5.2. Выбор оптимальной методики анализа линейной системы

Задача экспериментального исследования любой системы обычно заключается в изучении её свойств по входному и выходному сигналам. Термин "система" мы употребляем как сокращенный вариант термина "линейная система", т. е. звено, совершающее с сигналом только такие операции, которые могут быть описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, не содержащими нелинейных членов. Общие свойства таких систем были описаны выше, а здесь пойдет речь об измерении параметров таких систем. Как было сказано выше

(см. п. 1.5), исчерпывающей характеристикой системы, в которую входят все ее параметры, является отклик системы на импульсное воздействие или же спектр этого отклика, называемый частотной характеристикой.

Любой эксперимент по измерению параметров системы включает этапы измерения сигнала или его характеристик в условиях помех. Иными словами, эксперимент есть выделение сигнала из шума. Корректная реализация всех этапов измерений во многом определяет правильность полученных результатов.

Несомненно, правильный выбор инструментов измерения (датчиков, усилителей, измерительных и вычислительных приборов) играет важную роль. Однако настоящая книга в первую очередь посвящена методическим вопросам, а не вопросам выбора правильных аппаратных средств. Более того, в этой главе рассматривается вопрос активного измерения характеристик линейных систем.

Активные измерения означают, что измерения параметров системы осуществляются путем воздействия некоторыми сигналами на вход системы и наблюдения и анализа получающихся выходных сигналов. Из-за наличия шумов и помех, практически всегда присутствующих в наблюдаемых сигналах, этого может оказаться недостаточно для измерения искомых параметров с нужной точностью. Тогда возникает потребность в использовании стохастической природы помех и усреднения полученных результатов измерения.

Воспользовавшись априори известной теоретической моделью системы, для увеличения точности можно сравнивать предполагаемую реакцию системы и измеренную. Проведя оценку отличий экспериментально измеренных реакций и полученных из теоретических соображений, совершенствуя теоретическую модель системы, следует добиваться минимального различия реакций. Таким путем можно построить оценку истинной модели среды в тех случаях, когда в качестве системы служит исследуемая среда, в которой распространяются волны.

Однако зачастую оказывается, что возникает задача измерения характеристик систем за очень ограниченный интервал времени, что может быть вызвано нестацио-нарностью исследуемой системы, или ограниченностью энергетических ресурсов источника воздействия на вход системы, или административных ограничений на время подачи воздействия на вход системы. Бывает и такое! Примером может быть проект АТОК. Тогда длительность работы источника на Гавайях ограничивалась требованиями экологических организаций.

Поэтому оптимальность методики измерения может выйти на первый план, и очевидно, что оптимальность методики в целом зависит и от оптимальности её частей.

Это относится и к этапу проведения измерений реакции системы, результаты которого во многом зависят от правильного выбора вида воздействия на вход системы (это воздействие будем называть тестовым сигналом).

Очевидно, что не всякий сигнал может подходить для решения этой задачи. Например, гармонический сигнал в виде синусоиды частоты позволяет измерять частотную характеристику только в одной точке и не подходит для измерения импульсной характеристики. Однако, если исследователь может в процессе измерения перестраивать частоту входного сигнала, то, проведя множество циклов измерений на разных частотах, он сможет получить достаточно точную оценку частотной характеристики и, воспользовавшись преобразованием Фурье, вычислить импульсную характеристику. Но в этом случае резко увеличиваются временные затраты на измерения (много циклов измерения), что не всегда допустимо. Воспользовавшись достаточно простыми соотношениями, рассмотрим возможные алгоритмы исследования систем и определим желательные свойства тестовых сигналов.

Пусть сигнал на -входе, -сигнал на -выходе, импульсная характеристика системы. Эти функции связаны между собой интегралом Дюамеля, уже упоминавшимся в этой книге (см. п. 1.5) и описывающим операцию свертки входного сигнала и импульсного отклика системы:

Отсутствие влияния одного канала на другой в линейной системе позволяет рассматривать один вход и один выход. Кроме того, для упрощения выражений анализ проведем при условии бесконечных времени и диапазона частот.

В пространстве частот выражение (5.2.1) будет выглядеть как

Эти два соотношения позволяют получить два метода измерения характеристик линейных систем.

Первый метод следует прямо из интеграла Дюамеля и заключается в подаче на вход сигнала типа дельта-импульса Тогда интеграл (5.2.1) примет вид

То есть, достаточно на вход системы подать дельта-импульс, на выходе системы получим сигнал, пропорциональный искомой импульсной характеристике системы.

