплеровское искажение. Вместе с тем, если для накопления (усреднения) сигналов такой метод и был достаточен, то для измерения реальных флуктуаций времени прихода этого было недостаточно. Кепстральный метод позволил повысить точность измерения периода следования импульсов, следовательно, и флуктуаций времени распространения.

Для тестирования методики мы воспользовались пятью группами импульсов с выхода коррелятора, образованных пятью следующими друг за другом последовательностями. Для компенсации доплеровских искажений при вычислении взаимной корреляции принятого сигнала и реплики использовалась фиксированная скорость движения приемника. Сигнал был принят одним из гидрофонов вертикальной цепочки. Приведенный пример выполнен с целью демонстрации возможностей по уточнению периода следования импульсов с помощью вышеописанной методики.

Обработка состояла в следующем. Проводился спектральный анализ реализации сигнала (рис. 5.17), включающей два импульса (определенные оценки импульсного отклика системы). После этого производилось логарифмирование модуля полученного спектра. По спектру этого модуля (кепстру) грубо (с точностью до одной отсчетной точки) оценивалась величина задержки по максимуму кепстра. После этого координата максимума кепстра уточнялась либо путем добавления нулей в модуль спектра, либо иным способом. Проводилось не быстрое, а обычное преобразование Фурье по небольшому (16) количеству точек в окрестности максимума. В этом случае точки брались через интервал в одну тысячную долю интервала квантования. После этого определялась относительная амплитуда импульсов путем ее подбора по условию в формулах (5.7.4) или (5.7.5) до момента минимизации второго импульса в (5.7.4) или в спектре (5.7.5). Так определялись значения задержек и относительных амплитуд для соседних пар импульсов, показанных на рис. 5.17.

Рис. 5.17. Форма реализации обрабатываемого сигнала Полученные результаты приведены в таблице и иллюстрированы рисунками.

В первой колонке таблицы показан номер промежутка между импульсами, последовательность которых использовалась при обработке. График этой последовательности импульсов показан на рис. 5.17. В следующей колонке показана разность между значениями расстояний между импульсами, определенных с точностью в тысячную долю периода квантования и значения 8176 (период следования -последовательностей), определенного с точностью до одной единицы квантования. В третьей колонке таблицы показаны значения относительной амплитуды импульсов последовательности.

На рис. 5.18 - 5.20 показаны иллюстрации основных этапов обработки сигналов натурного эксперимента. Рис. 5.18 и 5.19 показывают момент опредёления относительной амплитуды импульсов по методу, использующему вычитание сигнала и его задержанной копии по формуле (5.7.4). На рис. 5.18, а и 5.19, а показан вид функции а под ним на рис. 5.18, б и 5.19, б показан вид функции входящей в (5.7.4).

Рис. 5.18. Алгоритм определения относительной амплитуды импульсов, использующий вычитание сигнала и его задержанной копии по формуле (5.7.4): нижний график - исходная реализация сигнала, верхний - результат вычитания из второго импульса задержанной копии первого.

Рис. 5.19. То же, что и на рис. 5.18, но приведен только второй импульс в более подробном масштабе.

На рис. 5.20 приведен момент определения уточненного значения задержки между импульсами, показано 16 значений кепстра (спектра (5.7.3)), взятых через одну тысячную интервала квантования, в окрестности максимума модуля этой функции. Плавный регулярный вид этой кривой показывает, что шум пока не оказывает существенного влияния на результат определения положения максимума. Мы сравнили используемый нами метод с методом определения величины задержек по максимуму корреляционной функции, использованному, например, в [52]. Относительная задержка во второй паре импульсов была измерена по разности положений максимумов корреляционных функций, измеренных до тысячных долей интервала разрешения. Это значение отличается от значения, приведенного в таблице, на 0,311 интервала квантования. Правильность результата, указанного в таблице, подтверждается численным экспериментом с использованием натурных исходных данных. Была смоделирована флуктуация амплитуды импульса вблизи максимума путем умножения (моделировалась мультипликативная помеха) сигнала на 1,001 в двух стоящих рядом с максимумом точках одной из корреляционных функций, временной интервал между которыми оценивался.

Рис. 5.20. Часть кепстра (спектра (5.7.3)), взятая через одну тысячную интервала квантования, в окрестности максимума модуля этой функции.

Рис. 5.21. (см. скан) Корреляционные функции (а) исходного сигнала (сплошная линия) и сигнала, в который внесены изменения (пунктир). Тот же участок в увеличенном (в 20 раз) масштабе (б). Участок кепстра тех же функций в еще более (в 1000 раз) растянутом масштабе (в).

На рис. 5.21, а показан вид участка корреляционной функции, близкий к максимуму с наложенной на него кривой, в которую внесены изменения. На рис. 5.21, б показан тот же участок в увеличенном (в 20 раз) масштабе. В результате внесенной в нее флуктуации положение максимума функции корреляции, определяемое на основе формы корреляционного пика (как это принято делать), сместилось примерно на 0,34 интервала разрешения. На рис. 5.21, в показан участок кепстра той же функции в еще более (в 1000 раз) растянутом масштабе. При этом величина задержки, измеренная описанным выше спектральным методом, до 0,001 единицы квантования не изменилась. Это иллюстрирует помехозащищенность спектрального метода от флуктуаций формы импульса, вызываемых многолучевостью.