Отметим недостатки этого метода. Первый состоит в том, что реализация дельта-импульса физически невозможна. Можно лишь создать короткий импульс с конечной длиной и конечной амплитудой. Отсюда следует второй недостаток, заключающийся в том, что максимальная амплитуда импульса ограничена для всех систем диапазоном линейности и при конечной длительности ограничена энергия импульса. В результате невозможно достигнуть хорошей точности измерения, поскольку в выходном сигнале практически всегда присутствует шум, распределенный по времени и, следовательно, имеющий большую энергию. Пусть на входе прибора, регистрирующего сигнал с выхода системы, мы имеем отношение сигнал/шум - отношение квадрата максимально допустимой амплитуды сигнала в линейном режиме к дисперсии аддитивного шума, внесенного неконтролируемыми помехами и самим измерительным прибором. Этим соотношением и будет определяться относительная погрешность измерения импульсной характеристики, поскольку в каждой точке измеренной импульсной характеристики будет присутствовать шум с дисперсией Если же по этой импульсной характеристике мы определим частотную характеристику, то для нее отношение сигнала к шуму станет хуже. В соответствии с теоремой Парсеваля квадрат значений сигнала равен квадрату значений коэффициентов Фурье. Чем более широкополосна исследуемая система, тем хуже будет отношение сигнал/шум в измеренной частотной характеристике. Безусловно, это соблюдается для помех в виде белого шума. Например, для помехи в виде синусоиды с частотой, лежащей вне полосы пропускания системы при условии априорного знания об этой помехе, соотношение сигнал/шум в измеренной частотной характеристике возрастет. Однако рассмотрение таких вырожденных случаев не имеет особого смысла, поскольку в основном помехи имеют стохастическую природу и априорные их характеристики либо неизвестны, либо известны недостаточно точно. Например, в случае белого шума сигнал/шум для измеряемой частотной характеристики уменьшится в раз, где - число степеней свободы исследуемого сигнала.

Во втором методе на вход системы подается сигнал со спектром в виде дельтафункции, т. е. просто гармонический сигнал Запишем выходной сигнал в этом случае как

Воспользовавшись преобразованием Фурье и сделав ряд простых преобразований, получим спектр выходного сигнала:

Обратное фурье-преобразование даст выходной сигнал:

Выходной сигнал в этом случае представляет собой входной гармонический сигнал, умноженный на значение частотной характеристики системы на частоте входного сигнала.

Особенность измерения в этом случае состоит в том, что значение комплексное и необходимо измерить как модуль, так и фазу. Модуль может быть измерен линейным детектором, а фаза фазовым с использованием входного сигнала в качестве опорного. Измерение фазы представляет более серьёзную техническую проблему, чем измерение амплитуды. Поэтому в ряде случаев, используя метод перестраиваемой частоты, ограничиваются измерением только модуля частотной характеристики.

Путем перестройки частоты сигнала можно измерить значения частотной характеристики в требуемом диапазоне частот. Правда, для этого потребуется значительное время, что является основным недостатком описанного метода. Помехозащищенность данного метода значительно выше, чем первого, поскольку энергия синусоиды при одинаковой амплитуде намного больше (следствие той же теоремы Парсеваля), чем энергия дельта-импульса, и при измерении частотной характеристики вся эта энергия сосредоточена в одной частотной точке. Поэтому этот метод нашел широкое распространение, и на его основе построено большое количество измерителей частотных характеристик и анализаторов спектра. Однако в подавляющем большинстве с их помощью определяется лишь модуль частотной характеристики.

Рассмотренные нами способы измерения характеристик систем, как мы видим, не являются идеально подходящими. К счастью, существует, хотя и менее распространенный, но более удобный и помехоустойчивый способ измерения параметров систем, получающий распространение в последнее время как благодаря своим характеристикам, так и благодаря развитию вычислительной техники. Представленные далее примеры обработки данных экспериментов основаны именно на этом способе.

Перепишем (5.2.2), умножив правую и левую часть на Комплексносопряженное произведение двух спектров называется взаимным спектром мощности, а если оба спектра от одного сигнала, то такое произведение называют автоспектром мощности или спектральной плотностью мощности:

Из этого выражения видно, что если модуль спектра входного сигнала равен константе, взаимный спектр выходного и входного сигналов пропорционален частотной характеристике системы.

Таким образом, если входной (тестовый) сигнал для определения параметров системы сформировать так, чтобы его спектральная плотность мощности была как можно ближе к константе в исследуемом диапазоне частот, то взаимный спектр выходного и входного сигналов будет равен частотной характеристике системы, умноженной на эту константу. Если модуль спектра входного сигнала известен, частотная характеристика системы определяется делением взаимного спектра на квадрат модуля входного. Для того чтобы реализовать этот способ, необходимо просто иметь сигналы одновременно на входе и на выходе системы и вычислить взаимный спектр, как комплексно-сопряженное произведение входного и выходного спектров. Выполнив обратное преобразование Фурье от обеих частей уравнения, получим

где - взаимно-корреляционная функция,

- автокорреляционная функция.

Отсюда следует, что, если автокорреляционная функция входного сигнала равна дельта-функции, то взаимная корреляционная функция выходного и входного сигналов пропорциональна импульсной переходной характеристике исследуемой системы:

Соотношение (5.2.5) позволяет предложить алгоритм исследования систем с использованием пробных сигналов с корреляционной функцией в виде одного узкого пика. Такие сигналы могут (благодаря отсутствию непременной локализации во времени как -функции) иметь значительную энергию, не выходя за пределы линейности. Вследствие этого такой метод измерения может быть достаточно помехоустойчивым.

При подаче на вход системы тестового сигнала в виде короткого импульса его энергия распределяется по импульсному отклику системы. То же происходит и с энергией сигнала с корреляционной функцией в виде дельта-импульса, однако его энергия будет во столько раз больше, во сколько раз тестовый сигнал длиннее импульса. Это отношение приближенно равно . И что очень важно, при достаточно хорошей помехозащищенности метода измерение всей характеристики системы производится за один цикл измерений, тогда как измерение с тональным сигналом требует многих циклов измерения по одному на каждой частоте. Если у экспериментатора есть возможность повторить несколько циклов, то они могут быть направлены на снижение шумов, то есть на повышение точности измерения.

Выбор наилучшего тестового сигнала определяется множеством различных факторов, таких как простота реализации, точная повторяемость, малые аппаратные ошибки (ошибки, связанные со свойствами самого тестового сигнала) и т.

Класс сигналов, имеющих корреляционную функцию близкую дельта-функции, обширен, однако далеко не все они удобны в реализации и применении. Хорошим тестовым сигналом для метода измерения характеристик линейных систем мог бы быть белый шум, имеющий корреляционную функцию в виде узкого пика. Но

Рис. 5.1. Автокорреляционная функция реализации белого шума.

стохастическая природа шума приводит к тому, что измеренная за конечное время корреляционная функция сама является случайной реализацией и такая корреляционная функция кроме основного пика содержит и некоторый шум вне этого пика (рис. 5.1). Эта и ряд других причин не позволяют использовать реализацию белого шума в качестве хорошего тестового сигнала.

Эти проблемы заставили исследователей обратить внимание на частотно-модулированные и псевдослучайные сигналы, позволяющие значительно снизить уровень шума вне основного пика. В результате ошибки измерения импульсных и частотных характеристик определяются только помехами или стохастичностью измеряемой системы, но не тестовым сигналом.

С нашей точки зрения, наиболее подходящими тестовыми сигналами являются кодовые последовательности, называемые кодами максимальной длины (М-последовательность) [37] и сигналы, построенные на их основе. Интересно, что в MatLab’e, наряду с традиционными функциями формирования синусоидальных прямоугольных сигналов, есть функция (‘mlbs’-maximum length binary sequence) формирования М-последовательности [38]. Повторяемость такого сигнала не вызывает никаких затруднений. Точность восстановления может ограничиваться только точностью повторения частоты сигнала (интервалов времени) в точке приема. Без применения прецизионных приборов относительная погрешность воспроизведения частоты сигнала может быть не более 106 (точность простейших наручных электронных часов), а при использовании специальных стандартов частоты - и менее. Это позволяет обеспечить когерентность излученного сигнала и его образа (реплики) на приемной стороне в течение длительных интервалов времени (даже годами). Такая высокая когерентность позволила провести долговременный эксперимент (продолжительностью около двух лет) с использованием автономных приемо-передающих станций, установленных в Средиземном море. Синхронизовать их часы можно было только при постановке, в дальнейшем они работали по заданному графику излучений и приема. При этом отклонение от заданного момента излучения после года работы не должно было превышать 30 мкс, что эквивалентно 5 градусам периода несущей частоты 400 Гц.

Таким образом, можно утверждать, что наилучшей методикой измерения может служить метод, основанный на формуле (5.2.5), с использованием М-последовательности. Что представляет собой М-последовательность, рассмотрим далее.